Skript zum Modul Statistik

Transkript

1 Skript zum Modul 4 - Statistik 5 Kozetratiosmaße Zusätzlich zu de Lageparameter (Sitzug 3), die markate Pukte (z.b. Media, Modus, Mittelwert) beschreibe ud de Streuugsparameter (Sitzug 4), die de Charakter der Verteilug (z.b. Variaz ud Stadardabweichug) köe statistische Verteiluge och durch Kozetratiosmaße ud Disparitätsparameter beschriebe werde. Mit der Kozetratio wird die Art der Verteilug der Merkmalssumme auf die Merkmalsträger beschriebe. Die Beurteilug ud der Vergleich vo Kozetratioe erfolgt meist ahad der beide Extremfälle, die bei statistische Verteiluge auftrete köe:. Gleichverteilug Jeder Merkmalsträger vereit die gleich Merkmalssumme. Bei großer Azahl vo Merkmalsträger führt dies zu miimaler Kozetratio. 2. Vollkommee Ugleichverteilug Ei Merkmalsträger vereit die gesamte Merkmalssumme auf sich. Beispiel Eikommesverteilug i West Deutschlad 995: Persoe mehr Eikomme i Tds D-Mark Die Eikommesverteilug vo West Deutschlad zeigt eie ausgeglichee Kozetratio. Die mittlere Eikomme zeige eie deutliche Kozetratio wogege sowohl die sehr hohe als auch die sehr iedrige Eikomme sehr viel selteer auftrete. 5-

2 Skript zum Modul 4 - Statistik 5. Absolute Kozetratio Die Beurteilug der absolute Kozetratio erfolgt durch de Vergleich der relative kumulierte Häufigkeite der eizele Merkmale mit dee eier theoretische Gleichverteilug: Testverteilug x i h i f i F i Gleichverteilug x i h i f i F i Der Vergleich eier Testverteilug mit eier etsprechede Gleichverteilug ka graphisch erfolge, wie i der folgede Abbildug dargestellt:,9,8,7,6 Test Verteilug Gleichverteilug,5,4,3,2, Die absolute Kozetratio ist vorwieged für uklassierte, omial- oder ordialskalierte Merkmale vo Bedeutug. Je stärker der Verlauf der kumulierte relative Häufigkeite vo der Gerade der Gleichverteilug abweicht, desto stärker sid die Date auf eie oder weige Merkmalsträger kozetriert. 5.. Herfidahl-Idex Zusätzlich zur graphische Aalyse ka zur Bewertug der Kozetratio der Herfidahl-Idex berechet werde, der mit C H bezeichet wird. Der Herfidahl-Idex 5-2

3 Skript zum Modul 4 - Statistik ist defiiert als die Summe der quadrierte relative Häufigkeite ud berechet sich ach: CH = 2 f i Für das Beispiel ergäbe sich ei Herfidahl-Idex vo: x i h i f i f i ² C H = =.265 Für die Gleichverteilug ergibt sich ei Herfidahl-Idex vo: x i h i f i f i ² C H 2 = fi = 2 = 2 = Damit wäre hier: C H = / 5 =.2 Bei Gleichverteiluge ist C H immer / Für absolute Ugleichverteiluge ergibt sich ei Herfidahl-Idex vo: x i h i f i f i ² Bei absolute Ugleichverteiluge ist der Herfidahl-Idex immer. Damit ist das Werteitervall für CH gefude: C H Als Faustregel gilt: Kozetratioe vo kleier. werde i der Regel als gerig, solche größer.8 als hoch bezeichet. 5-3

4 Skript zum Modul 4 - Statistik 5.2 Relative Kozetratio Liege itervall- oder ratioalskalierte Merkmalsverteiluge vor besitzt die relative Kozetratio oder Disparität eie größere Aussagekraft. Außerdem ka mit ihr die Kozetratio klassierter Merkmalsverteiluge berechet werde. Wie bei der absolute Kozetratio erfolgt die Bewertug der relative Kozetratio durch de Vergleich mit eier theoretische Gleichverteilug. Zur Darstellug ud Quatifizierug der relative Kozetratio wird im allgemeie die Lorezkurve beutzt Lorezkurve Bei der Berechug der absolute Kozetratio wurde die relative kumulierte Häufigkeite (Fi) gege die Merkmalsauspräguge aufgetrage. Zur Berechug der relative Kozetratio werde dagege die relative kumulierte Häufigkeite der Merkmalsträger ud der Merkmalsauspräguge gegeeiader aufgetrage. Daraus ergibt sich die Lorezkurve, mit der die Kozetratio beurteilt werde ka. Die graphische Beurteilug der relative Kozetratio erfolgt ahad der Lorezkurve, die folgedermaße kostruiert wird. Das achfolgede Beispiel soll die Kostruktio der Lorezkurve verdeutliche. Beispiel: Eie Umfrage uter StudetIe hisichtlich ihrer moatliche fiazielle Aufweduge zur Freizeitgestaltug ergibt sich folgede Verteilug: Ausgabe i StudetIe Summe: Zuächst wird die Merkmalssumme berechet Ausgabe i StudetIe Ausgabe * Persoe Summe: 35 Da werde die relative Häufigkeite sowohl der Merkmalsträger als auch der Merkmalssumme berechet. 5-4

5 Skript zum Modul 4 - Statistik Ausgabe i StudetIe Ausgabe * Persoe f (stud) f (ausg*stud) Summe: 35.. Es folgt die Berechug der kumulierte relative Häufigkeite sowohl der Merkmalsauspräguge als auch der Merkmale. StudetIe Ausgabe * Persoe F (stud) f(ausg *stud) F (stud) F (ausg*stud) Für die Kostruktio der Lorezkurve werde schließlich die relative kumulierte Häufigkeite der Merkmalsträger auf der X-Achse ud die der Merkmalsauspräguge auf der Y-Achse aufgetrage ud die Pukte miteiader verbude. Wobei die Diagoale eier Gleichverteilug estpricht. F(Ausgabe) F(Studete) 5-5

6 Skript zum Modul 4 - Statistik Die Erstellug der Lorezkurve bei klassierte Verteiluge erfolgt geerell aalog zu der diskreter Date. Allerdigs sid je ach Datelage weiter Recheschritte otwedig. Beispiel: Eikommesklasse vo Haushalte Eikommesklasse Haushalte Summe: 2 Um die Summe der Merkmalsauspräguge zu ermittel, müsse zuächst die arithmetische Klassemittel durch die jeweilige Klassemitte approximiert werde. Da köe die Merkmalssumme als Produkt der Merkmalsträger ud der Klassemitte berechet werde. Eikommesklasse Haushalte (h i ) Klassemitte (x im ) Merkmalssumme (h i * x im ) Summe: Durch die Berechug der relative kumulierte Häufigkeite der Merkmalsträger (Haushalte) ud der relative kumulierte Häufigkeit der Merkmalssumme (Haushalte * Klassemitte) ka schließlich die Lorezkurve kostruiert werde. Haushalte (h i ) Merkmalssumme (h i * x im ) Haushalte F(h i ) Merkmalssumme F(h i * x im )

7 Skript zum Modul 4 - Statistik,9,8,7,6,5,4,3,2,,2,4,6, Der Gii-Koeffiziet Die quatitative Bewertug der Kozetratio, die durch die Abweichug der Lorezkurve vo der Diagoale der Gleichverteilug beschriebe wird, erfolgt durch die Berechug des GINI Koeffiziete Der GINI Koeffiziet beschreibt das Verhältis zwische der Lorezkurve ud der X- Achse ud der Diagoale ud der X-Achse. Hierzu werde die Bereiche uterhalb der Lorezkurve i Trapeze zerlegt ud dere Fläche aufsummiert. Die Differez dieser Fläche vo der der Diagoale ergibt de Koeffiziete

8 Skript zum Modul 4 - Statistik Die Berechug des GINI-Koeffiziete G erfolgt ach: Mit: F i Fx i f G = ( F F )( Fx + Fx ) i i f i i X-Werte der Lorezkurve (kumulierte relative Häufigkeite der Merkmalsträger) Y-Werte der Lorezkurve (kumulierte relative Häufigkeite der Merkmalsauspräguge) relative Häufigkeit der/des -te (letzte) Klasse/Merkmalsträger Für das Beispiel ergibt der Gii-Koeffiziet ach: Haushalte Merkmalssumme (x i ) Haushalte F i MS Fx i F i -F i- (a) Fx i +Fx i- (b) a*b G = ( F F )( Fx + Fx ) i i f i i.6953 = = Der Gii-Koeffiziet besitzt eie Wertebereich vo: G Mit: G = vollkommee Kozetratio aller Merkmale auf eie Merkmalsträger G = vollkommee Gleichverteilug der Merkmale auf alle Merkmalsträger 5-8

9 Skript zum Modul 4 - Statistik 5.3 Übugsaufgabe Aufgabe : Gegebe sei folgede Tabelle aus Bagkok Bak, Statistical Data o Thai Commercial Bak, various issues : Table: Total assets of domestic baks (billios of Bahts) Bagkog Bak Ltd Bagkog Bak of Commerce Bagkok Metropolita Bak Bak of Asia Bak of Ayudhya First Bagkok City Bak Krug Thai Bak Laem Thog Bak Nakorotho Bak Siam City Bak Siam Commercial Bak Thai Dau Bak Thai Farmers Bak Thai Military Bak Uio Bak of Bagkok Bestimme Sie de Herfidahl-Idex für die Jahre 985 bis 993! Aufgabe 2: Ei Markt werde vo 5 Uterehme beliefert. 3 Uterehme besitze jeweils % Marktateil; die restliche beide besitze eie Marktateil vo 2% bzw. 5%. a) Erstelle Sie die zugehörige Lorezkurve (graphische Lösug!) b) Beurteile Sie die Verteilug hisichtlich eier Gleichverteilug. Aufgabe 3: I der Diskussio zur Ugleichheit i de Läder Frakreich ud Deutschlad wird am Ede des Jahres 2 i der FAZ bzw. i Le Mode folgedes behauptet: I Deutschlad beziehe /3 der Eikommesbezieher 2/3 des verfügbare Eikommes. I Frakreich verfüge / der Bürger über die Hälfte des Vermöges. a) Zeiche Sie für beide Läder die Lorezkurve b) Bestimme Sie de jeweilig zugehörige GINI-Koeffiziete c) I welchem Lad ist die Ugleichheit größer? Begrüde Sie Ihre Atwort! 5-9

10 Skript zum Modul 4 - Statistik Aufgabe 4: Gegebe sei die folgede Eikommesverteilug: Wocheloh Häufigkeit > > > > >9-2 3 a) Bereche Sie das mittlere Eikomme b) Bereche Sie die Stadardabweichug ud Variaz c) Bereche Sie de Herfidahl Idex d) Erstelle Sie die Lorezkurve e) Bereche Sie de Gii-Koeffiziete f) Iterpretiere Sie die Ergebisse 5-

11 Skript zum Modul 4 - Statistik 5.4 Musterlösug Lösug zu Aufgabe : Zur Berechug des Herfidahl-Idexes werde zuächst die quadrierte relative Häufigkeite berechet: Quadrierte relative Häufigkeite f i ²: Bak id Summe Der Herfidahl-Idex für die eizele Jahre ergibt sich aus der Summe ach: CH = 2 f i Daach ergebe sich folgede Idices für die eizele Jahre: Herfidahl-Idex Zur Beurteilug der Kozetratio muss och der Wertebereich des Idexes bei der gegebee Verteilug bestimmt werde. Dieser liegt zwische (vollkommee Kozetratio) ud / (Gleichverteilug). Im Falle des Beispiels /5 =.67. Die Berechug zeigte also, dass: a) die Umsätze verhältismäßig gleichverteilt sid 5-

12 Skript zum Modul 4 - Statistik b) im Laufe der Jahre vo dieser Tred sich fortsetzt ud ab 993 die Kozetratio wieder zuimmt. Lösug zu Aufgabe 2: Ei Markt werde vo 5 Uterehme beliefert. 3 Uterehme besitze jeweils % Marktateil; die restliche beide besitze eie Marktateil vo 2% bzw. 5%. a) Erstelle Sie die zugehörige Lorezkurve (graphische Lösug!) b) Beurteile Sie die Verteilug hisichtlich eier Gleichverteilug. Zuächst erfolgt die Berechug der kumulierte relative Häufigkeite. () Uterehme Marktateil (h) f(uter ehme) f() f(markt ateil) f(h) F(Uter ehme) F() F(Markt ateil) F(h) Summe - - zu a) Die relative kumulierte Häufigkeite werde als Lorezkurve dargestellt wobei die Merkmalsträger (=Uterehme) auf der X-Achse, die Merkmalsausprägug auf der Y-Achse dargestellt werde. zu b) Zur quatitative Beurteilug muss der GINI Koeffiziet berechet werde ach: rel. Marktateile rel. Uterehme ( Fi Fi )( Fxi + Fxi ) G = f ( (.2.) + (.4.2) (.+.2) + (.6.4) (.3 +.2) + (.8.6) (.5 +.3) + (..8) (. +.5) ) =.2 ( ) =.2 =.45 Ei GINI-Koeffiziet vo.45 zeigt, dass die Kozetratio ugefähr zwische eier Gleichverteilug () ud eier vollkommee Kozetratio liegt (), mit leichter Tedez i Richtug Gleichverteilug. 5-2

13 Skript zum Modul 4 - Statistik Lösug zu Aufgabe 3: I der Diskussio zur Ugleichheit i de Läder Frakreich ud Deutschlad wird am Ede des Jahres 2 i der FAZ bzw. i Le Mode folgedes behauptet: I Deutschlad beziehe /3 der Eikommesbezieher 2/3 des verfügbare Eikommes. I Frakreich verfüge / der Bürger über die Hälfte des Vermöges. Zeiche Sie für beide Läder die Lorezkurve Lösug: Zuächst ist es hilfreich die Date i Tabelle darzustelle: Deutschlad: f() Bezieher f(x) Eikomme F() F(x) Frakreich Deutschlad Frakreich: f() Bezieher f(x) Eikomme F() F(x) Auf Basis der Tabelle köe da die Lorezkurve erstellt werde b) Bestimme Sie de jeweilig zugehörige GINI-Koeffiziete Lösug: Mit de Tabelle aus a) köe da leicht die GINI-Koeffiziete berechet werde: Für Deutschlad: Für Frakreich: (( )( ) ( )( )) G =.333 ( ).333 = = = (( )( ) ( )( )) G =. (.45+.5).4 = = = Demach liegt der GINI-Koeffiziet für die Kozetratio der Eikomme i Deutschlad bei.5 i Frakreich dagege bei

14 Skript zum Modul 4 - Statistik c) I welchem Lad ist die Ugleichheit größer? Begrüde Sie Ihre Atwort! Lösug: Die Gii-Koeffiziete beider Läder sid verhältismäßig ählich. Der GINI- Koeffiziet vo Frakreich (.44) ist etwas kleier als der vo Deutschlad (.5). Es ka deshalb davo ausgegage werde, dass die Kozetratio i Frakreich gerigfügig iedriger ist als i Deutschlad. Lösug zu Aufgabe 4: Gegebe sei die folgede Eikommesverteilug: Wocheloh Häufigkeit > > > > >9-2 3 Lösug: Zuächst ist es wieder sehr hilfreich eie Arbeitstabelle zu erstelle, wobei die Klassemitte für die Berechug der Merkmalsauspräguge (x i ) hizugezoge werde, die sich als Produkt aus Klassemitte ud absoluter Häufigkeit berechet ergebe: () (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) () i x i h i x i *h i f(h i ) f(x i *h i ) F(h i ) F(x i *h i ) h i *(x i - x m )² (f(x i *h i ))² Σ a) Bereche Sie das mittlere Eikomme x = x i h i = = 7.5 Das mittlere Eikomme beträgt also 7.5. b) Bereche Sie die Stadardabweichug ud Variaz 5-4

15 Skript zum Modul 4 - Statistik 2 s = hi i 5 Die Variaz der Verteilug beträgt ². Daraus ergibt sich s als Wurzel: 2 ( x x) = = s = = 6.75 Die Stadardabweichug beträgt c) Bereche Sie de Herfidahl Idex Der Herfidahl-Idex ergibt sich aus der Summe der quadrierte relative Häufigkeite der Merkmalssumme (Spalte ) ud beträgt.92. Bei Gleichverteilug wäre der Idex = / also.667. Daher ka vo eier verhältismäßig gleichförmig kozetrierte Vereilug ausgegage werde. d) Erstelle Sie die Lorezkurve Die Lorezkurve ergibt sich aus de kumulierte relative Häufigkeite der Merkmalsträger (X-Achse) ud der der Merkmalssumme (Y-Achse). Aus ihr ist ebefalls geht e- befalls hervor, dass die Eikomme ahezu gleichverteilt sid. kum. rel. Merkmalssumme kum. rel. Merkmalsträger e) Bereche Sie de Gii-Koeffiziete Der GINI-Koeffiziet ergibt sich ach: (( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) G =.6 ( ) = = =.9.94 Auch hier zeigt sich, dass die Kozetratio sehr ahe a der Gleichverteilug liegt (GINI ahe ). Iterpretatio: Sowohl der Herfidahl-Idex, als auch die Lorezkurve ud der GINI Koeffiziet spreche für eie ugefähre Gleichverteilug der Eikomme. Dies bedeutet, dass die Summe der Eikomme im Verhältis zu de Persoe die diese Eikomme beziehe i ahezu gleichverteilt ist. 5-5