12. Übungsblatt zur Analysis II

Transkript

1 Facbereic atematik Prof. Dr. R. Farwig C. omo J. Prasiswa R. Sculz SS Übungsblatt zur Analysis II Gruppenübung Aufgabe G (Jordan-essbarkeit Die enge R n sei Jordan-messbar. Zeigen Sie, dass dann für jedes r > auc die enge Jordan-messbar ist mit r r n. r : {rx : x } Lösung: Sei R ein Recteck welces entält. Da Jordan-messbar ist, ist die carakteristisce Funktion χ integrierbar. D.., für jedes ɛ > existiert eine Partition P von R,so dass O(P, χ U(P, χ < ɛ gilt. Die enge P r {rs : S P } ist eine Partition von rr r, da Rectecke durc die Skalierung auf Rectecke abgebildet werden. Weiterin gilt Daraus folgt und analog Somit gilt sup x rs χ r sup χ und rs r n S. x S O(P r, χ rs r n O(P, χ S U(P r, χ rs r n U(P, χ S. O(P r, χ rs U(P r, χ rs r n O(P, χ S r n U(P, χ S < r n ɛ, damit ist r eine Jordan-messbare enge. Analog kann man argumentieren, dass r eine Jordan-Nullmenge ist. Aufgabe G2 (Satz von Cavalieri Es sei A R n eine Jordan-messbare enge, so dass der Scnitt A xn {(x,..., x n R n (x,..., x n, x n A} für jedes x n R im R n Jordan-messbar ist. a Zeigen Sie: A I A xn dx n, wobei I ein geeignetes Intervall ist mit A R n I ist.

2 2. Übung Analysis II b erecnen Sie mit Hilfe dieser Aussage das Volumen V 4 der Eineitskugel {x R 4 x 2 } im R 4. Tipp: cos 4 α 8 ( + cos 4α + 4 cos 2α Lösung: a Die Aussage folgt direkt aus dem Satz von Fubini: Da χ A (x,..., x n χ Axn (x,..., x n und nac Voraussetzung sowol χ A als auc χ Axn, x n R Riemann-integrierbar sind, gilt für ein Recteck R R I mit A R daß A χ A dx χ Axn (x,..., x n d(x,..., x n A xn dx n. I R I b Für {x R 4 x 2 } gilt R Damit folgt x4 4 π( x Also gilt x4 {(x, x 2, x x 2 + x x 2 x 2 4}. V 4 4 π ( x dx4 Substitution mit x 4 sin α ergibt: V 4 4 π/2 π ( sin 2 α 2 cos α dα 4 π/2 π cos 4 α dα 4 π/2 π 4 8 π [α + 4 sin 4α + 42 sin 2α ] π/2 ( + cos 4α + 4 cos 2αα dα 8 6 π6π 2 π2 2. Aufgabe G (Satz von Fubini erecnen Sie das Integral wobei G, das von den urven G (x yd(x, y, y x 2, y, y x und x 2 eingesclossene Gebiet im Quadranten x >, y > ist. 2

3 2. Übung Analysis II Lösung: Wir verwenden Fubini auf dem Recteck [, 2] [, 2] für die integrierbare Funktion f (x yχ G. Es gilt G (x yd(x, y 2 2 (x yχ G d(x, y [xy 2 y2 ] x 2 2 dx + 4 x x4 dx + [ 6 x4 2 x5 ] + x2 2 (x y dy dx + [ xy ] x 2 y2 dy dx 2 x2 4 x + 2 x4 dx [ 6 x 6 x x5 ] 2 x 4 6. (x y dy dx

4 2. Übung Analysis II Hausübung Aufgabe H (Normalbereice Es sei ein Normalbereic bezüglic der x und der y Acse, d.. (2++ Punkte mit stetigen Funktionen φ, φ 2, ψ, ψ 2. a Zeigen Sie: Ist f stetig auf, so gilt {(x, y R 2 a x b, φ (x y φ 2 (x} b a {(x, y R 2 c y d, ψ (y x ψ 2 (y} ( φ 2 (x φ (x f(x, ydy dx d c ( ψ 2 (y ψ (y f(x, ydx dy b Sei f eine stetige Riemann-integrierbare Funktion. Vertauscen Sie die Reienfolge der Integrationen für x 2 f(x, ydydx. c erecnen Sie das Integral x y d(x, y, {(x, y R 2 x 2 + y 2 r 2 }. Lösung: Ist f auf einem Normalbereic (bezüglic der x Acse stetig, so laßt sic Satz 2.4 anwenden: b ( φ 2 (x f(x, yd(x, y f(x, ydy dx. a Indem man die Variablen x und y vertausct, folgt, daß für einen Normalbereic bezüglic der y Acse gilt d ( ψ 2 (y f(x, yd(x, y f(x, ydx dy. Also gilt die Gleiceit der beiden Integrale. Es ist c φ (x ψ (y {(x, y R 2 x, y x 2 } {(x, y R 2 y, y x y}, da y x 2 x y. Also gilt x 2 f(x, ydydx y y f(x, ydxdy. Da x 2 + y 2 r 2 r x r, r 2 x 2 y r 2 x 2 gilt r r 2 x 2 x y d(x, y r x y dydx r 2 x 2 r (x y2 r 2 x 2 r 2 dx r 2 x 2. 4

5 2. Übung Analysis II Aufgabe H2 (asse und Scwerpunkt (2+2 Punkte Sei R ein egel mit einem reis in der x-y-ebene um den Nullpunkt und mit Radius R als Grundfläce. Die Spitze des egels befinde sic im Punkt (,,. Der egel sei mit einer asse gefüllt, deren Dicte ρ : R R durc ρ(x, x 2, x x gegeben ist. estimmen Sie a die durc gegebene asse des egels, : ρ(x, x 2, x d(x, x 2, x b den Scwerpunkt S (S, S 2, S des egels, dessen oordinaten durc S j : x j ρ(x, x 2, x d(x, x 2, x für j, 2, gegeben sind. Lösung: (a Wir verwenden Zylinderkoordinaten x r cos ϕ, x 2 r sin ϕ und x z. Die Determinante der Jacobimatrix ist durc r gegeben und der egel wird durc die enge {(r, ϕ, z : r R( z/, ϕ 2π, z } bescrieben. Für die asse gilt dann (b Es gilt ρ(x, x 2, x d(x, x 2, x 2 S 2π ( R( z [ ] R 2 π z 2 2 2z + z z dzdϕ 2 R2 x ρ(x, x 2, x d(x, x 2, x R( z/ r 2 z drdz 2π cos ϕ dϕ, 2π R( z/ 2π R 2 π 2 ( zr drdzdϕ (z 2z 2 / + z / 2 dzdϕ R2 2 π 2 2π R( z/ r cos ϕ zr drdzdϕ da das Integral über die Winkelvariable verscwindet. Aus Symmetriegründen gilt auc S 2. S R 2 π Also gilt S (,, 2/5. (z2 2z / + z 4 / 2 dz R2 π x ρ(x, x 2, x dλ(x, x 2, x 2π R( z/ ( z 2 r drdzdϕ 2 5. Get auc one Substitution: Der Scnitt des egels mit der Ebene {x : x k} ist ein reis mit Radius R x R2 2 π R2 2 π ρ(x, x 2, x d(x, x 2, x [ x x 2 2x 2 + x dx 2x ( x π R x 2 dx. ] ( + x4 R 2 π R2 2 π 4 2 5

6 2. Übung Analysis II Außerdem gilt mit r R x, aus Symmetriegründen S x ρ(x, x 2, x d(x, x 2, x r r 2 x 2 2 x x dx dx 2 dx r r 2 x 2 2 }{{} Gleices gilt für S 2. Um S zu berecnen geen wir vor wie bei S 2 5 R 2 2 π x ρ(x, x 2, x d(x, x 2, x x 2 2 2x + x 4 dx ( x 2 π R x 2 dx Aufgabe H (Substitutionsregel erecnen Sie mit Hilfe einer geeigneten Substitution das Volumen des Ellipsoids (4 Punkte wobei a, b, c >. E {(x, y, z R x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 } Lösung: Es sei g : R R mit g(x, y, z (ax, by, cz. Dann ist g( ( E. g ist injektiv und stetig differenzierbar mit det g >. Weiterin ist E kompakt und Jordan-messbar. Es kann also die Substitutionsregel verwandt werden. Da a det g det b abc c folgt E E d(u, v, w ( det Dg d(x, y, z abc d(x, y, z 4 ( πabc. 6