Klausur zur Vorlesung Grundbegriffe der Informatik 14. September 2015 Lösungsvorschläge

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1 Klausur zur Vorlesung Grundegriffe der Informatik 14. Septemer 2015 svorschläge Klausurnummer Nachname: Vorname: Matr.-Nr.: Diese Klausur ist mein 1. Versuch 2. Versuch in GBI -Adr.: nur falls 2. Versuch Aufgae max. Punkte tats. Punkte Gesamtpunktzahl: Note:

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3 Aufgae 1 ( = 7 Punkte) Punkte a) Für welche Zahlen k N 0 ist die folgende Aussage richtig: Jeder gerichtete Graph, in dem jeder Knoten Ausgangsgrad k hat, ist nicht streng zusammenhängend. Die Aussage ist für kein k richtig. Zur Ihrer Information: Für k N + ist die Aussage falsch, da der gerichtete Graph mit k Knoten und einer gerichteten Kante von jedem zu jedem Knoten streng zusammenhängend ist. Für k = 0 ist die Aussage falsch für den Graphen mit nur einem Knoten und keiner Kante. ) Es sei L die formale Sprache aller Wörter w {a, } + mit der Eigenschaft, dass in w die Teilwörter a und a gleich oft vorkommen. Ist L regulär? ja Begründen Sie kurz Ihre Antwort: Die Teilwörter a und a kommen streng awechselnd vor. Damit deren Anzahl gleich ist, müssen das erste und das letzte solche Teilwort verschieden sein. Das kann ein endlicher Akzeptor üerprüfen. Oder ein regulärer Ausdruck eschreien: (aa**)*aa* (*aa*)** c) Zeichnen Sie einen gerichteten Graphen G = (V, E) mit 4 Knoten, der die Eigenschaft hat: x V y V : (x, y) E (y, x) E d) Begründen Sie, warum gilt: Wenn L 1 und L 2 reguläre Sprachen sind, dann ist auch L 1 L 2 eine reguläre Sprache. Eine formale Sprache ist genau dann regulär, wenn ein regulärer Ausdruck existiert, der sie erkennt. Sind L 1 und L 2 reguläre Sprachen, so existieren reguläre Ausdrücke R 1 und R 2, die die entsprechende Sprache erkennen. Da der reguläre Ausdruck R 1 R 2 die formale Sprache L 1 L 2 erkennt, ist letztere regulär. 3

4 Punkte Aufgae 2 ( = 8 Punkte) Ein ungerichteter Graph U = (V, E) heißt ipartit, falls es Teilmengen T 1 V und T 2 V git mit den Eigenschaften T 1 T 2 = { } (leere Menge) T 1 T 2 = V für jede Kante {x, y} E ist x T 1 y T 2 oder x T 2 y T 1. a) Geen Sie explizit für jeden der eiden folgenden Graphen passende Teilmengen T 1 und T 2 wie oen so an, dass jeweils klar ist, dass der Graph ipartit ist: U 1 : a c e f g U 2 : a c f e d d T 1 = {a,, c, d} T 2 = {e, f, g} T 1 = {a, c, e} T 2 = {, d, f} ) Zeichnen Sie einen ungerichteten Graphen, der nicht ipartit ist: c) Begründen Sie, warum jeder ungerichtete Baum ipartit ist. Es sei G = (V, E) ein ungerichteter Baum. Wir wählen eine Wurzel w V. Für jeden Knoten v V heißt 1 plus die Länge des kürzesten Weges von w nach v Tiefe von v. Die Wurzel hat also Tiefe 1, die zur Wurzel adjazenten Knoten Tiefe 2, und so weiter. Die Menge T 1 enthalte genau jene Knoten deren Tiefe ungerade ist und die Menge T 2 genau jene deren Tiefe gerade ist. Diese zwei Mengen sind Zeugen dafür, dass der Baum G ipartit ist. 4

5 d) Es sei n = 2k, k N +, eine positive gerade Zahl. Geen Sie einen ungerichteten Graphen mit n Knoten an, der ipartit ist und möglichst viele Kanten esitzt. Es sei V die Menge Z n. Weiter seien T 1 und T 2 die Mengen Z k zw. V \ Z k. Diese partitionieren V und enthalten jeweils k Knoten. Ferner sei E die Menge {{x, y} (x T 1 y T 2 ) (x T 2 y T 1 )}. Der Graph G = (V, E) ist ipartit und hat unter allen ipartiten Graphen mit n Knoten die größte Anzahl Kanten, nämlich k 2 viele. 5

6 Punkte Aufgae 3 (4 Punkte) Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für jedes n N + gilt: ( n 2 i) = i 3 Hinweis: n i = n(n + 1)/2. Induktionsanfang. Für n = 1 gilt ( n 2 i) = 1 2 = 1 = 1 3 = i 3. Induktionsschritt. Es sei n N + derart, dass die Induktionsvoraussetzung ( n 2 i) = i 3 gilt. Dann gilt ( n+1 2 ( n i) = i + (n + 1) ) 2 ( n 2 ( n ) = i) + 2 i (n + 1) + (n + 1) 2 I.V. = Hinweis = = = i 3 n(n + 1) + 2 (n + 1) + (n + 1) 2 2 i 3 + n(n + 1) 2 + (n + 1) 2 i 3 + (n + 1)(n + 1) 2 i 3 + (n + 1) 3 n+1 = i 3. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt die Aussage für jedes n N +. 6

7 Aufgae 4 (2 + 2 = 4 Punkte) Punkte Es seien die eiden formalen Sprachen L 1 = {a k m c k+m k, m N + } und L 2 = {ccc} + gegeen. a) Geen Sie einen Homomorphismus von {a,, c} nach {c} so an, dass jedes Wort aus L 2 Bild mindestens eines Wortes aus L 1 ist. Der Homomorphismus ϕ sei induktiv definiert durch ϕ: {a,, c} {c}, a c, ε, c ε, x {a,, c} w {a,, c} : x w ϕ(x) ϕ(w). Für jedes Wort w L 2 existiert ein k N + so, dass w = (ccc) k = c 3k und somit ildet ϕ jedes Wort aus L 2 der Gestalt a 3k m c 3k+m auf w a. ) Begründen Sie, warum es keinen Homomorphismus von {c} nach {a,, c} git, der jedes Wort aus L 2 auf ein Wort aus L 1 aildet. Es sei ϕ ein Homomorphismus von {c} nach {a,, c}. Weiter sei w = ϕ(c). Es gilt ϕ(ccc) = w w w. Im Falle w = ε gilt ϕ(ccc) = ε / L 1. Im Falle w = ε gilt ϕ(ccc) = w w w / L 1, da kein Wort in L 1 eine Zerlegung dieser Form esitzt. Oder: Wenn w = ϕ(ccc) L 1 ist, dann eginnt w mit einem a und endet mit einem c. Dann enthält aer ϕ(cccccc) = ww in der Mitte das Teilwort ca, das in keinem Wort aus L 1 vorkommt. 7

8 Punkte Aufgae 5 ( = 8 Punkte) Auf der Menge M = N 0 N 0 aller Paare nichtnegativer ganzer Zahlen wird eine inäre Relation wie folgt definiert: (a, ) M (c, d) M: (a, ) (c, d) a + d = + c Diese Relation ist reflexiv und symmetrisch. a) Zeigen Sie, dass die Relation transitiv ist. Es seien (a, ), (c, d) und (e, f) M derart, dass (a, ) (c, d) und (c, d) (e, f). Dann gelten a + d = + c und c + f = d + e. Somit gilt a + f = + e (a + f) + d = ( + e) + d (a + d) + f = + (d + e) ( + c) + f = + (c + f) ( + c) + f = ( + c) + f 0 = 0. Da 0 = 0 wahr ist, gilt a + f = + e. Damit gilt (a, ) (e, f). Insgesamt folgt, dass transitiv ist. ) Welche Paare (a, ) sind in der Äquivalenzklasse [(0, 0)] von (0, 0) ezüglich? Alle geordneten Paare der Gestalt (a, a) mit a N 0. c) Zeigen Sie: Wenn (a, ) (c, d) ist und (x, y) (u, v), dann ist auch (a + x, + y) (c + u, d + v). Es seien (a, ) (c, d) und (x, y) (u, v). Dann gilt (a + x) + (d + v) = (a + d) + (x + v) Somit gilt (a + x, + y) (c + u, d + v). = ( + c) + (y + u) = ( + y) + (c + u). d) Definieren Sie eine inäre Operation auf der Menge M/ der Äquivalenzklassen so, dass die Aussage in Teilaufgae c) gerade sicherstellt, dass wohldefiniert ist. 8

9 : M/ M/ M/, ([(a, )], [(x, y)] ) [(a + x, + y)]. e) Geen Sie für ein elieiges (a, ) M ein (c, d) M an mit [(a, )] [(c, d)] = [(0, 0)] Eine ist (c, d) = (, a). 9

10 Punkte Aufgae 6 ( = 8 Punkte) a) Geen Sie einen endlichen Akzeptor an, der die formale Sprache erkennt, die durch den regulären Ausdruck (a)*(aa)* eschrieen wird. a a a A B C D a E a, ) Geen Sie eine kontextfreie Grammatik an, die die formale Sprache L = {a k m+k c m+l d l k, l, m N 0 } erzeugt. G = (N, T, S, P) mit N = {S, X, Y, Z}, T = {a,, c, d} und P = {S XYZ, X ax ɛ, Y Yc ɛ, Z czd ɛ}. c) Zeichnen Sie den Aleitungsaum des Wortes accccdd für Ihre Grammatik aus Teilaufgae ). S X Y Z a X Y c c Z d ε Y c c Z d ε ε 10

11 d) Git es einen regulären Ausdruck, der die formale Sprache aus Teilaufgae ) eschreit? Nein. 11

12 Punkte Aufgae 7 ( = 8 Punkte) Gegeen sei die folgende Turingmaschine T mit Bandalphaet X = {a,, }: a ar R B R C L a R A R E a al L R a ar R D L Eingae sei jeweils ein w {a, } + umgeen von Blanksymolen. Der Kopf der Turingmaschine stehe zu Beginn stets auf dem ersten Symol von w. a) Notieren Sie für das Eingaewort aa, welches Wort aus {a, } + jeweils auf dem Band steht, wenn die TM T zum ersten, zweiten, dritten und vierten Mal von Zustand E nach Zustand A üergeht. 1. aa 2. a Hinweis: Auf welchen Feldern das Wort jeweils steht, ist gleichgültig, wichtig sind nur die Folgen der a und. 12

13 ) Erklären Sie, warum sich für jedes Eingaewort die Liste der Bandeschriftungen ei den Üergängen von Zustand E nach Zustand A (wie in Teilaufgae a) vorne) nach hinreichend vielen Durchläufen nicht mehr ändert. (a) Wenn das erste Symol ein ist, wird es am Anfang gelöscht und am Ende angefügt. Die Anzahl der a und ändert sich also nicht. () Wenn das erste Symol ein a ist, wird es am Anfang gelöscht und am Ende werden zwei angefügt. Die Anzahl der a wird also um 1 kleiner und die der um 2 größer. Wegen des Löschens am Anfang und des Anfügens am Ende wird jedes der ursprünglichen Symole irgendwann etrachtet. Also sind irgendwann alle a gelöscht. A diesem Zeitpunkt ändert sich das Wort eim Üergang E A nicht mehr. c) Ändern Sie die TM T so a, dass sie für jedes Eingaewort nach endlich vielen Schritten hält und für jedes Eingaewort nach dem Halten das gleiche Wort auf dem Band steht wie ei der ursprünglichen TM T, wenn sich das Wort, das eim Üergang von Zustand E nach Zustand A auf dem Band steht, nicht mehr ändert. Geen Sie die neue TM an, indem Sie nachfolgendes Diagramm vervollständigen: a ar R B R C L a R A R F a al E L R a al L a ar R D L 13