Teil 1. Darstellung von Vektoren als Linearkombinationen. Lineare Un-/Abhängigkeit - Basis

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Teil 1. Darstellung von Vektoren als Linearkombinationen. Lineare Un-/Abhängigkeit - Basis"

Transkript

1 LINEARE ALGEBRA Elementare Vektorrechnung Teil 1 Darstellung von Vektoren als Linearkombinationen Lineare Un-/Abhängigkeit - Basis Die Lösungen der Aufgaben befinden sich in der Datei 6110 auf der Mathematik-CD Stand 10 November 015 Datei Nr INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 61101 Vektorrechnung Teil 1 Vorwort Dieser Text bringt Erklärungen und Beispiele zum Thema Elementare Vektorrechnung Hier geht es noch um keinerlei Anwendungen, also spielt die Geometrie mit ihren Pfeilvektoren noch keine Rolle Die hier verwendeten Vektoren sind Paare, Tripel usw Und zwar sowohl in der Zeilen- wie auch in der Spaltendarstellung Zunächst sollte man lernen, warum Vektoren so heißen und wie man mit ihnen rechnen kann Dabei kommen hier nur die Addition und die S-Multiplikation vor Skalarprodukt und Vektorprodukt haben in der elementaren Vektorrechnung noch nichts zu suchen Sie kommen erst später hinzu (Texte und 66101) Das Schwierigste ist für Schüler immer das Arbeiten mit Linearkombinationen Dies nimmt hier auch einen breiten Raum ein Dazu gehören dann die Eigenschaften der linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit Und dann kommen die Begriffe Basis und Dimension dazu Hier endet für viele Schüler der Unterrichtsstoff, weil man im G8 keine Zeit mehr hat, sich um eine weitere Vertiefung zu kümmern Die folgenden Paragraphen, die sich noch mehr um lineare Abhängigkeit, um die lineare Hülle sowie um Basiswechsel kümmern, werden daher weitgehend für Studenten interessant sein Das Thema Untervektorräume ist in den Text ausgelagert Soviel ich weiß, ist dies aus den Lehrplänen gestrichen worden Früher war es in BW Abiturstoff Resümee: Schüler, die diesen Text lesen, werden auswählen müssen, aber das ist ja fast immer so Inhalt 1 Was sind Vektoren n-tupel sind Vektoren 5 Einführung der Vektorsubtraktion 7 4 Linearkombinationen 8 5 Basis und Dimension eines Vektorraums 1 6 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit 15 7 Ergänzung zum Thema Basis eines Vektorraums 8 Spezielle Aufgabenstellungen 4 9 Lineare Hüllen 7 10 Noch einige Sätze über abhängige Vektoren 0 11 Vektorkoordinaten relativ zu einer Basis 111 Grundlagen 11 Die kanonische Basis 5 11 Basiswechsel Ein interessantes Koordinatenproblem 8 Die Lösungen der Trainingsaufgaben stehen im Text 6110

3 61101 Vektorrechnung Teil 1 1 Was sind Vektoren? Die Vektorrechnung ist ein großes Teilgebiet der Algebra Man nennt sie auch lineare Algebra, weil es vor allem um lineare Gleichungen und Gleichungssysteme geht Die Algebra befasst sich mit Zahlen, Termen, Umformungen, Gleichungen usw Es geht in der Algebra vor allem darum, dass man zeigt, welche Berechnungen möglich sind, welche Verfahren es gibt usw Dabei spielen Rechenregeln oder Rechengesetze eine fundamentale Rolle Wenn man die Verkehrsregeln nicht kennt, sollte man sich nicht in den Straßenverkehr begeben Und wer die Rechenregeln nicht beherrscht, macht in der Algebra Fehler Rechnen beruht immer auf der Umsetzung bekannter Rechenregeln Man lernt, wie man addiert, multipliziert, subtrahiert und dividiert Und man lernt dabei, dass man beispielsweise nicht durch 0 dividieren kann Ein nettes Beispiel für die Anwendung einer nicht existenten Rechenregel ist diese falsche Berechnung: x 4 x 4 x Dass sie falsch ist, erkennt man, wenn man für x eine Zahl einsetzt, etwa x = 5 Dann wird daraus: , in Wirklichkeit ist aber und nicht 5 Hier wurde diese nicht gültige Regel angewandt: ab a b Mit ihr kann man auch zeigen, dass 5 = 7 ist: Einerseits ist Andererseits gilt: Diesen Fehler entdecken Mathelehrer nicht selten, sogar noch bei Abiturienten Was bedeutet Rechnen im weitesten Sinne? Man könnte sagen: Zahlen nach bestimmten Regeln verknüpfen und so neue Zahlen (Rechenergebnisse) ermitteln Dies kann man aber auch mit anderen Objekten als Zahlen machen Wir werden im Anschluss lernen, mit Zahlenpaaren oder Tripeln zu rechnen, später mit geometrischen Objekten, die man Pfeilklassen nennt: Text 6005 Jetzt kommt bereits der Begriff Vektor ins Spiel: Es sei V eine Menge von Objekten, für die zwei Rechenoperationen definiert sind: Die erste nennt man Addition, die zweite Vielfachbildung (= S-Multiplikation) Wenn für diese Berechnungsarten bestimmte festgelegte Gesetze gelten, dann nennt man diese Objekte Vektoren und ihre Menge V einen Vektorraum Das besagt einfach, dass Vektoren Objekte sind, mit denen man nach bestimmten Regeln rechnen kann Diese Regeln müssen wir kennenlernen Zur Schreibweise: Vektoren versieht man in der Regel mit einem Zusatzpfeil: a, b, c, sind Bezeichnungen für Vektoren Da die Addition von Vektoren keine Addition von Zahlen ist, verwendet man auch oft dafür ein eigenes Zeichen: a b Die meisten Autoren und Lehrer verwenden aber dennoch das Zahlenadditionszeichen + dafür

4 61101 Vektorrechnung Teil 1 4 Grundgesetze (Axiome) eines Vektorraums Die Grundlagen der Vektor-Verknüpfungen sind: Die Addition ist innere Verknüpfung, dh das Ergebnis der Verknüpfung zweier Vektoren ist wieder ein Vektor: Wenn a V und b V, dann muss a b V sein Die S-Multiplikation ist eine äußere Verknüpfung: Wenn a V und r, dann muss r a V sein Vorgeschriebene Rechengesetze für die Vektoraddition: (A1) Für alle a, b und c V gilt das Assoziativgesetz: a b c abc (A) Es gibt genau ein Element o, sodass für alle a V gilt: a o oa a Dieses Element heißt neutrales Element oder auch Nullvektor (A) Zu jedem Element a V existiert ein a, so dass gilt: a a a a o Der Vektor a heißt inverses Element zu a (A4) Für alle a, b V gilt das Kommutativgesetz: a b ba Vorgeschriebene Rechengesetze für die S-Multiplikation: (S1) Für alle a V und alle r,s gilt: r sa rsa (Gemischtes Assoziativgesetz) (S) Für alle a V und alle r,s gilt: r sa rasa (1 Distributivgesetz) (S) Für alle a, b V und alle r gilt: r ab rarb ( Distributivgesetz) (S4) Für alle a V gilt: 1a a Hinweise dazu a) Das Assoziativgesetz (A1) regelt, dass es egal ist, wie man die Klammern setzt Daher darf man auch abc ohne Klammern schreiben, obwohl die später folgende Definition nur klären wird, wie man zwei Vektoren addiert Aber durch (gedankliche) Klammernsetzung kann man dann auch mehr als zwei Vektoren addieren b) Aus diesen Regeln lassen sich weitere Rechengesetze folgern, so dass man sie nicht in der obigen Liste der Grundgesetze aufführen muss Beispiele: (1) 1a a - So erzeugt man das inverse Element von a () ra ra ra () Gilt ra o, dann folgt r 0 oder a o (Nullprodukt) (4) Umgekehrt gilt auch: 0a o und r o o (5) Die Gleichung xa b x b a hat den Lösungsvektor Diese Gesetze kennen wir alle aus der Welt der Zahlen Dass sie auch bei Vektoren gelten (die wir ja noch gar nicht kennen), muss man eigentlich erst beweisen, was ich dem Unterricht überlasse Anfänger nehmen sie gerne als selbstverständlich hin

5 61101 Vektorrechnung Teil 1 5 n-tupel sind Vektoren n-tupel sind zum Beispiel Zahlenpaare, Tripel, Quadrupel usw: ist die Menge aller reellen Zahlenpaare, wie 7, 5, 0 4 ist die Menge aller reellen Zahlentripel, wie 0 1, 1 5 usw 4 ist die Menge aller reellen Zahlenquadrupel, wie usw n ist die Menge aller reellen n-tupel in der Form a 1 a a n usw 1 Man kann n-tupel auch in der Spaltenschreibweise verwenden: 6 oder 5 Darauf verzichte ich vorerst, denn diese Spaltenvektoren haben noch eine andere Bedeutung ( 11, Seite ff) Man kann mit ihnen aber genauso rechnen und alle folgenden Überlegungen auch in der Spaltenschreibweise durchführen Satz 1 Satz Die Menge bildet einen Vektorraum mit diesen Verknüpfungen Addition: ab a 1 a b 1 b : a1b 1 a b S-Multiplikation: ra ra a ra ra Die Menge 1 1 bildet einen Vektorraum mit diesen Verknüpfungen Addition: ab a 1 a ab 1 b b : a1b 1 a b a b S-Multiplikation: rara a a ra ra ra 1 1 Ein Satz ist in der Mathematik eine Aussage, die bewiesen werden muss Dies soll an dieser Stelle teilweise geschehen Lehrer zeigen die Gültigkeit der Axiome oft nur an Hand von Beispielen (A1) Ein Beispiel für die Gültigkeit des Assoziativgesetzes im Es sei a 5 1, b 10 7 und c 6 : ab c abc ab c a bc bestätigt Damit wurde Führt man diese Rechnung allgemein durch, ist es ein Beweis, denn es gilt (Beweis): a o a a a a 0 a 0 a 0 a a a a (A) Das neutrale Element, also der Nullvektor, ist o , denn es gilt (Beweis): a a a a a a a a a a a a a a o (A) Das Inverse zu a a 1 a a ist a a 1 a a (A4) Beweis des Kommutativgesetzes: ab a a a b b b a b a b a b ba b b b a a a b a b a b a Weil das Kommutativgesetz für die Addition reeller Zahlen gilt, sind beide Ergebnisse identisch

6 61101 Vektorrechnung Teil 1 6 (S1) Beispiel für die Gültigkeit von r sa rs a (S) Beispiel für die Gültigkeit: (S) Beweis für die Gültigkeit von r s a rasa a a a 5a r ab rarb: r a a a b b b r a b a b a b r a b r a b r a b ra rb ra rb ra rb 1 1 r a a a r b b b ra ra ra rb rb rb ra rb ra rb ra rb (S4) Beweis für die Gültigkeit von 1a a : 1a1 a a a 1a 1a 1a a a a a 1 1 1

7 61101 Vektorrechnung Teil 1 7 Einführung einer Vektorsubtraktion Beim Zahlrechnen lernt man, dass 8 8 gilt Dies übernimmt man, um für Vektoren eine Subtraktion zu definieren Die Grundgesetze von Vektoren sagen uns, dass es zu jedem Vektor einen inversen Vektor gibt Daher kann man für alle Vektoren definieren: a b: a b Hinweis: := liest man sei Für Tripel sieht das beispielsweise so aus: wird definiert als Man erkennt, dass man den Zwischenschritt über die Addition des Inversen weglassen kann Man rechnet also so: Für die Subtraktion gibt es auch Rechenregeln Aber: Das Assoziativgesetz gilt für die Subtraktion nicht a b c a bc! Man darf also die Klammern nicht umsetzen: Beispiel: !! Daraus folgt eigentlich diese Konsequenz: Wenn es nicht egal ist, wie man die Klammern setzt, dann darf man sie auch nicht weglassen Also hätte dieser Term a b c eigentlich keinen Sinn Es gibt jedoch um Klammern sparen wie bei Zahlen die Festlegung, dass man in diesem Fall so rechnen muss, wie wenn die Klammern links gesetzt wären: a-b-c: a-b -c Es gilt also per Festlegung: Dagegen muss man dies beachten; und a bc abc a bc abc

8 61101 Vektorrechnung Teil Linearkombinationen Definition: Unter einer Linearkombination von Vektoren versteht man eine Summe von Vielfachen, z B: x=ra+sb+tc GRUNDAUFGABE 1: Erzeugen von Linearkombinationen a) Aus a ½1½ 6 und b ½½ 1 6 erzeuge ich diese Linearkombinationen: c 5ab 5½1½6 ½½ ½5½0 4½½1 19½½ 18 d a4b ½½ 1 68½4½ 4 11½ ½ 18 e ab 9½½186½½ 18 15½½ 0 0 b) Gegeben sind a ½½ 11 ; b11 ½½ ; c ½½ 1 Daraus bilde ich diese Linearkombinationen: d abc 6½½ ½½ 69½½ 9 17½10½ 6 e 5abc1055 ½½11 ½½ 66 ½½ ½ ½ f a4bc ½1½ 1 4½4½ 1 ½½ 1 ½6½ 14 ½½ ½ ½ ½½ erzeuge ich c) Aus a 1 1 ; b 1 1 und c 1 1 d abc6 ½½ 11 ½½4 ½½05 Trainingsaufgabe 1 a) Gegeben sind diese Vektoren des : a ½ 1, b ½ 5 und c 1½ 0 Berechne daraus d 4a 7b, e b5c und x ab6c b) Gegeben sind die vier Vektoren des a 4 1 1, : ½½ b 1½½ 0, c Berechne damit diese Linearkombinationen: x1 5ac, x ab5c, x 10a 5b 7c d x c x 4dab x a bc 4d 4 4, 5 6 ½½, 4 c) Gegeben sind diese Vektoren des : a10 ½½½5,b½11 ½½,c½½½ 511,d 010 ½½½ 7 Berechne daraus x1 abc d, x 4ac d, x abc 4d d 11 ½½0 Lösungen für alle Trainingsaufgaben im Text 6110

Skalarprodukt. Anwendung auf die Berechnung von einfachen Abständen und Winkeln sowie Normalenvektor. Ganz einfache Erklärung der Grundlagen:

Skalarprodukt. Anwendung auf die Berechnung von einfachen Abständen und Winkeln sowie Normalenvektor. Ganz einfache Erklärung der Grundlagen: Vektorgeometrie ganz einfach Teil 5 Skalarprodukt Anwendung auf die Berechnung von einfachen Abständen und Winkeln sowie Normalenvektor Ganz einfache Erklärung der Grundlagen: Die wichtigsten Aufgabenstellungen

Mehr

DEMO für www.mathe-cd.de

DEMO für www.mathe-cd.de (1) Rechnen mit Paaren und Tripeln () Eine Gleichung mit oder 3 Unbekannten (3) Zwei Gleichungen mit 3 Unbekannten Datei Nr. 61 011 Stand 19. Oktober 010 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

Mehr

1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat.

1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. 1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. übliche Beispiele: Ort r = r( x; y; z; t ) Kraft F Geschwindigkeit

Mehr

Teil 1 Grundlagen. Für moderne Geometrie-Kurse am Gymnasium. und für Realschulen in Bayern! (Prüfungsstoff!)

Teil 1 Grundlagen. Für moderne Geometrie-Kurse am Gymnasium. und für Realschulen in Bayern! (Prüfungsstoff!) Vektor-Geometrie für die Mittelstufe (Sekundarstufe 1) Teil 1 Grundlagen Für moderne Geometrie-Kurse am Gymnasium und für Realschulen in Bayern! (Prüfungsstoff!) Auch in der Oberstufe zur Ergänzung einzusetzen,

Mehr

Zusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren

Zusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Zusammenfassung Mathe III Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Definition: (1) anschaulich: Ein Vektor ist eine direkt gerichtete Verbindung zweier

Mehr

Vektorgeometrie Layout: Tibor Stolz

Vektorgeometrie Layout: Tibor Stolz Hanspeter Horlacher Vektorgeometrie Layout: Tibor Stolz 1. Einführung Eine Grösse, zu deren Festlegung ausser einer Zahl auch noch die Angabe einer Richtung nötig ist, heisst VEKTOR. P 2 P 1 P 1 P 2 P

Mehr

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) (Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen:

Mehr

2 ZAHLEN UND VARIABLE

2 ZAHLEN UND VARIABLE Zahlen und Variable 2 ZAHLEN UND VARIABLE 2.1 Grundlagen der Mengenlehre Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte bezeichnet man als

Mehr

Lineare Algebra I. Christian Ebert & Fritz Hamm. Gruppen & Körper. Vektorraum, Basis & Dimension. Lineare Algebra I. 18.

Lineare Algebra I. Christian Ebert & Fritz Hamm. Gruppen & Körper. Vektorraum, Basis & Dimension. Lineare Algebra I. 18. 18. November 2011 Wozu das alles? Bedeutung von Termen Vektoren in R n Ähnlichkeiten zwischen Termbedeutungen Skalarprodukt/Norm/Metrik in R n Komposition von Termbedeutungen Operationen auf/abbildungen

Mehr

3.6 Einführung in die Vektorrechnung

3.6 Einführung in die Vektorrechnung 3.6 Einführung in die Vektorrechnung Inhaltsverzeichnis Definition des Vektors 2 2 Skalare Multiplikation und Kehrvektor 4 3 Addition und Subtraktion von Vektoren 5 3. Addition von zwei Vektoren..................................

Mehr

Vektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition)

Vektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition) Vektorräume In vielen physikalischen Betrachtungen treten Größen auf, die nicht nur durch ihren Zahlenwert charakterisiert werden, sondern auch durch ihre Richtung Man nennt sie vektorielle Größen im Gegensatz

Mehr

Themenheft mit viel Trainingsmaterial (Siehe Vorwort!) Unabhänge Vektoren und Erzeugung von Vektoren Gauß-Algorithmus Rang einer Matrix.

Themenheft mit viel Trainingsmaterial (Siehe Vorwort!) Unabhänge Vektoren und Erzeugung von Vektoren Gauß-Algorithmus Rang einer Matrix. LINEARE ALGEBRA Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen Themenheft mit viel Trainingsmaterial (Siehe Vorwort!) Unabhänge Vektoren und Erzeugung von Vektoren Gauß-Algorithmus Rang einer Matrix Gleichungssysteme

Mehr

2 Die Körper-Axiome. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z).

2 Die Körper-Axiome. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z). 17 Wir setzen in diesem Buch die reellen Zahlen als gegeben voraus. Um auf sicherem Boden zu stehen, werden wir in diesem und den folgenden Paragraphen einige Axiome formulieren, aus denen sich alle Eigenschaften

Mehr

Mathematik für Chemische Technologie 2

Mathematik für Chemische Technologie 2 Mathematik für Chemische Technologie 2 Themenüberblick: Funktionen mehrerer unabhängigen Veränderlichen Vektoralgebra Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Fehlerrechnung Schwerpunkt des Sommersemesters

Mehr

Addition, Subtraktion und Multiplikation von komplexen Zahlen z 1 = (a 1, b 1 ) und z 2 = (a 2, b 2 ):

Addition, Subtraktion und Multiplikation von komplexen Zahlen z 1 = (a 1, b 1 ) und z 2 = (a 2, b 2 ): Komplexe Zahlen Definition 1. Eine komplexe Zahl z ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen (a, b). Wir nennen a den Realteil von z und b den Imaginärteil von z, geschrieben a = Re z, b = Im z. Komplexe

Mehr

Zahlen und metrische Räume

Zahlen und metrische Räume Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} bzw. N 0 = {0, 1, 2,

Mehr

Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1

Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1 Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1 Kapitel 3 Lineare Gleichungssysteme 3.1. Einleitung Beispiel 1 3 Kinder haben eingekauft. Franz hat 4 Lakritzen, 2 Schokoriegel und 5 Kaugummis

Mehr

$Id: linabb.tex,v /01/09 13:27:34 hk Exp hk $

$Id: linabb.tex,v /01/09 13:27:34 hk Exp hk $ Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 9. $Id: linabb.tex,v.3 9//9 3:7:34 hk Exp hk $ II. Lineare Algebra 9 Lineare Abbildungen 9. Lineare Abbildungen Der folgende Satz gibt uns eine einfachere Möglichkeit

Mehr

Lineare Algebra. Grundlagen der Vektorrechnung. fsg Verlag

Lineare Algebra. Grundlagen der Vektorrechnung. fsg Verlag Rolf Stahlberger Alexander Golfmann Lineare Algebra Grundlagen der Vektorrechnung fsg Verlag Impressum Herausgeber: FSG Verlag Alexander Golfmann Augustenstr. 58 80333 München info@fsg-verlag.de www.fsg-verlag.de

Mehr

& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors

& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors Einführu hnung Was ist ein Vektor? In Bereichen der Naturwissenschaften treten Größen auf, die nicht nur durch eine Zahlenangabe dargestellt werden können, wie Kraft oder Geschwindigkeit. Zur vollständigen

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Für n N ist die Matrix-Exponentialfunktion

Mehr

2.9 Die komplexen Zahlen

2.9 Die komplexen Zahlen LinAlg II Version 1 3. April 2006 c Rudolf Scharlau 121 2.9 Die komplexen Zahlen Die komplexen Zahlen sind unverzichtbar für nahezu jede Art von höherer Mathematik. Systematisch gehören sie zum einen in

Mehr

Zahlen und elementares Rechnen

Zahlen und elementares Rechnen und elementares Rechnen Christian Serpé Universität Münster 7. September 2011 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September 2011 1 / 51 Gliederung 1 2 Elementares Rechnen 3

Mehr

0, v 6 = , v 4 = 1

0, v 6 = , v 4 = 1 Aufgabe 6. Linearkombinationen von Vektoren Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 : M = v =, v =, v 3 =, v 4 =, v 5 =, v 6 =. Zeigen Sie, dass sich jeder Vektor v i M, i =,,...,

Mehr

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die

Mehr

1 Algebraische Strukturen

1 Algebraische Strukturen Prof. Dr. Rolf Socher, FB Technik 1 1 Algebraische Strukturen In der Mathematik beschäftigt man sich oft mit Mengen, auf denen bestimmte Operationen definiert sind. Es kommt oft vor, dass diese Operationen

Mehr

Zahlen und elementares Rechnen (Teil 1)

Zahlen und elementares Rechnen (Teil 1) und elementares Rechnen (Teil 1) Dr. Christian Serpé Universität Münster 6. September 2010 Dr. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen (Teil 1) 6. September 2010 1 / 40 Gliederung

Mehr

4. Vektorräume und Gleichungssysteme

4. Vektorräume und Gleichungssysteme technische universität dortmund Dortmund, im Dezember 2011 Fakultät für Mathematik Prof Dr H M Möller Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg Zusammenfassung der Abschnitte 41 und 42 4 Vektorräume

Mehr

Vorkurs Mathematik 1

Vorkurs Mathematik 1 Vorkurs Mathematik 1 Einführung in die mathematische Notation Konstanten i komplexe Einheit i 2 + 1 = 0 e Eulersche Zahl Kreiszahl 2 Einführung in die mathematische Notation Bezeichner Primzahlen, Zähler

Mehr

Terme und Formeln Grundoperationen

Terme und Formeln Grundoperationen Terme und Formeln Grundoperationen Die Vollständige Anleitung zur Algebra vom Mathematiker Leonhard Euler (*1707 in Basel, 1783 in Petersburg) prägte den Unterricht und die Lehrmittel für lange Zeit. Euler

Mehr

ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dann ist jeder dazu parallele (kollinear) Veka tor d ein Vielfaches von a. + λ 2 a 2

ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dann ist jeder dazu parallele (kollinear) Veka tor d ein Vielfaches von a. + λ 2 a 2 II. Basis und Dimension ================================================================= 2.1 Linearkombination und Basis -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

2 Die Dimension eines Vektorraums

2 Die Dimension eines Vektorraums 2 Die Dimension eines Vektorraums Sei V ein K Vektorraum und v 1,..., v r V. Definition: v V heißt Linearkombination der Vektoren v 1,..., v r falls es Elemente λ 1,..., λ r K gibt, so dass v = λ 1 v 1

Mehr

3 Matrizenrechnung. 3. November

3 Matrizenrechnung. 3. November 3. November 008 4 3 Matrizenrechnung 3.1 Transponierter Vektor: Die Notation x R n bezieht sich per Definition 1 immer auf einen stehenden Vektor, x 1 x x =.. x n Der transponierte Vektor x T ist das zugehörige

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8 1. Semester ARBEITSBLATT 8 RECHNEN MIT POTENZEN. 1) Potenzen mit negativer Basis

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8 1. Semester ARBEITSBLATT 8 RECHNEN MIT POTENZEN. 1) Potenzen mit negativer Basis ARBEITSBLATT 8 RECHNEN MIT POTENZEN ) Potenzen mit negativer Basis Zur Erinnerung: = = 6 Der Eponent gibt also an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert werden muss. Die Basis muss natürlich

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Poelchau-Oberschule Berlin A. Mentzendorff September 2007 Lineare Gleichungssysteme Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 2 Das Lösungsverfahren von Gauß 4 3 Kurzschreibweise und Zeilensummenkontrolle 6 4

Mehr

Lineare Algebra - alles was man wissen muß

Lineare Algebra - alles was man wissen muß Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger

Mehr

Tipps und Tricks zum sicheren Rechnen. Wie rechnet man geschickt? Klammerregeln üben. Rechengesetze. Datei Nr Stand 10.

Tipps und Tricks zum sicheren Rechnen. Wie rechnet man geschickt? Klammerregeln üben. Rechengesetze. Datei Nr Stand 10. Klasse 5 Arithmetik natürlicher Zahlen Tipps und Tricks zum sicheren Rechnen Wie rechnet man geschickt? Klammerregeln üben Rechengesetze Datei Nr. 10011 Stand 10. April 2016 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK

Mehr

2.2 Konstruktion der rationalen Zahlen

2.2 Konstruktion der rationalen Zahlen 2.2 Konstruktion der rationalen Zahlen Wie wir in Satz 2.6 gesehen haben, kann man die Gleichung a + x = b in Z jetzt immer lösen, allerdings die Gleichung a x = b im allgemeinen immer noch nicht. Wir

Mehr

Mathematik 1 -Arbeitsblatt 1-8: Rechnen mit Potenzen. 1F Wintersemester 2012/2013 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB. Potenzen mit negativer Basis

Mathematik 1 -Arbeitsblatt 1-8: Rechnen mit Potenzen. 1F Wintersemester 2012/2013 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB. Potenzen mit negativer Basis Schule Thema Personen Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg Mathematik -Arbeitsblatt -8: Rechnen mit Potenzen F Wintersemester 0/0 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB ) Potenzen mit negativer Basis Zur

Mehr

Lösungen zur Mathematik für Informatiker I

Lösungen zur Mathematik für Informatiker I Lösungen zur Mathematik für Informatiker I Wintersemester 00/03 Prof Dr H Lenzing Blatt 7 Sei M Ihre Matrikelnummer mit den Ziffern m, m, m 3, m 4, m 5, m 6, m 7 Aufgabe 6 ( Bonuspunkt): Wir betrachten

Mehr

Der Kern einer Matrix

Der Kern einer Matrix Die elementaren Zeilenoperationen p. 1 Der Kern einer Matrix Multipliziert man eine Matrix mit den Spaltenvektoren s 1,..., s m von rechts mit einem Spaltenvektor v := (λ 1,..., λ m ) T, dann ist das Ergebnis

Mehr

Vorkurs Mathematik B

Vorkurs Mathematik B Vorkurs Mathematik B Dr. Thorsten Camps Fakultät für Mathematik TU Dortmund 20. September 2011 Definition (R n ) Wir definieren: 1 Der R 2 sei die Menge aller Punkte in der Ebene. Jeder Punkt wird in ein

Mehr

Vektoren. Kapitel 13 Vektoren. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1

Vektoren. Kapitel 13 Vektoren. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1 Vektoren Kapitel 13 Vektoren Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1 Vektoren 131 Denition: Vektoren im Zahlenraum Ein Vektor (im Zahlenraum) mit n Komponenten ist ein n-tupel reeller Zahlen,

Mehr

Grundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015

Grundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015 Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 205 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag 2 Skalarprodukt Vektorprodukt

Mehr

Zahlen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden

Zahlen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden Zahlen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Die natürlichen Zahlen Für eine beliebige Menge S definiert man den Nachfolger S + durch S + := S {S}.

Mehr

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante 4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer

Mehr

In diesem Kapitel wird der Vektorraumbegriff axiomatisch eingeführt und einige grundlegende Begriffe erläutert, etwa. Unterraum,

In diesem Kapitel wird der Vektorraumbegriff axiomatisch eingeführt und einige grundlegende Begriffe erläutert, etwa. Unterraum, 2 Vektorräume In diesem Kapitel wird der Vektorraumbegriff axiomatisch eingeführt und einige grundlegende Begriffe erläutert, etwa Unterraum, Linearkombination, lineare Unabhängigkeit und Erzeugendensystem.

Mehr

Terme und Gleichungen

Terme und Gleichungen Terme und Gleichungen Rainer Hauser November 00 Terme. Rekursive Definition der Terme Welche Objekte Terme genannt werden, wird rekursiv definiert. Die rekursive Definition legt zuerst als Basis fest,

Mehr

2 Die Menge der ganzen Zahlen. von Peter Franzke in Berlin

2 Die Menge der ganzen Zahlen. von Peter Franzke in Berlin Die Menge der ganzen Zahlen von Peter Franzke in Berlin Das System der natürlichen Zahlen weist einen schwerwiegenden Mangel auf: Es gibt Zahlen mn, derart, dass die lineare Gleichung der Form mx n keine

Mehr

Grundlagen der Vektorrechnung

Grundlagen der Vektorrechnung Grundlagen der Vektorrechnung Ein Vektor a ist eine geordnete Liste von n Zahlen Die Anzahl n dieser Zahlen wird als Dimension des Vektors bezeichnet Schreibweise: a a a R n Normale Reelle Zahlen nennt

Mehr

Zahlen und metrische Räume

Zahlen und metrische Räume Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} Ganze Zahlen : Aus

Mehr

Gegeben sei eine Menge V sowie die Verknüpfung der Addition und die skalare Multiplikation der Elemente von V mit reellen Zahlen.

Gegeben sei eine Menge V sowie die Verknüpfung der Addition und die skalare Multiplikation der Elemente von V mit reellen Zahlen. 1. Der Vektorraumbegriff...1 2. Unterräume...2. Lineare Abhängigkeit/ Unabhängigkeit... 4. Erzeugendensystem... 5. Dimension...4 6. Austauschlemma...5 7. Linearität von Abbildungen...6 8. Kern und Bild

Mehr

Mathematik Quadratwurzel und reelle Zahlen

Mathematik Quadratwurzel und reelle Zahlen Mathematik Quadratwurzel und reelle Zahlen Grundwissen und Übungen a : a a Stefan Gärtner 1999 004 Gr Mathematik elementare Algebra Seite Inhalt Inhaltsverzeichnis Seite Grundwissen Definition Quadratwurzel

Mehr

Einführung in das mathematische Arbeiten im SS 2007. Vektoren. Evelina Erlacher 1 9. März 2007. 8 Winkel 5. 11 Ausblick 6

Einführung in das mathematische Arbeiten im SS 2007. Vektoren. Evelina Erlacher 1 9. März 2007. 8 Winkel 5. 11 Ausblick 6 Workshops zur VO Einführung in das mathematische Arbeiten im SS 007 Inhaltsverzeichnis Vektoren Evelina Erlacher 9. März 007 1 Pfeile und Vektoren im R und R 3 1 Der Betrag eines Vektors 3 Die Vektoraddition

Mehr

$Id: reell.tex,v /10/28 14:16:56 hk Exp hk $ Axiome genannt, bei den reellen Zahlen haben wir dann die

$Id: reell.tex,v /10/28 14:16:56 hk Exp hk $ Axiome genannt, bei den reellen Zahlen haben wir dann die $Id: reell.tex,v 1.14 2013/10/28 14:16:56 hk Exp hk $ 1 Die reellen Zahlen Wir wollen diese Vorlesung mit den reellen Zahlen beginnen, diese sind die normalen Zahlen und man kann sie sich etwa als alle

Mehr

Vektoren, Vektorräume

Vektoren, Vektorräume Vektoren, Vektorräume Roman Wienands Sommersemester 2010 Mathematisches Institut der Universität zu Köln Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010

Mehr

Kapitel II. Algebraische Grundbegriffe

Kapitel II. Algebraische Grundbegriffe Kapitel II. Algebraische Grundbegriffe 1 Ringe und Körper Für das Rechnen in Z haben wir in Kap. I, 1 Regeln aufgestellt, welche auch in Q und R gelten. Damit werden Z, Q und R zu Ringen im folgenden Sinn:

Mehr

Tutorium: Diskrete Mathematik. Matrizen

Tutorium: Diskrete Mathematik. Matrizen Tutorium: Diskrete Mathematik Matrizen Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de Definition I Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen, mit denen man in bestimmter

Mehr

9.2 Invertierbare Matrizen

9.2 Invertierbare Matrizen 34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

Formale Grundlagen 2008W. Vorlesung im 2008S Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz

Formale Grundlagen 2008W. Vorlesung im 2008S  Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Formale Grundlagen Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2008S http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/fg Inhalt Vektoren in der Ebene Zwei Punkten P, Q in der Ebene

Mehr

Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen

Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen Sommersemester 2012 Bernhard Burgeth Universität des Saarlandes c 2010 2012, Bernhard Burgeth 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 2 1 Vektoren in der Ebene und

Mehr

Inverse Matrix. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Inverse Matrix. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Inverse Matrix -E Ma Lubov Vassilevskaya Inverse Matrix Eine n-reihige, quadratische Matrix heißt regulär, wenn ihre Determinante einen von Null verschiedenen Wert besitzt. Anderenfalls heißt sie singulär.

Mehr

Technische Universität München

Technische Universität München Technische Universität München Michael Schreier Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker Vorlesung Montag WS 2008/09 1 komplexe Zahlen Viele Probleme in der Mathematik oder Physik lassen sich nicht oder

Mehr

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit -E Ma Lubov Vassilevskaya Eindimensionaler Raum Abb. -: Zwei nicht gleiche Vektoren auf der gleichen Gerade Jeden Vektor, der auf einer Geraden liegt, kann man durch

Mehr

Definition, Grundbegriffe, Grundoperationen

Definition, Grundbegriffe, Grundoperationen Aufgaben 1 Vektoren Definition, Grundbegriffe, Grundoperationen Lernziele - einen Vektor korrekt kennzeichnen bzw. schreiben können. - wissen, was ein Gegenvektor ist. - wissen, wie die Addition zweier

Mehr

5 Die Allgemeine Lineare Gruppe

5 Die Allgemeine Lineare Gruppe 5 Die Allgemeine Lineare Gruppe Gegeben sei eine nicht leere Menge G und eine Abbildung (Verknüpfung) : G G G, (a, b) a b( a mal b ) Das Bild a b von (a, b) heißt Produkt von a und b. Andere gebräuchliche

Mehr

Mathematik für Ingenieure mit Maple

Mathematik für Ingenieure mit Maple Thomas Westermann Mathematik für Ingenieure mit Maple Bandl: Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Variablen, Vektor- und Matrizenrechnung, Komplexe Zahlen, Funktionenreihen 4., neu bearbeitete

Mehr

Axiomatische Beschreibung der ganzen Zahlen

Axiomatische Beschreibung der ganzen Zahlen Axiomatische Beschreibung der ganzen Zahlen Peter Feigl JKU Linz peter.feigl@students.jku.at 0055282 Claudia Hemmelmeir JKU Linz darja@gmx.at 0355147 Zusammenfassung Wir möchten in diesem Artikel die ganzen

Mehr

Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten 2. 4 = 6. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren

Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten 2. 4 = 6. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten Aufgabe Bestimme die Länge des Vektors x. Die Länge beträgt: x ( ) =. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren Aufgabe Es sind die Eckpunkte A(; ), B(

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Lineare Algebra und analytische Geometrie I Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2015/2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 3 Gruppen In der linearen Algebra wird im Allgemeinen ein Grundkörper K zugrunde gelegt, über den sich

Mehr

Vektorräume und Rang einer Matrix

Vektorräume und Rang einer Matrix Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektorräume und Rang einer Matrix Dr. Thomas Zehrt Inhalt:. Lineare Unabhängigkeit 2. Vektorräume und Basen 3. Basen von R n 4. Der Rang und Rangbestimmung

Mehr

Das Wichtigste ûber Geraden. Ganz einfache Erklärung der Grundlagen: Die wichtigsten Aufgabenstellungen und Methoden- Datei Nr

Das Wichtigste ûber Geraden. Ganz einfache Erklärung der Grundlagen: Die wichtigsten Aufgabenstellungen und Methoden- Datei Nr Vektorgeometrie ganz einfach Teil Das Wichtigste ûber Geraden Ganz einfache Erklärung der Grundlagen: Die wichtigsten Aufgabenstellungen und Methoden- Datei Nr. 6100 Stand:. Februar 016 Demo-Text für INTERNETBIBLIOTHEK

Mehr

Stefan Ruzika. 24. April 2016

Stefan Ruzika. 24. April 2016 Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 2: Körper 24. April 2016 1 / 21 Gliederung 1 1 Schulstoff 2 Körper Definition eines Körpers

Mehr

10.2 Linearkombinationen

10.2 Linearkombinationen 147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition

Mehr

2 RECHENGESETZE 2 auch dieses Rechengesetz gilt, wenn einmal bewiesen, natürlich vorwärts wie rückwärts, also gilt dann ebenfalls: Es folgt wieder der

2 RECHENGESETZE 2 auch dieses Rechengesetz gilt, wenn einmal bewiesen, natürlich vorwärts wie rückwärts, also gilt dann ebenfalls: Es folgt wieder der 1 DEFINITION DER POTENZIERUNG 1 Potenzgesetze 1 Definition der Potenzierung Wir definieren für eine rationale Zahl a und eine natürliche Zahl n die Potenzierung wie folgt: a n := a a a ::: a Diese Art

Mehr

Bruchrechnen in Kurzform

Bruchrechnen in Kurzform Teil Bruchrechnen in Kurzform Für alle, die es benötigen, z. B. zur Prüfungsvorbereitung in 0 Zu diesen Beispielen gibt es einen Leistungstest in 09. Ausführliche Texte zur Bruchrechnung findet man in:

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern

Mehr

Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem

Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem Bau und Gestaltung, Mathematik, T. Borer Aufgaben /3 Aufgaben Matrizen Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem Lernziele - die Bezeichnung der Matrixelemente kennen und verstehen. - den

Mehr

Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.1 Reelle Matrizen

Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.1 Reelle Matrizen Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 81 Reelle Matrizen Prof Dr Erich Walter Farkas http://wwwmathethzch/ farkas 1 / 31 1 2 3 4 2 / 31 Transponierte einer Matrix 1 Transponierte

Mehr

3.5 Ringe und Körper. Diese Eigenschaften kann man nun auch. 1. (R, +) ist eine kommutative Gruppe. 2. Es gilt das Assoziativgesetz bezüglich.

3.5 Ringe und Körper. Diese Eigenschaften kann man nun auch. 1. (R, +) ist eine kommutative Gruppe. 2. Es gilt das Assoziativgesetz bezüglich. 3.5 Ringe und Körper Gehen wir noch mal zu den ganzen Zahlen zurück. Wir wissen: (Z, + ist eine Gruppe, es gibt aber als Verknüpfung noch die Multiplikation, es gibt ein neutrales Element bezüglich, es

Mehr

Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 4-5

Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 4-5 Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Ausgewählte en zu den Übungsblättern -5 Aufgabe, Lineare Unabhängigkeit

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 1. Semester ARBEITSBLATT 5 RECHNEN MIT BRÜCHEN. 1. Arten von Brüchen und Definition

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 1. Semester ARBEITSBLATT 5 RECHNEN MIT BRÜCHEN. 1. Arten von Brüchen und Definition ARBEITSBLATT 5 RECHNEN MIT BRÜCHEN 1. Arten von Brüchen und Definition Beispiel: 3 5 Zähler Bruchstrich Nenner Definition: Jeder Bruch hat folgendes Aussehen: Zähler. Der Nenner gibt an, Nenner in wie

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

4.1. Vektorräume und lineare Abbildungen

4.1. Vektorräume und lineare Abbildungen 4.1. Vektorräume und lineare Abbildungen Mengen von Abbildungen Für beliebige Mengen X und Y bezeichnet Y X die Menge aller Abbildungen von X nach Y (Reihenfolge beachten!) Die Bezeichnungsweise erklärt

Mehr

00. Einiges zum Vektorraum R n

00. Einiges zum Vektorraum R n 00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen

Mehr

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer. Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen

Mehr

2.3 Basis und Dimension

2.3 Basis und Dimension Lineare Algebra I WS 205/6 c Rudolf Scharlau 65 2.3 Basis und Dimension In diesem zentralen Abschnitt werden einige für die gesamte Lineare Algebra fundamentale Grundbegriffe eingeführt: Lineare Abhängigkeit

Mehr

Teilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik

Teilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik Vorlesung Teilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik.1 Gruppentheorie WiewirinVorlesung2gesehenhaben,hatdieMengeZmitderAdditiongewisse Eigenschaften. Wir fassen nun bestimmte Eigenschaften zusammen und

Mehr

Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem

Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem Bau und Gestaltung, Mathematik, T. Borer Aufgaben / Aufgaben Matrizen Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem Lernziele - die Bezeichnung der Matrixelemente kennen und verstehen. - den

Mehr

Mit Funktionen rechnen ein wichtiges Thema der Sekundarstufe 2

Mit Funktionen rechnen ein wichtiges Thema der Sekundarstufe 2 Mit Funktionen rechnen ein wichtiges Thema der Sekundarstufe 2 FRANZ PAUER, FLORIAN STAMPFER (UNIVERSITÄT INNSBRUCK) 1. Einleitung Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe 1 lernt man ganze und rationale

Mehr

01. Gruppen, Ringe, Körper

01. Gruppen, Ringe, Körper 01. Gruppen, Ringe, Körper Gruppen, Ringe bzw. Körper sind wichtige abstrakte algebraische Strukturen. Sie entstehen dadurch, dass auf einer Menge M eine oder mehrere sogenannte Verknüpfungen definiert

Mehr

Teil 2. Metrik mit Skalarprodukt. Für moderne Geometrie-Kurse am Gymnasium. und für Realschulen in Bayern! (Prüfungsstoff!)

Teil 2. Metrik mit Skalarprodukt. Für moderne Geometrie-Kurse am Gymnasium. und für Realschulen in Bayern! (Prüfungsstoff!) Vektor-Geometrie für die Sekundarstufe 1 Teil 2 Metrik mit Skalarprodukt Für moderne Geometrie-Kurse am Gymnasium und für Realschulen in Bayern! (Prüfungsstoff!) Dieser Text setzt Kenntnisse der Trigonometrie

Mehr

Termumformungen. 2. Kapitel aus meinem Lehrgang ALGEBRA. Ronald Balestra CH St. Peter

Termumformungen. 2. Kapitel aus meinem Lehrgang ALGEBRA. Ronald Balestra CH St. Peter Termumformungen 2. Kapitel aus meinem Lehrgang ALGEBRA Ronald Balestra CH - 7028 St. Peter www.ronaldbalestra.ch e-mail: theorie@ronaldbalestra.ch 11. Oktober 2009 Überblick über die bisherigen ALGEBRA

Mehr

Matrizen. Spezialfälle. Eine m nmatrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit. m Zeilen und n Spalten der Form. A = (a ij ) =

Matrizen. Spezialfälle. Eine m nmatrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit. m Zeilen und n Spalten der Form. A = (a ij ) = Matrizen Eine m nmatrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten der Form a 11 a 12 a 1n A = a ij = a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Dabei sind m und n natürliche und die Koezienten a

Mehr

Elemente der Algebra

Elemente der Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2015 Elemente der Algebra Vorlesung 1 Der Gruppenbegriff Definition 1.1. Eine Verknüpfung auf einer Menge M ist eine Abbildung : M M M, (x,y) (x,y) = x y. Statt (x,y)

Mehr

1. Gruppen. 1. Gruppen 7

1. Gruppen. 1. Gruppen 7 1. Gruppen 7 1. Gruppen Wie schon in der Einleitung erläutert wollen wir uns in dieser Vorlesung mit Mengen beschäftigen, auf denen algebraische Verknüpfungen mit gewissen Eigenschaften definiert sind.

Mehr

Grundlagen der Mengenlehre

Grundlagen der Mengenlehre mathe plus Grundlagen der Mengenlehre Seite 1 1 Grundbegriffe Grundlagen der Mengenlehre Def 1 Mengenbegriff nach Georg Cantor (1845-1918) Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener

Mehr

Grundwissen JS 5 Algebra

Grundwissen JS 5 Algebra GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ math.-technolog. u. sprachl. Gymnasium Grundwissen JS 5 Algebra WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 91257 PEGNITZ FERNRUF 09241/48333 FAX 09241/2564 Rechnen in N 29. Juli 2009

Mehr

8 Lineare Abbildungen und Matrizen

8 Lineare Abbildungen und Matrizen 8 Lineare Abbildungen und Matrizen 8.1 Lineare Abbildungen Wir beschäftigen uns nun mit Abbildungen zwischen linearen Räumen. Von besonderem Interesse sind Abbildungen, die die Struktur der linearen Räume

Mehr

Matrizen Definition: Typ einer Matrix

Matrizen Definition: Typ einer Matrix Matrizen Definition: Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema. Die Matrix (Mehrzahl: Matrizen) besteht aus waagerecht verlaufenden Zeilen und senkrecht verlaufenden Spalten. Verdeutlichung am Beispiel:

Mehr