Klausur Mathematik 2

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1 Mathematik für Ökonomen WS 215/16 Campus Duisburg PD Dr. V. Krätschmer, Fakultät für Mathematik Klausur Mathematik , 13:3-15:3 Uhr (12 Minuten) Erlaubte Hilfsmittel: Nur reine Schreib- und Zeichengeräte. Der Einsatz anderer Hilfsmittel so z.b. schriftliche Unterlagen, elektronische Geräte wie Handy oder Rechner jeder Art wird ohne genauere Prüfung der tatsächlichen Verwendung als Täuschungsversuch gewertet. Die Klausur muß geheftet bleiben. Bei Klausurunterbrechung müssen die Klausur und ein Ausweis bei der Aufsicht hinterlegt werden. Eine (gehäufte) vorzeitige Abgabe stört. In den letzten 3 Minuten ist daher keine vorzeitige Abgabe möglich. Während der Klausur können keine Fragen zu den Aufgaben gestellt werden, die Aufgabenstellung entspricht genau der frühzeitig angekündigten und geübten Form. Die Klausur besteht aus 9 Aufgaben, dabei sind die erreichbaren Punkte auf dem Deckblatt und zusätzlich auch an jeder Aufgabe kenntlich gemacht. Insgesamt sind 5 Punkte erreichbar. Ab erreichten 23 Punkten ist die Klausur bestanden, gutes Gelingen! Platznummer Matrikelnummer Name Vorname Geburtsdatum Unterschrift Ich habe obige Punkte gelesen. Meine Personendaten habe ich korrekt angegeben: NUR für Teilnehmer im DRITTEN Versuch, die eine frühzeitige Bestehensbenachrichtigung wünschen. Direkte -adresse (bitte gut lesbar): Einträge der Klausuraufsicht: Unterbrechungen Abgabe Abschnitt für Korrektur! [Seite 1 von 1]

2 Aufgabe 1 [6] Die folgende Funktion f ist aus stetigen Stücken zusammengesetzt. Legen Sie die Werte der Zahlen α, β rechnerisch so fest, dass die Funktion an der Nahtstelle x = 3 stetig wird: f(x) = β e (3 x) für x < 3 3 für x = 3 β 4 + (x + α) 2 für 3 < x 4 LGW in x = 3 : lim f(x) = lim β e (3 x) = β x 3 x 3 ( RGW in x = 3 : lim f(x) = lim β 4 + (x + α) 2 ) = β 4 + (3 + α) 2 x 3 + x 3 + Wegen Stetigkeit von f in x = 3 muß gelten Dies führt zu den Gleichungen d.h. β = 3 und (3 + α) 2 = 4. Schließlich 3 = f(3)! = lim x 3 f(x)! = lim x 3 + f(x). 3 = β und 3 = β 4 + (3 + α) 2, (3 + α) 2 = α = 2 oder 3 + α = 2 α = 5 oder α = 1. [Seite 2 von 1]

3 Aufgabe 2 Gegeben f(x) = x e 2 x mit D(f) = [ 4, ]. Beachte: 1. Ableitung ist gegeben! f hat die Ableitung f (x) = e 2 x + 2 x e 2 x. [3](a) Bestimmen Sie auf Basis dieser Information alle lokalen Minimalpunkte (Minimalstellen und zugehörige Funktionswerte) von f über dem Definitionsbereich. f (x) = e 2 x + 2 x e 2 x = (2 x + 1) e 2 x = x = 1 2 f (x) = 2 e 2 x + 2 e 2 x + 4 x e 2 x = 4 e 2 x + 4 x e 2 x. f ( 1/2) = 4 e 1 2 e 1 = 2 e 1 > Also ist x = 1/2 einzige lokale Minimalstelle mit f( 1/2) = e 1 /2. [3](b) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von f (konvex/konkav mit Wendepunkten). f (x) = 4 e 2 x + 4 x e 2 x = 4 e 2 x (x + 1). Da e x immer positiv ist, folgt f (x) für x [ 4, 1], d.h. f konkav über [ 4, 1], f (x) für x [ 1, ], d.h. f konvex über [ 1, ]. Außerdem gilt f (x) = x = 1, d.h. f besitzt in x = 1 eine Wendestelle mit dem Funktionswert f( 1) = e 2. [Seite 3 von 1]

4 Aufgabe 3 (2 x 1) 3 12 x x 7 [4] Bestimmen Sie den Grenzwert: lim x 1 (x + 1) 3 6 x 2 2 (andere Lösungswege werden nicht bewertet). mit der L Hospital-Regel (2 x 1) 3 12 x x 7 lim x 1 (x + 1) 3 6 x 2 2 LHR = lim x 1 6 (2 x 1) 2 24 x (x + 1) 2 12 x LHR = lim x 1 24 (2 x 1) 24 6 (x + 1) 12 LHR 48 = lim x 1 6 = 48 6 = 8. [Seite 4 von 1]

5 Aufgabe 4 [5] Berechnen Sie das Integral 4 f(t) dt, wobei f(t) = 2 t 3/2 für t < 1 1/t für 1 t < e 1 2 e 2 t für e 1 t 4 4 f(t)dt = = 1 [ e t 3/2 dt + 1 1/t dt + 2 e 2 t dt e 1 2 x5/2 5/2 ] 1 + [ln t] e1 1 + [2 e 2 t2 2 = [4/5 ] + [1 ] + [ 16 e 2 1 ] = 4/ e 2 1 = 4/ e 2 ] 4 e 1 [Seite 5 von 1]

6 Aufgabe 5 [4] Für x sei F (x) := F () + x t et/2 dt, wobei F () fix vorgegeben ist, hier als F () = 4. Berechnen Sie den Wert F (x) mittels partieller Integration. Mit f(t) = t, g (t) = e t/2 ist f (t) = 1 und g(t) = 2 e t/2. F (x) = 4 + x t e t/2 dt x = 4 + [2 te t/2] x [ ] = x e x/2 2 e t/2 dt [4 e t/2] x [ ] = x e x/2 4 e x/2 4 = 2 x e x/2 4 e x/2 [Seite 6 von 1]

7 Aufgabe 6 [5] Bestimmen Sie die quadratische Approximation (Taylorpolynom vom Grad n = 2) der Funktion f(x) = e (x+1)2 an der Entwicklungsstelle x = 1 und damit eine Näherung für den Funktionswert f() = e 1. f( 1) = 1; f (x) = 2 (x + 1) e (x+1)2 ; f ( 1) = ; f (x) = 2 e (x+1)2 + 4 (x + 1) 2 e (x+1)2 ; f ( 1) = 2; T f 2 (x; x ) := f(x ) + f (x ) 1! (x x ) 1 + f (x ) 2! (x x ) 2 = 1 + (x + 1) 2 mit [x = 1]. Damit ist f() T f 2 (, 1) = 2. [Seite 7 von 1]

8 Aufgabe 7 [5] Berechnen Sie für die Funkion f(x, y) = (x + y) e x y (x R, y R) die partiellen Ableitungen f x, f y, sowie f xx, f yy und f xy (oder f yx). f x(x, y) = e x y + (x + y) e x y y = e x y + y (x + y) e x y f xx(x, y) = y e x y + y e x y + y 2 (x + y) e x y = 2 y e x y + y 2 (x + y) e x y f y(x, y) = e x y + (x + y) e x+y x = e x y + x (x + y) e x+y f yy(x, y) = x e x y + x e x y + x 2 (x + y) e x y = 2 x e x y + x 2 (x + y) e x y f xy(x, y) = f yx(x, y) = x e x y + (x + 2 y) e x y + x y (x + y) e x y [Seite 8 von 1]

9 Aufgabe 8 [6] Betrachten Sie die Nachfragefunktion f(x, y) = 2 x 2 y 2 mit Preis x > und mittlerem Einkommen y >. Weiterhin sei die Basisstelle (x, y ) mit x = 1 und y = 5 vorgegeben. (a) Bestimmen Sie die Preiselastizität Ex f und die Einkommenselastizität Ey f an der obigen Basisstelle. (b) Geben Sie eine Abschätzung für die relative Veränderung der Funktion f an der obigen Basisstelle, wenn sich dort der Preis um 2% vermindert und das mittlere Einkommen um 1% erhöht. (a) Ex f (x, y ) = x f x (x,y ) f(x,y ) und Ey f (x, y ) = y f y (x,y ) f(x,y ) (b) df f mit f x(x, y) = 4 x 3 y 2 und f y(x, y) = 4 x 2 y 1. Also gilt an der Basisstelle (x, y ) = (1, 5) und Ex f (x, y ) = = = Ey f (x, y ) = = = 2. Ef x (x, y ) dx x + E f y (x, y ) dy y = ( 2) ( 2)% + 2 1% = 6% d.h. die relative Veränderung von f(1, 5) zu f(9.8, 5.5) beträgt ca. 6%. [Seite 9 von 1]

10 Aufgabe 9 [9] Untersuchen Sie die Funktion f(x, y) = 2 x + 4 y 3 (x, y R) auf (lokale) Extremwerte unter der Nebenbedingung x + 6 y = 12. (Ggf. angeben: Extremalstellen und die zugehörigen Funktionswerte) Hinweis zur Erinnerung: D(x, y, λ) := (f xx(x, y) + λ b xx(x, y)) (b y(x, y)) 2 2 (f xy(x, y) + λ b xy(x, y)) b x(x, y) b y(x, y) +(f yy(x, y) + λ b yy(x, y)) (b x(x, y)) 2 Nebenbedingung in Gleich-Null-Form b(x, y) = x + 6 y 12! = Aufstellen der Lagrange-Funktion L(x, y, λ) = 2 x + 4 y 3 + λ (x + 6 y 12) Vorbereitung zur Bestimmung der bedingten stationären Stellen f x(x, y) = 2 und f y(x, y) = 12 y 2 b x(x, y) = 1 und b y(x, y) = 6 L x(x, y, λ) = f x(x, y) + λ b x(x, y) = 2 + λ L y(x, y, λ) = f y(x, y) + λ b y(x, y) = 12 y λ L λ (x, y, λ) = b(x, y) = x + 6 y 12 Bestimmung der stationären Punkte: L x(x, y, λ) = L y(x, y, λ) = L λ (x, y, λ) = 2 + λ = 12 y λ = x + 6 y 12 = λ = 2 y 2 = 1 x = 12 6 y Also sind die stationären Punkte: P 1 = (18, 1), P 2 = (6, 1) mit λ = 2 λ = 2 12 y ( 2) = x = 12 6 y λ = 2 y = 1 oder y = 1 x = 18 oder x = 6 Zur Berechnung der Werte von D(x, y, λ ) für jeden stationären Punkt (x, y ) mit zugehörigem λ : f yy(x, y) = 24 y f xx(x, y) = f xy(x, y) = b xx(x, y) = b xy(x, y) = b yx(x, y) = b yy(x, y) =. Berechnung der Werte von (x, y, λ ) für jeden stationären Punkt (x, y ) mit zugehörigem λ D (18, 1, 2) = +( 2) +( 24) 1 2 = 24 < (18, 1) ist eine lokale Maximalstelle von f unter der Nebenbedingung 6 x + y = 12 mit Funktionswert f(18, 1) = 32. D (6, 1, 2) = + ( 2) = 24 > (6, 1) ist eine lokale Minimmalstelle von f unter der Nebenbedingung x + 6 y = 12 mit Funktionswert f(6, 1) = 16. [Seite 1 von 1]