Erzielte Bonuspunkte aus der Vorklausur:

Transkript

1 Fakultät für Wirtschaftswissenschaft KLAUSUR Mathematik für Ökonomen Wintersemester 016/ Name Vorname Matrikelnummer Teilnehmer-Nr. Unterschrift Erzielte Bonuspunkte aus der Vorklausur: Punkte Zur Beachtung Die Klausur umfasst 8 Aufgaben; pro Aufgabe sind 5 Punkte erreichbar. Es haben nur solche Lösungen Anspruch auf Wertung, aus denen der Lösungsweg klar ersichtlich ist. Dauer der Klausur: 90 Minuten Hilfsmittel: keine Bitte nicht ausfüllen Punkte Note Unterschrift

2 Aufgabe 1 A 1 Ein Unternehmen stellt die Produkte P 1, P, P 3 auf den Maschinen M 1, M her. Die Herstellung kann an zwei alternativen Standorten S 1, S mit unterschiedlichen Produktionskosten erfolgen. Die Fertigungszeiten pro Maschine (in Stunden/ Stück), das Produktionssoll sowie die Kosten pro Maschinenstunde an den beiden Standorten liegen in Tabellenform vor: (a) Produktionszeiten M 1 M Produktionssoll Maschinenkosten S 1 S P M P 1 50 M P Stellen Sie die Angaben durch zwei Matrizen und einen Vektor dar. Verwenden Sie ausschließlich diese Größen zur Lösung der Teilaufgaben (b),(c),(d). (b) Ermitteln Sie die Matrix K der Fertigungskosten ( k ij = Fertigungskosten von Produkt P i am Standort S j ). (c) Wie lange wird jede der Maschinen M 1, M zur Herstellung des Produktionssolls insgesamt eingesetzt? (d) Welche Gesamtkosten entstünden dabei an jedem der beiden Standorte?

3 Aufgabe A (a) Bestimmen Sie die Determinante A von A = (b) Welche Definitheit besitzt A? (Begründung!) (c) Berechnen Sie die inverse Matrix A 1.

4 Aufgabe 3 A 3 Ein Unternehmen stellt die Produkte P 1, P, P 3 an den Fertigungsstellen F 1, F, F3 her. Die je Produkt- und Fertigungsstelle benötigten Produktionszeiten, die Kapazitäten der Fertigungsstellen sowie die Deckungsbeiträge (DB) der Produkte sind in nebenstehender Tabelle zusammengefasst: P 1 P P 3 Kapazität F F F 3 60 DB 1 3 (a) Stellen Sie das zugehörige Simplex-Anfangstableau zur Maximierung des DB auf. BV x 1 x x 3 u 1 u u 3 r.s. z (b) Während der Durchführung des Simplex-Algorithmus eines anderen Optimierungsproblems ergibt sich folgendes Tableau: BV x 1 x x 3 u 1 u u 3 u 4 r.s. θ x u x u z Welche Variable ist in die Basis aufzunehmen? Füllen Sie die letzte Spalte des Tableaus aus und markieren Sie das Pivotelement. Welche Variable entfällt aus der Basis? (c) Das Endtableau eines weiteren Optimierungsproblems besitzt folgende Gestalt: BV x 1 x x 3 u 1 u u 3 r.s. x u x z Wie lauten die optimalen Produktionsmengen? x 1 = x = x 3 = Welcher DB wird dabei erzielt? DB = F 1 : An welcher Fertigungsstelle gibt es noch wie viel freie Kapazität? Wie lauten die optimalen Produktionsmengen, wenn die Ausgangskapazität von F 3 um eine ZE erhöht wird? F : F 3 : x 1 = x = x 3 = Hinweis: Statt "0" oder "keine" wird " " nicht als Antwort auf eine der Fragen akzeptiert.

5 Aufgabe 4 A 4 Ein Betrag von soll angelegt werden. Die Bank bietet alternativ die beiden folgenden Anlageformen: (a) 1,% bei monatlicher Zinszahlung; (b) Bonussparen mit 0,5 %-iger Verzinsung und einem jährlichen Bonus von 100. (1) Wie hoch ist das Kapital nach 5 Jahren in jeder der beiden Anlageformen, wenn die Zinsen bzw. der Bonus dem Konto jeweils am Ende einer Zinsperiode gutgeschrieben und mitverzinst werden? () Welche effektive Verzinsung erzielt man mit jeder der beiden Anlageformen? Geben Sie bei jeder Rechnung zunächst die jeweils zu verwendende Formel an. 1,01 5 =,1915 1, =, ,005 5 =, e 0,06 =,13673 e 0,05 =,05063 ln (,13609 ) = 0,1199 ln (, ) = 0,0985 5,13609 = 1,0107 5,13673 = 1,0107 5, = 1,0099

6 Aufgabe 5 A 5 Für ein Produkt sind die Nachfragemenge x in Abhängigkeit seines Verkaufspreises p sowie die Produktionskosten K in Abhängigkeit der hergestellten Menge x gegeben durch x(p) = 500, p 19, K(x) = x 0 x. p 18 Bei welchem Preis p 0 ( bzw. der dazugehörigen Menge x 0 ) wird der Gewinn maximal? ( Voraussetzung: hergestellte Menge = nachgefragte Menge. )

7 Aufgabe 6 A 6 Untersuchen Sie die Funktion f (x, y) = 3x y + 6xy 7 ln(x) 16 ln(y) auf lokale Extrema bzw. Sattelpunkte.

8 Aufgabe 7 A 7 (a) Ist die Funktion f (x, y) = x /3 y 1/3 x y x /3 y 1/3 homogen? Wenn ja, von welchem Grade? (Rechnung!) (b) Bestimmen Sie die beiden partiellen Elastizitäten. (c) Um wie viel % ändert sich der aktuelle Funktionswert f (x 0, y 0 ) näherungsweise, wenn jede Variable ceteris paribus um 3 % erhöht wird? (d) Um wie viel % ändert sich der aktuelle Funktionswert exakt, wenn beide Variablen gleichzeitig um 3 % erhöht werden?

9 Aufgabe 8 A 8 (a) Bestimmen Sie für die Funktion f (x, y) = x ln(y + 1) + y 3 sin(x +1) mit x(t) = e t + 1 und y(t) = t 1 d f die totale Ableitung mit Hilfe der Kettenregel. Geben Sie zunächst die Formel dafür an. d t (b) Ermitteln Sie die Steigung d y d x der impliziten Funktion x y xy + x 3y + 1 = ln(x) 3 ln(y) im Punkt (1, 1). Geben Sie zunächst die Formel dafür an ( incl. f (x, y) ). f (x, y) =