Anfänger-Praktikum I WS 11/12. Michael Seidling Timo Raab Enrico Mank. Praktikumsbericht: Galton-Brett

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1 Anfänger-Praktikum I WS 11/12 Michael Seidling Timo Raab Enrico Mank Praktikumsbericht: Galton-Brett

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis I. Theoretische Grundlagen 2 1. Zentraler Grenzwertsatz 2 2. Binomialverteilung 2 3. Normalverteilung 2 4. Vertrauensbereich 4 5. Mittelwert 4 6. Varianz und Standardabweichung 4 II. Versuch 6 1. Durchführung 6 2. Aufbau eines Galton-Bretts 6 3. Wege der Kugeln 7 4. Messungen 9 III. Auswertung 10 IV. Fragen 14 V. Quellenverzeichnis Tabellen- und Bilderverzeichnis Quellen 15 1

3 3 NORMALVERTEILUNG Teil I. Theoretische Grundlagen 1. Zentraler Grenzwertsatz Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe einer gro en Zahl (n ) von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen, bei endlicher Varianz normalverteilt ist. Da Messergebnisse auch als solche Zufallsvariablen angenommen werden können, hat das zur Folge, dass eine Messreihe mit vielen Messwerten eine Normalverteilung aufweist. Das ist auch der Grund für die besondere Bedeutung der Normalverteilung beim wissenschaftlichen Arbeiten. 2. Binomialverteilung Die Binomialverteilung beschreibt die Verteilung von unabhängigen Zufallsgrößen, die jeweils nur zwei mögliche Ergebnisse haben. Solche Zufallsgrößen werden auch Bernoulli- Variablen genannt. Diese Bedingung ist gerade durch den Versuch des Galton-Bretts gegeben, da die Kugel an einer Wegkreuzung jeweils nur einen von zwei gleichwertigen Wegen nehmen kann. Durch den speziellen Versuchsaufbau sind die Ergebnisse rein zufällig und unabhängig voneinander. Definiert ist die Funktion Binomialverteilung durch die Parameter n für die Anzahl der Versuche, k für das k-malige eintreffen des Ereignisses mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p. 3. Normalverteilung B(k) = ( ) n p k (1 p) n k (1) k Die Normalverteilung, in Deutschland oft auch Gauß-Verteilung (nach Carl Friedrich Gauß) genannt, gibt die Verteilung einer großen Zahl von Zufallswerten (n ) an, da sie nach dem Zentralen Grenzwertsatz eben gerade normalverteilt sind. Sie lässt sich ausdrücken durch f(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 (2) wobei µ der Erwartungswert und σ die Standardabweichung ist. Abbildung (1) zeigt eine Normalverteilung mit unterschiedlichen Standardabweichungen. Eine kleinere Standardabweichung bedeutet, dass die Messwerte in einem kleineren Bereich um den Erwartungswert (bei x = 0) gestreut sind. 2

4 3 NORMALVERTEILUNG Abbildung 1: Normalverteilung mit unterschiedlicher Standardabweichung σ Die folgende Abbildung (2) zeigt eine Normalverteilung mit verschiedenen markierten Intervallen um den Erwartungswert. Diese Intervalle werden auch Vertrauensbereiche genannt, da sie angeben mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zufallsvariable in einen bestimmten Bereich um den Erwartungswert fällt. Abbildung 2: Normalverteilung mit den Vertrauensbereichen µ ± σ und µ ± 2σ Das Integral dieser Funktion muss ergibt 1, da die Gesamtwahrscheinlichkeit 100% 1 betragen muss. Hierbei ist σ eine Integrationskonstante, die Fläche unter der Kurve 2π auf 1 normiert. + f(x)dx = 1 σ 2π + e (x µ)2 2σ 2 dx = 1 (3) 3

5 6 VARIANZ UND STANDARDABWEICHUNG 4. Vertrauensbereich Der Vertrauensbereich ist der Bereich der Normalfunktion um den Erwartungswert µ, in dem man ein Ergebnis mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit erwartet. Er ergibt sich durch Integration der Funktion f(x) (vgl. Gleichung (3)) nur mit anderen Integrationsgrenzen. So ergibt sich zum Beispiel eine Wahrscheinlichkeit von 68.27%, dass der Wert innerhalb des Intervalls µ ± σ liegt. µ+σ µ σ µ+2σ µ 2σ µ+3σ µ 3σ f(x)dx = (4) f(x)dx = (5) f(x)dx = (6) Analog ergibt sich für das Intervall µ ± 2σ eine Wahrscheinlichkeit von 95.45%, im Intervall µ ± 3σ befinden sich mit 99.73% fast alle Messwerte. (7) 5. Mittelwert Der arithmetische Mittelwert x ist der Durchschnitt einer Messreihe (x 1, x 2,..., x n ). Bei N Messungen gilt: x = 1 N N x i (8) i=1 Der Mittelwert gibt also den Schwerpunkt an, um den die Daten schwanken. Bei Experimenten ist er sehr bedeutend, da er den beste Schätzwert der Messreihe für den Erwartungswert µ, also den, als wahr oder richtig angenommenen Wert der zu messenden Größe, angibt. 6. Varianz und Standardabweichung Ebenfalls wichtig für Messreihe bei Experimenten ist die Varianz; sie ist ein Maß für die Streuung der Messergebnisse vom Mittelwert. Ist der Erwartungswert µ bekannt gilt: var = 1 N N (x i µ) 2 (9) i=1 4

6 6 VARIANZ UND STANDARDABWEICHUNG Da die Varianz jedoch die Einheit der Messgröße zum Quadrat hat, wird oft die sogenannte Standardabweichung σ angegeben. Wegen var = σ 2 ist sie die Wurzel der Varianz. Ist der Erwartungswert nicht bekannt, sondern nur der Mittelwert berechnet sich die Standardabweichung wie folgt: σ = 1 N (x i x) N 1 2 (10) Sie bezeichnet die mittlere Abweichung der Einzelmessergebnisse vom Mittelwert; interessanter ist jedoch die Standardabweichung σ des Mittelwerts selbst, den sie wird als Fehler im Ergebnis mitangegeben. Oft liest man auch von der mittleren absoluten Messungenauigkeit. i=1 σ = σ x (11) N σ = 1 N (x i x i ) N(N 1) 2 (12) i=1 5

7 2 AUFBAU EINES GALTON-BRETTS Teil II. Versuch In dem Versuch soll die Binomialverteilung mit Hilfe eines Galton-Bretts gezeigt werden. 1. Durchführung Wir lassen zehn mal 256 Kugeln durch ein Galton-Brett laufen und zählen am Ende jeweils die Anzahl der Kugeln in jedem Fach. Auf die Besonderheiten des Galton-Bretts und über die möglichen Wege der Kugel werden in den folgenden Kapitelen eingegangen. 2. Aufbau eines Galton-Bretts Das Galton-Brett früher war ein Holzbrett, in welches Nägel so angebracht wurden, dass bei jeder Wegentscheidung einer Kugel solange ein neuer Nagel getroffen wurde, bis die Kugel in einem Fach landete. Unser Galton-Brett besteht nun aus drei Teilen, einem Kugelspeicher, damit man die Kugeln nicht einzeln in die Apparatur werfen muss, einem Labyrinth, das aus gefrästen Sechsecken besteht, wobei in jeder Stufe ein Sechseck hinzukommt, bis am Ende zehn Sechsecke sind und den Fächern am Ende des Labyrinths, in den die Kugeln dann fallen. Abbildung 3: Darstellung eines Galtonbretts 6

8 3 WEGE DER KUGELN 3. Wege der Kugeln Der Weg einer Kugel ist nur im Labyrinth des Galton-Bretts interessant, da er hier nicht vorgegeben ist. Abbildung 4: Darstellung des Secksecks Wenn die Kugel aus dem Lager fällt, trifft sie zunächst auf einen Prellstreuer. Aufgrund von Reibung und eines inelastischem Stoß kann die Kugel nicht nach oben zurück, sondern muss sich für einen Weg entscheiden. Dies kann man gut in Abbildung 4 sehen. Nach der Entscheidung fällt die Kugel dann in den sogenannten Prelltrichter, wovon sie wieder auf einen Prellstreuer fällt. Dies geschieht bei unserem Galton-Brett zehn mal, dann fällt die Kugel in ein Fach. Theoretisch könnte man unter idealen Bedingungen ist die Bewegung der Kugel im Labyrinth allein durch ihren Ort und ihren Impuls beim Eintritt vorherbestimmt. Praktisch ist dies aber nicht möglich, weshalb man auch keine Bewegungsgleichung aufstellen kann. Außerdem wachsen kleinste Störungen oder Unregelmäßigkeiten sehr schnell an, was zusätzlich die Vorhersage der Bewegung der Kugel unmöglich macht. Bei vielen Versuchen lässt sich allerdings wieder ein Muster erkennen. Solch eine Bewegung nennt man dann transcient chaotisch. Aufgrund all dieser Umstände können wir die Ablenkung am Prellstreuer als zufällig betrachten. Außerdem ist noch wichtig, dass die Ablenkung unabhängig vom bisherigen Weg ist, d.h. wenn eine Kugel neun mal nach links abgelenkt wurde, ist es trotzdem gleich wahrscheinlich, dass sie nach links oder rechts abgelenkt wird, wie wenn sie davor neun mal nach rechts abgelenkt wurde. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel nach rechts abgelenkt wird, ist p, dass sie nach links abgelenkt wird ist (1-p). Im Idealfall gilt: p = (1 p) = 0, 5 (13) Wir können den Weg einer Kugel sehr gut durch eine Bit-Folge darstellen. Hier gilt für eine Ablenkung nach links das Bit =0, für eine Ablenkung nach rechts das Bit =1. Dies 7

9 3 WEGE DER KUGELN ist vor allem sinnvoll, da wir dadurch sehr schnell feststellen können, in welches Fach die Kugel fällt, da für jedes Fach nur eine Möglichkeit für die Anzahl der Rechts- und Linksablenkungen, also eine genaue Anzahl an 1en und 0en. Dies lässt sich am besten durch das folgende Bild (5) zeigen, indem ein möglicher Weg beschrieben wird. Abbildung 5: Möglicher Weg einer Kugel Für die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel genau diesen Weg nimmt gilt dann: p W eg = (1 p) N n p n (14) wobei gilt: N = Anzahl der Ablenkungen n = Anzahl der Rechtsablenkungen Da gilt (1-p) = p ist jeder Weg gleich wahrscheinlich, nämlich genau 1/1024. Allerdings gibt es je nach Fach verschieden viele Wege für die Kugel, um in dieses zu gelangen. So kann die Kugel nur in das Fach 0 kommen, wenn sie immer links abgelenkt wird. Für das Fach 1, muss die Kugel einmal nach rechts abgelenkt werden. Hier ist aber egal, wann dies geschieht, also gibt es für dieses Fach zehn mögliche Wege. Die Wahrscheinlichkeit in ein Fach zu gelangen lässt sich dann beschreiben durch: ( ) N p F ach (n) = (1 p) N n p n (15) n wobei gilt: N = Anzahl der Ablenkungen n = Anzahl der Rechtsablenkungen bzw. Fachnummer Für den Erwartungswert, also die erwartete Anzahl der Kugeln in einem Fach ergibt sich dann: wobei gilt: M = Anzahl der Kugeln E bin (n) = M p F ach (n) (16) 8

10 4 MESSUNGEN 4. Messungen In Tabelle (1) finden sich die Anzahl der Kugeln in den verschiedenen Versuchen wieder. Diese Messwerte werden in der Abbildung (6) dargestellt. Versuchsreihe Fach Tabelle 1: Messergebnisse des Versuchs Abbildung 6: Anzahl der Kugeln pro Fach in den Versuchsreihen 9

11 4 MESSUNGEN Teil III. Auswertung Hier werden zunächst Formeln gezeigt, mit denen wir verschiedene Sachen berechnen. Die Ergebnisse der Berechnungen werden in einer Tabelle am Ende des Formelblocks dargestellt. Zunächst berechnen wir die Mittelwerte der einzelnen Fächer nach dieser Formel: m(n) = 1 K K T (k, n) (17) k=1 wobei gilt: K = Anzahl der Versuche k = Anzahl der Kugeln im Fach n = Fach Der Vertrauensbereich wird durch diese Formel angegeben: σ m (n) = 1 K [T (k, n) m(n)] K(K 1) 2 (18) wobei alles wie oben gilt. Den Erwartungswert kann man entweder durch die Binomialverteilung nach Gleichung (16) oder durch die Normalverteilung nach folgender Gleichung angeben. k=1 wobei gilt: E Nor (n) = M 1 σ 2π (n µ) 2 e 2σ 2 (19) σ 2 = N p(1 p) (20) µ = N p (21) M = Anzahl der Kugeln n = Nummer des Faches N = 10 Stoßkantenzeilen In der folgenden Tabelle werden nun alle Daten zusammengefasst dargestellt: Die Daten der Tabelle (2) werden in diesem Histogramm dargestellt. Für die experimentelle Wahrscheinlichkeit benötigen wir zunächst die Anzahl der insgesamt möglichen Ablenkungen. Hierfür gilt, dass wir 256 Kugeln 10 mal durch das 10

12 4 MESSUNGEN Fach m(n) σ m (n) E bin E Nor 0 0,4 0,22 0,25 0,44 1 3,3 0,7 2,5 2, ,7 0,79 11,25 10, ,0 1, , ,4 1,75 52,5 52, ,0 2, , ,8 1,79 52,5 52, ,0 1, , ,1 0,69 11,25 10,68 9 3,6 0,58 2,5 2, ,7 0,4 0,25 0,44 Tabelle 2: Auswertung der Daten Labyrinth geschickt haben und diese jeweils 10 mal abgelenkt werden konnten. Dadurch gilt für die Gesamtzahl der Ablenkungen: T = = Für die Anzahl der Rechtsablenkungen summieren wir alle Kugeln in den jeweiligen Fächern bei jedem Versuch auf und multiplizieren diese dann mit der Fachnummer, da diese ja genau die Zahl der Rechtsablenkungen angibt. Es gilt dann für die Formel: ( ) 1 K T R = 0 n T (k, n) (22) wofür gilt: n = Fachnummer k = Versuchsreihe K = Anzahl der Versuche = 10 n=0 Bei uns gilt für T R = Für die experimentell ermittelte Wahrscheinlichkeit gilt dann: p R = T R T = = 0, 502 (23) Für die Varianz der Wahrscheinlichkeit gilt unter der Beachtung von T(T-1) T 2, da T sehr groß ist: σp 2 1 T = (x t p) 2 T (T 1) k=1 t=1 T L(0 p) 2 + T R (1 p) 2 (T L + T R ) 2 = T L T R (T L + T R ) 3 11

13 4 MESSUNGEN Abbildung 7: Histogramm Durch die Annäherung T L T R T/2 vereinfacht sich dieser Ausdruck zu σ p 1 2 T = 0, 003 (24) Für den wahren Wert von p können wir nun mit 68% Wahrscheinlichkeit angeben, dass er in dem Bereich: p = 0, 502 ± 0, 003 liegt Mit 95% Wahrscheinlichkeit können wir sagen, dass er im Bereich liegt. p = 0, 502 ± 0, 006 Für die Wahrscheinlichkeit, dass p > p + σ p, gilt, da es mit 68% Wahrscheinlichkeit in diesem Bereich liegt und wir nur die eine Hälfte der Glockenkurve betrachten müssen: 100% 68% 2 = 16% 12

14 4 MESSUNGEN Nun betrachten wir, wie viele Versuche wir ausführen müssten, um mit 95% Sicherheit einen Vertrauensbereich von p ± 0, 001 angeben zu können. Es gilt also: p = p + 2σ p = p + 0, 001 Daraus folgt für σ p = 0,001/2 = 0,0005 Nun können wir die Anzahl der dafür benötigten Ablenkungen nach Gleichung (24) berechnen: T = 1 4(σ p ) 2 = 106 (25) Da gilt T = K N M können wir nun die Gleichung nach K umstellen und die Anzahl der benötigten Versuche Berechnen. K = T N M Man muss also den Versuch 391 mal ausführen. = 390, (26) Als letzten Teil der Auswertung sollen wir noch den Mittelwert µ und die Standardabweichung σ der Binomialverteilung unter Beachtung der Fehlerfortpflanzung aus unserer gemessenen Wahrscheinlichkeit p berechnen. Für µ gilt nach Gleichung (21): µ = N p (27) = N (p R ± σ pr ) (28) = 10 (0, 502 ± 0, 003) (29) = 5, 02 ± 0, 03 (30) Für die Standardabweichung gilt nach Gleichung (20): Für den Fehler von σ gilt dann: σ = N p R (1 p R ) = 1, 581 ± δσ (31) δ σ = (σ p R p R + σ p R 1 p R (32) = 0, 030 Es gilt also: σ = 1, 581 ± 0,

15 4 MESSUNGEN Teil IV. Fragen Ein Versuch mit dem Galton-Brett liefert eine Verteilung der M = 256 Kugeln auf die N +1 = 11 Fächer. Wie viele solche Versuchsergebnisse sind möglich, wenn man a) die Kugeln unterscheidet bzw. b) die Kugeln nicht unterscheidet. a) Wenn man die Kugeln unterscheidet, gibt es insgesamt = , da es 11 Möglichkeit für jede der 256 Kugeln gibt. b) Wenn man die Kugeln nicht unterscheidet, also nur zählt, wie viele Kugeln in einem Fach sind, kann man dies berechnen durch: ( ) ( ) M + N 266 = = 4, (33) N 10 14

16 2 QUELLEN Teil V. Quellenverzeichnis 1. Tabellen- und Bilderverzeichnis Abbildung 1 Selbsterstellt Abbildung 2 Abbildung Lohse, Tobias Praktikumsbericht: Gakton- Brett WS09/10 Abbildung 3 Aus Anleitung übernommen, bzw. eigenes Foto Abbildung 4 Aus Anleitung übernommen Abbildung 5 Aus Anleitung übernommen Abbildung 6 Selbsterstellt Abbildung 7 Selbsterstellt Tabelle 1 Selbsterstellt Tabelle 2 Selbsterstellt 2. Quellen Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 1, 5. Auflage, Springer Verlag, 2008 Fehlerrechnung des Anfänger Praktikums Versuchsanleitung Galton-Brett 15