Elisabeth Aufhauser, unveröffentlichter Text Unterrichtsmaterial Statistik-UE für Soziologie

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1 Elisabeth Aufhauser, unveröffentlichter Text Unterrichtsmaterial Statistik-UE für Soziologie Konfidenzintervall Statistische Analyse von Stichproben Der Datensatz aus der Übung (social survey 2003) besteht aus Daten, die aus einer Zufallsstichprobe stammen. Basieren unsere Analysen nur auf einer Teilmenge der Grundgesamtheit (einer Stichprobe), so müssen wir davon ausgehen, daß die statistischen Maßzahlen, Verteilungen, Beziehungen zwischen Variablenwerten, Parameterschätzwerte,... die wir aus derartigen Stichproben ermitteln, nicht unbedingt exakt den tatsächlichen Werten, Verteilungen, Beziehungen... in der Grundgesamtheit entsprechen. Die aus den Stichproben ermittelten Statistiken werden mit einem (größeren oder kleineren) Stichprobenfehler behaftet sein. Schauen wir uns daher einmal an, was eigentlich alles passieren kann, wenn wir mit Stichproben arbeiten. Zur Veranschaulichung sei folgende (fiktive) Situation betrachtet. Grundgesamtheit für unsere Analysen sei eine Gruppe aus N=100 Studierenden, die einen Statistikkurs besuchen. 40% der Teilnehmenden geben zu Beginn des Kurses an, zumindest über Grundkenntnisse in Statistik zu verfügen, der Rest von 60% behauptet, noch nie etwas von Statistik gehört zu haben. Die einzige, die zu Beginn des Kurses bereits umfangreiches statistisches Wissen besitzt, ist die Lehrveranstaltungsleiterin. Da sie vor dem Kurs eigentlich nur einen groben Überblick über das statistische Vorwissen der Teilnehmenden haben möchte, verzichtet sie auf eine Vollerhebung (Befragung) bei allen Studierenden und befragt nur eine zufällig ausgewählte Teilgruppe um ihre statistischen Vorkenntnisse. Welchen Fehler bei der Abschätzung des Prozentsatzes an Kursteilnehmerinnen, die über statistisches Vorwissen verfügen, kann die Lehrveranstaltungsleiterin erwarten, wenn sie z.b, nur eine Zufallsstichprobe von n=10 Studierende befragt? Um diese Frage zu beantworten, betrachten wir vorerst einmal Abbildung 1. Aus einer Grundgesamtheit von N=100, in der der wahre Anteilswert von Eins-Werten bei π = 0.40 liegt, wurden insgesamt 1000 verschiedene Zufallsstichproben der Größe n = 10 gezogen werden. Für jede der 1000 Zufallsstichproben wurde dann der Stichprobenanteilswerte der Eins-Werte berechnet. In der Abbildung findet sich die Verteilung dieser 1000 Stichprobenanteilswerte. Werden ein zweites mal 1000 Zufallsstichproben gezogen, so wird diese Verteilung wahrscheinlich etwas anders aussehen, die Grundform wird sich aber nicht verändern. Wie aus der folgenden Abbildung zu erkennen ist, wurde 'nur' für 260 oder 26% der 1000 Zufallsstichproben ein Stichprobenanteilswert ermittelt, der exakt jenem in der Grundgesamtheit (π = 0.40) entspricht. Insgesamt liegen aber immerhin = 686 oder fast 70% aller Stichprobenanteilswerte aus den 1000 Zufallsstichproben im Intervall [0.3, 0.5], d.h. zumindest sehr nahe dem realen Wert. Bei = 47 Zufallsstichproben (knapp 5% aller Stichproben) ergibt sich ein Anteil an Studierenden mit Statistikvorkenntnissen von unter 10% und bei = 10 Zufallstichproben (1% aller Stichproben) ein Anteil von 80% und darüber. Wenn wir Pech haben, kann der in einer Stichprobe beobachtete Anteilswert doch recht massiv vom wahren Wert in der Grundgesamtheit abweichen. Insgesamt ergibt sich über alle 1000 Stichproben hinweg ein mittlerer Stichprobenanteilswert von sowie eine Standardabweichung für den Stichprobenanteilswert von

2 Verteilung von 1000 Stichprobenanteilswerten N = 300, π = 0.40, n = 10 Die diskrete Verteilung der Stichprobenanteilswerte, die in obiger Abbildung dargestellt ist, ähnelt einer Normalverteilung. Würden wir nicht nur 1000, sondern bis unendlich viele Zufallsstichproben ziehen, so nähert sich die diskrete Verteilung der Stichprobenanteilswerte einer kontinuierlichen Normalverteilung immer mehr an. Der Mittelwert dieser Normalverleihung der Stichprobenanteilwerte liegt dann genau beim wahren Anteilswert in der Grundgesamtheit, d.h. bei (1) Für die Standardabweichung der Normalverteilung der Stichprobenanteilswerte ergibt sich ein Wert von 1 (2) Aus der theoretischen Statistik ist nun bekannt, daß bei einer Normalverteilung 68.27% aller Beobachtungswerte im Intervall ± eine Standardabweichung um den Mittelwert liegen müssen, 95.45% aller Beobachtungswerte im Intervall ± zwei Standardabweichungen um den Mittelwert, 1 Wenn wir wie in unserem Fall mit kleinen Grundgesamtheiten arbeiten, muß die Varianz der Stichprobenanteilswerte eigentlich noch um den Faktor (N-n)/(N-1) bereinigt werden. Für unser Beispiel ergibt sich ein Korrekturfaktor von (100-10)/(100-1)= Unter Berücksichtigung dieses Korrekturfaktors liegt die Standardabweichung der theoretischen Normalverteilung der Stichprobenanteilswerte bei

3 99.73% aller Beobachtungswerte im Intervall ± drei Standardabweichungen um den Mittelwert. Wenn wir nur gerundete Prozentwerte betrachten, so können wir grob folgendes festhalten: Bei einer Normalverteilung liegen genau 95% aller Beobachtungen im Intervall ± 1.96 Standardabweichungen um den Mittelwert und 90% aller Beobachtungen im Intervall ± 1.68 Standardabweichungen um den Mittelwert. Unter Verwendung dieses Ergebnisses zur Normalverteilung aus der theoretischen Statistik und unter Verwendung der Werte für den Mittelwert und die Standardabweichung der Normalverteilung der Stichprobenanteilswerte aus den Formeln (1) und (2) können wir nun folgendes behaupten: Wenn wir unendliche viele Stichproben der Größe n = 10 aus einer Grundgesamtheit ziehen, bei der der wahre Stichprobenanteilswert bei π = 0.40 liegt, so können wir davon ausgehen, daß 95% der Stichprobenanteilswerte im Intervall 0.40 ± 1.96 * 0.155, d.h. im Intervall [0.096, 0.704] liegen. 2 Ziehen wir eine einzige Zufallsstichprobe, so können wir daher auch sagen, daß der Stichproben- anteilswert mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% im Intervall ± 1.96 * um den wahren Wert 0.40 liegt, d.h. im Intervall [0.096, 0.704]. In der Realität ist es nun so, daß wir erstens nur eine einzige Stichprobe ziehen und nicht unendlich viele und zweitens den wahren Anteilswert in der Grundgesamtheit nicht kennen - den wollen wir ja gerade über unsere Stichprobe schätzen. Wir müssen daher in einem nächsten (Denk)Schritt obige Aussage noch einmal umformulieren: Wenn wir eine Zufallsstichprobe verwenden, um einen Anteilswert für die Grund- gesamtheit zu schätzen, so können wir davon ausgehen, daß der wahre Anteilswert n in der Grundgesamtheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% im Intervall ± 1.96 * σ π um den geschätzten Stichprobenanteilswert p liegt. Die Standardabweichung σ π des Stichprobenanteilswertes schätzen wir dabei über die Formel (3) Nehmen wir an, die Lehrveranstaltungsleiterin in unserem fiktiven Beispiel hätte 10 zufällig ausgewählte Studierende um ihre Statistikvorkenntnisse befragt. In der Stichprobe finden sich 30% Studierende mit Statistikgrundkenntnissen. Bei der Konzeption der Lehrveranstaltung kann sie daher davon ausgehen, daß die wahre Anteil der KursbesucherInnen mit Statistikvorkenntnissen in der Gesamtgruppe mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% bei (4) 2 Unter Berücksichtigung des Korrekturfaktors für kleine Grundgesamtheiten ergibt sich ein Intervall von 0.40 ± 1.96 * oder [0.11, 0.69]. 3

4 liegt, d.h. im Intervall [0.02, 0.58]. Das Intervall ist aufgrund der kleinen Stichprobe in unserem Beispiel relativ groß, mit einer Wahrscheinlichkeit von α = 100%- 95% = 5% kann es sogar sein, daß der wahre Wert in der Grundgesamtheit außerhalb des Intervalles liegt. Grundsätzlich gibt es nun zwei unterschiedliche Möglichkeiten, das geschätzte Konfidenzintervall für den wahren Anteilswert in der Grundgesamtheit zu verkleinern: Erstens kann die Signifikanz unseres Konfidenzintervalls, die bisher auf 95% gesetzt wurde, verkleinert werden. Wenn wir zulassen, daß der wahre Wert in der Grundgesamtheit mit einer Wahrscheinlichkeit von α = 10% auch außerhalb des von uns angegebenen Konfidenzintervalles liegen könnte, so müssen wir ein Intervall um den Stichprobenmittelwert konstruieren, in dem 90% aller Fälle liegen. D.h. in Formel (4) setzen wir anstelle des 95%-Wertes von z = 1.96 den 90%-Wert von z = 1.68 aus der theoretischen Normalverteilung ein. Für unser Beispiel ergibt sich für eine Stichprobe mit p = 0.30 ein 90%-Konfidenzintervall von [0.06,0.54]. Zweitens können wir die Stichprobengröße erhöhen. Werden von der Lehrveranstaltungsleilerin nicht 10, sondern n = 15 Studierende befragt und ergibt sich auch in dieser Stichprobe ein Anteilswert von p = 0.30, so liegt das 95%-Konfidenzintervall für den Anteil der Studierenden 3 mit Statistikvorkenntnissen in der Gesamigruppe bei [0.07, 0.53]. (5) Wie zu erkennen ist, bringt die relativ kleine Erhöhung der Stichprobengröße eine deutlichere Verkleinerung des Konfidenzintervalles als die Herabsetzung des Signifikanzniveaus. Würde die Lehrveranstaltungsleiterin n = 30 Studierende um ihre Statistikvorkenntnisse befragen, so könnte sie das 95%-Konfidenzintervall auf den Bereich ± 16 % um den geschätzten Stichprobenanteils- wert reduzieren. 4 Je größer die Stichprobe absolut ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Anteil der Studierenden mit Statistikvorkenntnissen dem wahren Wert in der Grundgesamtheit recht gut entspricht. Auch wenn die Wahrscheinlichkeit sehr klein ist, kann sie natürlich immer auch zufällig eine Stichprobe ziehen, mit der sie völlig daneben liegt. So könnten sich in der Stichprobe zufällig natürlich auch lauter Studierende finden, die alle über Statistikgrundkenntnisse verfügen. Das Kurskonzept könnte aufbauend auf einem derartigen Ergebnis dann auch viel zu viel an Vorkenntnissen voraussetzen. In unserem fiktiven Beispiel würde die statistisch bewanderte Lehreranstaltungsleiterin wahrscheinlich doch alle 100 Studierenden befragen, um einen Überblick über die Statistikvorkenntnisse bei den Kursteilnehmerlnnen zu erhalten. Der Erhebungsaufwand zwischen einer Stichprobe aus 30 Studierenden, bei der ein halbwegs verläßlicher Schätzwert über die Vorkenntnisse zu ermitteln ist und einer Vollerhebung bei allen 100 Studierenden unterscheidet sich kaum. 3 Unter Berücksichtigung des Korrekturfaktors für kleine Grundgesamtheiten ergibt sich ein Konfidenzintervall von [0.085, 0.515]. 4 Unter Berücksichtigung des Korrekturfaktors für kleine Grundgesamtheiten reduziert sich der Schwankungsbereich für das Konfidenzintervall auf ± 14% um den Stichprobenanteilswert. 4

5 Generell - und diese Aussage gilt nicht nur für die Schätzung von Anteilswerten - sollten wir uns merken, daß die Genauigkeit unserer Aussagen, die wir auf Basis von Stichproben treffen können, zwar sehr stark von der Stichprobengröße abhängt, aber nicht von der Größe unserer Grundgesamtheit. Ganz egal, ob wir die Statistikkenntnisse in einer Grundgesamtheit aus 100, 1000, oder gar Studierenden ermitteln wollen, ergibt sich bei einer Stichprobengröße von n = 30 für den wahren Anteilswert ein Konfidenzintervall von ± 16% um einen Stichprobenanteilswert von p=0.30. Hinweis: Nur wenn wir mit sehr kleinen Grundgesamtheiten oder extrem kleinen Stichproben (wie in unserem Beispiel) arbeiten, müssen wir in unseren Formeln für das Konfidenzintervall eigentlich Korrekturfaktoren berücksichtigen. Während endliche Grundgesamtheiten und extrem kleine Stichproben etwa in der medizinischen Forschung eine relativ große Bedeutung haben, treffen wir in der sozialwissenschaftlichen Praxis im Regelfall unsere statistische Aussagen auf Basis relativ großer Stichproben für relativ große Grundgesamtheiten. Eine Stichprobe sollte generell dann als sehr klein betrachtet Werden, wenn der Wert n * π * (1- π) < 9 ist. Grob können wir uns daher auch merken, daß wir auch einfache statistische Analysen erst ab Stichprobengrößen zwischen 35 und 100 Individuen (Personen) durchführen sollten. Untersuchen wir Phänomene, die relativ häufig sind - die insgesamt mit einer Wahrscheinlichkeit zwischen 25% und 50% auftreten - so reichen Stichprobengrößen zwischen 35 und 50 Individuen aus, um einfache statistische Analysen durchzuführen. Untersuchen wir Phänomene, die relativ selten auftreten - die insgesamt etwa nur mit einer Wahrscheinlichkeit zwischen 5% und 10% auftreten - so sollte unsere Stichprobengröße auch für einfache statistische Analysen zumindest zwischen 100 und 200 liegen. Auch statistische Aussagen für/über bestimmte Teilgruppen sollten nur dann gemacht werden, wenn Mindestgruppengrößen von in der Stichprobe vorliegen. Die Berechnung von Anteilswerten (relativen Häufigkeiten) bildet die Grundform der Auswertung von Stichprobendaten mit kategorialem Datenniveau. In der folgenden Tabelle findet sich ein Überblick darüber, mit welchem Stichprobenfehler, d.h. mit welcher Schwankungsbreite um den ermittelten Stichprobenanteilswert, wir rechnen müssen, je nachdem, wie groß wir unsere Stichprobe wählen und je nachdem wie hoch der Anteilswert liegt. 5 In der Tabelle sind die Abweichungen um die geschätzten Stichprobenwerte angegeben, aus denen das 95%-Konfidenzintervall für den wahren Anteilswert in der Grundgesamtheit ermittelt werden kann. Ganz grob können wir uns merken, daß Stichprobengrößen von n = 100 ausreichen, um einfache statistische Analysen (etwa Anteilswertberechnungen) durchzuführen, bei denen wir eine Ungenauigkeit im Ausmaß von ± 10% in Kauf nehmen (Anm. isa hager: siehe roter Kreis). 5 Wie aus Formel (3) zu sehen ist, hängt die Standardabweichung der Verteilung der Stichprobenanteilswerte von der Stichprobengröße sowie dem Anteilswert p selbst ab. Der größte Wert im Zähler - und damit auch die größte Standardabweichung bei gegebener Stichprobengröße - ergibt sich, wenn der Anteil p bei 0.50 liegt. Die Konfidenzinterfvalle für p>0.50 sind in der Tabelle nicht extra angerührt da sich für p und (1-p) die gleichen Werte im Zähler in Formel (3) ergeben. 5

6 Konfidenzintervalle für geschätzte Anteilswerte in Stichproben Stichprobengrößen um n = 500, wie sie etwa bei telefonischen Umfragen der Meinungsforschungsinstitute üblich sind, reichen aus, um einfache statistische Analysen insgesamt mit einer Ungenauigkeitsgrad von ± 5% durchzuführen. Diese Stichprobengröße reicht auch aus, um die statistischen Aussagen für größere Subgruppen in der Bevölkerung zu differenzieren. Stichprobengrößen von n = 2000, wie sie in größeren sozialwissenschaftlichen Forschungs- projekten üblich sind, erlauben einfache statistische Analysen mit einem Genauigkeitsgrad von immerhin etwa ± 2%. Auch für Teilgruppen in der Bevölkerung können mit einer derartigen Stichprobengröße bereits relativ detaillierte statistische Analysen durchgeführt werden. 6