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1 Erfüllbarkeitstests Im folgenden: Ein sehr effizienter Erfüllbarkeitstest für eine spezielle Klasse von Formeln in KNF, sogenannte Hornformeln (vgl. Grundlagen und diskrete Strukturen ) Ein für Formeln in KNF im allgemeinen effizienter Unerfüllbarkeitstest (Resolution) Ein für beliebige Formeln im allgemeinen effizienter Erfüllbarkeitstest (Tableau) Ein (philosophisch) interessanter Erfüllbarkeitstest für beliebige Formeln (natürliches Schließen) 87

2 Hornformel Eine Formel F ist eine Hornformel (benannt nach Alfred Horn, ), falls F in KNF ist und jede Klausel in F höchstens ein positives Literal enthält. Notation: ( A B C) wird zu (A B C) ( A B) wird zu (A B ) A wird zu ( A) Allgemein: Klausel implikative Form A 1 A k B (A 1 A k ) B A 1 A k (A 1 A k ) B B 88

3 Erfüllbarkeitstest für Hornformeln Markierungsalgorithmus Eingabe: eine Hornformel F (als Konjunktion von Klauseln in implikativer Form). (1) while es gibt in F eine Klausel der Form (A 1... A k A k+1 ) (k 0), wobei A 1,...,A k bereits markiert sind und A k+1 noch nicht markiert ist do markiere jedes Vorkommen von A k+1 in F (2) if F enthält eine Formel der Form A 1 A 2 A k,inder A 1,...,A k markiert sind (k 0) then gib unerfüllbar aus else gib erfüllbar aus Die Vorlesungsseite enthält einen Verweis auf ein Java-Applet zum Markierungsalgorithmus. 89

4 Einige Eigenschaften des Markierungsalgorithmus (I) (A) Der Algorithmus terminiert: in jedem Durchlauf der while-schleife wird wenigstens eine atomare Formel markiert. Nach endlich vielen Schritten terminiert die Schleife also. (B) Wenn der Algorithmus eine atomare Formel A markiert und wenn B eine Belegung mit B(F ) = 1 ist, dann gilt B(A) = 1. Beweis: wir zeigen induktiv über n: WennA in einem der ersten n Schleifendurchläufe markiert wird, dann gilt B(A) = 1. I.A. Die Aussage gilt offensichtlich für n = 0. I.S. werde die atomare Formel A in einem der ersten n Schleifendurchläufe markiert. Dann gibt es eine Teilformel (A 1... A k A), so dass A 1,...,A k in den ersten n 1Schleifendurchläufen markiert wurden. Also gilt B(A 1 )= = B(A k ) = 1 nach der Induktionsvoraussetzung. Wegen B(F ) = 1 gilt B(A 1... A k A) =1und damit B(A) = 1. 90

5 Einige Eigenschaften des Markierungsalgorithmus (II) (C) Wenn der Algorithmus unerfüllbar ausgibt, dann ist F unerfüllbar. Beweis: indirekt, wir nehmen also an, daß der Algorithmus unerfüllbar ausgibt, B aber eine Belegung mit B(F )=1ist. Sei (A 1... A n ) die Teilformel von F, die die Ausgabe unerfüllbar verursacht. Nach (B) gilt B(A 1 )= = B(A n )=1,alsoB(A 1 A n )=0 und damit B(F )=0,imWiderspruchzurAnnahmeanB. Also kann es keine erfüllende Belegung von F geben. 91

6 Einige Eigenschaften des Markierungsalgorithmus (III) (D) Wenn der Algorithmus erfüllbar ausgibt, dann ist F erfüllbar. Beweis: Definiere eine Belegung B wie folgt: 1 der Algorithmus markiert A i B(A i )= 0 sonst Wir behaupten, dass die Belegung B alle Glieder G der Konjunktion F erfüllt: Ist in G =(A 1 A 2... A k B) eina i nicht markiert, so gilt B(A 1 A 2... A k )=0unddamitB(G) = 1. Sind in G =(A 1... A k B) allea i markiert, sowirdauchb markiert, also B(G) = 1. In G =(A 1... A k )können nicht alle A i markiert sein, da der Algorithmus sonst unerfüllbar ausgegeben hätte, also B(G) = 1. 92

7 Der Markierungsalgorithmus Satz Sei F Hornformel. Dann terminiert der Markierungsalgorithmus mit dem korrekten Ergebnis. Beweis: Die Aussagen (A)-(D) beweisen diesen Satz. Bemerkungen: Mit einer geeigneten Implementierung läuft der Algorithmus in linearer Zeit. Wir haben sogar gezeigt, daß bei Ausgabe von erfüllbar eine erfüllende Belegung berechnet werden kann. 93

8 Erfüllbarkeitstests Im folgenden: Ein sehr effizienter Erfüllbarkeitstest für eine spezielle Klasse von Formeln in KNF, sogenannte Hornformeln (vgl. Grundlagen und diskrete Strukturen ) Ein für Formeln in KNF im allgemeinen effizienter Unerfüllbarkeitstest (Resolution) Ein für beliebige Formeln im allgemeinen effizienter Erfüllbarkeitstest (Tableau) Ein (philosophisch) interessanter Erfüllbarkeitstest für beliebige Formeln (natürliches Schließen) 94

9 Resolution (Idee) Resolution ist ein Verfahren, mit dem man feststellen kann, ob eine Formel F in KNF unerfüllbar ist. Idee: (F A) (F A) (F A) (F A) (F F ) Aus der Herleitung der leeren Disjunktion (= leere Klausel) folgt Unerfüllbarkeit. Zwei Fragen: 1 Folgt aus der Herleitung der leeren Disjunktion wirklich die Unerfüllbarkeit? (Korrektheit) 2 Kann man aus einer unerfüllbaren Formel immer die leere Klausel herleiten? (Vollständigkeit) zunächst aber: 3 Gibt es eine Möglichkeit, die Formeln in KNF und die Herleitung kompakter aufzuschreiben? 95

10 Erinnerung: KNF Definition Eine Klausel ist eine Disjunktion von Literalen, also eine Formel der Form wobei L 1,...,L n Literale sind. 1 i n Eine Formel F ist in konjunktiver Normalform (KNF), falls sie eine Konjunktion von Klauseln ist: F =( i=1 L i n m i ( L i,j )), j=1 wobei L i,j für 1 i n und 1 j m i Literal ist. 96

11 Mengendarstellung Definition Die Mengendarstellung der Klausel L 1 L 2 L n, wobei L 1,...,L n Literale sind, ist die Menge (von Literalen) {L 1,...,L n }. Die Mengendarstellung der Formel in KNF Mengen) {{L i,j 1 j m i } 1 i n}. n i=1 ( m i j=1 L i,j ) ist die Menge (von Für die Mengendarstellung der leeren Klausel (= leeren Disjunktion) schreiben wir. Sie ist nicht erfüllbar: ist B Belegung, so existiert kein Literal L mit B(L) = 1. Für die Mengendarstellung der leeren KNF-Formel (= leeren Konjunktion) schreiben wir {}. Sie wird von jeder Belegung B erfüllt: es gilt B(C) =1 für jede Klausel C {} (es gibt ja keine). 97

12 Vorteile der Mengendarstellung Man erhält automatisch: Kommutativität: (A B) (B A), beide dargestellt durch {A, B} Assoziativität: ((A B) C) (A (B C)), beide dargestellt durch {A, B, C} Idempotenz: (A A) A, beide dargestellt durch {A} 98

13 Resolvente Definition Für ein Literal L sei L das folgende Literal: A i falls L = A i für ein i 1, L = A i falls L = A i für ein i 1 Seien K 1, K 2 und R Klauseln. Dann heißt R Resolvente von K 1 und K 2, falls es ein Literal L gibt mit L K 1, L K 2 und falls R die folgende Form hat: R =(K 1 \{L}) (K 2 \{L}). Sprechweise: R wird aus K 1, K 2 nach L resolviert. 99

14 Resolvente Beispiel {B, C} ist Resolvente von {A, B} und { A, C} {B} ist Resolvente von {A, B} und { A, B} ist Resolvente von {A} und { A} {A, A} ist Resolvente von {A, A} und { A, A} Das folgende Diagramm stellt dar, daß R Resolvente von K 1 und K 2 ist: 100

15 Resolutionslemma Resolutionslemma Sei F eine Formel in KNF (dargestellt als Klauselmenge). Ferner sei R eine Resolvente zweier Klauseln K 1, K 2 F. Dann gilt F F {R}. Beweis: zu zeigen ist (F 1 A) K 1 (F 2 A) K 2 3 i n K i (F 1 A) (F 2 A) (F 1 F 2 ) K 1 K 2 R Hierzu reicht es nach dem Ersetzungssatz, 3 i n K i (F 1 A) (F 2 A) (F 1 A) (F 2 A) (F 1 F 2 ) zu zeigen, was mit einer Wahrheitstafel geschehen kann (wirklich?). 101

16 Die Resolutionshülle Res(F ) Definition: Definition Sei F eine Menge von Klauseln. Dann ist Res(F )=F {R R ist Resolvente zweier Klauseln in F }. Außerdem setzen wir Res 0 (F )=F Res n+1 (F ) = Res(Res n (F )) für n 0 Res (F ) = n 0 Res n (F ). Res (F )wirdauchalsdieresolutionshülle von F bezeichnet. 102

17 Die Resolutionshülle Angenommen, die Formel F (in KNF) enthält n atomare Formeln. Wie groß kann dann Res (F )höchstens werden? (A) Res (F ) 2 n (B) Res (F ) 4 n (C) Res (F ) kann unendlich werden Da die Resolutionshülle endlich ist, ist sie Mengendarstellung einer Formel in KNF.Aus dem Resolutionslemma folgt sofort F Res (F ). 103

18 Deduktionen Eine Deduktion (oder eine Herleitung oder ein Beweis) derklauselk aus der Klauselmenge F ist eine Folge K 1, K 2,...,K m von Klauseln mit folgenden Eigenschaften: K m = K für jedes i {1,...,m} gilt K i F oder K i kann aus zwei Klauseln K j,k mit j,<i resolviert werden. 104

19 Resolutionshülle vs. Deduktionen Lemma (Charakterisierung der Resolutionshülle) Sei F Menge von Klauseln und K eine Klausel. Dann gilt K Res (F ) genau dann, wenn es eine Deduktion von K aus F gibt. Beweis: : Sei K 1,...,K m Deduktion von K aus F. Man zeigt induktiv K i Res i 1 (F ) (geht das wirklich?) und damit insbesondere K = K m Res m 1 (F ) Res (F ) : Die Existenz einer Deduktion für K Res (F ) zeigt man induktiv über i für alle K Res i (F ): I.A. i = 0. Dann K Res 0 (F )=F,alsom := 1 und K 1 := K I.V. Für jede Klausel K Res i 1 (F ) existiere Deduktion aus F 105

20 Beweis der Charakterisierung der Resolutionshülle I.S. Sei K Res i (F ) = Res(Res i 1 (F )) = Res i 1 (F ) {K K ist Resolvente zweier Klauseln aus Res i 1 (F )} Gilt K Res i 1 (F ), so existiert Deduktion nach I.V. Andernfalls existieren K 1, K 2 Res i 1 (F ), so daß K Resolvente von K 1 und K 2. Nach I.V. existieren Deduktionen K 11, K 12,...,K 1m = K 1 und K 21, K 22,...,K 2n = K 2. Dann ist K 11, K 12,...,K 1m, K 21, K 22,...,K 2n, K die gesuchte Deduktion für K. 106

21 Resolutionssatz Wir zeigen nun die Korrektheit und Vollständigkeit der Resolution: Resolutionssatz der Aussagenlogik Eine endliche Menge F von Klauseln ist unerfüllbar genau dann, wenn Res (F ). Beweis: Korrektheit: z.z.: Wenn Res (F ), dann ist F unerfüllbar. Sei also Res (F ). Da unerfüllbar ist, ist auch Res (F )unerfüllbar. Aus dem Resolutionslemma folgt F Res (F ). Also ist auch F unerfüllbar. 107

22 Beweis des Resolutionssatz (Vollständigkeit) Vollständigkeit: z.z.: Wenn F unerfüllbar ist, dann gilt Res (F ). Wir zeigen dies durch Induktion über die Anzahl n(f ) der atomaren Formeln, die in F vorkommen. I.A.: SeiF unerfüllbar mit n(f ) = 0. Dann muss F = { } gelten. Also gilt: F Res (F ). I.S.: SeiF unerfüllbar mit n(f ) > 0. Wähle eine beliebige in F vorkommende atomare Formel A aus. Wir definieren aus F die Klauselmenge F 0 wie folgt: F 0 = {K \{A} K F, A / K}. Intuition: F 0 entsteht aus F,indemA durch ersetzt wird und die offensichtlichen Vereinfachungen durchgeführt werden. 108

23 Beweis des Resolutionssatz (Vollständigkeit) Analog definieren wir aus F die Formel F 1 : F 1 = {K \ { A} K F, A K}. Intuition: F 1 entsteht aus F,indemA durch ersetzt wird und die offensichtlichen Vereinfachungen durchgeführt werden. Behauptung: F 0 und F 1 sind unerfüllbar Wäre z.b. B(F 1 ) = 1, so würde auch B (F ) = 1 gelten für die folgende Belegung B : B 1 falls A i = A (A i )= B(A i ) falls A i = A Da n(f 0 )=n(f 1 )=n(f ) 1 gilt, können wir also aus der I.V. schließen, dass Res (F 0 )und Res (F 1 ) gelten. 109

24 Beweis des Resolutionssatz (Vollständigkeit) Nach der Charakterisierung der Resolutionshülle gibt es eine Deduktion K 1, K 2,...,K m = von aus F 0. Wir definieren nun eine Deduktion K1, K 2,...,K m aus F wie folgt: Falls K i F 0 und K i F : Ki := K i Falls K i F 0 und K i F : Ki := K i {A} F Falls K i F 0 und K i aus K j und K (j,<i) nachdemliterall resolviert wird: K i wird aus K j und K gebildet, indem nach L resolviert wird. Nach der Charakterisierung der Resolutionshülle gilt dann K m Res (F ). Außerdem K m K m {A} = {A} und somit Res (F ) oder {A} Res (F ) Analog folgt: Hieraus folgt Res (F ). Res (F ) oder { A} Res (F ) 110

25 Veranschaulichung des Induktionsschritts F = {{A 1 }, { A 2, A 4 }, { A 1, A 2, A 4 }, {A 3, A 4 }, { A 1, A 3, A 4 }} F 0 = {{A 1 }, { A 2 }, { A 1, A 2 }} F 1 = {{A 1 }, {A 3 }, { A 1, A 3 }} F 0 F 1 { A 2, A 4 } { A 1, A 2, A 4 } {A 1 } {A 3, A 4 } { A 1, A 3, A 4 } { A 1, A 4 } { A 1, A 4 } {A 4 } { A 4 } 111

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