FORMALE SYSTEME. 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke. TU Dresden, 2. November Markus Krötzsch

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "FORMALE SYSTEME. 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke. TU Dresden, 2. November Markus Krötzsch"

Transkript

1 FORMALE SYSTEME 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke Mrkus Krötzsch TU Dresden, 2. November 2017

2 Rndll Munroe, CC-BY-NC 2.5 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 2 von 32

3 Rückblick Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 3 von 32

4 Wiederholung: Reguläre Ausdrücke Reguläre Ausdrücke ls Syntx für Sprchen, die durch Opertionen us endlichen Sprchen gebildet werden Grundformen:, ɛ, für lle Σ Opertionen: Konktention, Alterntive ( ), Kleene-Stern ( ) Viele weitere Ausdrucksmittel in prktischen RegExps Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 4 von 32

5 Kleene s Theorem Stz ( Kleene s Theorem ): Eine Sprche wird genu dnn von einem regulären Ausdruck beschrieben, wenn sie von einem endlichen Automten erknnt wird. Letzte Vorlesung: regulärer Ausdruck endlicher Automt kompositionelle Methode explizite Methode Heute: endlicher Automt regulärer Ausdruck Ersetzungsmethode Dynmische Progrmmierung Stephen Cole Kleene 1978 * *) Konrd Jcobs, Erlngen, c Mthemtisches Forschungsinstitut Oberwolfch, CC-BY-SA de 2.0 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 5 von 32

6 Die Ersetzungsmethode Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 6 von 32

7 Drstellungen von Typ-3-Sprchen reguläre Grmmtik q 1 q 2 q 1 q2 regulärer Ausdruck 1) Ersetzung 2) Dyn. Prog. 1) komposit. 2) explizit DFA NFA NFA ɛ-nfa DFA NFA ɛ-nfa konstr. ɛ-elim. duler Grph Potenzm.- Syntxdigrmm Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 7 von 32

8 Drstellungen von Typ-3-Sprchen reguläre Grmmtik q 1 q 2 q 1 q2 regulärer Ausdruck 1) Ersetzung 2) Dyn. Prog. 1) komposit. 2) explizit DFA NFA NFA ɛ-nfa DFA NFA ɛ-nfa konstr. ɛ-elim. duler Grph Potenzm.- Syntxdigrmm Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 7 von 32

9 NFA regulärer Ausdruck: Vorbereitung Wir vereinfchen den NFA zunächst wie folgt: Gegeben: NFA M = Q, Σ, δ, Q 0, F Entferne lle Zustände, die von keinem Zustnd in Q 0 erreichbr sind Entferne lle Zustände, die von denen kein Zustnd in F erreichbr ist Die Menge der von einem Zustnd us erreichbren Zustände knn mit Grphlgorithmen berechnet werden, z.b. Breitensuche. Offensichtlich verändert diese Vereinfchung die Sprche nicht Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 8 von 32

10 NFA regulärer Ausdruck: Vorbereitung Wir vereinfchen den NFA zunächst wie folgt: Gegeben: NFA M = Q, Σ, δ, Q 0, F Entferne lle Zustände, die von keinem Zustnd in Q 0 erreichbr sind Entferne lle Zustände, die von denen kein Zustnd in F erreichbr ist Die Menge der von einem Zustnd us erreichbren Zustände knn mit Grphlgorithmen berechnet werden, z.b. Breitensuche. Offensichtlich verändert diese Vereinfchung die Sprche nicht Beispiel: A C E G B b D b b F b H b Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 8 von 32

11 NFA regulärer Ausdruck: Vorbereitung Wir vereinfchen den NFA zunächst wie folgt: Gegeben: NFA M = Q, Σ, δ, Q 0, F Entferne lle Zustände, die von keinem Zustnd in Q 0 erreichbr sind Entferne lle Zustände, die von denen kein Zustnd in F erreichbr ist Die Menge der von einem Zustnd us erreichbren Zustände knn mit Grphlgorithmen berechnet werden, z.b. Breitensuche. Offensichtlich verändert diese Vereinfchung die Sprche nicht Beispiel: A B b C D b b E F b G H b Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 8 von 32

12 Die Ersetzungsmethode Gegeben: NFA M = Q, Σ, δ, Q 0, F Gesucht: regulärer Ausdruck α mit L(α) = L(M) Anstz: Für jeden Zustnd q Q, berechne einen regulären Ausdruck α q für die Sprche L(α q ) = {w Σ es gibt ein q f F mit q w q f } = {w Σ δ(q, w) F } = L(M q ) mit M q = Q, Σ, δ, {q}, F Dnn gilt: L(M) = L(α q ) q Q 0 = L(α q1 α q2... α qn ) mit Q 0 = {q 1, q 2,..., q n } Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 9 von 32

13 Nottion Wir verwenden ls verllgemeinerte Alterntive: Für eine endliche Menge A = {α 1,..., α n } von regulären Ausdrücken schreiben wir α A α ls Abkürzung für α 1... α n. Wir wenden diese Nottion uch in nderen ähnlichen Fällen n, zum Beispiel für den vorigen Ausdruck: q Q 0 α q = α q1 α q2... α qn Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 10 von 32

14 Ersetzungsmethode Schwierigkeit Wie knn mn die regulären Ausdrücke α q finden? Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 11 von 32

15 Ersetzungsmethode Schwierigkeit Wie knn mn die regulären Ausdrücke α q finden? Beispiel: ohne Rekursion ist es einfch... A C E α A =, α C =, α E = ɛ Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 11 von 32

16 Ersetzungsmethode Schwierigkeit Wie knn mn die regulären Ausdrücke α q finden? Beispiel: ohne Rekursion ist es einfch... A C E α A =, α C =, α E = ɛ Beispiel: mit Rekursion ist es weniger klr... A B b α A =? b b C Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 11 von 32

17 Ersetzungsmethode Rekursion Idee: rekursiver Automt rekursive Definition von α q Beispiel: A B b b b C α A =? α B =? α C =? Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 12 von 32

18 Ersetzungsmethode Rekursion Idee: rekursiver Automt rekursive Definition von α q Beispiel: A B b b α A = α B... α B =? α C =? b C Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 12 von 32

19 Ersetzungsmethode Rekursion Idee: rekursiver Automt rekursive Definition von α q Beispiel: A B b b α A = α B bα C α B =? α C =? b C Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 12 von 32

20 Ersetzungsmethode Rekursion Idee: rekursiver Automt rekursive Definition von α q Beispiel: A B b b α A = α B bα C α B =? α C =? b C Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 12 von 32

21 Ersetzungsmethode Rekursion Idee: rekursiver Automt rekursive Definition von α q Beispiel: A B b b α A = α B bα C α B = α A... α C =? b C Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 12 von 32

22 Ersetzungsmethode Rekursion Idee: rekursiver Automt rekursive Definition von α q Beispiel: A B b b α A = α B bα C α B = α A α C... α C =? b C Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 12 von 32

23 Ersetzungsmethode Rekursion Idee: rekursiver Automt rekursive Definition von α q Beispiel: A B b b α A = α B bα C b C α B = α A α C bα B α C =? Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 12 von 32

24 Ersetzungsmethode Rekursion Idee: rekursiver Automt rekursive Definition von α q Beispiel: A B b b α A = α B bα C b C α B = α A α C bα B α C =? Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 12 von 32

25 Ersetzungsmethode Rekursion Idee: rekursiver Automt rekursive Definition von α q Beispiel: A B b b α A = α B bα C b C α B = α A α C bα B α C = bα B... Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 12 von 32

26 Ersetzungsmethode Rekursion Idee: rekursiver Automt rekursive Definition von α q Beispiel: A B b b α A = α B bα C b C α B = α A α C bα B α C = bα B ɛ Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 12 von 32

27 Ersetzungsmethode Rekursion Idee: rekursiver Automt rekursive Definition von α q Beispiel: A B b b α A α B bα C b C α B α A α C bα B α C bα B ɛ Ein Gleichungssystem von regulären Ausdrücken! Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 12 von 32

28 Ersetzungsmethode Gleichungen Allgemein knn mn ds Gleichungssystem wie folgt beschreiben: Für einen NFA M = Q, Σ, δ, Q 0, F betrchten wir die folgenden Gleichungen für Ausdrücke α q mit q Q. Für jeden Zustnd q Q \ F: α q Σ p δ(q,) α p Für jeden Zustnd q F: α q ɛ Σ p δ(q,) α p Jetzt müssen wir diese Gleichungen lediglich lösen... Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 13 von 32

29 Gleichungssysteme Lösen α A α B bα C α B α A α C bα B α C bα B ɛ Wie können wir solche Gleichungssysteme lösen? Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 14 von 32

30 Gleichungssysteme Lösen α A α B bα C α B α A α C bα B α C bα B ɛ Wie können wir solche Gleichungssysteme lösen? Methode 1: Gleichungen ineinnder Einsetzen und ds Ergebnis vereinfchen Beispiel: Setzen wir die Definition von α C in die Gleichung für α A ein, so erhlten wir α A α B b(bα B ɛ) α B bbα B b ( bb)α B b. Problem: rekursive Gleichungen lssen sich so nicht vereinfchen... Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 14 von 32

31 Gleichungssysteme Lösen α A α B bα C α B α A α C bα B α C bα B ɛ Wie können wir solche Gleichungssysteme lösen? Methode 1: Gleichungen ineinnder Einsetzen und ds Ergebnis vereinfchen Beispiel: Setzen wir die Definition von α C in die Gleichung für α A ein, so erhlten wir α A α B b(bα B ɛ) α B bbα B b ( bb)α B b. Problem: rekursive Gleichungen lssen sich so nicht vereinfchen... Methode 2: Rekursive Gleichungen direkt Lösen Regel von Arden: Aus α βα γ mit ɛ L(β) folgt α β γ. Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 14 von 32

32 Beispiel: Gleichungssysteme Lösen 1 2 c b 3 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 15 von 32

33 Beispiel: Gleichungssysteme Lösen 1 2 c b (1) α 1 α 2 cα 3 3 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 15 von 32

34 Beispiel: Gleichungssysteme Lösen 1 2 c b (1) α 1 α 2 cα 3 (2) α 2 bα 2 ɛ 3 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 15 von 32

35 Beispiel: Gleichungssysteme Lösen 1 2 c b 3 (1) α 1 α 2 cα 3 (2) α 2 bα 2 ɛ (3) α 3 ɛ Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 15 von 32

36 Beispiel: Gleichungssysteme Lösen 1 2 c b 3 (1) α 1 α 2 cα 3 (2) α 2 bα 2 ɛ (3) α 3 ɛ Regel von Arden: Aus α βα γ mit ɛ L(β) folgt α β γ. Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 15 von 32

37 Beispiel: Gleichungssysteme Lösen 1 2 c b 3 (4) α 2 b ɛ b Arden (2) (1) α 1 α 2 cα 3 (2) α 2 bα 2 ɛ (3) α 3 ɛ Regel von Arden: Aus α βα γ mit ɛ L(β) folgt α β γ. Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 15 von 32

38 Beispiel: Gleichungssysteme Lösen 1 2 c b 3 (4) α 2 b ɛ b Arden (2) (5) α 1 b cα 3 (4) in (1) (1) α 1 α 2 cα 3 (2) α 2 bα 2 ɛ (3) α 3 ɛ Regel von Arden: Aus α βα γ mit ɛ L(β) folgt α β γ. Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 15 von 32

39 Beispiel: Gleichungssysteme Lösen 1 2 c b 3 (4) α 2 b ɛ b Arden (2) (5) α 1 b cα 3 (4) in (1) (6) α 1 b c (3) in (5) (1) α 1 α 2 cα 3 (2) α 2 bα 2 ɛ (3) α 3 ɛ Regel von Arden: Aus α βα γ mit ɛ L(β) folgt α β γ. Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 15 von 32

40 Beispiel: Gleichungssysteme Lösen 1 2 c b 3 (4) α 2 b ɛ b Arden (2) (5) α 1 b cα 3 (4) in (1) (6) α 1 b c (3) in (5) (1) α 1 α 2 cα 3 (2) α 2 bα 2 ɛ (3) α 3 ɛ Regel von Arden: Aus α βα γ mit ɛ L(β) folgt α β γ. regulärer Ausdruck für NFA ist q Q 0 α q = α 1, lso b c Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 15 von 32

41 Korrektheit der Ersetzungsregel (1) Regel von Arden : Aus α βα γ mit ɛ L(β) folgt α β γ. Beweis: Wir behupten: Wenn L(α) = L(β) L(α) L(γ) mit ɛ L(β) dnn gilt L(α) = L(β) L(γ). Wir zeigen: dies gilt nicht nur für L(α), L(β) und L(γ), sondern für beliebige Sprchen L, K und H: Wenn L = KL H und ɛ K dnn L = K H Wir zeigen die beiden Richtungen der geforderten Gleichheit einzeln. nch Den N. Arden der ds Resultt 1961 publizierte; uch beknnt ls Lemm von Arden Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 16 von 32

42 Korrektheit der Ersetzungsregel (2) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 1: K H L Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 17 von 32

43 Korrektheit der Ersetzungsregel (2) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 1: K H L Sei w K H beliebig Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 17 von 32

44 Korrektheit der Ersetzungsregel (2) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 1: K H L Sei w K H beliebig Dnn ht w die Form u 1 u n v mit n 0, u 1,..., u n K und v H Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 17 von 32

45 Korrektheit der Ersetzungsregel (2) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 1: K H L Sei w K H beliebig Dnn ht w die Form u 1 u n v mit n 0, u 1,..., u n K und v H Wegen L = KL H gilt KL L und H L Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 17 von 32

46 Korrektheit der Ersetzungsregel (2) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 1: K H L Sei w K H beliebig Dnn ht w die Form u 1 u n v mit n 0, u 1,..., u n K und v H Wegen L = KL H gilt KL L und H L Wegen v H und H L gilt v L Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 17 von 32

47 Korrektheit der Ersetzungsregel (2) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 1: K H L Sei w K H beliebig Dnn ht w die Form u 1 u n v mit n 0, u 1,..., u n K und v H Wegen L = KL H gilt KL L und H L Wegen v H und H L gilt v L Wegen v L, u n K und KL L gilt u n v L Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 17 von 32

48 Korrektheit der Ersetzungsregel (2) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 1: K H L Sei w K H beliebig Dnn ht w die Form u 1 u n v mit n 0, u 1,..., u n K und v H Wegen L = KL H gilt KL L und H L Wegen v H und H L gilt v L Wegen v L, u n K und KL L gilt u n v L Wegen u n v L, u n 1 K und KL L gilt u n 1 u n v L Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 17 von 32

49 Korrektheit der Ersetzungsregel (2) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 1: K H L Sei w K H beliebig Dnn ht w die Form u 1 u n v mit n 0, u 1,..., u n K und v H Wegen L = KL H gilt KL L und H L Wegen v H und H L gilt v L Wegen v L, u n K und KL L gilt u n v L Wegen u n v L, u n 1 K und KL L gilt u n 1 u n v L... Wegen u 2 u n v L, u 1 K und KL L gilt u 1 u n v L } {{ } w Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 17 von 32

50 Korrektheit der Ersetzungsregel (3) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 18 von 32

51 Korrektheit der Ersetzungsregel (3) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Sei w L beliebig. Wir beweisen w K H durch Induktion über n = w. Induktionsnfng: sei n = 0 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 18 von 32

52 Korrektheit der Ersetzungsregel (3) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Sei w L beliebig. Wir beweisen w K H durch Induktion über n = w. Induktionsnfng: sei n = 0 Dnn ist w = ɛ Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 18 von 32

53 Korrektheit der Ersetzungsregel (3) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Sei w L beliebig. Wir beweisen w K H durch Induktion über n = w. Induktionsnfng: sei n = 0 Dnn ist w = ɛ Weil ɛ K gilt ɛ KL Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 18 von 32

54 Korrektheit der Ersetzungsregel (3) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Sei w L beliebig. Wir beweisen w K H durch Induktion über n = w. Induktionsnfng: sei n = 0 Dnn ist w = ɛ Weil ɛ K gilt ɛ KL D w = ɛ L und L = KL H gilt lso ɛ H Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 18 von 32

55 Korrektheit der Ersetzungsregel (3) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Sei w L beliebig. Wir beweisen w K H durch Induktion über n = w. Induktionsnfng: sei n = 0 Dnn ist w = ɛ Weil ɛ K gilt ɛ KL D w = ɛ L und L = KL H gilt lso ɛ H Also gilt w K H. Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 18 von 32

56 Korrektheit der Ersetzungsregel (4) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Induktionshypothese: Die Aussge gilt für lle Wörter v mit v < n, d.h., für jedes solches v L gilt uch v K H Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 19 von 32

57 Korrektheit der Ersetzungsregel (4) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Induktionshypothese: Die Aussge gilt für lle Wörter v mit v < n, d.h., für jedes solches v L gilt uch v K H Induktionsschritt: sei w = n Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 19 von 32

58 Korrektheit der Ersetzungsregel (4) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Induktionshypothese: Die Aussge gilt für lle Wörter v mit v < n, d.h., für jedes solches v L gilt uch v K H Induktionsschritt: sei w = n Wegen L = KL H gilt (1) w H oder (2) w KL Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 19 von 32

59 Korrektheit der Ersetzungsregel (4) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Induktionshypothese: Die Aussge gilt für lle Wörter v mit v < n, d.h., für jedes solches v L gilt uch v K H Induktionsschritt: sei w = n Wegen L = KL H gilt (1) w H oder (2) w KL Fll 1 w H: dnn ist w = ɛw K H Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 19 von 32

60 Korrektheit der Ersetzungsregel (4) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Induktionshypothese: Die Aussge gilt für lle Wörter v mit v < n, d.h., für jedes solches v L gilt uch v K H Induktionsschritt: sei w = n Wegen L = KL H gilt (1) w H oder (2) w KL Fll 1 w H: dnn ist w = ɛw K H Fll 2 w KL Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 19 von 32

61 Korrektheit der Ersetzungsregel (4) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Induktionshypothese: Die Aussge gilt für lle Wörter v mit v < n, d.h., für jedes solches v L gilt uch v K H Induktionsschritt: sei w = n Wegen L = KL H gilt (1) w H oder (2) w KL Fll 1 w H: dnn ist w = ɛw K H Fll 2 w KL: Dnn gibt es u K und v L mit w = uv Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 19 von 32

62 Korrektheit der Ersetzungsregel (4) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Induktionshypothese: Die Aussge gilt für lle Wörter v mit v < n, d.h., für jedes solches v L gilt uch v K H Induktionsschritt: sei w = n Wegen L = KL H gilt (1) w H oder (2) w KL Fll 1 w H: dnn ist w = ɛw K H Fll 2 w KL: Dnn gibt es u K und v L mit w = uv Wegen ɛ K ist u ɛ und lso v < w = n Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 19 von 32

63 Korrektheit der Ersetzungsregel (4) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Induktionshypothese: Die Aussge gilt für lle Wörter v mit v < n, d.h., für jedes solches v L gilt uch v K H Induktionsschritt: sei w = n Wegen L = KL H gilt (1) w H oder (2) w KL Fll 1 w H: dnn ist w = ɛw K H Fll 2 w KL: Dnn gibt es u K und v L mit w = uv Wegen ɛ K ist u ɛ und lso v < w = n Lut IH gilt lso v K H Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 19 von 32

64 Korrektheit der Ersetzungsregel (4) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Induktionshypothese: Die Aussge gilt für lle Wörter v mit v < n, d.h., für jedes solches v L gilt uch v K H Induktionsschritt: sei w = n Wegen L = KL H gilt (1) w H oder (2) w KL Fll 1 w H: dnn ist w = ɛw K H Fll 2 w KL: Dnn gibt es u K und v L mit w = uv Wegen ɛ K ist u ɛ und lso v < w = n Lut IH gilt lso v K H Wegen u K gilt lso uch uv = w K H Dmit ist der Beweis bgeschlossen. Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 19 von 32

65 Zusmmenfssung Ersetzungsmethode Die Umwndlung NFA regulärer Ausdruck ist lso wie folgt: (1) Vereinfche den Automten (entferne offensichtlich unnötige Zustände) (2) Bestimme ds Gleichungssystem (eine Gleichung pro Zustnd) (3) Löse ds Gleichungssystem (durch Einsetzen und Ardens Regel) (4) Gib den Ausdruck für die Sprche des NFA n (Alterntive der Ausdrücke für lle Anfngszustände) Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 20 von 32

66 Ermittlung regulärer Ausdrücke durch dynmische Progrmmierung Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 21 von 32

67 Drstellungen von Typ-3-Sprchen reguläre Grmmtik q 1 q 2 q 1 q2 regulärer Ausdruck 1) Ersetzung 2) Dyn. Prog. 1) komposit. 2) explizit DFA NFA NFA ɛ-nfa DFA NFA ɛ-nfa konstr. ɛ-elim. duler Grph Potenzm.- Syntxdigrmm Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 22 von 32

68 Idee Gegeben: NFA M = Q, Σ, δ, Q 0, F Gesucht: regulärer Ausdruck α mit L(α) = L(M) Anstz: Für jedes Pr von Zuständen q, p Q, berechne einen regulären Ausdruck α q,p für die Sprche L(α q,p) = {w Σ q w p} = {w Σ p δ(q, w)} = L(M q,p) mit M q,p = Q, Σ, δ, {q}, {p} Dnn gilt: L(M) = L(α q,p) = L q Q 0 p F q Q 0 p F α q,p Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 23 von 32

69 Dynmische Ermittlung von α q,p Gegeben: NFA M = Q, Σ, δ, Q 0, F Annhme: Zustände sind nummeriert: Q = {q 1,..., q n } (o.b.d.a.) Gegeben M, Zhlen i, j {1,..., n} und eine Zhl k {0, 1,..., n} definieren wir die Sprche L k [i, j] ls die Menge ller Wörter w = 1 l für die gilt: 1 2 l 1 l es gibt einen Luf q i p1... pl 1 qj, wobei für jeden Zwischenzustnd p i mit i {1,..., l 1} gilt p i {q 1,..., q k } Gesucht: Reguläre Ausdrücke α k [i, j] mit L(α k [i, j]) = L k [i, j]. Wir wollen dynmische Progrmmierung nwenden, um α k [i, j] für immer größere Werte k zu berechnen. Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 24 von 32

70 Der Fll k = n Gegeben M, Zhlen i, j {1,..., n} und eine Zhl k {0, 1,..., n} definieren wir die Sprche L k [i, j] ls die Menge ller Wörter w = 1 l für die gilt: 1 2 l 1 l es gibt einen Luf q i p1... pl 1 qj, wobei für jeden Zwischenzustnd p i mit i {1,..., l 1} gilt p i {q 1,..., q k } Für k = n ist die zweite Bedingung immer erfüllt, d {q 1,..., q n } = Q L n [i, j] ist die Menge ller Wörter zwischen q i und q j α n [i, j] = α qi,q j sind die regulären Ausdrücke, us denen wir letztlich die Lösung ermitteln wollen Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 25 von 32

71 Der Fll k = 0 Gegeben M, Zhlen i, j {1,..., n} und eine Zhl k {0, 1,..., n} definieren wir die Sprche L k [i, j] ls die Menge ller Wörter w = 1 l für die gilt: 1 2 l 1 l es gibt einen Luf q i p1... pl 1 qj, wobei für jeden Zwischenzustnd p i mit i {1,..., l 1} gilt p i {q 1,..., q k } Für k = 0 knn die zweite Bedingung für keinen Zustnd p i erfüllt werden L 0 [i, j] beruht nur uf Läufen ohne Zwischenzustände Flls i j, dnn kommen nur Läufe q i qj in Frge Flls i = j, dnn kommen Läufe q i qi (w = ) oder q i (w = ɛ) in Frge reguläre Ausdrücke α 0 [i, j] können direkt us M bgelesen werden Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 26 von 32

72 Die regulären Ausdrücke α 0 [i, j] Für k = 0 können wir α 0 [i, j] direkt us M blesen: Sei { 1,..., m } = { Σ q i Übergängen von q i zu q j. qj } die Menge der Beschriftungen von direkten Flls i j, dnn ist α 0 [i, j] = 1... m Flls i = j, dnn ist α 0 [i, j] = 1... m ɛ Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 27 von 32

73 Die regulären Ausdrücke α k+1 [i, j] Zur Bestimmung von α k+1 [i, j] verwenden wir Ausdrücke α k [i, j ] 1 2 l 1 l es gibt einen Luf q i p1... pl 1 qj, wobei für jedes p i mit i {1,..., l 1} gilt p i {q 1,..., q k } zwei Möglichkeiten für Läufe bei k + 1: (1) kein p i ist q k+1, d.h. p i {q 1,..., q k } (2) einige p i sind q k+1 ; dnn ht der Luf die Form: q i {q 1,..., q k } q k+1 ( {q1,..., q k } q k+1 ) {q 1,..., q k } q j Teilläufe: q i q k+1 ( q k+1 q k+1 ) q k+1 q j Dher gilt: α k+1 [i, j] = α k [i, j] ( α k [i, k + 1](α k [k + 1, k + 1]) α k [k + 1, j] ) } {{ }} {{ } Fll (1) Fll (2) Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 28 von 32

74 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 Fll k = 0: c b 3 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32

75 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 c b Fll k = 0: α 0 [1, 1] = ɛ 3 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32

76 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 c b 3 Fll k = 0: α 0 [1, 1] = ɛ α 0 [1, 2] = Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32

77 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 c b Fll k = 0: α 0 [1, 1] = ɛ α 0 [1, 2] = α 0 [1, 3] = c 3 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32

78 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 c b Fll k = 0: α 0 [1, 1] = ɛ α 0 [1, 2] = α 0 [1, 3] = c α 0 [2, 1] = 3 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32

79 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 c b Fll k = 0: α 0 [1, 1] = ɛ α 0 [1, 2] = α 0 [1, 3] = c α 0 [2, 1] = α 0 [2, 2] = b ɛ 3 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32

80 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 c b Fll k = 0: α 0 [1, 1] = ɛ α 0 [1, 2] = α 0 [1, 3] = c α 0 [2, 1] = α 0 [2, 2] = b ɛ α 0 [2, 3] = 3 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32

81 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 c b 3 Fll k = 0: α 0 [1, 1] = ɛ α 0 [1, 2] = α 0 [1, 3] = c α 0 [2, 1] = α 0 [2, 2] = b ɛ α 0 [2, 3] = α 0 [3, 1] = α 0 [3, 2] = α 0 [3, 3] = ɛ Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32

82 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 c b 3 Fll k = 0: α 0 [1, 1] = ɛ α 0 [1, 2] = α 0 [1, 3] = c α 0 [2, 1] = α 0 [2, 2] = b ɛ α 0 [2, 3] = α 0 [3, 1] = α 0 [3, 2] = α 0 [3, 3] = ɛ Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32

83 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 c b 3 Fll k = 0: α 0 [1, 1] = ɛ α 0 [1, 2] = α 0 [1, 3] = c α 0 [2, 1] = α 0 [2, 2] = b ɛ α 0 [2, 3] = α 0 [3, 1] = α 0 [3, 2] = α 0 [3, 3] = ɛ Fll k = 1: α 1 [1, 1] = α 0 [1, 1] } {{ } ɛ (α 0 [1, 1](α 0 [1, 1]) α 0 [1, 1]) ɛ } {{ } ɛɛ ɛ Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32

84 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 c b 3 Fll k = 0: α 0 [1, 1] = ɛ α 0 [1, 2] = α 0 [1, 3] = c α 0 [2, 1] = α 0 [2, 2] = b ɛ α 0 [2, 3] = α 0 [3, 1] = α 0 [3, 2] = α 0 [3, 3] = ɛ Fll k = 1: α 1 [1, 1] = α 0 [1, 1] } {{ } ɛ α 1 [1, 2] = α 0 [1, 2] } {{ } (α 0 [1, 1](α 0 [1, 1]) α 0 [1, 1]) ɛ } {{ } ɛɛ ɛ (α 0 [1, 1](α 0 [1, 1]) α 0 [1, 2]) } {{ } ɛɛ Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32

85 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 c b 3 Fll k = 0: α 0 [1, 1] = ɛ α 0 [1, 2] = α 0 [1, 3] = c α 0 [2, 1] = α 0 [2, 2] = b ɛ α 0 [2, 3] = α 0 [3, 1] = α 0 [3, 2] = α 0 [3, 3] = ɛ Fll k = 1: α 1 [1, 1] = α 0 [1, 1] } {{ } ɛ α 1 [1, 2] = α 0 [1, 2] } {{ } (α 0 [1, 1](α 0 [1, 1]) α 0 [1, 1]) ɛ } {{ } ɛɛ ɛ (α 0 [1, 1](α 0 [1, 1]) α 0 [1, 2]) } {{ } ɛɛ... syntktische, ber keine semntische Änderungen α 1 [i, j] α 0 [i, j] (Grund: es gibt keine Pfde zu 1 oder von 1 zu 1) Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32

86 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (2) 1 2 c b 3 Fll k = 1: α 1 [1, 1] ɛ α 1 [1, 2] α 1 [1, 3] c α 1 [2, 1] α 1 [2, 2] b ɛ α 1 [2, 3] α 1 [3, 1] α 1 [3, 2] α 1 [3, 3] ɛ Fll k = 2: Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 30 von 32

87 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (2) 1 2 c b 3 Fll k = 1: α 1 [1, 1] ɛ α 1 [1, 2] α 1 [1, 3] c α 1 [2, 1] α 1 [2, 2] b ɛ α 1 [2, 3] α 1 [3, 1] α 1 [3, 2] α 1 [3, 3] ɛ Fll k = 2: α 2 [1, 1] = α 1 [1, 1] (α 1 [1, 2](α 1 [2, 2]) α 1 [2, 1]) = ɛ (b ) ɛ Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 30 von 32

88 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (2) 1 2 c b 3 Fll k = 1: α 1 [1, 1] ɛ α 1 [1, 2] α 1 [1, 3] c α 1 [2, 1] α 1 [2, 2] b ɛ α 1 [2, 3] α 1 [3, 1] α 1 [3, 2] α 1 [3, 3] ɛ Fll k = 2: α 2 [1, 1] = α 1 [1, 1] (α 1 [1, 2](α 1 [2, 2]) α 1 [2, 1]) = ɛ (b ) ɛ α 2 [1, 2] = α 1 [1, 2] (α 1 [1, 2](α 1 [2, 2]) α 1 [2, 2]) = ((b ɛ) (b ɛ)) b Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 30 von 32

89 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (2) 1 2 c b 3 Fll k = 1: α 1 [1, 1] ɛ α 1 [1, 2] α 1 [1, 3] c α 1 [2, 1] α 1 [2, 2] b ɛ α 1 [2, 3] α 1 [3, 1] α 1 [3, 2] α 1 [3, 3] ɛ Fll k = 2: α 2 [1, 1] = α 1 [1, 1] (α 1 [1, 2](α 1 [2, 2]) α 1 [2, 1]) = ɛ (b ) ɛ α 2 [1, 2] = α 1 [1, 2] (α 1 [1, 2](α 1 [2, 2]) α 1 [2, 2]) = ((b ɛ) (b ɛ)) b α 2 [1, 3] = α 1 [1, 3] (α 1 [1, 2](α 1 [2, 2]) α 1 [2, 3]) = c (b ) c Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 30 von 32

90 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (2) 1 2 c b 3 Fll k = 1: α 1 [1, 1] ɛ α 1 [1, 2] α 1 [1, 3] c α 1 [2, 1] α 1 [2, 2] b ɛ α 1 [2, 3] α 1 [3, 1] α 1 [3, 2] α 1 [3, 3] ɛ Fll k = 2: α 2 [1, 1] = α 1 [1, 1] (α 1 [1, 2](α 1 [2, 2]) α 1 [2, 1]) = ɛ (b ) ɛ α 2 [1, 2] = α 1 [1, 2] (α 1 [1, 2](α 1 [2, 2]) α 1 [2, 2]) = ((b ɛ) (b ɛ)) b α 2 [1, 3] = α 1 [1, 3] (α 1 [1, 2](α 1 [2, 2]) α 1 [2, 3]) = c (b ) c... α 2 [2, 1] α 2 [2, 2] b α 2 [2, 3] α 2 [3, 1] α 2 [3, 2] α 2 [3, 3] ɛ Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 30 von 32

91 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (3) 1 2 c b 3 Fll k = 2: α 2 [1, 1] ɛ α 2 [1, 2] b α 2 [1, 3] c α 2 [2, 1] α 2 [2, 2] b α 2 [2, 3] α 2 [3, 1] α 2 [3, 2] α 2 [3, 3] ɛ Fll k = 3: Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 31 von 32

92 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (3) 1 2 c b 3 Fll k = 2: α 2 [1, 1] ɛ α 2 [1, 2] b α 2 [1, 3] c α 2 [2, 1] α 2 [2, 2] b α 2 [2, 3] α 2 [3, 1] α 2 [3, 2] α 2 [3, 3] ɛ Fll k = 3: syntktische, ber keine semntische Änderungen: α 3 [i, j] α 2 [i, j] (Grund: es gibt keine Pfde von 3 zu 3) Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 31 von 32

93 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (3) 1 2 c b 3 Fll k = 2: α 2 [1, 1] ɛ α 2 [1, 2] b α 2 [1, 3] c α 2 [2, 1] α 2 [2, 2] b α 2 [2, 3] α 2 [3, 1] α 2 [3, 2] α 2 [3, 3] ɛ Fll k = 3: syntktische, ber keine semntische Änderungen: (Grund: es gibt keine Pfde von 3 zu 3) α 3 [i, j] α 2 [i, j] Dmit sind lle α 3 [i, j] = α n [i, j] bestimmt und wir erhlten den folgenden regulären Ausdruck für den Automten: α 3 [1, 2] α 3 [1, 3] b c Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 31 von 32

94 Zusmmenfssung und Ausblick Reguläre Ausdrücke sind eine prktisch wichtige Methode zur Beschreibung (beliebiger) regulärer Sprchen Die Ersetzungsmethode definiert und löst ein Gleichungssystem, um us einem NFA einen regulären Ausdruck zu erzeugen Die Methode der dynmischen Progrmmierung berechnet reguläre Ausdrücke für Wörter zwischen Zustndspren, wobei immer größere Teilmengen von Zwischenzuständen verwendet werden dürfen Offene Frgen: Wie ufwändig sind diese Umformungen im schlimmsten Fll? Welche Sprchen sind nicht regulär? Wie knn mn Automten systemtisch vereinfchen? Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 32 von 32

FORMALE SYSTEME. 6. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke. TU Dresden, 27. Oktober Markus Krötzsch

FORMALE SYSTEME. 6. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke. TU Dresden, 27. Oktober Markus Krötzsch FORMALE SYSTEME 6. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke Mrkus Krötzsch TU Dresden, 27. Oktober 2016 Rückblick Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 2 von 29 Wiederholung: Opertionen uf Automten

Mehr

Einführung in die theoretische Informatik Sommersemester 2017 Übungsblatt Lösungsskizze 3

Einführung in die theoretische Informatik Sommersemester 2017 Übungsblatt Lösungsskizze 3 Prof. J. Esprz Technische Universität München S. Sickert, J. Krämer KEINE ABGABE Einführung in die theoretische Informtik Sommersemester 27 Üungsltt 3 Üungsltt Wir unterscheiden zwischen Üungs- und Agelättern.

Mehr

Vorname: Nachname: Matrikelnummer: Studiengang (bitte ankreuzen): Technik-Kommunikation M.A.

Vorname: Nachname: Matrikelnummer: Studiengang (bitte ankreuzen): Technik-Kommunikation M.A. Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Klusur 23.09.2010 Prof. Dr. J. Giesl M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder Vornme: Nchnme: Mtrikelnummer: Studiengng (itte nkreuzen):

Mehr

vollständig (Vervollständigung) deterministisch, DFA (Potenzmengenkonstruktion) Minimalautomat: minimaler vollständiger DFA

vollständig (Vervollständigung) deterministisch, DFA (Potenzmengenkonstruktion) Minimalautomat: minimaler vollständiger DFA Ws isher geschh NFA A = (X, Q, δ, I, F ) vollständig (Vervollständigung) deterministisch, DFA (Potenzmengenkonstruktion) Minimlutomt: minimler vollständiger DFA Für jede Sprche L X sind die folgenden Aussgen

Mehr

Automaten, Spiele, und Logik

Automaten, Spiele, und Logik Automten, Spiele, und Logik Woche 9 13. Juni 2014 Inhlt der heutigen Vorlesung Büchi Automten co-büchi Automten Komplementierung für deterministische Büchi Automten Ein Ziel: den Stz von Büchi-Elgot-Trkhtenrot

Mehr

Frank Heitmann 2/71. 1 Betrachten wir Σ für ein Alphabet Σ, so ist Σ die Menge

Frank Heitmann 2/71. 1 Betrachten wir Σ für ein Alphabet Σ, so ist Σ die Menge Formle Grundlgen der Informtik Kpitel 2 und reguläre Sprchen Frnk Heitmnn heitmnn@informtik.uni-hmurg.de 7. April 24 Frnk Heitmnn heitmnn@informtik.uni-hmurg.de /7 Alphet und Wörter - Zusmmengefsst Die

Mehr

Was nicht bewertet werden soll, streichen Sie bitte durch. Werden Täuschungsversuche beobachtet, so wird die Präsenzübung mit 0 Punkten bewertet.

Was nicht bewertet werden soll, streichen Sie bitte durch. Werden Täuschungsversuche beobachtet, so wird die Präsenzübung mit 0 Punkten bewertet. Prof Dr Dr hc W Thoms Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Präsenzüung Dniel Neider, Crsten Otto Vornme: Nchnme: Mtrikelnummer: Studiengng (itte nkreuzen): Informtik Bchelor Informtik

Mehr

Lösung zur Klausur. Grundlagen der Theoretischen Informatik. 1. Zeigen Sie, dass die folgende Sprache regulär ist: w {a, b} w a w b 0 (mod 3) }.

Lösung zur Klausur. Grundlagen der Theoretischen Informatik. 1. Zeigen Sie, dass die folgende Sprache regulär ist: w {a, b} w a w b 0 (mod 3) }. Lösung zur Klusur Grundlgen der Theoretischen Informtik 1. Zeigen Sie, dss die folgende Sprche regulär ist: { w {, } w w 0 (mod 3) }. Lösung: Wir nennen die Sprche L. Eine Sprche ist genu dnn regulär,

Mehr

dem Verfahren aus dem Beweis zu Satz 2.20 erhalten wir zunächst die folgenden beiden ε-ndeas für die Sprachen {a} {b} und {ε} {a} +

dem Verfahren aus dem Beweis zu Satz 2.20 erhalten wir zunächst die folgenden beiden ε-ndeas für die Sprachen {a} {b} und {ε} {a} + Lösungen zu Üungsltt 3 Aufge 1. Es gilt L(( ) ) = ({} {}) {} = ({} {}) ({} {} + ). Mit dem Verfhren us dem Beweis zu Stz 2.20 erhlten wir zunächst die folgenden eiden -NDEAs für die Sprchen {} {} und {}

Mehr

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre Vorlesung Einführung in die mthemtische Sprche und nive Mengenlehre 1 Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johnn-von-Neumnn-Hus Fchschft Menge ller Studenten eines Institutes Fchschftsrt

Mehr

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke Umwndlung von endlichen Automten in reguläre Ausdrücke Wir werden sehen, wie mn us einem endlichen Automten M einen regulären Ausdruck γ konstruieren knn, der genu die von M kzeptierte Sprche erzeugt.

Mehr

Automaten, Spiele, und Logik

Automaten, Spiele, und Logik Automten, Spiele, und Logik Wohe 7 19. Mi 2014 Inhlt der heutigen Vorlesung Alternierende Automten Definition Verindung zu regulären Sprhen Komplementtion Engel und Teufel Ws ist eine nihtdeterministishe

Mehr

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung)

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung) Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Wörter Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 2012 Dr. Snder Bruggink Üungsleitung: Jn Stückrth Alphet Ein

Mehr

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen Qudrtische Funktionen Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Drstellungsform von qudrtischen Funktionen, nhnd der viele geometrische Eigenschften des Funktionsgrphen bgelesen werden können. Abbildung

Mehr

Klausur TheGI 2 Automaten und Komplexität (Niedermeier/Hartung/Nichterlein, Sommersemester 2013)

Klausur TheGI 2 Automaten und Komplexität (Niedermeier/Hartung/Nichterlein, Sommersemester 2013) Berlin, 17.07.2013 Nme:... Mtr.-Nr.:... Klusur TheGI 2 Automten und Komplexität (Niedermeier/Hrtung/Nichterlein, Sommersemester 2013) 1 2 3 4 5 6 7 8 Σ Bereitungszeit: mx. Punktezhl: 60 min. 60 Punkte

Mehr

Multiplikative Inverse

Multiplikative Inverse Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll

Mehr

Franz Binder. Vorlesung im 2006W

Franz Binder. Vorlesung im 2006W Formle Reguläre und Formle Institut für Alger Johnnes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2006W http://www.lger.uni-linz.c.t/students/win/ml Formle Inhlt Reguläre Reguläre Formle Zustndsdigrmm δ: Σ (Q

Mehr

Endliche Automaten 7. Endliche Automaten

Endliche Automaten 7. Endliche Automaten Endliche Automten 7 Endliche Automten Einfches Modellierungswekzeug (z.b. UML-Sttechrts) Verrbeiten Wörter/Ereignisfolgen Erkennen Sprchen Erluben schnelle Sprcherkennung Anwendungsbereiche: Objektorientierte

Mehr

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................

Mehr

Uneigentliche Riemann-Integrale

Uneigentliche Riemann-Integrale Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren:

Mehr

RWTH Aachen Lehrgebiet Theoretische Informatik Rossmanith Dreier Hark Kuinke. SS 2017 Blatt

RWTH Aachen Lehrgebiet Theoretische Informatik Rossmanith Dreier Hark Kuinke. SS 2017 Blatt RWTH Achen Lehrgeiet Theoretische Informtik Rossmnith Dreier Hrk Kuinke SS 2017 Bltt 4 22.5.2017 Lösungsvorschlg zur Vorlesung Formle Sprchen, Automten und Prozesse Aufge T11 1. L, d L, er / L. L, d für

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Vorlesung Grundlgen der Theoretischen Informtik / Einführung in die Theoretische Informtik I Bernhrd Beckert Institut für Informtik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik:

Mehr

Mitschrift Repetitorium Theoretische Informatik und Logik

Mitschrift Repetitorium Theoretische Informatik und Logik Mitschrift Repetitorium Theoretische Informtik und Logik Teil 1: Formle Sprchen, 15.01.2010, 1. Edit Allgemeine Hinweise für die Prüfung Ds Pumping-Lemm für kontextfreie Sprchen kommt nicht (sehr wohl

Mehr

Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA

Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Dnk Vorleung Grundlgen der Theoretichen Informtik / Einführung in die Theoretiche Informtik I Bernhrd Beckert Diee Vorleungmterilien ieren gnz weentlich uf den Folien zu den Vorleungen von Ktrin Erk (gehlten

Mehr

Darstellung von Ebenen

Darstellung von Ebenen Drstellung von Ebenen. Ebenengleichung in Prmeterform: Sei E eine Ebene. Dnn lässt sich die Ebene drstellen durch eine Gleichung der Form p u x = p + r v u + s v (r, s R). p u v Der Vektor p heißt Stützvektor

Mehr

Potenzautomat. Gegeben: A = (Z, I, d, s 0, F ) P(A) = (P(Z), I, D, {s 0 }, F P ) P(Z) = {S S Z}: Potenzmenge von Z; D : P(Z) I P(Z) mit

Potenzautomat. Gegeben: A = (Z, I, d, s 0, F ) P(A) = (P(Z), I, D, {s 0 }, F P ) P(Z) = {S S Z}: Potenzmenge von Z; D : P(Z) I P(Z) mit 1 Potenzutomt Gegeben: A = (Z, I, d, s 0, F ) P(A) = (P(Z), I, D, {s 0 }, F P ) P(Z) = {S S Z}: Potenzmenge von Z; D : P(Z) I P(Z) mit D(S, x) = d(s, x) s S für lle S P(Z), x I; F P = {S P(Z) S F }. Potenzutomt

Mehr

LR(k)-Parser. CYK-Algorithmus ist zu langsam.

LR(k)-Parser. CYK-Algorithmus ist zu langsam. LR(k)-Prser Ziele: Effizienter (und deterministischer) Test, ob ein gegebenes Wort w in der Sprche L(G) enthlten ist. Flls j: Konstruktion des Syntxbums Flls nein: Hinweise zum Fehler CYK-Algorithmus ist

Mehr

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:

Mehr

/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH

/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH /LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH (für Grund- und Leistungskurse Mthemtik) 6W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP Nch dem Studium dieses Skripts sollten folgende Begriffe eknnt sein: Linere Gleichung; homogene

Mehr

$Id: integral.tex,v /04/22 11:22:04 hk Exp $

$Id: integral.tex,v /04/22 11:22:04 hk Exp $ Mthemtik für Physiker II, SS 015 Mittwoch.4 $Id: integrl.tex,v 1.35 015/04/ 11::04 hk Exp $ Integrlrechnung.1 Ds Riemn Integrl In der letzten Sitzung hben wir verschiedene vorbereitende Begriffe zur Konstruktion

Mehr

5.1 Charakterisierung relativ kompakter und kompakter

5.1 Charakterisierung relativ kompakter und kompakter Kpitel 5 Kompkte Mengen 5.1 Chrkterisierung reltiv kompkter und kompkter Mengen X sei im weiteren ein Bnchrum. Definition 5.1. Eine Menge K X heißt kompkt, wenn us jeder offenen Überdeckung von K eine

Mehr

Hausaufgabe 2 (Induktionsbeweis):

Hausaufgabe 2 (Induktionsbeweis): Prof. Dr. J. Giesl Formle Sprhen, Automten, Prozesse SS 2010 Üung 3 (Age is 12.05.2010) M. Brokshmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder Hinweise: Die Husufgen sollen in Gruppen von je 2 Studierenden

Mehr

AnKa Hyp. , tan α= Weil die Ankathete des einen Winkels der Gegenkathete des anderen entspricht, gilt auch: sin α = cos β und sinβ = cosα.

AnKa Hyp. , tan α= Weil die Ankathete des einen Winkels der Gegenkathete des anderen entspricht, gilt auch: sin α = cos β und sinβ = cosα. Trigonometrie Wenn mn die Trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tngens berechnen will, ist es wichtig, uf welchen Winkel sie sich beziehen. Die Kthete, die direkt m Winkel nliegt, heißt Ankthete

Mehr

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

1 Grundlagen der Theorie formaler Sprachen

1 Grundlagen der Theorie formaler Sprachen 1 Grundlgen der Theorie formler Sprchen Wir eginnen dmit, dss wir in diesem Kpitel zunchst einige grundlegende Begriffe und Methoden us der Theorie formler Sprchen, insesondere der regulären Sprchen, wiederholen.

Mehr

3. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner

3. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner 3. Mthemtik-Schulrbeit für die 5. Klsse Autor: Gottfried Gurtner Arbeitszeit: 75 Minuten Lernstoff: Mthemtische Grundkompetenzen: AG.1 Einfche Terme und Formeln ufstellen, umformen und im Kontext deuten

Mehr

VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertauschung von Grenzprozessen)

VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertauschung von Grenzprozessen) VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertuschung von Grenzprozessen) Definition. Sei {f n } eine Folge von Funktionen, die uf einer Menge E definiert sind. Die Folgen der Funktionswerte {f n (x)} seien

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 1 Kapitel 4.2

Algorithmen und Datenstrukturen 1 Kapitel 4.2 Endliche Automten Algorithmen und Dtenstrukturen 1 Kpitel 4.2 Roert Giegerich Technische Fkultät roert@techfk.uni-bielefeld.de Vorlesung, U. Bielefeld, Winter 2005/2006 Roert Giegerich Endliche Automten

Mehr

Theoretische Informatik und Logik Übungsblatt 2 (2013S) Lösung

Theoretische Informatik und Logik Übungsblatt 2 (2013S) Lösung Theoretische Informtik und Logik Üungsltt 2 (2013S) en Aufge 2.1 Geen Sie jeweils eine kontextfreie Grmmtik n, welche die folgenden Sprchen erzeugt, sowie einen Aleitungsum für ein von Ihnen gewähltes

Mehr

Prof. Dr. Ulrich Furbach Dr. Manfred Jackel Dr. Björn Pelzer Christian Schwarz. Nachklausur

Prof. Dr. Ulrich Furbach Dr. Manfred Jackel Dr. Björn Pelzer Christian Schwarz. Nachklausur Grundlgen der Theoretischen Infomtik SS 213 Institut für Informtik Prof. Dr. Ulrich Furch Dr. Mnfred Jckel Dr. Björn Pelzer Christin Schwrz Nchklusur Modul Grundlgen der Theoretischen Informtik 4IN118/INLP1

Mehr

Reguläre Sprachen und endliche Automaten

Reguläre Sprachen und endliche Automaten 2 Reguläre Sprchen und endliche Automten Sei Σ = {, b,...} ein endliches Alphbet. Ein endliches Wort über Σ ist eine Folge w = 0... n 1, wobei i Σ für i = 0,...,n 1. Wir schreiben w für die Länge von w,

Mehr

2 Lineare Operatoren. T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α, β K. (b) Ist T linear, so heißt

2 Lineare Operatoren. T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α, β K. (b) Ist T linear, so heißt 2 Linere Opertoren Im Folgenden seien X,Y, Z stets normierte Räumen über dem selben Körper K = C oder K = R. 2.1. Definition. () Eine Abbildung T : X Y heißt liner, flls T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α,

Mehr

Grundbegriffe der Informatik Aufgabenblatt 6

Grundbegriffe der Informatik Aufgabenblatt 6 Mtr.nr.: Nchnme: Vornme: Grundbegriffe der Informtik Aufgbenbltt 6 Tutorium: Nr. Nme des Tutors: Ausgbe: 2. Dezember 2015 Abgbe: 11. Dezember 2015, 12:30 Uhr im GBI-Briefksten im Untergeschoss von Gebäude

Mehr

1. Stegreifaufgabe aus der Physik Lösungshinweise

1. Stegreifaufgabe aus der Physik Lösungshinweise . Stegreifufgbe us der Physik Lösungshinweise Gruppe A Aufgbe Ds.Newtonsche Gesetz lässt sich zum Beispiel so formulieren: Wirkt uf einen Körper keine Krft (oder ist die Summe ller Kräfte null) so bleibt

Mehr

Übungen zur Analysis 2

Übungen zur Analysis 2 Mthemtisches Institut der Universität München Prof. Dr. Frnz Merkl Sommersemester 2013 Bltt 2 26.4.2013 Übungen zur Anlysis 2 2.1 Vernschulichung der Cuchy-Schwrz-Ungleichung. Gegeben seien die Vektoren

Mehr

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem

Mehr

4 Die rationalen Zahlen

4 Die rationalen Zahlen 4 Die rtionlen Zhlen Der Ring der gnzen Zhlen ht den Mngel, dß nicht jede Gleichung = X, 0 innerhl Z lösr ist. (Z.B. ist 1 = 2 X unlösr in Z). Zu seiner Beseitigung erweitert mn den Zhlereich zum Körper

Mehr

Lineare DGL zweiter Ordnung

Lineare DGL zweiter Ordnung Universität Duisburg-Essen Essen, 03.06.01 Fkultät für Mthemtik S. Buer C. Hubcsek C. Thiel Linere DGL zweiter Ordnung Betrchten wir ds AWP { x + x + bx = 0 mit, b, t 0, x 0, v 0 R. Der Anstz xt 0 = x

Mehr

6. Übungsblatt. (i) Von welchem Typ ist die Grammatik G? Begründen Sie Ihre Antwort kurz.

6. Übungsblatt. (i) Von welchem Typ ist die Grammatik G? Begründen Sie Ihre Antwort kurz. Vorlesung Theoretische Informtik Sommersemester 2015 Prof. S. Lnge 6. Üungsltt 1. Aufge Es sei die folgende Grmmtik G = [Σ, V, S, R] gegeen. Dei seien Σ = {, } und V = {S, B}, woei S ds Strtsymol ist.

Mehr

Es soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2

Es soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2 R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 8.. Vektoren im krtesischen Koordintensystem Betrg eines Vektors Es soll der Betrg eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordintenschreibweise

Mehr

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n Them 13 Integrle, die von einem Prmeter bhängen, Integrle von Funktionen uf Teilmengen von R n Wir erinnern drn, dß eine Funktion h : [, b] R eine Treppenfunktion ist, flls es eine Unterteilung x < x 1

Mehr

Grundlagen des Maschinellen Lernens Kap 3: Lernverfahren in anderen Domänen

Grundlagen des Maschinellen Lernens Kap 3: Lernverfahren in anderen Domänen . Motivtion 2. Lernmodelle Teil I 2.. Lernen im Limes 2.2. Fllstudie: Lernen von Ptternsprchen 3. Lernverfhren in nderen Domänen 3.. 3.2. Entscheidungsbäume 3.3. Entscheidungsbäume über regulären Ptterns

Mehr

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009 UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis

Mehr

Integrationsmethoden

Integrationsmethoden Universität Perborn Dezember 8 Institut für Mthemtik C. Kiser Integrtionsmethoen Prtielle Integrtion (Prouktintegrtion) Unbestimmte Integrtion er Prouktregel (u v) () = u ()v() + u()v () liefert (u v)()

Mehr

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt) Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ

Mehr

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist,

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist, Seitenlängen von Qudrten lssen sich mnchml sehr leicht und mnchml etws schwerer Wurzeln bestimmen. Dnn brucht mn Wurzeln. Treffender müsste mn von Qudrtwurzeln sprechen. Sie stehen in enger Beziehung zu

Mehr

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt

Mehr

Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt

Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt Mthemtik für Buwesen Übungsbltt Fchbereich Mthemtik Wintersemester 0/0 Dr Ivn Izmestiev 8/900 Dr Vince Bárány, M Sc Juli Plehnert Gruppenübung Aufgbe G () Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers,

Mehr

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren Vektoren In nderen Bereichen der Nturwissenschften treten Größen uf, die nicht nur durch eine Zhlenngbe drgestellt werden können, wie Krft, die Geschwindigkeit. Zur vollständigen Beschreibung z.b. der

Mehr

Effiziente Algorithmen und Komplexitätstheorie

Effiziente Algorithmen und Komplexitätstheorie Effiziente Algorithmen und Komplexitätstheorie Vorlesung Ingo Wegener Vertretung Thoms Jnsen 10042006 1 Ws letzten Donnerstg geschh Linere Optimierung Wiederholung der Grundbegriffe und Aussgen M konvex

Mehr

7.9A. Nullstellensuche nach Newton

7.9A. Nullstellensuche nach Newton 7.9A. Nullstellensuche nch Newton Wir hben früher bemerkt, dß zur Auffindung von Nullstellen einer gegebenen Funktion oft nur Näherungsverfhren helfen. Eine lte, ber wirkungsvolle Methode ist ds Newton-Verfhren

Mehr

Übungsblatt 4 - Lösung

Übungsblatt 4 - Lösung Formle Sprchen und Automten Üungsltt 4 - Lösung 26. M 2013 1 Whr oder flsch? Begründe kurz dene Antwort! 1. In enem determnstschen endlchen Automten gt es für jedes Wort w Σ mxml enen kzepterenden Pfd.

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mthemtik für Informtiker I (Wintersemester 00/00) Aufgbenbltt (. Oktober 00)

Mehr

Definition (Reguläre Ausdrücke) Sei Σ ein Alphabet, dann gilt: (ii) ε ist ein regulärer Ausdruck über Σ.

Definition (Reguläre Ausdrücke) Sei Σ ein Alphabet, dann gilt: (ii) ε ist ein regulärer Ausdruck über Σ. Reguläre Ausdrücke Definition (Reguläre Ausdrücke) Sei Σ ein Alphabet, dann gilt: (i) ist ein regulärer Ausdruck über Σ. (ii) ε ist ein regulärer Ausdruck über Σ. (iii) Für jedes a Σ ist a ein regulärer

Mehr

mathematik und informatik

mathematik und informatik Prof. Dr. André Schulz Kurs 0657 Grundlgen der Theoretischen Informtik A LESEPROBE mthemtik und informtik Ds Werk ist urheerrechtlich geschützt. Die ddurch egründeten Rechte, insesondere ds Recht der Vervielfältigung

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundegriffe der Informtik Einheit 14: Endliche Automten Thoms Worsch Krlsruher Institut für Technologie, Fkultät für Informtik Wintersemester 2009/2010 1/56 Üerlick Erstes Beispiel: ein Getränkeutomt

Mehr

Übungen zur Vorlesung Modellierung WS 2003/2004 Blatt 11 Musterlösungen

Übungen zur Vorlesung Modellierung WS 2003/2004 Blatt 11 Musterlösungen Dr. Theo Lettmnn Pderorn, den 9. Jnur 24 Age 9. Jnur 24 A x, A 2 x, Üungen zur Vorlesung Modellierung WS 23/24 Bltt Musterlösungen AUFGABE 7 : Es sei der folgende prtielle deterministishe endlihe Automt

Mehr

2 Trigonometrische Formeln

2 Trigonometrische Formeln Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5 $Id: trig.tex,v 1.3 013/05/03 10:50:31 hk Exp hk $ Trigonometrische Formeln.1 Die Additionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir geometrische Herleitungen der

Mehr

1 Folgen von Funktionen

1 Folgen von Funktionen Folgen von Funktionen Wir etrchten Folgen von reell-wertigen Funktionen f n U R mit Definitionsereicht U R und interessieren uns für ntürliche Konvergenzegriffe. Genuer setzen wir uns mit folgenden Frgen

Mehr

Formale Methoden 1. Gerhard Jäger 16. Januar Uni Bielefeld, WS 2007/2008 1/19

Formale Methoden 1. Gerhard Jäger 16. Januar Uni Bielefeld, WS 2007/2008 1/19 1/19 Formale Methoden 1 Gerhard Jäger Gerhard.Jaeger@uni-bielefeld.de Uni Bielefeld, WS 2007/2008 16. Januar 2008 2/19 Reguläre Ausdrücke vierte Art (neben Typ-3-Grammatiken, deterministischen und nicht-deterministischen

Mehr

Kontextsensitive Sprachen. Christian Scheideler Universität Paderborn WS 2014

Kontextsensitive Sprachen. Christian Scheideler Universität Paderborn WS 2014 Kontextsensitive Sprchen Christin Scheideler Universität Pderorn WS 2014 Kontextsensitive Sprchen Definition 5.1.4 Eine Grmmtik heißt kontextsensitiv oder vom Typ Chomsky-1 flls für jede Regel u v gilt

Mehr

Seminar Quantum Computation - Finite Quanten-Automaten und Quanten-Turingmaschinen

Seminar Quantum Computation - Finite Quanten-Automaten und Quanten-Turingmaschinen Seminr Quntum Computtion - Finite Qunten-Automten und Qunten-Turingmschinen Sebstin Scholz sscholz@informtik.tu-cottbus.de Dezember 3. Einleitung Aus der klssischen Berechenbrkeitstheorie sind die odelle

Mehr

Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale)

Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale) Them 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrle) In diesem Kpitel betrchten wir unendliche Reihen n= n, wobei ( n ) eine Folge von reellen Zhlen ist. Die Reihe konvergiert gegen s (oder s ist die Summe

Mehr

Spiele und logische Komplexitätsklassen

Spiele und logische Komplexitätsklassen Spiele und logische Komplexitätsklssen Mrtin Horsch 26. Jnur 2006 Inhlt des Seminrvortrges Ehrenfeucht-Frïssé-Spiel mit k Mrken Formeln mit k Vrilen und logische Komplexitätsklssen k-vrileneigenschft logischer

Mehr

1 Σ endliches Terminalalphabet, 2 V endliche Menge von Variablen (mit V Σ = ), 3 P (V (Σ ΣV )) {(S, ε)} endliche Menge von Regeln,

1 Σ endliches Terminalalphabet, 2 V endliche Menge von Variablen (mit V Σ = ), 3 P (V (Σ ΣV )) {(S, ε)} endliche Menge von Regeln, Theorie der Informatik 8. März 25 8. Reguläre Sprachen I Theorie der Informatik 8. Reguläre Sprachen I 8. Reguläre Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger 8.2 DFAs Universität Basel 8. März 25 8.3 NFAs

Mehr

Grundbegriffe der Informatik Aufgabenblatt 5

Grundbegriffe der Informatik Aufgabenblatt 5 Grundegriffe der Informtik Aufgenltt 5 Mtr.nr.: Nchnme: Vornme: Tutorium: Nr. Nme des Tutors: Ausge: 20. Novemer 2013 Age: 29. Novemer 2013, 12:30 Uhr im GBI-Briefksten im Untergeschoss von Geäude 50.34

Mehr

Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen

Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen Mthemtik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen von Stefn Gärtner (Gr) Stefn Gärtner -00 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Inhlt Inhltsverzeichnis Seite Grundwissen Ws ist ein Bruch? Rtionle Zhlen Q Erweitern

Mehr

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei

Mehr

Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit

Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit WS 008/09 7 Elementrmthemtik (LH) und Fehlerfreiheit. Zhlenbereiche... Die rtionlen Zhlen... Definition Die Definition der rtionlen Zhlen erfolgt hier innermthemtisch ebenflls wie diejenige der gnzen Zhlen

Mehr

kann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k

kann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k Integrlrechnung Definition 1 (Treppenfunktion, Zerlegung eines Intervlls): Sei [, b] R ein Intervll. Eine Funktion g : [, b] R heißt Treppenfunktion, flls es eine Zerlegung := { =: 0 < 1

Mehr

Höhere Mathematik für Ingenieure , Uhr

Höhere Mathematik für Ingenieure , Uhr Studiengng: Mtrikelnummer: 3 5 6 Z Punkte Note Prüfungsklusur zum Modul Höhere Mthemtik für Ingenieure 0. 7. 05, 8.00 -.00 Uhr Zugelssene Hilfsmittel: A-Blätter eigene, hndschriftliche Ausrbeitungen ber

Mehr

Deterministische endliche Automaten

Deterministische endliche Automaten Endliche Automten Idee: endlicher Automt A ht endlich viele innere Zustände liest Einge wєσ* zeichenweise von links nch rechts git zum Schluß eine J/Nein Antwort A Lesekopf w 1 w 2 w n gelesenes Symol

Mehr

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis - - VB Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... Die Inverse einer Mtrix.... Definition der Einheitsmtrix.... Bedingung für die inverse Mtrix.... Berechnung der Inversen Mtrix..... Ds Verfhren nch Guß mit

Mehr

VI. Das Riemann-Stieltjes Integral.

VI. Das Riemann-Stieltjes Integral. VI. Ds Riemnn-Stieltjes Integrl. Es stellt sich herus, dss der hier entwickelte Integrlbegriff strk von der Ordnungsstruktur von R bhängt. Definition. Sei [, b] ein Intervll in R. Unter einer Prtition

Mehr

Falls die Werte von X als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable.

Falls die Werte von X als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable. Sttistik I für Sttistiker, Mthemtiker und Informtiker Lösungen zu Bltt 11 Gerhrd Tutz, Jn Ulbricht, Jn Gertheiss WS 7/8 Theorie: Stetige Zufllsvriblen Begriff Stetigkeit: Eine Vrible oder ein Merkml X

Mehr

DEA1 Deterministische Version

DEA1 Deterministische Version Endliche Automten 4 Deterministische endliche Automten Zu dem nichtdeterministischen Automten EA git es eine deterministische Version. EA Akzeptor für Wörter üer X = { } mit mindestens einem führenden.

Mehr

Gebrochenrationale Funktionen (Einführung)

Gebrochenrationale Funktionen (Einführung) Gebrochenrtionle Funktionen (Einführung) Ac Eine gebrochenrtionle Funktion R ist von der Form R(x) P(x) und Q(x) gnzrtionle Funktionen n-ten Grdes sind. P(x) Q(x), wobei Im Allgemeinen ht eine gebrochenrtionle

Mehr

Hans U. Simon Bochum, den Annette Ilgen. Beispiele zur Vorlesung. Theoretische Informatik. WS 08/09

Hans U. Simon Bochum, den Annette Ilgen. Beispiele zur Vorlesung. Theoretische Informatik. WS 08/09 Hns U. Simon Bohum, den 7..28 Annette Ilgen Beispiele zur Vorlesung Theoretishe Informtik WS 8/9 Voremerkung: Hier findet sih eine Smmlung von Beispielen und Motivtionen zur Vorlesung Theoretishe Informtik.

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmnn SS Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Informtik Lösungsvorschläge zum 8. Übungsbltt Aufgbe 9 erechnen

Mehr

1.1 Grundlagen: Reguläre Ausdrücke

1.1 Grundlagen: Reguläre Ausdrücke 11 Grundlgen: Reguläre Ausdrücke Progrmmtext enutzt ein endliches Alphet Σ von Einge-Zeichen, zb ASCII :-) Die Menge der Textschnitte einer Token-Klsse ist i regulär Reguläre Sprchen knn mn mithile regulärer

Mehr

Kurze Einführung in Baumsprachen

Kurze Einführung in Baumsprachen Kurze Einführung in Bumsprchen Die folgende Einführung in Bumsprchen ist ein miniml ngepsster Ausschnitt us der Bchelor-Arbeit von Peter Bücker (peter.buecker@uni-duesseldorf.de), geschrieben bei Jun.-Prof.

Mehr

2.5 Messbare Mengen und Funktionen

2.5 Messbare Mengen und Funktionen 1 2.5 Messbre Mengen und Funktionen Definition Eine beschränkte Menge M R n heißt messbr, flls die chrkteristische Funktion χ M integrierbr ist. Die Zhl vol n (M) := χ M dµ n nennt mn ds Volumen von M.

Mehr

Grundlagen der Integralrechnung

Grundlagen der Integralrechnung Grundlgen der Integrlrechnung W. Kippels 0. April 2014 Inhltsverzeichnis 1 Ds unbestimmte Integrl 2 2 Ds bestimmte Integrl 4 Beispielufgben 7.1 Beispielufgbe 1............................... 7.2 Beispielufgbe

Mehr

2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )

2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in ) . Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ).1 Addition und Subtrktion 5 + = 7 Summnd Summnd Summe 5 - = 3 Minuend Subtrhend Differenz In Aussgen mit Vriblen lssen sich nur gleiche Vriblen ddieren bzw. subtrhieren.

Mehr

Einführung in die Theoretische Informatik

Einführung in die Theoretische Informatik Technische Universität München Fakultät für Informatik Prof. Tobias Nipkow, Ph.D. Sascha Böhme, Lars Noschinski Sommersemester 2 Lösungsblatt 23. Mai 2 Einführung in die Theoretische Informatik Hinweis:

Mehr

10: Lineare Abbildungen

10: Lineare Abbildungen Chr.Nelius: Linere Alger SS 2008 1 10: Linere Aildungen 10.1 BEISPIEL: Die Vektorräume V 2 und Ê 2 hen diegleiche Struktur. Es git eine ijektive Aildung f : V 2 Ê 2, die durch die Vorschrift definiert

Mehr

7 Modellierung von Abläufen 7.1 Endliche Automaten

7 Modellierung von Abläufen 7.1 Endliche Automaten 7 Modellierung von Aläufen 7. Endliche Automten Mod-7. Endlicher Automt: Formler Klkül zur Spezifiktion von relen oder strkten Mschinen. Sie regieren uf äußere Ereignisse, ändern ihren inneren Zustnd,

Mehr

Formal Languages and Automata

Formal Languages and Automata Forml Lnguges nd Automt Aufgensmmlung Jn Hldik und Stephn Schulz 10. Novemer 2014 1 Üungsufgen 1.1 Endliche Automten 1.1.1 Aufge Sei Σ = {, }. Geen Sie für die folgenden Sprchen einen DFA n L 0 = {w Σ

Mehr

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie Gliederun 1. Motivtion / Grundlen 2. Sortierverfhren 3. Elementre Dtenstrukturen / Anwendunen 4. Bäume / Grphen 5. Hshin 6. Alorithmische Geometrie 3/1, Folie 1 2010 Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen

Mehr

Anhang D: Stabilität t linearer Systeme

Anhang D: Stabilität t linearer Systeme Anhng D: Stbilität t linerer Systeme (- / ) Im{G o (jω) Re{G o (jω) ω FHD Prof. Dr.-Ing. Gernot Freitg Seite Regelungstechnik - Stbilitätskriterien tskriterien Aufgbe: Entwurf stbiler Regelkreise Problem:

Mehr