F-Mathe-Klausur am

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1 F-Mathe-Klausur am Aufgabe 1 Jemand zahlt bei 4% Zinsen p.a. im Zeitraum vom bis jeweils zu Beginn eines Monats 200 und im Zeitraum vom bis jeweils zu Beginn eines Quartals 750 auf ein Konto ein. a) Wie hoch ist der Kontostand am ? b) Wie hoch ist das Guthaben am ? c) Wie oft kann er anschließend eine regelmäßige jährliche vorschüssige Rente über beziehen, deren erster Betrag fällig ist am ? Aufgabe 2 Ein Unternehmen hat gegenüber einem Kunden die folgenden drei Forderungen: Fälligkeitstermin Betrag GE GE GE a) Die Wirtschaftsprüfung schlägt vor, die drei Forderungen mit dem Barwert in der Bilanz auszuweisen. Mit welchem Betrag geht dann die Summe der drei Forderungen in die Bilanz zum ein? Verwenden Sie bei Ihren Berechnungen die relative gemischte Verzinsung und gehen Sie von einem nominellen Jahreszins von 3,5% aus. b) Am wird eine Änderung der Zahlungsmodalitäten vereinbart. Dem Schuldner soll mehr Zeit zur Rückzahlung gegeben werden. Die Rückzahlung erfolgt nun in zwei Beträgen zum und zum Dabei soll die zweite Zahlung dreimal so hoch sein wie die erste Zahlung. Bestimmen Sie beide Beträge, wenn der Bewertungsstichtag der ist. Verwenden Sie bei Ihren Berechnungen die relative gemischte Verzinsung und gehen Sie von einem nominellen Jahreszins von 3,5% aus. Lösung zu Aufgabe 1: a) r J = 200(12 + 6,5 0,04) = R 6 = ,046 1 = ,06 0,04 d.h. der Kontostand am beträgt ,06. b) ,06 1,04 3 = ,85 r J = 750(4 + 2,5 0,04) = R 3 = ,043 1 = 9598,92 0,04 K 9 = , ,92 = ,77 d.h. das Guthaben am beträgt ,77. 1

2 c) ,77 [ 1,04 2 = ,90 1 ln n = ] ,90 0,04 1, = 22,13 ln 1,04 d.h. 22 Jahre lang können die vollen Beträge ausgezahlt werden. Lösung zu Aufgabe 2 a) Wert der Forderungen am ,035 ( ,035) , ( ,035) ,035 5 = , , ,33 = ,07 d.h. in die Bilanz zum gehen die Forderungen mit einem Betrag von ,07 GE ein. b) Wert der Forderungen am , ,035) 1, , ,035) 12 = , , ,30 ( = , ,71 = 1,035 4 ( ,035) + 3 1, ( ,71 = 0, , ,71 = 0, , ,71 = 3, = ,5957 bzw. 3 = ,7870 d.h. die erste Forderung beträgt ,60 GE und die zweite Forderung beträgt ,80 GE. 2

3 QM I Klausur am Aufgabe 1 a) Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung der Funktion f() = ln(); > 0. b) Gegeben sei die Preis-Absatz Funktion: (p) = p ; p 0 Bestimmen Sie die Elastizität von (p) im Punkt p = 8 und interpretieren Sie das Ergebnis. c) Zeigen Sie, dass die Funktion f() = 2 e ; IR für 0 der Gleichung f () = f() 2 + genügt. Aufgabe 2 Jede der drei Kostenstellen K 1, K 2, K 3 des Unternehmens A erbringt Leistungen (gemessen in LE) für die jeweils anderen Kostenstellen und für Kunden außerhalb des Unternehmens gemäß folgender Tabelle: an K 1 an K 2 an K 3 an Kunden K K K Die Primärkosten betragen 300 GE in K 1, 200 GE in K 2 und 270 GE in K 3. a) Stellen Sie das lineare Gleichungssystem zur Berechnung der innerbetrieblichen Verrechnungspreise auf. b) Bestimmen Sie die innerbetrieblichen Verrechnungspreise mithilfe des Gauß- Algorithmus. Aufgabe 3 a) Bestimmen Sie die Sattelstellen von f(, y) = 4y y ; (, y) IR 2 b) Bestimmen Sie die globale Minimalstelle der Funktion f(, y) = 2 + 2y 2 + y + + y 17 ; (, y) IR 2 unter der Nebenbedingung + y = 8. Lösung zu Aufgabe 1 a) f () = und f () = b) (8) = = = 5 ( ) 75 (p) = = ( 75 (7 + p) 1) = 75 ( 1) (7 + p) 2 1 = p (7 + p) 2 1

4 (8) = 75 (7 + 8) 2 = = 1 3 ε (8) = = 0,53 d.h. steigt der Preis von 8 GE um ein Prozent, so sinkt der Absatz um 0,53 Prozent. c) 1. Lösungsweg: ( ) 2 f () = 2 e + 2 e = e = e = 2 + f() 2. Lösungsweg: 2 + f() = e = (2 + ) e = 2e + 2 e = f () Lösung zu Aufgabe 2 a) v 1 = Bewertung in GE für eine in K 1 hergestellte LE v 2 = Bewertung in GE für eine in K 2 hergestellte LE v 3 = Bewertung in GE für eine in K 3 hergestellte LE Kostengleichgewicht: I ( )v 1 20v 2 40v 3 = 300 II ( )v 2 25v 1 30v 3 = 200 III ( )v 3 15v 1 10v 2 = 270 b) Gaußalgorithmus Zeile v 1 v 2 v 3 Operation v 3 = v 3 = v = 590 v 2 = = 762 = v = 30 v 1 = = 44 = Lösungsmenge des Gleichungssystems: 4 IL = { 3 } 2 2

5 d.h. die innerbetrieblichen Verrechnungspreise betragen in K 1 genau 4 GE, in K 2 genau 3 GE und in K 3 genau 2 GE. Lösung zu Aufgabe 3 a) f (, y) = 4y + 6 f (, y) = 0 f y (, y) = f yy (, y) = 0 f y (, y) = 4 Notwendige Bedingung: I 0 = 4y + 6 II 0 = y = 3 2 = 1 2 d.h. ( 1; 3 ) ist ein stationärer Punkt. 2 2 Hinreichende Bedingung: D( 1 2 ; 3 2 ) = 0 42 = 16 < 0 d.h. ( 1; 3 ) ist eine Sattelstelle 2 2 b) 1. Lösungsweg: Einsetz-Methode NB + y = 8 = 8 y Setze f(y) = (8 y) 2 + 2y 2 + (8 y)y + (8 y) + y 17 = 64 16y + y 2 + 2y 2 + 8y y y + y 17 = 2y 2 8y + 55 f (y) = 4y 8 f (y) = 4 Notwendige Bedingung: 0 = 4y 8 y = 2 = 8 2 = 6 Hinreichende Bedingung: f (y) = 4 > immer 0 d.h. f(, y) hat in (6 ; 2) eine globale Minimalstelle unter Berücksichtigung der Nebenbedingung. 2. Lösungsweg: Einsetz-Methode NB + y = 8 y = 8 Setze f() = 2 + 2(8 ) 2 + (8 ) + + (8 ) 17 = = f () = 4 24 f () = 4 Notwendige Bedingung: 0 = 4 24 = 6 y = 8 6 = 2 Hinreichende Bedingung: f () = 4 > immer 0 d.h. f(, y) hat in (6 ; 2) eine globale Minimalstelle unter Berücksichtigung der Nebenbedingung. 3. Lösungsweg: Lagrange-Methode: L(, y, λ) = 2 + 2y 2 + y + + y 17 + λ( + y 8) 3

6 L (, y, λ) = 2 + y λ L (, y, λ) = 2 L y (, y, λ) = 4y λ L yy (, y, λ) = 4 L λ (, y, λ) = + y 8 L y (, y, λ) = 1 Notwendige Bedingung: I 0 = 2 + y λ II 0 = 4y λ III 0 = + y 8 I II 0 = 3y = 3y III 0 = 3y + y 8 = 4y 8 y = 2 = 8 2 = 6 Der Wert von λ 0 wird nicht benötigt. Hinreichende Bedingung: D(; y; λ 0 ) = = 7 > immer > 0 L (; y; λ 0 ) = 2 > immer 0 d.h. f(, y) hat in (6 ; 2) eine globale Minimalstelle unter Berücksichtigung der Nebenbedingung. 4

7 QM II Klausur am Aufgabe 1 Herr Müller hat ein Vermögen von Euro. a) Das Vermögen wird mit einem Zinssatz von 6% pro Jahr verzinst. 1. Herr Müller entnimmt am Anfang eines jeden Quartals 500 Euro. Über welchen Betrag verfügt Herr Müller nach 10 Jahren? 2. Wie viel dürfte Herr Müller bei einer jährlichen Entnahme zum jeweiligen Jahresanfang entnehmen, so dass er in 10 Jahren weiterhin über ein Vermögen von Euro verfügt? c) Wie hoch müsste der Zinssatz bei stetiger Verzinsung sein, damit aus dem Vermögen von Euro in 10 Jahren ein Vermögen von Euro wird? b) Herr Müller erwirbt am ein Haus zum Preis von Euro und nimmt dafür einen Kredit in Höhe von Euro auf. Für die Ausgestaltung des Kredits bestehen zwei Möglichkeiten: 1. Möglichkeit: Der Kredit hat eine Laufzeit von 20 Jahren und soll in gleichbleibenden jährlichen Tilgungsraten getilgt werden. Der Zinssatz beläuft sich auf 3%. 2. Möglichkeit: Der Kredit hat eine Laufzeit von 15 Jahren. Der Kredit wird mit einer einzigen Zahlung am Ende der Laufzeit getilgt. Der jährliche Zinssatz beläuft sich auf 2%. Welche Tilgungsmöglichkeit sollte Herr Müller wählen, wenn er als Entscheidungskriterium den Barwert aller Zinszahlungen heranzieht? Lösung zu Aufgabe 1 a) 1. r J = 500(4 + 2,5 0,06) = K 10 = , , = ,62 0,06 d.h. er kann über ,62 Euro verfügen. 2. Zinsen am Ende des ersten Jahres = ,06 = Euro. Ewige vorschüssige Jahresrente = ,06 = 5 660,38 d.h. er dürfte jeweils zu Beginn eines Jahres 5 660,38 Euro abheben. b) = e 10 i 2 = e 10 i ln 2 = 10 i i = ln 2 10 = 0, d.h. der Jahreszinssatz müsste 6,931472% betragen. c) 1. Möglichkeit: Tilgungsbetrag der Ratentilgung = = Barwert aller Zinszahlungen einer Ratentilgung: Z 0 = , ,03 1 = ,50 1,0320 1

8 2. Möglichkeit: Schulden nach 15 Jahren, wenn nichts zurück gezahlt wird: K 15 = ,02 15 = ,3 Summe der Zinszahlungen am Ende des 15. Jahres: , = ,3 Barwert aller Zinszahlungen: ,3 1,02 15 = ,1 d.h. der Barwert aller Zinszahlungen ist bei der ersten Möglichkeit geringer und somit ist die erste Möglichkeit günstiger. 2