Laborpraktikum 6 Einfache RC-Schaltungen

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1 20. Februar 2018 Elektrizitätslehre II Martin Loeser, Martin Weisenhorn Laborpraktikum 6 Einfache RC-Schaltungen 1 Lernziele Bei diesem Versuch werden verschiedene Anwendungen des RC-Glieds untersucht und quantitativ beschrieben. Sie können die Funktionsweise eines RC-Gliedes als Integrator erläutern und die Bedingungen angeben, unter denen diese Funktionsweise zustande kommt. Sie können den zeitlichen Verlauf der magnetischen Flussdichte in einem ferromagnetischen Material messtechnisch erfassen und damit die magnetische Hysterese dieses Materials darstellen. Sie können die Funktionsweise eines CR-Gliedes als Differentiator erläutern und die Bedingungen angeben, unter denen diese Funktionsweise zustande kommt. Sie können den Vorgang der DC-Entkopplung mit einem in Serie geschalteten Kondensator erläutern und die Bedingungen angeben, unter denen sie zustande kommt. Dieses Beispiel können Sie mit dem Superpositionsprinzip erklären. Sie können messtechnisch den Entkopplungkondensator eines KO im AC-Modus bestimmen. Sie können das Verhalten einer RC-Schaltung an einem Funktionsgenerator mit Matlab modellieren und für diverse vorgegebene Spannungsverläufe numerisch berechnen. Sie sind in der Lage dieses Simulationsmodell durch Vergleich von theoretischen mit messtechnischen Ergebnissen unter Berücksichtigung der systematischen Einflüsse der Innenwiderstände von Quelle oder Messgerät (KO) zu validieren.

2 Laborpraktikum 6 Einfache RC-Schaltungen, Elektrizitätslehre II 2 2 Einleitung 2.1 RC-Glied als Integrator In diesem Abschnitt wird gezeigt wie auf einfachste Weise ein Integrator realisiert werden kann, dessen Ausgangsspannung das Integral einer Eingangsspannung ist. Dazu betrachten wir die Bauteilgleichung der Kapazität in integraler Form t u C (t) = 1 i C (ψ) dψ. C Nun fehlt noch eine Schaltung die für einen Strom i C (t) sorgt der proportional zur Eingangsspannung ist. In Formeln lautet der Zusammenhang i C (t) = α, wobei α eine vorerst beliebige Proportionaliätskonstante ist. Am einfachsten wird die Proportionalität durch die in Abb. 1 dargestellte Schaltung erreicht, allerdings nur näherungsweise und umso genauer, je kleiner der Betrag von gegenüber dem Betrag von u R (t) ist. Dann nämlich ist u R (t) und damit i C (t) /R. u R (t) R C i C (t) Abbildung 1: RC-Glied als Integrator Das RC-Glied funktioniert um so genauer wie ein Integrator, je grösser das Verhältnis des Betrags der Eingangsspanung zum Betrag der Ausgangsspannung ist. Als Richtwert wollen wir festlegen, dass der Betrag der Eingangssapnnung etwa zehn mal grösser sein soll als der Betrag der Ausgangsspannung. Für diesen Fall gilt die Näherung = 1 t i C (t) dt 1 t dt. C RC Dabei ist RC = τ die Zeitkonstante des RC-Gliedes.

3 Laborpraktikum 6 Einfache RC-Schaltungen, Elektrizitätslehre II Sinusförmige Signale am RC-Glied. Die oben erarbeitete Bedingung unter der das RC-Glied als Integrator arbeitet lässt sich für sinförmige Eingangsspannungen = û 1 sin(2πft) als eine Bedingung an die Freqeuenz ausdrücken, die häufig sehr nützlich ist. Vorbereitung. Wir betrachten die Kapazität an einer sinusförmigen Spannung: i C (t) C u C (t) = û C sin(2πft) Für den Strom i C (t) folgt mit hilfe der Bauteilgleichung i C (t) = C du C(t) dt = û C 2πfC cos(2πft), }{{} î C û C î C T wobei î C der Scheitelwert des Stromes ist. Der Verlauf von Spannung und Strom lässt sich graphisch darstellen, siehe Abb. 2. Man erkennt eine zeitliche Verschiet Abbildung 2: Verlauf von Spannung und Strom an einer Kapazität. bung zwischen Spannung und Strom. Deshalb sind im Unterschied zu einem Widerstand die Momentanwerte von Spannung und Strom nicht proportional zueinander sondern lediglich die Scheitelwerte. Deren Verhältnis wird bei einer Kapazität als Blindwiderstand X c bezeichnet: X C := ûc î C = Für einen Widerstand R gilt übrigens auch û C uˆ C 2πfC = 1 2πfC. R = ûr î R = u R i R.

4 Laborpraktikum 6 Einfache RC-Schaltungen, Elektrizitätslehre II 4 Überlegung. Nun kommen wir zurück zur Schaltung aus Abb. 1, um uns die genannte Bedingung an die Frequenz zu überlegen. Wie bereits diskutiert, funktioniert das RC-Glied näherungsweise als Integrator, wenn der Strom î C (t) proportional zur Eingangsspannung ist. Dies gilt nie exakt aber näherungsweise wenn R X C R 1 2πfC f 1 2πτ Als Richtwert wollen wir festlegen, dass f > 1/τ sein muss, wobei τ = RC die Zeitkonstante des RC-Glieds ist. Mit ähnlichen Überlegungen findet man, dass für kleine Signalfrequenzen f 1/τ Ausgangs- und Eingangssignal ungefähr gleich sind. Das RC-Glied funktioniert um so genauer wie ein Integrator, je mehr die Signalfrequenz f den Wert 1/τ überragt Integrator mit OPV Das RC-Glied arbeitet nur dann als Integrator, solange die Eingangsspannung am RC-Glied betragsmässig deutlich grösser ist als der Betrag der Ausgangsspannung, das ist nicht der Fall wenn z.b. den Wert von 1 V durchschreitet. Für sinusförmige Eingangssignale muss die Signalfrequenz f grösser als 1/τ sein. Die genannten Einschränkungen werden durch die Schaltung in Abb. 3 behoben. Die Forderung, dass i C (t) proportional zu ist, wird durch den virtuellen Nullpunkt am Knoten 2 erfüllt, indem er dafür sorgt dass der Strom durch den Widerstand gleich i C (t) = /R ist. Dies gilt unabhängig von der grösse der Eingangsspannung. Allerdings ist die Proportionslitätskonstante des Integrators nun gleich ( 1/RC) also negativ. Fazit Das RC-Glied funktioniert um so genauer wie ein Integrator, je grösser das Verhältnis des Betrags der Eingangsspanung zum Betrag der Ausgangsspannung ist. Bei sinusförmigem Eingangssingal funktioniert das RC-Glied um so genauer wie ein Integrator, je mehr die Signalfrequenz f den Wert 1/τ überragt. Bei sinusförmigen Eingangssingalen mit Signalfrequenzen f 1/τ sind Eingangsund Ausgangssignal identisch.

5 Laborpraktikum 6 Einfache RC-Schaltungen, Elektrizitätslehre II 5 i C (t) R 2 C i C (t) 1 Abbildung 3: Invertierender Integrator mit Operationsverstärker. 2.2 RC-Glied als Differenzierer Einen Differenzierer erhält man mit der in Abb. 4 gezeigten Anordnung. Verglichen mit Abb. 1 sind einfach der Widerstand und die Kapazität miteinander vertauscht. i C (t) u C (t) C R Abbildung 4: CR-Glied als Differenzierer. Damit die Schaltung tatsächlich als ein Differenzierer arbeitet muss der Betrag der Ausgangsspannung klein gegenüber dem Betrag der Eingangsppanunng sein. Dann nämlich ist die Spannung u C (t) an der Kapazität etwa gleich der Eingangsspannung, damit folgt entsprechend der Bauteilgleichung der Kapazität i C (t) = Cd/dt. Dieser Strom durch den Kondensator verursacht im Widerstand wie gewünscht einen Spannungsabfall = R i C (t) RC d u 1(t) dt der proportional zur Ableitung der Eingangsspannung ist. Dabei ist RC = τ die Zeitkonstante des CR-Gliedes.

6 Laborpraktikum 6 Einfache RC-Schaltungen, Elektrizitätslehre II 6 Das CR-Glied funktioniert um so genauer wie ein Differnzierer, je grösser das Verhältnis des Betrags der Eingangsspanung zum Betrag der Ausgangsspannung ist. Für sinusförmige Eingangssignale erhält man mit einer zu Abschnitt analogen Überlegung die folgende Bedingung: Das CR-Glied funktioniert um so genauer wie ein Differenzierer, je mehr die Signalfrequenz f den Wert 1/τ unterschreitet. Mit ähnlichen Überlegungen findet man, dass für hohe Signalfrequenzen f 1/τ Ausgangs- und Eingangssignal ungefähr gleich sind. Fazit Das CR-Glied funktioniert um so genauer wie ein Differnzierer, je grösser das Verhältnis des Betrags der Eingangsspanung zum Betrag der Ausgangsspannung ist. Bei sinusförmigem Eingangssignal funktioniert das CR-Glied um so genauer wie ein Differenzierer, je mehr die Signalfrequenz f den Wert 1/τ unterschreitet. Bei sinusförmigen Signalfrequenzen f 1/τ sind Ausgangs- und Eingangssignal ungefähr gleich. 3 Versuchsdurchführung Messaufgaben 3.1 RC-Glied als Integrator Für die Durchführung dient die Schaltung, die in Abbildung 1 dargestellt ist. (a) In Abb. 5 sind zwei verschiedene Spannungsverläufe für angegeben. Überlegen Sie sich welche Form die Ausgangsspannung jeweils besitzt und zeichnen Sie diese in das darunterliegende Koordinatensystem ein. (b) Zeigen Sie mit mittelwertfreien, periodischen sinus-, dreieck- und rechteckförmigen Eingangsignalen u(t), dass die Schaltung als Integrator wirkt, wenn die Periodendauer T der Signale viel kleiner als die Zeitkonstante τ = RC der Schaltung ist. Quantifizieren Sie viel kleiner gegebenenfalls für jede Signalform separat.

7 Laborpraktikum 6 Einfache RC-Schaltungen, Elektrizitätslehre II 7 0 t 0 T t T 0 t 0 t Abbildung 5: Spannungen am Integrator. Versuch 2.7 2/5 U0 Figur 7.2 Periodische Mischspannung 0 V c) Benutzen Sie den Integrator b) Wie verhält um die sich Abbildung magnetische die Schaltung Flussdichte 6: bei Rechteck-Signal einem B(t) mittelwertbehafteten in einem Ferromagnetischen Gleichanteil Signal, wie Material z. B. dem Mischsignal messtechnisch zu bestimmen. gemäss Figur Damit 7.2? kann Hinweis: auch die Überlagerungssatz Hysteresekurve verwenden. dieses Materials mit einem KO im xy-betrieb dargestellt Simulieren werden (siehe Sie das Messchaltung Verhalten der gemäss Schaltung Figur mit 7.3). Matlab/Simulink und zeigen Sie, dass nach Abklingen einer transienten Phase die Schaltung ihre Funktion erfüllt. (d) Simulieren Sie das Verhalten der Schaltung mit Matlab und zeigen Sie, dass nach Abklingen i 1(t) einer transienten Phaseu1(t) die Schaltung R ihre Funktion erfüllt. Benutzen Sie dazu den Programmcode aus dem Laborpraktikum 2 - Kondensator und R 1 N N C u y(t) B(t) Kapazität. 1 2 b) Wie verhält sich die Schaltung bei einem mittelwertbehafteten Signal, wie z. B. dem Mischsignal gemäss Figur (c) 7.2? Wie Hinweis: verhält Überlagerungssatz sich die Schaltung verwenden. bei einem mittelwertbehafteten Signal, wie z. B. einem Rechteck-Signal wie in Abbildung 6? Hinweis: Überlagerungssatz verwenden. Phase die Schaltung ihre Funktion erfüllt. Simulieren Sie das Verhalten der Schaltung mit Matlab/Simulink und zeigen Sie, dass nach Abklingen einer transienten u1(t) Signalgenerator Figur 7.3 (e) Benutzen Sie den Integrator um die magnetische Flussdichte B(t) in einem ferromagnetischen Figur 7.2 Periodische Material Mischspannung messtechnisch zu bestimmen. Damit kann t auch die u x(t) H(t) 0 V Messchaltung Hysteresekurve c) zur Benutzen Darstellung Sie den dieses der Integrator BH-Hysterese Materials um die magnetische eines mit ferromagnetischen einem Flussdichte KOB(t) immaterials in xy-betrieb einem Ferromagnetischen dargestellt Material werden. messtechnisch Die entsprechende zu bestimmen. Messschaltung Damit kann auch die isthysteresekurve in Abbildung dieses 7 dargestellt. Materials mit einem Dabei KO gilt im xy-betrieb Für H(t) gilt: H( t) = N dargestellt 1i 1 ( t) = N werden (siehe Messchaltung gemäss 1 u x ( t) und für B(t): B( t) = RC Figur 7.3). u y ( t) l Fe l Fe R 1 N 2 A Fe Wichtige Bemerkungen: Signal- gene- Die Frequenz des Signalgenerators sollte je nach R 1 Messung N zwischen 50 und 150 Hz liegen. C rator 1 Der Messwiderstand R 1 zur Bestimmung der Stromstärke i 1 (t) wird stark belastet! 5 W Widerstände benutzen und nur kurzzeitig u belasten. (t) H(t) x i (t) Die Wahl von R und C beeinflusst den Pegel des Signals u y (t). Gegebenenfalls Werte anpassen, um einen akzeptablen Figur 7.3 Pegel Messchaltung mit einer dennoch zur Darstellung grossen der Zeitkonstante BH-Hysterese zu eines erhalten. ferromagnetischen Typische Werte: Materials Abbildung 7: Schaltung zur Bestimmung der Hysterese-Kurve. C zwischen 680 und 1000 nf, R zwischen 100 und 1000 kω. Für H(t) gilt: H( t) = N 1 i 1 ( t) = N 1 u x ( t) und für B(t): B( t) = RC u y ( t) Um die Primärwicklungen der Messobjekte nicht l Fe allzu l Fe stark R 1 zu belasten, bzw. zu zerstören, N 2 A Fe sollte die Hysterese nur bis zum Erreichen der Sättigung betrieben werden. Wichtige Bemerkungen: 1 t Versuch 2.7 2/5 U0 N 2 R u (t) B(t) y Die Frequenz des Signalgenerators sollte je nach Messung zwischen 50 und 150 Hz liegen. Der Messwiderstand R 1 zur Bestimmung der Stromstärke i 1 (t) wird stark belastet! 5 W Widerstände benutzen und nur kurzzeitig belasten.

8 Laborpraktikum 6 Einfache RC-Schaltungen, Elektrizitätslehre II 8 H(t) = N 1 l F e i 1 (t) = N 1 l F e R L u x (t) und B(t) = RC N 2 A F e u y (t) Wichtige Bemerkungen Die Frequenz des Signalgenerators sollte je nach Messung zwischen 50 und 150 Hz liegen. Der Messwiderstand R 1 zur Bestimmung der Stromstärke i 1 (t) wird stark belastet! Er sollte desshalb in der Grössenordnung von nur etwa 1 bis 2 Ω liegen, 5 W vertragen und nur kurzzeitig belastet werden. Die Wahl von R und C beeinflusst den Pegel des Signals u y (t). Gegebenenfalls Werte anpassen, um einen akzeptablen Pegel mit einer dennoch grossen Zeitkonstante zu erhalten. Typische Werte: C zwischen 680 und 1000 nf, R zwischen 50 kω und 500 kω. Um die Primärwicklungen der Messobjekte nicht allzu stark zu belasten, bzw. zu zerstören, sollte die Hysterese nur bis zum Erreichen der Sättigung betrieben werden. 3.2 RC-Glied als Differenzierer Für die Durchführung dient die Schaltung, die in Abbildung 4 dargestellt ist. (a) Zeigen Sie mit mittelwertfreien, periodischen sinus-, dreieck- und rechteckförmigen Eingangsignalen u(t), dass die Schaltung als Differenzierer wirkt, wenn die Periodendauer T der Signale viel grösser als die Zeitkonstante τ = RC der Schaltung ist. Quantifizieren Sie viel grösser gegebenenfalls für jede Signalform separat. (b) Simulieren Sie das Verhalten der Schaltung mit Matlab und zeigen Sie, dass nach Abklingen einer transienten Phase die Schaltung ihre Funktion erfüllt. Sie können dazu den Programmcode aus Abschnitt 3.1 Aufgabenpunkt (d) modifizieren. Verwenden Sie den Maschensatz, um aus u R (t) aus und zu bestimmen.

9 Laborpraktikum 6 Einfache RC-Schaltungen, Elektrizitätslehre II DC-Entkopplung Versuch 2.7 Bei sogenannten Mischsignalen besteht die Spannung aus einer mittelwertfreien, zeitlich veränderlichen Spannung u q (t) und einem konstanten Gleichanteil 3 DC-Entkopplung U q0. Möchte man nun den zeitlich veränderlichen Anteil der Spannung isoliert Bei sogenannten Mischsignalen bei denen zusätzlich zu einer periodischen, mittelwertfreien Wechselspannung u betrachten (das nennt man DC-Entkopplung) kann man dafür die nachfolgend abgebildete Schaltung verwenden. ohne die Gleichspannung Sofern diezu Frequenzen betrachten (DC-Entkopplung). des Wechselanteils hoch genug 1w (t) ein Gleichspannungsanteil 1 U 10 enthalten ist (u 1 (t) = U 10 + u 1W (t)), wünscht man gelegentlich nur den Wechselspannungsanteil Dies kann mit folgender Schaltung erreicht werden: 4/5 u q (t) R i C i(t) R U q0 Figur 7.5 DC-Entkopplung mit Kondensator Sofern die Frequenz hoch genug ist (T «τ), Abbildung wird der Wechselanteil 8: Schaltung des Kondensator-Ladestroms zur DC-Entkopplung. der Wechselspannung u 1w (t) zeitlich folgen und am Widerstand R ein entsprechendes Signal u 2 (t) u 1w (t) erzeugen. Der Gleichspannungsanteil U 10 hingegen wird über dem Kondensator "hängen", da für tiefe Frequenzen 2 der Aufladevorgang sind (ωτ des 1) Kondensators wird dieser Anteil dem zeitlichen am Ausgang Signalverlauf der Schaltung folgen kann. sichtbar, Die während der getrennte Betrachtungsweise für beide Spannungskomponenten ist wegen der Linearität der Schaltung 3 erlaubt (Superpositionsprinzip). Gleichanteil, wie im Theorieteil erklärt, nicht übertragen wird. Messaufgaben (a) Bestimmen Sie für sinusförmige Mischsignale ab welcher Frequenz die DC-EntkopplungMischsignale wirkt. Stellen ab welcher Sie dazu Frequenz Eingangs- die DC-Entkopplung und Ausgangssignal wirkt. für verschiedene Bestimmen Sie für sinusförmige Verwenden Sie auch andere Formen als sinusförmige für den Wechselanteil des Signals (z. B. Rechteck, Dreieck). Frequenzen in einer gemeinsamen Figur dar. Verwenden Sie auch andere Formen als sinusförmige für den Wechselanteil des Signals (z. B. Rechteck, Dreieck) Simulieren Sie das Verhalten der Schaltung mit Matlab/Simulink und zeigen Sie, dass nach Abklingen einer transienten Phase die Schaltung ihre Funktion erfüllt. (b) Beim Kathodenstrahloszillograph wird im AC-Modus eine DC-Entkopplung nach Beim Kathodenstrahloszillograph dem in Abb. wird 8im beschriebenen AC-Modus eine Prinzip DC-Entkopplung realisiert. Wie nach kann dem man obenden Wert des Entkopplungskondensators C und des Innenwiderstandes R des Oszilloskops mes- beschriebenen Prinzip realisiert. Wie kann man den Wert des Entkopplungskondensators des KO messtechnisch bestimmen? stechnisch bestimmen? Hinweis: Rechteckspannung im DC- und im AC-Modus Hinweis: Rechteckspannung im DC- und im AC-Modus betrachten und Frequenz verändern. betrachten und Frequenz verändern. 3.4 Benötigte Laborausrüstung Funktionsgenerator TG 5011A Multimeter Keysight 34450A 1 Der Gleichspannungsanteil eines (periodischen) Mischsignals x(t) entspricht dem linearen Digitaloszilloskop Mittelwert dieses Signals: X 0 = 1 T x( t)dt Tektronix TDS 2012C. T Das Integral ist dabei über Widerstandsdekaden die Periodendauer T zu bilden und entspricht der Fläche unter der Kurve x(t) zwischen den Abszissenwerten t 0 und t 0 +T. Zieht man den linearen Mittelwert von einem Mischsignal ab, so erhält man ein mittelwertfreies, rein wechselstromartiges Signal. 2 Gleichstrom hat die Frequenz Null. 3 Die Schaltung besteht nur aus linearen Elementen wie Widerstände und Kondensatoren. ZHAW, School of Engineering 12. Mai 2009, M. Schlup

10 Laborpraktikum 6 Einfache RC-Schaltungen, Elektrizitätslehre II Messobjekte Schnittbandkern Schnittbandkern (nach DIN 41309: SG 108/19, nach IEC: Q 9.1; Banddicke 0.33 mm) aus TRAFOPERM N2 mit zwei Wicklungen und einstellbarem Luftspalt (Abstandspapier: 0.05 mm / 0.1 mm), l F e = 25.9 cm, A F e = 2.87 cm 2, Wicklungen: N 1 = N 2 = 100, R Cu = 0.2 Ω Schnittbandkern(Dynamoblech) (l F e = 13 cm, A F e = 1.7 cm 2, N 1 = N 2 = 100) Toroid aus Permalloy F (l F e = 100 mm, A F e = 40 mm 2, N 1 = N 2 = 20, R Cu = 0.1 Ω, I max = 2 A)