Hyperbolische Symmetrien
|
|
|
- Jakob Schneider
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Hyperbolische Symmetrien Nina Dietsche Robert Papin Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
2 Hyperbolische Symmetrien 2 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
3 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 Modelle der hyperbolischen Geometrie 3 Isometrien und Möbiustransformationen 4 Hyperbolische Spiegelungen 5 Hyperbolische Ornamente 3 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
4 1 Einführung 1 Euklids Werk Elemente 2 Euklids 5 Postulate 3 Notwendigkeit des 5. Postulats 4 Nichteuklidische Geometrie 4 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
5 1.1 Euklids Werk Elemente besteht aus 13 Lehrbüchern baut auf insgesamt 23 Definitionen und 5 Postulaten (Axiome der euklidischen Geometrie) auf, aus denen alle 465 Sätze hergeleitet werden Abbildung: Euklid von Alexandria ca. 360 bis ca. 280 v. Chr. Abbildung: Papyrusfragment der Stoicheia (Buch 2) 5 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
6 1.2 Euklids 5 Postulate (1) 1 Es ist möglich, eine Gerade von jedem beliebigen Punkt zu einem anderen Punkt zu zeichnen. 2 Es ist möglich, eine Gerade beliebig zu erweitern. 3 Es ist möglich, einen Kreis mit beliebigem Mittelpunkt und Radius zu zeichnen. 4 Alle rechten Winkel sind gleich. 6 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
7 1.2 Euklids 5 Postulate (2) 5 Wenn eine Gerade zwei Geraden schneidet und die Innenwinkel auf der gleichen Seite (in der Summe) weniger als zwei rechte Winkel sind, so treffen sich die zwei Geraden auf der Seite, auf der die Winkel weniger als zwei rechte Winkel sind (Parallelenpostulat). 7 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
8 1.3 Notwendigkeit des Parallelenpostulats (1) Zentrale Frage: Ist das Parallelenpostulat für die Definition der euklidischen Geometrie entbehrlich? (Parallelenproblem) Versuche scheiterten, da diese alle Aussagen verwendeten, die äquivalent zum Parallelenpostulat sind 8 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
9 1.3 Notwendigkeit des Parallelenpostulats (2) Gauß erkannte als Erster, dass das Problem grundsätzlich unlösbar ist, veröffentlichte seine Erkenntnisse aber nicht Bolyai (von Gauß beeinflusst) und Lobatschewski gelang 1826 (unabhängig voneinander und fast zeitgleich) die Konstruktion einer Geometrie aus den Postulaten 1 bis 4, in denen das 5. Postulat nicht gilt Geometrie, die nur auf den ersten 4 Postulaten aufbaut, heißt auch absolute Geometrie. 9 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
10 1.4 Nichteuklidische Geometrien (1) Man erhält nichteuklidische Geometrien, indem man das Parallelenpostulat aus dem Axiomensystem abändert. Die grundlegenden Änderungsmöglichkeiten sind: 1 Zu Gerade g und Punkt P außerhalb der Geraden gibt es keine Parallele zu g durch P. Zwei verschiedene Geraden in einer Ebene schneiden sich also immer. Das führt zu einer elliptischen Geometrie (Anschauliches Modell: S 2 ) 2 Zu einer Geraden g und einem Punkt P außerhalb der Geraden gibt es mindestens zwei Geraden h und i, die durch P gehen und zu g parallel sind. Das führt zu einer hyperbolischen Geometrie. 10 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
11 1.4 Nichteuklidische Geometrien (2) Elliptische Geometrie (zweidimensional, veranschaulicht durch die Geometrie auf einer Kugeloberfläche): Die Winkelsumme im Dreieck ABC := α + β + γ > Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
12 1.4 Nichteuklidische Geometrien (3) Hyperbolische Geometrie: Abbildung: Zu d existieren unendlich viele parallele Geraden durch A Abbildung: Die Winkelsumme im Dreieck ABC := α + β + γ < Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
13 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 Modelle der hyperbolischen Geometrie 3 Isometrien und Möbiustransformationen 4 Hyperbolische Spiegelungen 5 Hyperbolische Ornamente 13 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
14 2 Modelle der hyperbolischen Geometrie 1 Grundlegendes 2 H + -Modell 3 Poincaré sches Einheitskreisscheibenmodell E 4 Beltrami-Klein Modell 14 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
15 2.1 Grundlegendes Es gibt nur eine abstrakte hyperbolische Geometrie, aber mehrere mögliche Modelle, diese darzustellen. Es ist möglich, zwischen diesen Modellen umzurechnen. Aussagen in rein hyperbolischer Geometrie sind vom verwendeten Modell unabhängig. 15 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
16 2.2 H + (1) 16 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
17 2.2 H + (2) H + S 2 Form der Grundfläche Einheitshyperbel x 2 y 2 = 1 Einheitskreis x 2 + y 2 = 1 parametrisiert durch (cosh(t), sinh(t)), t R (cos(t), sin(t)), t R quadratische Form σ(x, y) := x 0 y 0 x 1 y 1 x 2 y 2 σ(x, y) := 2 i=0 x i y i Punktmenge R 3 H + := {x R 3 ; q(x) = 1, x 0 > 0} S 2 := {x R 3 ; q(x) = 1} Metrik d(x, y) := arcosh(σ(x, y)) d(x, y) := arccos(σ(x, y)) für x = x 0 x 1 x 2, y = y 0 y 1 y 2 H + bzw. S 2 und q(x) := σ(x, x) 17 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
18 2.2 H + (3) H + := {x R 3 ; q(x) = 1, x 0 > 0} R 3 Die hyperbolischen Geraden in H + sind die nichtleeren Schnitte von zweidimensionalen Untervektorräumen des R 3 mit H +, d.h. Hyperbeln. 18 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
19 2.3 Poincaré sches Einheitskreisscheibenmodell E (1) Idee: Bilde H + -Modell auf eine Teilmenge des R 2 ab, die Einheitskreisscheibe E:= {x = (x 1, x 2 ) R 2 ; x < 1} E ergibt sich durch die Zentralprojektion von ( 1, 0, 0) auf die (x 1, x 2 )-Ebene. 19 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
20 2.3 Poincaré sches Einheitskreisscheibenmodell E (2) Die hyperbolischen Geraden in E sind entweder Kreisbögen in E, die den Rand von E senkrecht schneiden, oder Durchmesser von E. hyperbolische Winkelmessung entspricht der euklidischen Winkelmessung (Winkel zwischen zwei Kreisbögen werden über deren Tangenten am Schnittpunkt bestimmt) 20 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
21 2.3 Poincaré sches Einheitskreisscheibenmodell E (3) Metrik: hyperbolische Längenmessung erfolgt durch eine spezielle Distanzfunktion: der hyperbolische Abstand von A und B wird mit Hilfe des (komplexen) Doppelverhältnisses (a, b, p, q) definiert: d(a, B) := ln( (a q) (b p) (b q) (a p) ) 21 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
22 2.3 Poincaré sches Einheitskreisscheibenmodell E (4) drei Durchmesser von E (links), drei Kreisbögen (rechts) 22 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
23 2.4 Beltrami-Klein Modell (1) hyperbolische Ebene wird durch die offene Einheitskreisscheibe E:= {x = (x 1, x 2 ) R 2 ; x < 1} (oder einen anderen Kegelschnitt) modelliert 23 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
24 2.4 Beltrami-Klein Modell (2) nicht parallel vs. asymptotisch parallel vs. divergent/ultraparallel 24 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
25 2.4 Beltrami-Klein Modell (3) Längen werden durch eine spezielle Distanzfunktion definiert Metrik: der hyperbolische Abstand von A und B wird nun mit Hilfe des Doppelverhältnisses (A, B, R, S) definiert: d(a, B) := 1 2 ln( RA SB RB SA ) 25 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
26 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 Modelle der hyperbolischen Geometrie 3 Isometrien und Möbiustransformationen 4 Hyperbolische Spiegelungen 5 Hyperbolische Ornamente 26 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
27 3 Isometrien und Möbiustransformationen 1 Isometrien in der hyperbolischen Ebene 2 Isometrien von E, Möbiustransformationen 27 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
28 3.1 Isometrien in der hyperbolischen Ebene (1) Welche Isometrien sind in der hyperbolischen Ebene möglich? Reflexion/Spiegelung Rotation/Drehung (Spezialfall: Grenzdrehung) Translation/Verschiebung Gleitspiegelung 28 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
29 3.1 Isometrien in der hyperbolischen Ebene (2) Reflexion/Spiegelung (=Inversion am Kreis): 29 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
30 3.1 Isometrien in der hyperbolischen Ebene (3) Rotation/Drehung: Drehung um einen Punkt P um Winkel α, so dass Abstände erhalten bleiben Ablauf: lege 2 Geraden durch P, die sich im Winkel α 2 schneiden spiegele hintereinander an den beiden Geraden 30 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
31 3.1 Isometrien in der hyperbolischen Ebene (4) Spezialfall: Grenzdrehung Spiegelung an zwei asymptotischen Geraden hintereinander, d.h. Drehung um einen Punkt im 31 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
32 3.1 Isometrien in der hyperbolischen Ebene (5) Translation/Verschiebung: Translation von P nach Q senkrecht zu den Spiegelachsen um das Doppelte ihres Abstands 32 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
33 3.1 Isometrien in der hyperbolischen Ebene (7) Gleitspiegelung: Produkt von Spiegelung und Translation entlang der Spiegelgeraden (analog zum euklidischen) 33 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
34 3.1 Isometrien in der hyperbolischen Ebene (8) Fazit: Es gibt auch 4 Isometrien in hyperbolischer Geometrie Geraden gehen durch Isometrien in Geraden über Winkel ändern durch Isometrien ihre Größe nicht Folgerung: Die Winkelsumme im Dreieck ist kleiner als π (ohne Beweis) Spezialfall: ideales Dreieck idelaes Dreieck: asymptotisch parallele Geraden, d.h. kein Schnittpunkt 34 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
35 3.2 Isometrien von E, Möbiustransformationen (1) bei der Betrachtung von Isometrien oft zweckmäßiger zur komplexen Darstellung überzugehen identifizieren R 2 mit C E := {z C; z < 1}, S 1 := {z C; z = 1} bestimmte Art von Abbildungen, bei denen sich Spezialfälle als Isometrien von E erweisen Möbiustransformationen 35 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
36 3.2 Isometrien von E, Möbiustransformationen (2) φ(p) = p und φ(p ) = p, d.h. offensichtlich ist φ 2 = id Abbildung φ hat Lücken: φ(p) für p m 36 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
37 3.2 Isometrien von E, Möbiustransformationen (3) Abbildungsgleichung für Punkt p ˆR 2 : m + r 2 (p m), falls p m, p φ(p) = p p m 2 =, falls p = m m, falls p = 37 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
38 3.2 Isometrien von E, Möbiustransformationen (4) Abbildungsgleichung für Punkt z Ĉ: φ(z) = az+b cz+d, a, b, c, d C 38 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
39 3.2 Isometrien von E, Möbiustransformationen (5) Abbildung der Form φ(z) = az+b cz+d, a, b, c, d C heißt Anti-Möbiustransformation Pendant dazu ist die Möbiustransformation: φ(z) = az+b cz+d, a, b, c, d C beide Begriffe fasst man zusammen als allgemeine Möbiustransformation 39 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
40 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 Modelle der hyperbolischen Geometrie 3 Isometrien und Möbiustransformationen 4 Hyperbolische Spiegelungen 5 Hyperbolische Ornamente 40 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
41 4 Hyperbolische Spiegelungen 1 Konstruktion des hyperbolischen Ausgangsdreiecks 2 Die Spiegelungsgruppe 3 Hyperbolische Parkettierungen 41 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
42 4.1 Konstruktion des hyperbolischen Ausgangsdreiecks Konstruktionsskizze des hyperbolischen Ausgangsdreiecks 42 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
43 4.2 Die Spiegelungsgruppe Unendlichkeit der Spiegelungsgruppe 43 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
44 4.3 Hyperbolische Parkettierungen Hyperbolische Pflasterung zur Gruppe T*(2,3,7) 44 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
45 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 Modelle der hyperbolischen Geometrie 3 Isometrien und Möbiustransformationen 4 Hyperbolische Spiegelungen 5 Hyperbolische Ornamente 45 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
46 5 Hyperbolische Ornamente Morenaments: Tool zum Erstellen hyperbolischer Ornamente 46 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien
Hyperbolische Geometrie
Hyperbolische Geometrie Thomas Peters Thomas Mathe-Seiten www.mathe-seiten.de 18. August 2014 Ein Wort über metrische Räume Ein metrischer Raum X ist ein Raum, in dem eine Distanzfunktion (die Metrik),
Institut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger-Deuel
Lösungen Übung 7 Aufgabe 1. Skizze (mit zusätzlichen Punkten): Die Figur F wird begrenzt durch die Strecken AB und BC und den Kreisbogen CA auf l. Wir werden die Bilder von AB, BC und CA unter der Inversion
Lösungen IV ) β = 54,8 ; γ = 70,4 106) a) 65 b) 65 (115?) d) 57,5
(Stark 7 S. 6ff) Lösungen IV. a) gleichschenklig 0) a) () α = β = 6,7 () β = 7,8 ; γ = 4,4 () α = 4 ; γ = (4) α = β = (80 γ)/ b) 79,6 und 0,8 oder 0, und 0, c) α = β = 64 ; γ = d) gleichschenklig; zwei
Kapitel VI. Euklidische Geometrie
Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und
Escher-Parkettierungen
Escher-Parkettierungen Manfred Dobrowolski Universität Würzburg Escher-Parkettierungen 1 Maurits Cornelis Escher 2 Symmetrien periodischer Parkettierungen 3 Escher-Parkette 4 Analyse einiger bekannter
Inhaltsverzeichnis. Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Einleitung 5 1 Zahlen 7 1.1 Zahlen und Zahlenmengen....................................... 7 1.2 Rechnen mit Zahlen und Termen....................................
Brückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt
Seminar Einführung in die Kunst mathematischer Ungleichungen
Seminar Einführung in die Kunst mathematischer Ungleichungen Geometrie und die Summe von Quadraten Clara Brünn 25. April 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 1.1 Geometrie allgemein.................................
mentor Lernhilfe: Mathematik 7. Klasse Baumann
mentor Lernhilfen mentor Lernhilfe: Mathematik 7. Klasse Geometrie: Achsen- und Punktspiegelung, Drehung, Verschiebung, Winkelgesetze von Rolf Baumann 1. Auflage mentor Lernhilfe: Mathematik 7. Klasse
Die Mittelsenkrechte im deduktiven Aufbau
Nr.7 16.06.2016 Die Mittelsenkrechte im deduktiven Aufbau Bisher war die Mittelsenkrechte eine Ortslinie Jetzt wird deduktiv geordnet: - Definition der Mittelsenkrechte - Sätze zur Mittelsenkrechten 1
Drehung um einen Punkt um Winkel α.
Drehung um einen Punkt um Winkel α. Sei A R 2 und α R. Drehung um A um Winkel α ist eine Abbildung D A (α) : R 2 R 2 welche wie folgt definiert ist: D A (α) = T A D 0 (α) T ( A), wobei die Abbildung D
Gleitspiegelung und Verkettungen von Spiegelung und Parallelverschiebung
Gleitspiegelung und Verkettungen von Spiegelung und Parallelverschiebung Def. Eine Gleitspiegelung ist eine Spiegelung an einer Geraden (Spiegelachse) verknüpft mit einer Translation parallel zu dieser
MAA = MAB + B AA = B CA + CAA BA A Nun sehen wir mit Proposition 10.7 aus dem Skript, dass A M AB gelten muss.
1. Konvexität in der absoluten Ebene In einem Dreieck in der Euklidischen Ebene hat die Strecke zwischen zwei Seitenmittelpunkten die halbe Länge der dritten Seite. In der absoluten Ebene hat man eine
Was ist nichteuklidische Geometrie?
Mathematisches Institut LMU München 9. Mai 2009 Euklids Stoicheia : Die Elemente (350 v. Chr.) Ein Fragment einer frühen Abschrift Euklids Elemente im 17. Jahrhundert Das Verstehen des Raumes durch primitive
Zwillinge von Archimedes (1)
Zwillinge von Archimedes (1) Zwillinge von Archimedes (2) Zwillinge von Archimedes (3) DIDAKTIK DER GEOMETRIE Elementargeometrie 2 Prof. Heinz Klemenz Universität Zürich, Kantonsschule Rychenberg Winterthur
Zur Deckung bringen präzisiert werden. Ich stelle zunächst Hilberts Version vor, wähle aber anschließend einen anderen, etwas anschaulicheren Weg.
30 Jetzt soll der Begriff der Kongruenz bzw. Euklids vage Vorstellung vom Zur Deckung bringen präzisiert werden. Ich stelle zunächst Hilberts Version vor, wähle aber anschließend einen anderen, etwas anschaulicheren
Unterrichtsreihe zur Parabel
Unterrichtsreihe zur Parabel Übersicht: 1. Einstieg: Satellitenschüssel. Konstruktion einer Parabel mit Leitgerade und Brennpunkt 3. Beschreibung dieser Punktmenge 4. Konstruktion von Tangenten 5. Beweis
Wiederholungsblatt Elementargeometrie LÖSUNGSSKIZZE
Wiederholungsblatt Elementargeometrie im SS 01 bei Prof. Dr. S. Goette LÖSUNGSSKIZZE Die Lösungen unten enthalten teilweise keine vollständigen Rechnungen. Es sind aber alle wichtigen Zwischenergebnisse
8 Die Riemannsche Zahlenkugel
8 Die Riemannsche Zahlenkugel Wir untersuchen zunächst Geraden- und Kreisgleichungen in der komplexen Ebene C = R 2. Geradengleichungen Die Parameterdarstellung einer Geraden durch zwei Punkte z 1 z 2
1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: m (ausgesprochen: T von t und m)
Grundwissen Mathematik 7. Klasse 1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: Ttm (, ) = ( t 5+ 6) 20+ m (ausgesprochen: T von t und m) Ein Term besteht aus
Elemente der Geometrie II
Elemente der Geometrie II (Lehramt GHR/HR, Gym) Dr. Theo Overhagen Fachbereich 6 Mathematik Universität Siegen 2008 1 1 Die Axiome der Elementargeometrie 1.1 Das axiomatische Vorgehen Die Geometrie ist
Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2013/14): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 3/4): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr, Thema 3, Aufgabe 4) Im R 3 seien die beiden Ebenen E : 6x+4y z = und E : +s +t 4 gegeben.
Die Abbildung (x 1 ;x 2 ) 7! (x 1 ;x 2 ; 1) ist eine Einbettung von R 2 in P 2 (als Mengen). Punkte mit z 6= 0 sind endliche" Punkte mit inhomogenen K
Kapitel IV Projektive Geometrie In diesem Kapitel wird eine kurze Einführung in die projektive Geometrie gegeben. Es sollen unendlich ferne Punkte mit Hilfe von homogene Koordinaten eingeführt werden und
Riemann Geometrie. Basis für die allgemeine Relativitätstheorie. Huber Stefan Rathgeb Christian Walkner Stefan
Basis für die allgemeine Huber Stefan Rathgeb Christian Walkner Stefan Universität Salzburg Angewandte Informatik 10. Jänner 2005 Inhalt 1 2 Euklidische Geometrie Nichteuklidische Geometrie Krümmung und
Ebene Elementargeometrie
Ebene Elementargeometrie Im Folgenden unterscheiden wir neben Definitionen (Namensgebung) und Sätzen (nachweisbaren Aussagen) so genannte Axiome. Axiome stellen der Anschauung entnommene Aussagen dar,
kommt zur Kreisinversion eine Spiegelung des Punktes an der reellen Achse dazu. Die folgenden vier Eigenschaften gelten auch für diese Abbildung
1 3. Die Kreisinversion 3.1. Definition Die Abbildung 1 ordnet der Zahl das folgende Bild zu 1 1 1 1 1 Die Konstruktion des Bildpunkts besteht also aus zwei Schritten: Der Punkt wird in den Bildpunkt abgebildet,
4.3 Möbius-Transformationen
165 4.3 Möbius-Transformationen Jahrhunderte lang wurde versucht, das Parallelenaxiom direkt zu beweisen vergebens! Dann kam Saccheri auf die Idee, ein hyperbolisches Parallelenaxiom vorauszusetzen und
Symmetrien und Pflasterungen. Alessandra Sarti Universität Mainz
Symmetrien und Pflasterungen Alessandra Sarti Universität Mainz Symmetrien Schneeflocken und Sonnenblumen haben viele Symmetrien. Die Gesamtheit aller Transformationen, die eine Schneeflocke (oder eine
Sekundarschulabschluss für Erwachsene
SAE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie A 2011 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: Nichtprogrammierbarer Taschenrechner und Geometriewerkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60
DEMO für Verkettung von Kongruenzabbildungen INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. FRIEDRICH W. BUCKEL.
Abbildungen Verkettung von Kongruenzabbildungen Für Interessenten. Datei Nr. 11059 Stand: 3. Oktober 2013 DEMO für FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 11059 Verkettung von Kongruenzabbildungen
Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie 1
Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie. Bei einer geraden Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche von 00 cm beträgt die Seitenkante 3 cm. a) Welche Höhe hat die Pyramide? b) Wie groß
Komplexe Zahlen und konforme Abbildungen
Kapitel 1 Komplexe Zahlen und konforme Abbildungen 1.0 Geometrie der komplexen Zahlen Die Menge C der komplexen Zahlen, lässt sich mithilfe der bijektiven Abbildung C := {x + iy : x,y R}, C z = x + iy
Einige Ergebnisse der euklidischen Geometrie
1 Teil I Einige Ergebnisse der euklidischen Geometrie In Teil I setzen wir den euklidischen Raum als bekannt voraus (aus der Schule oder aus der Vorlesung Lineare lgebra und nalytische Geometrie). Da wir
1 Pyramide, Kegel und Kugel
1 Pyramide, Kegel und Kugel Pyramide und Kegel sind beides Körper, die - anders als Prismen und Zylinder - spitz zulaufen. Während das Volumen von Prismen mit V = G h k berechnet wird, wobei G die Grundfläche
Elemente der Geometrie
Elemente der Geometrie (Lehramt GHR/HR, Gym) Dr. Theo Overhagen Fachbereich 6 Mathematik Universität Siegen 2006 I Inhaltsverzeichnis Inhalt Literatur I I 1 Die Axiome der Elementargeometrie 1 1.1 Das
2. Momentanpol. Für die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes P eines starren Körpers gilt: y A ), v Py. =v Ay
ufgabenstellung: Für die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes P eines starren Körpers gilt: Gesucht ist der Punkt П, dessen momentane Geschwindigkeit null ist. Lösung: v Px =x ( y P y ), v Py =y +
8. Kleinsche Geometrie I: Hyperbolische Geometrie. Das Erlanger Programm.
8. Kleinsche Geometrie I: Hyperbolische Geometrie Nach den bisherigen Ergebnissen müssen wir uns nun um die Gruppe PSL 2 C kümmern. Das Studium dieser Gruppe wird uns in dieser Vorlesung zu einem neuen
Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1
Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere
Symmetrien und Winkel
1 10 Symmetrien 301 Zeichne Grossbuchstaben des Alphabets, sortiert nach vier Typen: achsensymmetrisch punktsymmetrisch achsen- und punktsymmetrisch weder achsen- noch punktsymmetrisch Trage bei den symmetrischen
Die Kapitel 1 und 2.1 haben wir im Jahr 2012 behandelt. Im Zirkel am haben wir mit Kapitel 2.2 begonnen.
Das vorliegende Skript beschäftigt sich mit dem Thema Elementargeometrie. Das Skript entsteht entlang einer Unterrichtsreihe in der Mathematischen Schülergesellschaft(MSG) im Schuljahr 2012/2013. Die vorliegende
LEHRSÄTZE der elementaren GEOMETRIE
Lehrsätze der elementaren Geometrie. Ein PAUMEDIA-Projekt Herbert Paukert. 1 LEHRSÄTZE der elementaren GEOMETRIE Version 2.0 Herbert Paukert Grundlagen der Abbildungsgeometrie [ 02 ] Das Koordinatensystem
Geometrische Grundkonstruktionen
Geometrische Grundkonstruktionen Strecken...2 Halbierung einer Strecke und Mittelsenkrechte...2 Teilung einer Strecke in eine bestimmte Anzahl gleicher Teile...2 Halbierung eines Winkels...3 Tangente an
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Vor den eigentlichen Konstruktionen möchte ich einige emerkungen zu Faltungen machen, da sie leider in der Schule ein Stiefkind darstellen. Mit anderen Worten, sie
Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1
Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere
16. Platonische Körper kombinatorisch
16. Platonische Körper kombinatorisch Ein Würfel zeigt uns, daß es Polyeder gibt, wo in jeder Ecke gleich viele Kanten zusammenlaufen, und jede Fläche von gleich vielen Kanten berandet wird. Das Tetraeder
2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen
2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen Aufgabe 1 Zeichne das Dreieck AC mit A( 1 2), (5 0) und C(3 6) und konstruiere seinen Umkreis. Gib den Radius und den Mittelpunkt des Umkreises an. Aufgabe 2 Konstruiere
Viereck und Kreis Gibt es da etwas Besonderes zu entdecken?
Bekanntlich besitzt ein Dreieck einen Umkreis, dessen Mittelpunkt man konstruieren kann. 1) Zeichne in dein Heft ein beliebiges Dreieck und konstruiere den Außenkreis des Dreieckes nur mit Zirkel und Lineal.
Geometrie. Homepage zur Veranstaltung: Lehre Geometrie
Geometrie 4.1 Geometrie Homepage zur Veranstaltung: http://www.juergen-roth.de Lehre Geometrie Geometrie 4.2 Inhaltsverzeichnis Geometrie 1 Axiome der Elementargeometrie 2 Kongruenzabbildungen 3 Längen-,
3. Ähnlichkeitsabbildungen
3. Ähnlichkeitsabbildungen 3.1 Definitionen: Ähnlichkeitsabbildungen, Dilatationen Bis jetzt haben wir Isometrien (Kongruenzabbildungen) betrachtet. Diese bbildungen wurden aufgebaut aus den Geradenspiegelungen.
VIII.1.4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme
V. Grundbegriffe und -ergebnisse der Magnetostatik 5 V..4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme m Fall eines Ladungsstroms durch einen dünnen Draht vereinfacht sich das ntegral im Biot
Weitere geometrische Abbildungen
Weitere geometrische Abbildungen Anna Wegener, Matthias Wegen, Daniel Kretschmer 15.01.2015 1 / 38 Affinitätsabbildungen - Motivation Kongruenzabbildungen Ähnlichkeitsabbildungen Affinitätsabbildungen
Symmetrien und Winkel
Symmetrien und Winkel 20 1 13 Symmetrien Zeichnungen und Konstruktionen zur Symmetrie 401 A Wähle das erste oder das zweite Bild von Vasarely im mathbuch 1 auf Seite 65. Beschreibe es. B Zeichne das Bild
Übungen zur Vorlesung. Grundlagen der Geometrie. PD Dr. S. Sagave. Wintersemester 2014/15
Blatt 1, 13.10.2014 Aufgabe 1.1. Sei (E, G) eine Ebene, also eine Menge E zusammen mit einer Menge von Teilmengen G, so dass die Inzidenzaxiome (A1) bis (A4) erfüllt sind. Sei E E eine Teilmenge, die nicht
Lösungen 3 zum Mathematik-Brückenkurs für alle, die sich für Mathematik interessieren
Lösungen 3 zum Mathematik-Brückenkurs für alle, die sich für Mathematik interessieren µfsr, TU Dresden Version vom 26. September 2016, Fehler und Verbesserungsvorschläge bitte an benedikt.bartsch@myfsr.de
Der Satz von DESARGUES und der Satz von PAPPOS
Der Satz von DESARGUES und der Satz von PAPPOS Kirstin Strokorb November 2005 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Der Satz von DESARGUES 2 2.1 Das Dualitätsprinzip........................ 3 3 Der Satz
Aufgabe 1 Erstelle mit Hilfe von GEOGEBRA ein dynamisches Geometrie-Programm, das die Mittelsenkrechte
AB Mathematik Experimentieren mit GeoGebra Merke Alle folgenden Aufgaben sind mit dem Programm GEOGEBRA auszuführen! Eine ausführliche Einführung in die Bedienung des Programmes erfolgt im Unterricht.
Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1
Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere
Triangulierungen und Kartographie
Triangulierungen und Kartographie Ein Einblick in geometrische und topologische Methoden Stefan Krauss, Clara Löh Fakultät für Mathematik, Universität Regensburg, 93040 Regensburg 23. Juli 2014 Was verraten
Prüfung Lineare Algebra Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
1. Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? A. Wenn n = 3 ist, sind mindestens zwei der drei Euler-Winkel einer Drehung kleiner oder gleich π. B. Wenn n = 2
Erwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe 172 A Bremen. Die Kursübersicht für das Fach Mathematik
Erwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe 172 A 28195 Bremen Die Kursübersicht für das Fach Mathematik Erwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe
Vokabelliste FB Mathematik Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II. Mengenbegriffe:
Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II Mathematik Symbol, Definition N N 0 Z Q Z + + Q 0 A = {a 1,, a n } Deutsch Erklärung Mengenbegriffe: natürlichen Zahlen natürlichen Zahlen
Euklid ( v. Chr.) Markus Wurster
Geometrische Grundbegriffe Euklid (365 300 v. Chr.) Geometrische Grundbegriffe Euklid (365 300 v. Chr.) Punkte und Linien Zwei Linien Markus Wurster Markus Wurster Geometrische Grundbegriffe Winkel Euklid
1. Grundlegendes in der Geometrie
1. Grundlegendes Geometrie 1. Grundlegendes in der Geometrie 1. 1 Übliche ezeichnungen Punkte bezeichnen wir mit Grossbuchstaben:,,,D,... P 1,P 2,P 3,...,,,... Strecken und deren Masszahl, sowie Geraden
Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg SoSe 015 Prof. Dr. A. Iske, Dr. P. Kiani Aufgabe 1: Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Blatt 4 : Hausaufgaben a) In welchem Gebiet
MA S410 Geometrie. Johanna Schönenberger-Deuel
MA S410 Geometrie Johanna Schönenberger-Deuel 31. Oktober 2010 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 2 Isometrien oder Kongruenzabbildungen 7 2.1 Einführende Überlegungen........................... 7 2.2 Geradenspiegelung
Konstruktion von Kreistangenten
Konstruktion von Kreistangenten 1 Gegeben sind die Punkte A und B mit AB = 5cm Konstruiere die Geraden durch B, die von A den Abstand 3cm haben! 2 Eine Ecke einer Rasenfläche, an der die geraden Ränder
Algebraische Kurven. Holger Grzeschik
Algebraische Kurven Holger Grzeschik 29.04.2004 Inhaltsübersicht 1.Einführung in die Theorie algebraischer Kurven 2.Mathematische Wiederholung Gruppen, Ringe, Körper 3.Allgemeine affine Kurven 4.Singuläre
entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =
Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.
Aufgaben zu Kapitel 5
Aufgaben zu Kapitel 5 Aufgaben zu Kapitel 5 Verständnisfragen Aufgabe 5. Geben Sie zu folgenden komplexen Zahlen die Polarkoordinatendarstellung an z i z + i z 3 + 3i). r 5 ϕ 5 4 3 π bzw. r 6 3 ϕ 6 4 5
Darstellende Geometrie Übungen. Tutorial. Übungsblatt: Perspektive - Rekonstruktion
Darstellende Geometrie Übungen Institut für Architektur und Medien Tutorial Übungsblatt: Perspektive - Rekonstruktion Gegeben sind ein Foto von einem quaderförmigen Objekt sowie die Abmessungen des Basisrechteckes.
4. Mathematik Olympiade 4. Stufe (DDR-Olympiade) Klasse 12 Saison 1964/1965 Aufgaben und Lösungen
4. Mathematik Olympiade 4. Stufe (DDR-Olympiade) Klasse 1 Saison 1964/1965 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 4. Mathematik-Olympiade 4. Stufe (DDR-Olympiade) Klasse 1 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen
m2l 60.odt Klausur 12/I B 1. Gegeben seien zwei Geraden. Wie gehen Sie vor, um über deren Lagebeziehung eine Aussage zu treffen.
2. Klausur 12/I B Thema: Lagebeziehung Gerade, Ebene 1. Gegeben seien zwei Geraden. Wie gehen Sie vor, um über deren Lagebeziehung eine Aussage zu treffen. 5 6 s 3 0 11 10, g BC : x = 3 u 5 1 2. Gegeben
Grundlagen der Geometrie
Grundlagen der Geometrie Vorlesungsausarbeitung zum WS 2010/11 von Prof. Dr. K. Fritzsche ii Inhalt 0 Grundlagen der Schulgeometrie 1 I Die Elemente : Inzidenz und Anordnung 9 1. Die deduktive Methode
Grundlegende Geometrie - Vorlesung mit integriertem Praxiskurs. 09.02. Klausur (08-10 Uhr Audimax, HS 1)
Vorlesungsübersicht Wintersemester 2015/16 Di 08-10 Audimax Grundlegende Geometrie - Vorlesung mit integriertem Praxiskurs Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier
Raumgeometrie - gerade Pyramide
1.0 Das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge 7 cm ist Grundfläche einer geraden Pyramide ABCDS mit der Höhe h = 8 cm. S ist die Pyramidenspitze. 1.1 Fertige ein Schrägbild der Pyramide ABCDS an. 1.2 Berechne
Euklidische und Nicht-Euklidische Geometrie in Cinderella
Euklidische und Nicht-Euklidische Geometrie in Cinderella Ulrich H. Kortenkamp und Jürgen Richter-Gebert Institut für Theoretische Informatik, ETH Zentrum, CH-8092 Zürich. 1. EINLEITUNG Programme zur dynamischen
2 Euklidische Vektorräume
Sei V ein R Vektorraum. 2 Euklidische Vektorräume Definition: Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung σ : V V R, (v, w) σ(v, w) mit folgenden Eigenschaften ( Axiome des Skalarprodukts) (SP1) σ ist bilinear,
Zusammenstellung aus ehemaligen DDR Prüfungsaufgaben (Aufgabe 6)
(Aufgabe 6) 0. Klasse Abschlussprüfungen Jahrgänge 970 99 Fach Mathematik Material für Fachberater, gedacht als Beispiele für die Aufgabe der neuen brandenburger Prüfungsaufgaben 970 6 a) Ermitteln Sie
Umkreis eines Dreiecks
Umkreis eines Dreiecks Zeichne mit GeoGebra ein Dreieck mit den Eckpunkten A (-5-1), B (4-2), C (2 3) und konstruiere dessen Umkreis. Mit Werkzeugleiste 1 Konstruiere mit dem Werkzeug Vieleck das Dreieck
8 Tangenten an Quadriken
8 Tangenten an Quadriken A Geraden auf Quadriken: Sei A 0 eine symmetrische n n Matri und Q : t A + b t + c = 0 eine nicht leere Quadrik im R n, b R n, c R. g = p + R v R n ist die Gerade durch p mit Richtung
Thema: Ein Ausblick auf die Möglichkeiten durch den Software-Einsatz im Mathematikunterricht.
Vorlesung 2 : Do. 10.04.08 Thema: Ein Ausblick auf die Möglichkeiten durch den Software-Einsatz im Mathematikunterricht. Einführung in GeoGebra: Zunächst eine kleine Einführung in die Benutzeroberfläche
Surjektive, injektive und bijektive Funktionen.
Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Definition. Sei f : M N eine Funktion. Dann heißt f surjektiv, falls die Gleichung f(x) = y für jedes y N mindestens
Geometrie 1. 1.)Geometrische Grundkonstruktionen. Halbierung einer Strecke, Mittelsenkrechte. Teilung einer Strecke. Winkelhalbierung.
Geometrie 1 1.)Geometrische Grundkonstruktionen Halbierung einer Strecke, Mittelsenkrechte Teilung einer Strecke Winkelhalbierung Thaleskreis Konstruktion von Dreiecken Kongruenzsätze: SSS-Satz, SWS-Satz,
1. Unterteilung von allgemeinen Dreiecken in rechtwinklige
Trigonometrie am allgemeinen Dreieck Wir können auch die Seiten und Winkel von allgemeinen Dreiecken mit Hilfe der Trigonometrie berechnen. Die einfachste Variante besteht darin, ein beliebiges Dreieck
Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen Komplexe Zahlen Koordinatenwechsel Aufgabe. Zeichnen Sie die folgende Zahlen zunächst in ein (kartesisches) Koordinatensystem. Bestimmen Sie dann die Polarkoordinaten
3.1 Die Gruppe (K,o) aller Kongruenzabbildungen einer Ebene
Kapitel 3: Deckabbildungen von Figuren - Symmetrie 3.1 Die Gruppe (K,o) aller Kongruenzabbildungen einer Ebene K ist die Menge aller Kongruenzabbildungen E E; o ist die Hintereinanderausführung von Abbildungen
6. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 12 Saison 1966/1967 Aufgaben und Lösungen
6. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 12 Saison 1966/1967 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 6. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 12 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit
Musterlösung zur 3. Hausaufgabe - Unterrichtsanalyse -
1) Vorkenntnisse: Musterlösung zur 3. Hausaufgabe - Unterrichtsanalyse - Im Rahmen der aktuellen Einheit wurden die folgenden Themen im Unterricht behandelt. Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal;
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert, Martin von Gagern PROJEKTIVE GEOMETRIE Lösungen zur Semestral-Klausur (5. Februar 22, : 2:3 Uhr) Musterlösung Aufgabe.
5 Sphärische Trigonometrie
$Id: sphaere.tex,v 1.5 2013/08/13 17:21:33 hk Exp $ 5 Sphärische Trigonometrie m Ende der letzten Sitzung hatten wir mit der Untersuchung sphärischer Dreiecke begonnen. Gegeben war eine Sphäre K, oder
Der dreidimensionale Raum wird als unendliche Punktmenge aufgefasst. Geraden und Ebenen sind dann Teilmengen dieser Punktmenge.
STEREOMETRIE I Grundlagen 1. Punkte, Geraden und Ebenen Der dreidimensionale Raum wird als unendliche Punktmenge aufgefasst. Geraden und Ebenen sind dann Teilmengen dieser Punktmenge. a) Gerade Axiom:
Geometrie, Einführung
Geometrie, Einführung Punkte, Linien 1. Gib die Längen von 3 Strecken r, s. t an, welche nicht die Seiten eines Dreiecks sein können. Begründe deine Wahl. 2. a) Zeichne Punkte und Geraden, welche folgende
Inhalt 1 Vorwort 2 Einleitung 3 Für Schnellstarter
Inhalt 1 Vorwort 1 2 Einleitung 3 21 Anwendungsbeispiele 4 211 Exakte Zeichnungen 4 212 Geometrischer Taschenrechner 5 213 Übungsaufgaben 5 22 Gedanken zum Programmdesign 6 23 Zum technischen Hintergrund
Peripheriewinkelsatz (auch Umfangswinkelsatz)
Peripheriewinkelsatz (auch Umfangswinkelsatz) Für die Einführung des Peripheriewinkelsatzes (auch Umfangwinkelsatz) machen wir uns mit dem Satz des Thales vertraut. Der Satz des Thales besagt, dass Dreiecke,
Ergänzung zu komplexe Zahlen
Juli 2015 Übersicht 1 Ortskurven 2 Wechselstromkreis mit ohmschem und kapazitivem Widerstand (Parallelschaltung) i(t) u(t) R C Bei festen Werten für den ohmschen Widerstand R und die Kapazität C ergibt
3 Geometrisches Beweisen
22 3 Geometrisches Beweisen 3.1 Axiome Durch empirische Untersuchungen werden immer wieder Gesetzmäßigkeiten gefunden, die man versucht durch logische Schlüsse zu begründen. Irgendwann am Ende einer Schlusskette
Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1
Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere
Dualität in der Elementaren Geometrie
1 Dualität in der Elementaren Geometrie Holger Stephan Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastic (WIAS) e-mail: stephan@wias-berlin.de url: www.wias-berlin.de/people/stephan FU Berlin,
Mit eckigen Rädern fahren
Mit eckigen Rädern fahren Für Spielfreudige und mathematisch Interessierte Mit eckigen Rädern fahren: Das klingt reichlich unwahrscheinlich, aber möglich ist es. Zugegeben: Die Idee ist etwas wunderlich
Schwerpunktfach AM/PH, 2011 KEGELSCHNITTE
Schwerpunktfach AM/PH, 011 KEGELSCHNITTE 5. Kreis und Ellipse 5.1. Grundkonstruktionen am Kreis Konstruktion 1: Konstruiere einen Kreis, welcher durch die gegebenen 3 Punkte A,B und C verläuft: C B A Konstruktionsbericht: