TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Transkript

1 Prof. Dr. Simone Wrzel Mx Lein Husufgben 1. Flächeninhlte Teil 1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik Mthemtik 4 für Physik Anlysis 3 Wintersemester 9/1 Lösungsbltt Wie gross ist der Flächeninhlt einer Wendelfläche vom Rdius R > mit Gnghöhe π > nch einer Umdrehung? b Sei S + die Hälfte der Oberfläche einer Kugel vom Rdius R > und P ein fester Punkt uf der Symmetriechse von S + im Abstnd > R vom Kugelzentrum. Berechnen Sie ds Integrl über S + des inversen Abstndes eines vriblen Punktes uf S + von P. Ws finden Sie, flls sich P in sehr grosser Entfernung von S + befindet? Mit der Prmetrisierung r cos φ ϕ :, R, π R 3, ϕr, φ r sin φ φ ist die Wendelfläche gegeben durch W : { ϕr, φ R 3 r, R, φ, π }. Ds Flächenelement knn mn über die Funktionldeterminnte berechnen: zuerst berechnen wir Dϕ, cos φ r sin φ Dϕr, φ sin φ +r cos φ. Somit knn mn nchrechnen, dss die Funktionldeterminnte durch det Dϕ T Dϕ 1 det r + r + 1

2 gegeben ist. Somit ist der Flächeninhlt gegeben durch F W ds R R dr dr det Dϕ T Dϕ rcsinh R/ r + π dx cosh x π[ ] rcsinh x + 1 sinhx R/ π[ log R R + R 1 + ]. R Dbei hben wir rcsinh x log x x benutzt und dnn integriert. b Wir betrchten die Prmetrisierung R sin θ cos φ ϕ : [, π /] [, π] R 3, ϕθ, φ R sin θ sin φ. R cos θ Ds Flächenelement lutet θ ϕ φ ϕ R cos θ cos φ R sin θ sin φ R cos θ sin φ R sin θ cos φ R sin θ R sin θ cos φ R sin θ sin φ R sin θ cos θ R sin θ. Wir identifizieren die Symmetriechse mit der z-achse und bezeichnen den festen Punkt uf ihr mit,, für ein > R. I π/ πr R sin θ dθ R + R cos θ πr R R + R π/ Wir betrchten den Fll sehr grosser > R >. lim I lim πr 1 + R/ 1 + R / lim πr R / + O R / R / dθ d dθ R + R cos θ πr Wir sehen lso, dss sich I im Fll sehr grosser verhält wie der Flächeninhlt von S + geteilt durch Coulomb-Potentil für homogene Oberflächenmssendichte 1 uf S +!, d.h. I πr für.

3 . Trägheitsmoment Gegeben sei die Menge S : { x, y, z R 3 x + y + z 4, z 1 }. Skizzieren Sie S. b Berechnen Sie ds Trägheitsmoment von S, lso S x + y dx, y. S ist eine Kugelkppe. b Die Kugelschle prmetrisieren wir in Kugelkoordinten, S { ϕθ, φ θ, rccos 1 /, φ, π }, wobei ϕ wie in Aufgbe 1 gegeben ist durch sin θ cos φ ϕθ, φ sin θ sin φ. cos θ Dort hben wir uch ds Flächenelement bereits berechnet, det Dϕ T Dϕ sin θ. Die Bedingung cos θ mx z 1 impliziert θ mx rccos 1 / und solnge θ rccos 1 / ist z 1. Der Integrnd ist in Kugelkoordinted gegeben durch sin θ cos φ + sin θ sin φ sin θ und somit finden wir x + y rccos 1/ dx, y S 3π rccos 1/ dθ sin θ sin θ dθ sin 3 θ. Ds Integrl knn mn direkt usrechnen, dθ sin 3 θ cos θ sin θ + dθ sin θ cos θ cos θ sin θ cos θ dθ sin 3 θ Eingesetzt ergibt ds 1 3 cos θ sin θ 3 cos θ 1 3 cos θ1 cos θ 3 cos θ 1 3 cos3 θ cos θ. S x + y dx, y 3π [ 1 3 cos3 θ cos θ ] rccos 1/ 1 3π π π 3. 3

4 3. Flächeninhlte Teil Sei E : { x, y, z R 3 x + y + z b Skizzieren Sie E. 1 } eine Fläche in R 3, wobei, b, c > sind. b Geben Sie den Tngentilrum T p E von E n einem Punkt p E n. Hängt der Tngentilrum von der Whl des Punktes b? c Integrieren Sie die Funktion f : R 3 x R, fx, y, z + y + z, über die Oberfläche 4 b 4 c 4 E. E ist ein Ellipsoid mit Hlbchsen, b und c. b Wir definieren gx, y, z : x + y + z 1. Der Ellipsoid ist dnn die Nullstellenmenge b von g und somit eine Untermnnigfltigkeit von R 3. Der Grdient gx, y, z steht senkrecht uf der Oberfläche des Ellipsoiden. Sei p E ein beliebiger Punkt uf dem Ellipsoiden. Dnn ist der Tngentilrum definiert ls die Menge der Vektoren, die tngentil n einer Kurve uf der Oberfläche liegen, { T p E : v R 3 γ C 1 [ 1, +1], R n } : γ[ 1, +1] E, γ p, γ v Bildlich ist klr, dss diese Punkte in der Schmiegeebene uf E m Punkt p liegen. Ds heißt wir können T p E schreiben ls x y b z T p E { v R 3 Dgp v T gp v } ker Dgp. In diesem Fll können wir für p p x, p y, p z und v v x, v y, v z die Ebenengleichung schreiben ls { T p E v R 3 } p x v x + p y v y + p b z v z. D für lle p E die Dimension des Kerns konstnt ist, dim ker Dgp, sind lle Tngentilräume isomorph zu R der Tngentilrum ist j uch ein Vektorrum. c Wir benutzen folgende Drstellung der Ellipsoidoberfläche, sin θ cos φ ϕ :, π, π R 3, ϕθ, φ b sin θ sin φ. c cos θ 4

5 Mit + cos θ cos φ sin θ sin φ Dϕ +b cos θ sin φ +b cos θ cos φ c sin θ berechnet sich ds Flächenelement zu θ ϕ φ ϕ bc sin θ sin θ cos φ + sin θ sin φ + cos θ. b Drus ergibt sich nun ds folgende Oberflächenintegrl: F f ds π π dθ f ϕθ, φ θ ϕ φ ϕ sin θ cos φ dθ bc sin θ + sin θ sin φ b + cos θ Ds uftretende Integrl hben wir bereits in Aufgbe usgerechnet, dθ sin 3 θ 1 3 cos θ sin θ 3 cos θ Wir benötigen uch sin φ cos φ π. Mn knn ds über prtielle Integrtion und sin φ 1 cos φ nchweisen, Wir finden lso f ds bc F sin φ [ sin φ cos φ ] π bc π bc + b 1 cos φ π sin θ cos φ dθ sin θ cos φ cos φ [ π cos dθ sin 3 φ θ + sin φ + bc bc + b π cos φ. + sin θ sin φ + cos θ b b + π sin φ dθ sin 3 θ + π 4π 3 bc b + 1. sin θ cos θ [ 1 3 cos θ sin θ 3 cos θ ] π + bc π cos φ dθ sin θ cos θ ] [ ] 1 π 3 cos3 θ 5