Graphische Datenverarbeitung. Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinatensysteme. Prof. Dr. Elke Hergenröther. h_da

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Stefan Adenauer
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1 Gaphische Datenveabeitung Pola-, Zylinde- und Kugelkoodinatensysteme Pof. D. Elke Hegenöthe h_da

2 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Koodinatensysteme zu Dastellung geometische Daten: Katesisches Koodinatensystem Beispiel fü ein echts- und ein linkshändiges Katesischen Koodinatensystems Polakoodinatensystem Zylindekoodinatensystem Kugelkoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 2

3 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Wozu baucht man Polakoodinatensysteme? In de Mathematik baucht man Polakoodinatensysteme, um alles was auf eine Keisobefläche passiet einfache bescheiben zu können. In de Compute Gaphik baucht man Polakoodinatensysteme, um einfache zwei dimensionale keisunde Geometien modellieen zu können. Beispielsweise eine unde Platte fü einen Tisch, eine Spiale, Blüten eine Pflanze Pof. D. Elke Hegenöthe 3

Es ist einfache geade (ode annähend geade)

4 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Wozu baucht man Polakoodinatensysteme? In de Bildveabeitung baucht man ein Polakoodinatensystem, weil es aus unden Kontuen eckige macht. Es ist einfache geade (ode annähend geade) Kanten zu detektieen als gebogene Kanten. Figuen im Katesischen Koodinatensystem und im Polakoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 4

5 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Modellieung eines 2D-Keises in Katesischen Koodinatensystem In OpenGL weden alle dazustellenden Objekte duch ein Deiecksgitte angenähet! Fü die Modellieung eine Keisfläche bedeutet das:... Man kann den Keis annähen duch 4, 8,... etc. Deiecke. Ab wie vielen Deiecken wid eindeutig ekannt, dass eine Keis dagestellt wid? Besse man bescheibt einen Keis nicht anhand einzelne Deiecke sonden duch eine Funktion. Pof. D. Elke Hegenöthe 5

6 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Funktionen zu Modellieung eines Keises im Katesischen Koodinatensystem Wenn de Mittelpunkt des Keises im Uspung des Katesischen Koodinatensystems liegt, weden die -und y-wete de Punkte auf de Keislinie duch die folgenden Funktionen bestimmt: y p = * cos(α) y p = * sin(α) mit (0 <= α<= 2π) y p α p P Fazit: Zu eindeutige Bescheibung eines Keises genügt die Angabe des voausgesetzt de Mittelpunkt des Keises liegt im Uspung. Zu eindeutigen Bestimmung einzelnepunkte, die auf de Keislinie liegen, kann de αgenutzt weden. Pof. D. Elke Hegenöthe 6

7 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Punkt P dagestellt im Katesischen-und im Polakoodinatensystem y α P α P Katesisches Koodinatensystem Polakoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 7

8 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Stecke zu P dagestellt im Katesischen-und im Polakoodinatensystem y α P α P Katesisches Koodinatensystem Polakoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 8

9 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Außenkante eines Keises dagestellt im Katesischen-und im Polakoodinatensystem y α 2π = Katesisches Koodinatensystem Polakoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 9

10 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Stecke auf de -Achse -von Uspung bis Außenkante des Keises -dagestellt im Katesischen-und im Polakoodinatensystem y α 2π Katesisches Koodinatensystem Polakoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 10

11 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Stecke auf de -Achse -von Uspung bis 2πdagestellt im Pola-und im Katesischen Koodinatensystem y α 2π Katesisches Koodinatensystem Polakoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 11

12 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Keis mit dem /2 dagestellt im Katesischen-und im Polakoodinatensystem y /2 /2 2π Katesisches Koodinatensystem Polakoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 12

13 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Keisfläche dagestellt im Katesischen-und im Polakoodinatensystem y 2π Katesisches Koodinatensystem Polakoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 13

14 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Keisfläche dagestellt im Katesischen-und im Polakoodinatensystem y 1,5π 2π = Katesisches Koodinatensystem Polakoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 14

15 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Spiale dagestellt im Katesischen-und im Polakoodinatensystem Die Spiale wid duch eine 5-malig Dehung entgegen des Uhzeigesinns ezeugt. y 3 10π Katesisches Koodinatensystem Polakoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 15

16 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Umechnung vom Pola-und ins Katesische Koodinatensystem y y α P=(,y) 2π Katesisches Koodinatensystem Polakoodinatensystem = * cos α y= * sin α Pof. D. Elke Hegenöthe 16

17 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Umechnung vom Katesischen-und ins Polakoodinatensystem y y α 2π Katesisches Koodinatensystem Polakoodinatensystem α = actan (y / ) = 2 y 2 Pof. D. Elke Hegenöthe 17

18 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Koodinatensysteme zu Dastellung geometische Daten: Katesisches Koodinatensystem Beispiel fü ein echts- und ein linkshändiges Katesischen Koodinatensystems Polakoodinatensystem Zylindekoodinatensystem Kugelkoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 18

19 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Wozu baucht man Zylindekoodinatensysteme? Hohlzylinde (Wikipedia) gomoe.net/bl ue-vaseclipat/ Zylindekoodinatensysteme baucht man zum Modellieen alle Objekte mit zylindischem Uspung. Pof. D. Elke Hegenöthe 19

20 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Vom Katesischen zum Zylindekoodinatensystem Z Z Y 2π X Katesisches Koodinatensystem Zylindekoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 20

21 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Vom Katesischen zum Zylindekoodinatensystem h Z Die Höhenwete (Z-Koodinaten) sind in beiden Koodinatensystemen gleich h Z Entspicht dem Deckel des Zylindes Entspicht de Z-Achse von 0 bis h Entspicht dem Zylindemantel Y 2π X Katesisches Koodinatensystem Zylindekoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 21

22 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Vom Katesischen zum Zylindekoodinatensystem Z Tansfomation des Hohlköpes vom Katesischen ins Zylindekoodinatensystem Z h Y 2π R X Katesisches Koodinatensystem Zylindekoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 22

23 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Umechnung vom Katesischen ins Zylindekoodinatensystem Z Z h h X Katesisches Koodinatensystem Y 2π α = actan (y / ) = 2 y z = z 2 Zylindekoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 23

24 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Umechnung vom Zylinde-ins Katesische Koodinatensystem Z Z h h Y 2π X Katesisches Koodinatensystem = * cos α y= * sin α z = z Zylindekoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 24

25 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Koodinatensysteme zu Dastellung geometische Daten: Katesisches Koodinatensystem Beispiel fü ein echts- und ein linkshändiges Katesischen Koodinatensystems Polakoodinatensystem Zylindekoodinatensystem Kugelkoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 25

26 GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Motivation Kugelkoodinatensystem Wieviele Paamete benötigt man um einen Punkt im Kugelkoodinatensystem eindeutig bestimmen zu können? Pof. D. Elke Hegenöthe 26

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