A = ( a 1,..., a n ) ii) Zwei Matrizen sind gleich, wenn die Einträge an den gleichen Positionen übereinstimmen. so heißt die n n Matrix
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- Gert Haupt
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1 Matrizen Definition: i Eine m n Matrix A ist ein rechteckiges Schema aus Zahlen, mit m Zeilen und n Spalten: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn Die Spaltenvektoren dieser Matrix seien mit a,, a n bezeichnet Wir schreiben also A ( a,, a n oder kürzer: A (, a i, ii Zwei Matrizen sind gleich, wenn die Einträge an den gleichen Positionen übereinstimmen x x 2 iii Für einen Vektor x und eine Matrix A ist das Matrix-Vektor-Produkt definiert als: iv Sind e x n A x : x a + + x n a n,, e n so heißt die n n Matrix E n ( e,, e n die Einheitsmatrix (der Größe n ( cos(ψ sin(ψ Beispiel: Wir betrachten die Matrix D ψ : sin(ψ cos(ψ Dann gilt: ( cos(ψ sin(ψ sin(ψ cos(ψ ( cos(ϕ r sin(ϕ ( cos(ψ r cos(ϕ sin(ψ ( cos(ϕ cos(ψ sin(ϕ sin(ψ r cos(ϕ sin(ψ + sin(ϕ cos(ψ ( sin(ψ + r sin(ϕ cos(ψ ( cos(ϕ + ψ r sin(ϕ + ψ Das Ergebnis ist also, daß der Vektor um den Winkel ψ gedreht wird 2 Es ist ( 2 5 ( x y ( 2x 5y Der Vektor wird also in x Richtung um den Faktor 2 und in y Richtung um den Faktor 5 gestreckt
2 3 Die Matrix cos(ψ sin(ψ sin(ψ cos(ψ dreht in der x y Ebene und läßt die z Achse unverändert 4 Für die Einheitsmatrix E n gilt E n x x für alle x R n Grund: E n x x e + + x n e n Satz: Für eine m n Matrix A und Vektoren x, y R n und λ R gilt: A ( x + y A x + A y A (λ x λ(a x Grund: A( x + y (x + y a + + (x n + y n a n x a + + x n a n + y a + + y n a n A x + A y und A(λ x (λx a + + (λx n a n λ(x a + + x n a n λ(a x Bemerkung: Führen wir das Matrix-Vektor-Produkt nacheinander mit den Matrizen A und B durch, so erhalten wir x x 2 x n B (A x B(x a + + x n a n Nach obigem Satz ist das gleich x B a + + x n B a n Ist nun C (B a,, B a n die Matrix, deren Spalten aus den Vektoren B a,, B a n, so ist obiger Ausdruck gleich C x Es gilt also für alle x R n : B (A x C x Definition: Für eine m n-matrix A und eine k m Matrix B ist das Matrizenprodukt die folgende k n Matrix: B A : (B a,, B a n Bemerkung: Praktischerweise gilt also: B (A x (B A x Satz: Das Matrizenprodukt ist assoziativ Grund: C (B A C (B a,, B a n (C (B a,, C (B a n Wegen der obigen Bemerkung ist das gleich ((C B a, (C B a n, was nichts anderes ist, als (C B A
3 Achtung: Das Matrizenprodukt ist nicht kommutativ: ( ( ( 2 und ( Satz: Für eine m n Matrix A gilt: ( E m A A E n A ( 2 Speziell ist also für n n Matrizen die Matrix E n links- und rechtsneutrales Element der Matrizenmultiplikation Grund: A E n (, A e i, (, a + + a i + + a n (, a i, A und E m A (, E m a i, (, a i, A Bemerkung: Auf Matrizen gleicher Größe ist auch eine (komponentenweise Addition und Multiplikation mit Skalaren definiert Diese Operation machen die Matrizen gleicher Größen zu einem Vektorraum, dh die Rechenregeln der Vektorrechnung treffen auch auf diese Matrizen zu Satz: i A (B + C A B + A C ii A (λb (λa B λ(a B : λa B Grund:i A (B + C A ((, b i, + (, c i, A (, b i + c i, (, A ( b i + c i, (, A b i + A c i, (, A b i, + (, A c i, A B + A C ii A (, λ b i, (, A (λ b i (, λa b i (λa (, b i, λ(, A b i, Lemma: Für das Matrizenprodukt einer p m Matrix A und einer m n Matrix B gilt: (A B ji m A jk B ki k Grund: A B (, A b i, (, b i a + + b mi a m, In der j ten Zeile ist das dann: b i a j + + b mi a jm a j b i + + a jm b mj Definition: Die Transponierte einer Matrix ist gegeben durch ( A t ij A ji Es werden also Zeilen und Spalten vertauscht
4 Beispiel: ( t Satz: Für eine n m Matrix A und eine m p Matrix B gilt: Achtung: Die Reihenfolge vertauscht sich (A B t B t A t Grund: Es ist (A B ij m k A ik B kj, also (A B t ji m k Bt jk At ki (Bt A t ji Satz: (A + B t A t + B t und (λa t λa t für Matrizen A, B passender Größe Grund: klar Definition: Für eine n n Matrix A und k N definieren wir A n : A A }{{} k mal und A : E n Bemerkung: Ist p(x a + a x + + a n x n ein Polynom, dann ist auch dier Auswertung von p(x von einer n n Matrix A sinnvoll: p(a a E n + a A a n A n Definition: Eine n n Matrix A heißt invertierbar, wenn es eine n n Matrix A gibt, mit A A A A E n Beispiel:2x2 Matrizen 3 3 Matrizen ( a b c d ( d b c a a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 ( d b ad bc c a a 22 a 33 a 23 a 32 a 3 a 32 a 2 a 33 a 2 a 23 a 3 a 22 a 23 a 3 a 2 a 33 a a 33 a 3 a 3 a 3 a 2 a a 23 a 2 a 32 a 22 a 3 a 2 a 3 a a 32 a a 22 a 2 a 2 (a a 22 a 2 a 2 a 33 + (a 3 a 2 a a 23 a 32 + (a 2 a 23 a 3 a 22 a 3 Satz: Die Inversen von Matrizen sind (wenn sie existieren eindeutig Grund: Wir nehmen an es gäbe zwei Inverse, A und A Dann ist A A E n A A
5 Multiplizieren wir diese Gleichung von rechts mit A, so gilt: A } A {{ A } A } A {{ A } E n E n also Satz: A A (A B B A Achtung: Die Reihenfolge vertauscht sich Grund: Es ist (A B B A A E n A A A E n und genauso umgekehrt Definition: Eine Diagonalmatrix ist eine n n Matrix der Gestalt λ λ 2 λ n : diag(λ,, λ n Satz: Diagonalmatrizen sind einfach: Ist D diag(λ,, λ n, so gilt: D m diag(λ m,, λm n für alle m Z Speziell: und es ist D diag(/λ,, /λ n, falls alle λ i D e i λ i e i für e i (,, }{{},, t Diagonalmatrizen stauchen, strecken oder spiegeln also i te Stelle entlang der Standardbasisvektoren, insbesondere wird nichts gedreht
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