Elektrische Schwingungen

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1 E5 Physiklisches Prktikum Elektrische Schwingungen Elektrische Schwingungen m Serien- und Prllelschwingkreis werden erzeugt und untersucht. Dbei sollen nterschiede zwischen den beiden Schltungen und Gemeinsmkeiten mit den mechnischen Schwingungen verdeutlicht werden.. Theoretische Grundlgen. Freie elektrische Schwingungen Lädt mn einen Kondenstor der Kpzität uf die Spnnung und entlädt ihn über eine prllel geschltete Spule der Induktivität L, so müssen zu jeder Zeit die Spnnungen m Kondenstor und n der Spule gleich groß sein: Q L I () Es ist Q die ktuelle Ldung uf einer Kondenstorpltte. m Q zu eliminieren, wird die zeitliche Ableitung von () gebildet: L I + I () Diese Differentilgleichung ht die gleiche Struktur wie die Schwingungsgleichung für einen mechnischen, hrmonischen Oszilltor. Die Stromstärke in der beschriebenen Schltung vollführt lso eine hrmonische Schwingung I i t ( t) I e (dbei ist nur der elteil I( t) e I ( t) physiklisch relevnt) mit der Eigenfrequenz (3). (4) L Gleiches gilt uch für die Spnnung. Die Prllelschltung von Spule und Kondenstor wird deshlb ls elektrischer Schwingkreis bezeichnet. Wie beim mechnischen Oszilltor tritt uch beim elektrischen Schwingkreis unvermeidlich eine Dämpfung uf, hier verurscht durch den Ohmschen Widerstnd der Leitungen. Dieser wirkt, ls ob er in eihe zu den nderen Buelementen geschltet ist. In () ist nun zusätzlich der Spnnungsbfll n zu berücksichtigen und mn erhält Q L I + I (5) Die zeitliche Ableitung von (5) führt wieder zu einer homogenen Differentilgleichung der Struktur, die uch im mechnischen Fll uftritt. L I + I + I (6) 6

2 E5 Elektrische Schwingungen Physiklisches Prktikum Der Vergleich mit dem mechnischen Fll ergibt für den Dämpfungsfktor des elektrischen Schwingkreises δ (7) L Ds Verhlten des Schwingkreises hängt wie im mechnischen Fll von der Stärke der Dämpfung b. Der Versuch beschränkt sich uf den schwch gedämpften Fll (δ < ), in dem die Lösung von (6) eine hrmonische Schwingung mit exponentiell bklingender Amplitude ergibt δ t id I t I e e (8) ( ) t mit der nun verringerten Eigenfrequenz δ D. (9) Die Teilspnnungen n jedem der Buelemente führen ebenflls hrmonische Schwingungen us, llerdings mit einer Phsenverschiebung gegenüber dem Strom.. Erzwungene Schwingungen im Serienschwingkreis Eine Möglichkeit zur Erzeugung erzwungener elektrischer Schwingungen ist die in Bild drgestellte L-Serienschltung. Bei einer Erregerspnnung Bild : eihenschltung von, L und Z I ( L ) + Z L + Z + i ( t) + i ( t) Die Amplitude des Stroms ( L ) : t ( ) e i t () ergibt sich die Stromstärke im eingeschwungenen Zustnd gemäß dem ohmschen Gesetz durch Division mit dem komplexen Widerstnd () I + ( L ) () wird mximl, wenn die Erregerfrequenz gleich der Eigenfrequenz des ungedämpften Kreises ist:, I mx (3) L D der Nenner von () in diesem Fll reell ist, fließt der Strom in Phse mit der Erregerspnnung. Die Schltung lässt lso bevorzugt Wechselstromsignle einer bestimmten Frequenz pssieren. Mn nennt sie deshlb Siebkette. - -

3 E5 Elektrische Schwingungen Physiklisches Prktikum Die Spnnung m Kondenstor der Siebkette ist ( t) I ( t) i i ( t) ( L ) (4) Sie ht die Amplitude, + ( L ) (5) m zu bestimmen, für welche Erregerfrequenz die Spnnung mximl wird (Spnnungsresonnz), wird die Ableitung des Nenners von (5) gleich gesetzt und es ergibt sich: L, δ (6) mx Die Phsendifferenz α zwischen der Erregerspnnung und der Spnnung m Kondenstor ergibt sich us der Drstellung der Teilspnnungen in der komplexen Ebene. Es ist tn α (7) L Ein wichtiges Mß für die Trennschärfe eines Schwingkreises ist die Hlbwertsbreite der esonnzkurve. Mn versteht drunter den Abstnd der beiden Frequenzen, bei denen die Amplitude uf ds -fche ihres Mximlwertes bgesunken ist. Der Quotient Q f f e s (8) heißt Güte des Schwingkreises..3 Erzwungene Schwingungen im Prllelschwingkreis Von Bedeutung für technische Anwendungen ist noch der Prllelschwingkreis (Bild ). Die Stromstärke in den Zuleitungen zu dem Schwingkreis ist bhängig von der Frequenz der Erregerspnnung (). Für den komplexen Erstzwiderstnd der Schltung gilt Bild : Schltung eines Prllelschwingkreises + mit Z Z Z L + i Z Z L i L. (9) - 3 -

4 E5 Elektrische Schwingungen Physiklisches Prktikum Der Betrg des Erstzwiderstndes ist: Z + L + ( L ) () Setzt mn << L vorus, so ergibt sich sein Mximum für () L d.h., wenn die Frequenz der von ußen ngelegten Spnnung gleich der Eigenfrequenz des ungedämpften Kreises ist. In diesem Fll ist der Strom in den Zuleitungen miniml. Aus diesem Grund wird der Prllelschwingkreis uch Sperrkreis gennnt. Bei nicht vernchlässigbrem ist die esonnzfrequenz wieder zu kleineren Frequenzen verschoben..versuch. Vorbetrchtung Aufgbe: Eine Sinusspnnung ht eine Frequenz von 5Hz (bei t ; u ). Zum Zeitpunkt t,ms beträgt der Augenblickswert u,5v. Bestimmen Sie Mximl- und Effektivwert. Aufgbe : Eine Wechselspnnung der Form ( t) sin( t + ϕ) mx ht eine Periodenduer von T 36µs (> π 36 ). Zum Zeitpunkt t 5µs beträgt die Spnnung 5,V, zum Zeitpunkt t 75µs beträgt die Spnnung,V. Bestimmen Sie die mximle Spnnung mx und den Phsenwinkel ϕ. Hinweis: Dividieren Sie die Spnnungsfunktionen und berücksichtigen Sie ds Additionstheorem sin x + y sin x cos y + cos x sin. ( ) y. Versuchsdurchführung.. Verwendete Geräte Funktionsgenertor und Zähler in einem Gehäuse, Oszilloskop, Vielfchmessinstrument, Kondenstoren, Spulen, Widerstände, Aufbupltte.. Versuchshinweise Aufgbe : Freie Schwingungen Stellen Sie die freie schwch gedämpfte Schwingung eines Schwingkreises mit Hilfe eines Oszilloskops dr. Bestimmen Sie us dem Schwingungsverluf bei gegebener Kpzität die Induktivität L und den Ohmschen Widerstnd L der Spule. Hinweis: Bedienungsnleitungen für lle benötigten Messgeräte befinden sich m Arbeitspltz

5 E5 Elektrische Schwingungen Physiklisches Prktikum Bild 3: Versuchsufbu Oszilloskop: Triggerung durch Genertor Kopplung: Spulen nebeneinnder ufbuen Verwenden Sie zur periodischen Anregung des Schwingkreises einen Impulsgenertor (echteckgenertor, f Hz) und koppeln Sie ihn induktiv n die Schwingkreisspule n (Bild 3). Die Frequenz dieser Anregung muß klein sein gegen die Eigenfrequenz des Schwingkreises (Wrum?). Lesen Sie m Oszilloskop zunächst die Schwingungsduer T des Schwingkreises unter Verwendung der klibrierten Zeitbsiseinstellung b (zur Bestimmung von f D und D ). Schätzen Sie die uftretende Abweichung b. Bestimmen Sie dnch die Amplitude in Abhängigkeit von t t/t. Lesen Sie dzu die Spnnungswerte Spitze-Spitze ( S ) entsprechend der Eingngseinstellung des Oszilloskops für die ersten 5- Perioden b. Aufgbe : Erzwungene Schwingungen m Serienschwingkreis Nehmen Sie für verschiedene Dämpfungen die Spnnungs-esonnzkurve beim Serienschwingkreis uf und bestimmen Sie die Güte. Verwenden Sie bei den Messungen zu den erzwungenen Schwingungen eine sinusförmige Erregerspnnung mit konstnter Amplitude. Vriieren Sie die Frequenz von ( 8)kHz, mit einer Schrittweite von khz. Ermitteln Sie die esonnzfrequenz f es. Messen Sie je 3 weitere Messwerte mit einer Schrittweite von Hz links bzw. rechts vom esonnzmximum. Nehmen Sie die esonnzkurve für eff (t) (gemessen mit einem Multimeter) für die Widerstände Ω und 56Ω uf. Aufgbe 3: Erzwungene Schwingungen m Prllelschwingkreis ntersuchen Sie die Frequenzbhängigkeit der Stromstärke in den Zuleitungen zu einem Prllelschwingkreis. m eine ückwirkung des Schwingkreises uf die Ausgngsmplitude und uf die Wellenform des Funktionsgenertors weitgehend zu verhindern, verwenden Sie hier zur Strombegrenzung den Widerstnd V (Aufbu siehe Bild 5)

6 E5 Elektrische Schwingungen Physiklisches Prktikum Bestimmen Sie den Strom des Prllelschwingkreises über den Spnnungsbfll n V (Vielfchmessinstrument verwenden). Vriieren Sie die Frequenz von (3 6)kHz, mit einer Schrittweite von 5Hz. Ermitteln Sie die esonnzfrequenz f es. Messen Sie je 5 weitere Messwerte mit einer Schrittweite von Hz links bzw. rechts vom esonnzmximum..3 Versuchsuswertung Aufgbe : Freie Schwingungen Bild 5: Versuchsufbu zu Aufgbe 3 Stellen Sie die Abhängigkeit uf hlblogrithmischem Ppier ls Funktion S f (n T) dr ( SS logrithmisch). Berechnen Sie us dem Anstieg der Kurve die Dämpfungskonstnte δ. Die Gleichung dzu lutet (Sie ist us Gleichung (8) herleitbr z.b. n und n ): δ 9 T e () Berechnen Sie unter Verwendung von Gleichung (9), (7) und (4) (Abweichung zu D in % ebenflls ngeben), L und L. Schätzen Sie die jeweiligen Messunsicherheiten unter Verwendung festzulegender Fehlerblken in der Drstellung S f (n) b. Aufgbe : Erzwungene Schwingungen m Serienschwingkreis Stellen Sie die beiden esonnzkurven mit Angbe von esonnzfrequenz und Hlbwertsbreite in einem Digrmm der Funktion u f(f) grphisch dr. Zeichnen Sie eff ein und bestimmen Sie drus grphisch für beide esonnzkurven den Wert für f und die esonnzfrequenz f es. Berechnen Sie die sich ergebende Güte (8) der Schwingkreise. Diskutieren Sie die Ergebnisse, insbesondere die gemessenen esonnzfrequenzen, in ihren Abhängigkeiten. Aufgbe 3: Erzwungene Schwingungen m Prllelschwingkreis Bestimmen Sie die esonnzfrequenz gesondert. Stellen Sie die esonnzkurve u f(f) ebenflls grphisch dr. Zeichnen Sie eff ein und bestimmen Sie drus grphisch für beide esonnzkurven den Wert für f und die esonnzfrequenz f es. Berechnen Sie für diesen Fll ebenflls Güte des Schwingkreises. Diskutieren Sie ds Ergebnis

7 E5 Elektrische Schwingungen Physiklisches Prktikum 3. Ergänzung 3. Vertiefende Frgen Welche Zustände eines Prllelschwingkreises entsprechen den verschiedenen Zuständen eines schwingenden Fden- oder Federpendels mit äußerer Anregung? Leiten Sie us der Gleichung (5) b, dss die Spnnungsüberhöhung im esonnzfll, δ (3) ist und sich bei kleinen Dämpfungsfktoren die Hlbwertsbreite der esonnzkurve zu ergibt. δ (4) - 7 -