Teil 1. Darstellung von Vektoren als Linearkombinationen. Lineare Un-/Abhängigkeit - Basis
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- Silvia Falk
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1 LINEARE ALGEBRA Elementare Vektorrechnung Teil 1 Darstellung von Vektoren als Linearkombinationen Lineare Un-/Abhängigkeit - Basis Die Lösungen der Aufgaben befinden sich in der Datei 6110 auf der Mathematik-CD Stand 10 November 015 Datei Nr INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
2 61101 Vektorrechnung Teil 1 Vorwort Dieser Text bringt Erklärungen und Beispiele zum Thema Elementare Vektorrechnung Hier geht es noch um keinerlei Anwendungen, also spielt die Geometrie mit ihren Pfeilvektoren noch keine Rolle Die hier verwendeten Vektoren sind Paare, Tripel usw Und zwar sowohl in der Zeilen- wie auch in der Spaltendarstellung Zunächst sollte man lernen, warum Vektoren so heißen und wie man mit ihnen rechnen kann Dabei kommen hier nur die Addition und die S-Multiplikation vor Skalarprodukt und Vektorprodukt haben in der elementaren Vektorrechnung noch nichts zu suchen Sie kommen erst später hinzu (Texte und 66101) Das Schwierigste ist für Schüler immer das Arbeiten mit Linearkombinationen Dies nimmt hier auch einen breiten Raum ein Dazu gehören dann die Eigenschaften der linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit Und dann kommen die Begriffe Basis und Dimension dazu Hier endet für viele Schüler der Unterrichtsstoff, weil man im G8 keine Zeit mehr hat, sich um eine weitere Vertiefung zu kümmern Die folgenden Paragraphen, die sich noch mehr um lineare Abhängigkeit, um die lineare Hülle sowie um Basiswechsel kümmern, werden daher weitgehend für Studenten interessant sein Das Thema Untervektorräume ist in den Text ausgelagert Soviel ich weiß, ist dies aus den Lehrplänen gestrichen worden Früher war es in BW Abiturstoff Resümee: Schüler, die diesen Text lesen, werden auswählen müssen, aber das ist ja fast immer so Inhalt 1 Was sind Vektoren n-tupel sind Vektoren 5 Einführung der Vektorsubtraktion 7 4 Linearkombinationen 8 5 Basis und Dimension eines Vektorraums 1 6 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit 15 7 Ergänzung zum Thema Basis eines Vektorraums 8 Spezielle Aufgabenstellungen 4 9 Lineare Hüllen 7 10 Noch einige Sätze über abhängige Vektoren 0 11 Vektorkoordinaten relativ zu einer Basis 111 Grundlagen 11 Die kanonische Basis 5 11 Basiswechsel Ein interessantes Koordinatenproblem 8 Die Lösungen der Trainingsaufgaben stehen im Text 6110
3 61101 Vektorrechnung Teil 1 1 Was sind Vektoren? Die Vektorrechnung ist ein großes Teilgebiet der Algebra Man nennt sie auch lineare Algebra, weil es vor allem um lineare Gleichungen und Gleichungssysteme geht Die Algebra befasst sich mit Zahlen, Termen, Umformungen, Gleichungen usw Es geht in der Algebra vor allem darum, dass man zeigt, welche Berechnungen möglich sind, welche Verfahren es gibt usw Dabei spielen Rechenregeln oder Rechengesetze eine fundamentale Rolle Wenn man die Verkehrsregeln nicht kennt, sollte man sich nicht in den Straßenverkehr begeben Und wer die Rechenregeln nicht beherrscht, macht in der Algebra Fehler Rechnen beruht immer auf der Umsetzung bekannter Rechenregeln Man lernt, wie man addiert, multipliziert, subtrahiert und dividiert Und man lernt dabei, dass man beispielsweise nicht durch 0 dividieren kann Ein nettes Beispiel für die Anwendung einer nicht existenten Rechenregel ist diese falsche Berechnung: x 4 x 4 x Dass sie falsch ist, erkennt man, wenn man für x eine Zahl einsetzt, etwa x = 5 Dann wird daraus: , in Wirklichkeit ist aber und nicht 5 Hier wurde diese nicht gültige Regel angewandt: ab a b Mit ihr kann man auch zeigen, dass 5 = 7 ist: Einerseits ist Andererseits gilt: Diesen Fehler entdecken Mathelehrer nicht selten, sogar noch bei Abiturienten Was bedeutet Rechnen im weitesten Sinne? Man könnte sagen: Zahlen nach bestimmten Regeln verknüpfen und so neue Zahlen (Rechenergebnisse) ermitteln Dies kann man aber auch mit anderen Objekten als Zahlen machen Wir werden im Anschluss lernen, mit Zahlenpaaren oder Tripeln zu rechnen, später mit geometrischen Objekten, die man Pfeilklassen nennt: Text 6005 Jetzt kommt bereits der Begriff Vektor ins Spiel: Es sei V eine Menge von Objekten, für die zwei Rechenoperationen definiert sind: Die erste nennt man Addition, die zweite Vielfachbildung (= S-Multiplikation) Wenn für diese Berechnungsarten bestimmte festgelegte Gesetze gelten, dann nennt man diese Objekte Vektoren und ihre Menge V einen Vektorraum Das besagt einfach, dass Vektoren Objekte sind, mit denen man nach bestimmten Regeln rechnen kann Diese Regeln müssen wir kennenlernen Zur Schreibweise: Vektoren versieht man in der Regel mit einem Zusatzpfeil: a, b, c, sind Bezeichnungen für Vektoren Da die Addition von Vektoren keine Addition von Zahlen ist, verwendet man auch oft dafür ein eigenes Zeichen: a b Die meisten Autoren und Lehrer verwenden aber dennoch das Zahlenadditionszeichen + dafür
4 61101 Vektorrechnung Teil 1 4 Grundgesetze (Axiome) eines Vektorraums Die Grundlagen der Vektor-Verknüpfungen sind: Die Addition ist innere Verknüpfung, dh das Ergebnis der Verknüpfung zweier Vektoren ist wieder ein Vektor: Wenn a V und b V, dann muss a b V sein Die S-Multiplikation ist eine äußere Verknüpfung: Wenn a V und r, dann muss r a V sein Vorgeschriebene Rechengesetze für die Vektoraddition: (A1) Für alle a, b und c V gilt das Assoziativgesetz: a b c abc (A) Es gibt genau ein Element o, sodass für alle a V gilt: a o oa a Dieses Element heißt neutrales Element oder auch Nullvektor (A) Zu jedem Element a V existiert ein a, so dass gilt: a a a a o Der Vektor a heißt inverses Element zu a (A4) Für alle a, b V gilt das Kommutativgesetz: a b ba Vorgeschriebene Rechengesetze für die S-Multiplikation: (S1) Für alle a V und alle r,s gilt: r sa rsa (Gemischtes Assoziativgesetz) (S) Für alle a V und alle r,s gilt: r sa rasa (1 Distributivgesetz) (S) Für alle a, b V und alle r gilt: r ab rarb ( Distributivgesetz) (S4) Für alle a V gilt: 1a a Hinweise dazu a) Das Assoziativgesetz (A1) regelt, dass es egal ist, wie man die Klammern setzt Daher darf man auch abc ohne Klammern schreiben, obwohl die später folgende Definition nur klären wird, wie man zwei Vektoren addiert Aber durch (gedankliche) Klammernsetzung kann man dann auch mehr als zwei Vektoren addieren b) Aus diesen Regeln lassen sich weitere Rechengesetze folgern, so dass man sie nicht in der obigen Liste der Grundgesetze aufführen muss Beispiele: (1) 1a a - So erzeugt man das inverse Element von a () ra ra ra () Gilt ra o, dann folgt r 0 oder a o (Nullprodukt) (4) Umgekehrt gilt auch: 0a o und r o o (5) Die Gleichung xa b x b a hat den Lösungsvektor Diese Gesetze kennen wir alle aus der Welt der Zahlen Dass sie auch bei Vektoren gelten (die wir ja noch gar nicht kennen), muss man eigentlich erst beweisen, was ich dem Unterricht überlasse Anfänger nehmen sie gerne als selbstverständlich hin
5 61101 Vektorrechnung Teil 1 5 n-tupel sind Vektoren n-tupel sind zum Beispiel Zahlenpaare, Tripel, Quadrupel usw: ist die Menge aller reellen Zahlenpaare, wie 7, 5, 0 4 ist die Menge aller reellen Zahlentripel, wie 0 1, 1 5 usw 4 ist die Menge aller reellen Zahlenquadrupel, wie usw n ist die Menge aller reellen n-tupel in der Form a 1 a a n usw 1 Man kann n-tupel auch in der Spaltenschreibweise verwenden: 6 oder 5 Darauf verzichte ich vorerst, denn diese Spaltenvektoren haben noch eine andere Bedeutung ( 11, Seite ff) Man kann mit ihnen aber genauso rechnen und alle folgenden Überlegungen auch in der Spaltenschreibweise durchführen Satz 1 Satz Die Menge bildet einen Vektorraum mit diesen Verknüpfungen Addition: ab a 1 a b 1 b : a1b 1 a b S-Multiplikation: ra ra a ra ra Die Menge 1 1 bildet einen Vektorraum mit diesen Verknüpfungen Addition: ab a 1 a ab 1 b b : a1b 1 a b a b S-Multiplikation: rara a a ra ra ra 1 1 Ein Satz ist in der Mathematik eine Aussage, die bewiesen werden muss Dies soll an dieser Stelle teilweise geschehen Lehrer zeigen die Gültigkeit der Axiome oft nur an Hand von Beispielen (A1) Ein Beispiel für die Gültigkeit des Assoziativgesetzes im Es sei a 5 1, b 10 7 und c 6 : ab c abc ab c a bc bestätigt Damit wurde Führt man diese Rechnung allgemein durch, ist es ein Beweis, denn es gilt (Beweis): a o a a a a 0 a 0 a 0 a a a a (A) Das neutrale Element, also der Nullvektor, ist o , denn es gilt (Beweis): a a a a a a a a a a a a a a o (A) Das Inverse zu a a 1 a a ist a a 1 a a (A4) Beweis des Kommutativgesetzes: ab a a a b b b a b a b a b ba b b b a a a b a b a b a Weil das Kommutativgesetz für die Addition reeller Zahlen gilt, sind beide Ergebnisse identisch
6 61101 Vektorrechnung Teil 1 6 (S1) Beispiel für die Gültigkeit von r sa rs a (S) Beispiel für die Gültigkeit: (S) Beweis für die Gültigkeit von r s a rasa a a a 5a r ab rarb: r a a a b b b r a b a b a b r a b r a b r a b ra rb ra rb ra rb 1 1 r a a a r b b b ra ra ra rb rb rb ra rb ra rb ra rb (S4) Beweis für die Gültigkeit von 1a a : 1a1 a a a 1a 1a 1a a a a a 1 1 1
7 61101 Vektorrechnung Teil 1 7 Einführung einer Vektorsubtraktion Beim Zahlrechnen lernt man, dass 8 8 gilt Dies übernimmt man, um für Vektoren eine Subtraktion zu definieren Die Grundgesetze von Vektoren sagen uns, dass es zu jedem Vektor einen inversen Vektor gibt Daher kann man für alle Vektoren definieren: a b: a b Hinweis: := liest man sei Für Tripel sieht das beispielsweise so aus: wird definiert als Man erkennt, dass man den Zwischenschritt über die Addition des Inversen weglassen kann Man rechnet also so: Für die Subtraktion gibt es auch Rechenregeln Aber: Das Assoziativgesetz gilt für die Subtraktion nicht a b c a bc! Man darf also die Klammern nicht umsetzen: Beispiel: !! Daraus folgt eigentlich diese Konsequenz: Wenn es nicht egal ist, wie man die Klammern setzt, dann darf man sie auch nicht weglassen Also hätte dieser Term a b c eigentlich keinen Sinn Es gibt jedoch um Klammern sparen wie bei Zahlen die Festlegung, dass man in diesem Fall so rechnen muss, wie wenn die Klammern links gesetzt wären: a-b-c: a-b -c Es gilt also per Festlegung: Dagegen muss man dies beachten; und a bc abc a bc abc
8 61101 Vektorrechnung Teil Linearkombinationen Definition: Unter einer Linearkombination von Vektoren versteht man eine Summe von Vielfachen, z B: x=ra+sb+tc GRUNDAUFGABE 1: Erzeugen von Linearkombinationen a) Aus a ½1½ 6 und b ½½ 1 6 erzeuge ich diese Linearkombinationen: c 5ab 5½1½6 ½½ ½5½0 4½½1 19½½ 18 d a4b ½½ 1 68½4½ 4 11½ ½ 18 e ab 9½½186½½ 18 15½½ 0 0 b) Gegeben sind a ½½ 11 ; b11 ½½ ; c ½½ 1 Daraus bilde ich diese Linearkombinationen: d abc 6½½ ½½ 69½½ 9 17½10½ 6 e 5abc1055 ½½11 ½½ 66 ½½ ½ ½ f a4bc ½1½ 1 4½4½ 1 ½½ 1 ½6½ 14 ½½ ½ ½ ½½ erzeuge ich c) Aus a 1 1 ; b 1 1 und c 1 1 d abc6 ½½ 11 ½½4 ½½05 Trainingsaufgabe 1 a) Gegeben sind diese Vektoren des : a ½ 1, b ½ 5 und c 1½ 0 Berechne daraus d 4a 7b, e b5c und x ab6c b) Gegeben sind die vier Vektoren des a 4 1 1, : ½½ b 1½½ 0, c Berechne damit diese Linearkombinationen: x1 5ac, x ab5c, x 10a 5b 7c d x c x 4dab x a bc 4d 4 4, 5 6 ½½, 4 c) Gegeben sind diese Vektoren des : a10 ½½½5,b½11 ½½,c½½½ 511,d 010 ½½½ 7 Berechne daraus x1 abc d, x 4ac d, x abc 4d d 11 ½½0 Lösungen für alle Trainingsaufgaben im Text 6110
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