VERALLGEMEINERTE FUNKTIONEN. und ELEMENTE DER FUNKTIONALANALYSIS KURZSKRIPTUM. Prof. Dr. K. Pilzweger

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1 VERALLGEMEINERTE FUNKTIONEN und ELEMENTE DER FUNKTIONALANALYSIS KURZSKRIPTUM Prof. Dr. K. Pilzweger UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR ELEKTROTECHNIK UND INFORMATIONSTECHNIK Herbsttrimester 2012

2 -1- KAP I. EINFÜHRUNG 1. Einführendes Beispiel: * - Funktion Das bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte Funktion ist die Diracsche Deltafunktion *(t), die oft auch als Diracsche Impulsfunktion oder Einheitsimpulsfunktion bezeichnet wird. Man kann sie durch ihre sog. Ausblendeigenschaft definieren. Darunter versteht man die Aussage, dass (1.1) für jedes t 0 0 ú und jede in t ' t 0 stetige Funktion f : ú 6 ú. Speziell für t 0 ' 0 folgt daraus, dass (1.2) für jede in t ' 0 stetige Funktion f : ú 6 ú. Mit Hilfe der Substitution u ' t & t 0 erkennt man, dass umgekehrt auch (1.1) aus (1.2) folgt, so dass beide Aussagen zueinander äquivalent sind. Nun kann man sich aber relativ schnell davon überzeugen (s. Vorlesung), dass es keine gewöhnliche Funktion * : ú 6 ú geben kann, so dass (1.2) oder, gleichbedeutend damit, (1.1) richtig ist. Die Deltafunktion *(t) ist daher keine gewöhnliche Funktion, sondern ein anderes mathematisches Objekt, eben eine verallgemeinerte Funktion oder, wie man auch sagt, eine Distribution. Wenn auch keine Funktion im üblichen Sinne, so lässt sich *(t) doch durch solche Funktionen beliebig genau approximieren. Daraus ergibt sich dann eine Möglichkeit, sich eine Vorstellung von *(t) zu machen. Um dies zu erklären, betrachten wir irgendeine Funktion D : ú 6 ú, die außerhalb eines abgeschlossenen Intervalls [a, b] d ú verschwindet (d. h.: D(t) ' 0 für t ó [a, b]) und für die gilt. Beispiele dafür sind etwa (1.3) oder Damit definieren wir dann für jedes g > 0 die Funktion die aus D(t) durch eine Kontraktion in waagrechter und eine Dilatation in senkrechter Richtung jeweils um den Faktor 1/g hervorgeht. Bei g denke man vor allem an eine kleine positive Zahl. Für die obigen zwei Beispiele gilt bzw. Auch das Integral von D g (t) von &4 bis %4 ist für jedes g > 0 gleich 1, denn:

3 Dabei wurde die Substitutionsregel der Integralrechnung mit u ' t/g angewandt. Wie in der Vorlesung weiter gezeigt wird, gilt nun -2- für jede in t ' 0 stetige Funktion f : ú 6 ú, so dass D g (t) für g 6 0% die Gleichung (1.2) immer genauer und schließlich beliebig genau erfüllt. Weil diese Gleichung die Deltafunktion *(t) definiert, kann man sich deshalb *(t) als den idealen Grenzfall der Funktion D g (t) für g 6 0% vorstellen. Für die Beispiele (1.3) ergeben sich die folgenden Bilder: 2. Ergänzungen zur Analysis (2.1) Stückweise stetige Funktionen. Unter einer (gewöhnlichen) Funktion wird im Folgenden immer eine Funktion vom Typ f : A 6 ú oder f : A 6, wobei A d ú, verstanden. Ohne es jedes Mal besonders zu erwähnen, setzen wir stets voraus, dass sie stetig oder wenigstens stückweise stetig auf ú ist. Sie heißt stetig auf ú, wenn sie in jedem t 0 ú definiert und stetig ist. Es ist dann A ' ú. Zur Erklärung des Begriffs stückweise stetig auf ú zuerst die folgende (2.1.1) Definition: Eine Menge S d ú heißt diskret, wenn in jedem Intervall [a, b] d ú höchstens endlich viele Punkte aus S liegen. Jede endliche Menge S ' {t 1, t 2,..., t n } ist diskret. Eine unendliche Menge S d ú ist es genau dann, wenn sich ihre Punkte nirgendwo auf der reellen Achse häufen. Die für uns wichtigsten Beispiele für eine unendliche diskrete Menge sind S ' {n)t* n 0 ù 0 }' {0,)t, 2 )t, 3 )t,...} und S ' {k)t* k 0 }' {0, ± )t, ± 2 )t, ± 3 )t,...}, wobei )t > 0 fest vorgegeben. ù 0 bezeichnet die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen, kurz: ù 0 :' ù c {0}. (2.1.2) Definition: Eine Funktion f : A (d ú) 6 ú heißt stückweise stetig auf ú, wenn es eine nichtleere diskrete Menge S d ú gibt, so dass f nur für jedes t 0 ú\s definiert und stetig ist und in jedem Punkt t 0 0 S die einseitigen Grenzwerte

4 -3- und eigentlich oder uneigentlich existieren. Einen Punkt t 0 0 S nennen wir eine singuläre Stelle von f. In einer singulären Stelle ist f entweder nicht definiert oder zwar definiert, aber nicht stetig. Eine t 0 0 S heißt eine Unendlichkeitsstelle von f, wenn oder. Wenn nicht für alle t 0 ú definiert, ist eine stückweise stetige Funktion immerhin noch für fast alle t 0 ú, d. h. für alle t 0 ú außerhalb einer diskreten Teilmenge von ú definiert. (2.3) Definition: Eine Funktion f : A (d ú) 6 heißt stückweise stetig auf ú, wenn Re[f] und Im[f], Real- und Imaginärteil von f, stückweise stetig auf ú sind. Ein Punkt t 0 0 ú ist eine singuläre Stelle von f, wenn er eine von Re[f] oder Im[f] ist. (2.2) Heavisidesche Sprungfunktion. (2.2.1) Definition: Die durch definierte Funktion s : ú 6 ú heißt Heavisidesche Sprungfunktion oder Einheitssprungfunktion. Wichtig ist auch die Sprungfunktion s(t & t 0 ), wobei t 0 0 ú fest. Sie entsteht aus s(t) durch eine Translation um t 0 in t - Richtung. Die Bedeutung der Sprungfunktion s(t) liegt u. a. darin, dass mit ihr stückweise definierte Funktionen in geschlossener Form dargestellt werden können. (2.2.2) Beispiel: Seien t 1, t 2 0 ú mit t 1 < t 2 und sei mit irgendwelchen Funktionen f 1, f 2 und f 3. Dann gilt:

5 -4- für alle t 0 ú\{t 1, t 2 }. (2.3) Ergänzungen zur Integralrechnung. Sei f : A (d ú) 6 ú eine auf ú stückweise stetige Funktion und seien a, b 0 ú mit a < b. Enthält das Intervall [a, b] keine singuläre Stellen von f, so ist das Integral unproblematisch, weil f dann stetig auf [a, b] ist und so das Integral (als Grenzwert Riemannscher Summen) eigentlich existiert. Ein Problem entsteht erst, wenn im Integrationsintervall eine oder mehrere singuläre Stellen von f liegen. Wir behandeln zuerst die Fälle, dass es genau eine singuläre Stelle t 0 von f enthält und diese mit einem seiner beiden Randpunkte zusammenfällt. (2.3.1) Definition: Sei t 0 eine singuläre Stelle von f und seien a, b 0 ú mit a < t 0 < b und derart, dass in [a, b] außer t 0 keine weitere singuläre Stelle von f liegt. Dann ist definiert: 1) ; 2). Die Integrale heißen konvergent, wenn die sie definierenden Grenzwerte eigentlich existieren, divergent sonst. Existiert der Grenzwert eigentlich, ist das Integral immer konvergent. Ist dagegen so kann es konvergieren oder auch nicht. Wenn nicht, divergiert es bestimmt gegen den Wert von also gegen % 4 oder & 4. Analoge Bemerkungen gelten für das Integral. (2.3.2) Satz: Seien t 0, a und b wie in (2.3.1) und seien F 1 und F 2 Stammfunktionen von f auf den Intervallen [a, t 0, bzw. +t 0, b]. Dann gilt: 1) wobei 2) wobei

6 -5- Als nächstes besprechen wir das Integral wobei t 1 und t 2 zwei aufeinander folgende singuläre Stellen von f seien. Die Funktion f ist dann stetig auf dem offenen Intervall +t 1, t 2,. (2.3.3) Definition: Seien t 1 und t 2 zwei aufeinander folgende singuläre Stellen von f. Dann ist definiert: mit irgendeinem c 0 +t 1, t 2,. Das Integral heißt konvergent, wenn die zwei Integrale auf der rechten Seite der definierenden Gleichung konvergieren, anderenfalls divergent. Diese Definition von ist unabhängig von c, d. h., jedes c 0 +t 1, t 2, führt auf dasselbe Ergebnis. Das zeigt auch der folgende (2.3.4) Satz: Seien t 1 und t 2 wie in (2.3.3) und sei F eine Stammfunktion von f auf dem Intervall +t 1, t 2,. Dann gilt: Schließlich diskutieren wir noch den allgemeinen Fall, in dem das Integrationsintervall [a, b] eine oder mehrere singuläre Stellen von f enthält. (2.3.5 Definition: Seien t 1,..., t n mit a # t 1 <... < t n # b alle singulären Stellen von f im Intervall [a, b], wobei a, b 0 ú mit a < b. Dann ist definiert:. Das Integral heißt konvergent, wenn alle Integrale auf der rechten Seite der definierenden Gleichung konvergieren, divergent sonst. Konvergiert, sagt man auch, die Funktion f sei über dem Intervall [a, b] integrierbar. (2.3.6) Definition: Eine Funktion f : A (d ú) 6 ú heißt lokal integrierbar, wenn sie über jedem Intervall [a, b] d ú integrierbar ist.

7 -6- Alle stetigen und alle stückweise stetigen Funktionen, die keine Unendlichkeitsstellen haben, sind lokal integrierbar. Es gibt aber auch stückweise stetige Funktionen mit Unendlichkeitsstellen, die lokal integrierbar sind. Ein Beispiel dafür ist die Funktion f(t) ' ln *t*; t 0. Bisher war f als reellwertig vorausgesetzt. Die obigen Definitionen und die darin geprägten Begriffe sind aber für den Fall einer komplexwertigen Funktion f genauso sinnvoll und können daher ohne jede Änderung dafür übernommen werden. Die Sätze (2.3.2) und (2.3.4) bleiben dann wortwörtlich gültig. Weiter gilt mit u :' Re[f] und v :' Im[f] für jedes Intervall [a, b] d ú: liegen in [a, b] singuläre Stellen von f, so ist genau dann konvergent, wenn die (reellen) Integrale und es sind, und es ist dann. Enthält [a, b] keine singulären Stellen von f, gilt diese Gleichung sowieso. Es folgt, dass eine Funktion f : A (d ú) 6 genau dann lokal integrierbar ist, wenn u und v lokal integrierbar sind. Zum Schluss noch eine Aussage, die wir im Folgenden immer wieder brauchen werden. Dabei spielt die durch *f*(t) :'*f (t)* für alle t 0 A definierte Funktion eine Rolle. (2.3.7) Satz: Sei f : A (d ú) 6 lokal integrierbar. Dann ist auch *f* lokal integrierbar, und es gilt: für jedes Intervall [a, b] d ú.

8 -7- KAP II. BEGRIFFE DER FUNKTIONALANALYSIS 1. Lineare Funktionale (1.1) Vektorräume. Sei ' ú oder '. (1.1.1) Definition: Ein Vektorraum (auch: linearer Raum) über ist eine nichtleere Menge X, ausgestattet mit zwei algebraischen Operationen, von denen die erste je zwei Elementen x, y 0 X eindeutig eine Summe x r y 0 X und die zweite jeder Zahl " 0 und jedem Element x 0 X eindeutig ein Produkt ". x 0 X derart zuordnet, dass die folgenden Gesetze erfüllt sind: (A 1) x r y ' y r x œ x, y 0 X. (A 2) (x r y) r z ' x r (y r z) œ x, y, z 0 X. (A 3) Es gibt genau ein Element 00 X, so dass x r 0 ' x œ x 0 X. (A 4) Zu jedem x 0 X gibt es genau ein xn 0 X mit x r xn ' 0. (M 1) (" $). x '".($. x) œ ", $ 0, œ x 0 X. (M 2) ("% $). x '". x r $. x œ ", $ 0, œ x 0 X. (M 3) ". (x r y) '". x r ". y œ " 0, œ x, y 0 X. (M 4) 1. x ' x œ x 0 X. Die Elemente von X bezeichnet man als Vektoren, die Zahlen aus auch als Skalare. Die zwei algebraischen Operationen sind die Addition von Vektoren und die Multiplikation von Skalar und Vektor. Man nennt sie die Vektorraumoperationen. Die Gesetze (A 1) - (A 4) und (M 1) - (M4) sind die sog. Vektorraumaxiome. Den Vektor 0 aus (A 3) nennt man den Nullvektor von X, und der für jedes x 0 X eindeutig bestimmte Vektor xn aus (A 4) heißt der zu x entgegengesetzte Vektor; wir bezeichnen ihn - zunächst einmal - mit s x. (1.1.2) Beispiele: 1. Sei n 0 ù und sei n die Menge aller n - stelligen Spalten von Zahlen aus, also: n :' {x * wobei x 1, x 2,..., x n 0 }. Die Vektorraumoperationen r und. werden definiert durch und für alle x, y 0 X und alle " 0. Man prüft leicht nach, dass damit die Vektorraumaxiome (A 1) - (A 4) und (M 1) - (M 4) erfüllt sind, so dass n, ausgestattet mit diesen Operationen, ein Vektor-

9 -8- raum über ist. Der Nullvektor und der zu einem x 0 n entgegengesetzte Vektor s x sind gegeben durch und. Dieses Beispiel ist von der Linearen Algebra her bekannt. Nur die Bezeichnungen sind vielleicht etwas befremdlich. 2. Sei F(ú) die Menge aller Funktionen x : ú 6, kurz: F(ú) :' {x* x : ú 6 }. Führt man auf F(ú) die durch (x r y)(t) :' x(t) % y(t) œ t 0 ú und (". x)(t) :'" x(t) œ t 0 ú (() definierten Operationen ein, sind wieder die Vektorraumaxiome erfüllt. Die Menge F(ú) wird dadurch zu einem Vektorraum über und jede Funktion x : ú 6 damit zu einem Vektor aus F(ú). Der Nullvektor von F(ú) ist die Nullfunktion 0, definiert durch 0(t) :' 0 für alle t 0 ú, und der zu einem x 0 F(ú) entgegengesetzte Vektor s x ist die durch (s x)(t) ' & x(t) für alle t 0 ú gegebene Funktion. Einen Vektorraum, der wie F(ú) aus Funktionen besteht, nennt man einen Funktionenraum. 3. Weitere Beispiele für einen Funktionenraum sind: - C(ú), der Raum aller stetigen Funktionen x : ú 6, - C (m) (ú), der Raum aller m - mal stetig differenzierbaren Funktionen x : ú 6, wobei m 0 ù, - C (4) (ú), der Raum aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen x : ú 6. Die Vektorraumoperationen r und. auf diesen Räumen sind wie in (() definiert. Offensichtlich gilt C (4) (ú) d C (m) (ú) d C(ú) d F(ú). Die Inklusionen sind alle echt, d. h., das Inklusionszeichen d kann überall durch das Zeichen für eine echte Inklusion ersetzt werden. Bevor wir fortfahren, vereinfachen wir noch unsere Bezeichnungsweisen. Was die Vektorraumoperationen angeht, schreiben wir fortan anstelle von x r y, ". x und s x einfacher x % y, " x und &x. Die Elemente (Vektoren) eines allgemeinen Vektorraums, so wie er in unseren Definitionen und Sätzen immer vorkommt, werden nach wie vor durch Unterstreichen gekennzeichnet. Bei den Elementen eines Funktionenraums hingegen unterlassen wir das und bezeichnen sie von jetzt an immer mit kleinen lateinischen, manchmal auch griechischen Buchstaben ohne Unterstrich. Nur an dem Symbol 0 für die Nullfunktion halten wir weiter fest. Dies geschieht, um sie von der Zahl 0 zu unterscheiden. (1.1.3) Definition: Sei X ein Vektorraum über. Eine nichtleere Teilmenge U von X heißt ein

10 -9- Unterraum von X, wenn sie die folgenden Eigenschaften hat: (U 1) x, y 0 U Y x % y 0 U, (U 2) " 0, x 0 U Y " x 0 U, d. h., wenn U mit x, y 0 X auch x % y und mit x 0 X auch " x für jedes " 0 enthält. Man sagt dann, U sei abgeschlossen gegenüber den Vektorraumoperationen. Ein Unterraum U von X, ausgestattet mit den auf ganz X definierten Vektorraumoperationen, ist selbst wieder ein Vektorraum über. Wendet man die Eigenschaften (U 1) und (U 2) wiederholt an, erkennt man, dass ein Unterraum U mit endlich vielen Vektoren x 1, x 2,..., x n 0 X auch jede Linearkombination von x 1, x 2,..., x n, d. h. jeden Vektor x 0 X der Form, enthält. In Zeichen: (U 3) " 1," 2,...," n 0, x 1, x 2,..., x n 0 U Y 0 U. Die einfachsten Beispiele für einen Unterraum von X sind U ' {0} und U ' X. Ein anspruchvolleres Beispiel ist die lineare Hülle einer nichtleeren Menge A d X. (1.1.4) Definition: Sei X ein Vektorraum über und sei A eine nichtleere Teilmenge von X. Dann heißt die Menge aller Linearkombinationen, die man mit endlich vielen Vektoren aus A bilden kann, die lineare Hülle von A; sie wird mit Lin[A] bezeichnet. Kurz: Lin[A] :' x 1, x 2,..., x n 0 A, " 1," 2,...," n 0, n 0 ù}. Lin[A] erfüllt offensichtlich die Bedingungen (U 1) und (U 2) und ist somit ein Unterraum von X. (1.1.5) Beispiel: Seien f i : ú 6, wobei i ' 0, 1, 2,..., die Potenzfunktionen f i (t)' t i. (f 0 ist die konstante Funktion f 0 (t)' 1). Weil beliebig oft differenzierbar auf ú, ist f i für jedes i ' 0, 1, 2,... ein Element des Funktionenraums C (4) (ú) und die Menge A :' {f 0, f 1, f 2,...} deshalb eine Teilmenge von C (4) (ú). Da jede Linearkombination x von endlich vielen Elementen..., aus A, wobei 0 # i 1 < i 2 <... < i n, auf die Form mit N :' i n und Zahlen " 1," 2,...," N 0 gebracht werden kann, und weil œ t 0 ú, ist Lin[A] einfach der aus allen Polynomen x : ú 6 bestehende Unterraum von C (4) (ú). (1.1.6) Definition: Sei X ein Vektorraum über.

11 1) Eine endliche Teilmenge A ' {x 1, x 2,..., x n } von X heißt linear unabhängig, wenn die Vektorgleichung -10- nur die triviale Lösung (" 1," 2,...," n )' (0, 0,..., 0) besitzt. 2) Eine unendliche Teilmenge A von X heißt linear unabhängig, wenn jede endliche Teilmenge von A linear unabhängig ist. 3) Eine nicht linear unabhängige (endliche oder unendliche) Teilmenge von X heißt linear abhängig. Eine einelementige Menge A ' {x} ist genau dann linear unabhängig, wenn x 0, und eine endliche mehrelementige Menge A ' {x 1, x 2,..., x n } ist es genau dann, wenn sich keiner der n Vektoren x 1, x 2,..., x n als Linearkombination der übrigen n&1 darstellen lässt. Die Dimension eines Vektorraums X, in Zeichen: dim X, ist definiert als die maximale Anzahl der Elemente, die eine linear unabhängige Teilmenge von X haben kann. Dass dim X ' n, wobei n 0 ù, bedeutet daher, dass es linear unabhängige Teilmengen von X mit genau n Elementen gibt, dass aber jede Teilmenge von X mit mehr als n Elementen linear abhängig ist. Ein Beispiel dafür ist der Vektorraum n. Die oben eingeführten Funktionenräume C (4) (ú), C (m) (ú), C(ú) und F(ú) enthalten dagegen auch linear unabhängige Teilmengen mit unendlich vielen Elementen, so dass man ihnen die Dimension 4 zuordnen muss; sie sind also unendlichdimensional. In der Vorlesung wird dazu gezeigt, dass etwa die unendliche Menge A ' {f 0, f 1, f 2,...} aus Beispiel (1.1.5) eine linear unabhängige Teilmenge des Funktionenraums C (4) (ú) ist. (1.2) Raum der Testfunktionen. (1.2.1) Definition: Man sagt, eine Funktion f : ú 6 habe einen kompakten Träger, wenn sie außerhalb eines Intervalls [a, b] d ú verschwindet (d. h.: f (t) ' 0 für alle t ó[a, b]). Wie das Bild zeigt, gibt es zu einer Funktion f : ú 6 mit kompaktem Träger immer ein bez. t ' 0 symmetrisches Intervall [&a, a], außerhalb dem f verschwindet. Es ist nicht schwer, auf ganz ú stetige oder auch differenzierbare Funktionen mit einem kompakten Träger anzugeben. Schwierig ist es jedoch, eine Funktion mit kompakten Träger zu finden, die auf ganz ú beliebig oft differenzierbar ist. Solche Funktionen gibt es aber (s. u.: (1.2.3)), und