Vorlesung Theoretische Informatik (Info III)

Transkript

1 1 Vorlesung Theoretische Informatik (Info III) Prof. Dr. Dorothea Wagner Dipl.-Math. Martin Holzer 6. Dezember 2007

2 Einleitung Motivation 2 Thema heute N P-Vollständigkeit weitere Reduktionen

3 Einleitung Motivation 4 N P-Vollständigkeitsbeweise Problem Π? N PC (N P-vollständig) zeige: Π N P wähle Problem Π N PC finde polynomielle Transformation f : D Π D Π zeige: I D Π : I J Π f(i) J Π

4 Einleitung Übersicht 5 N PC-Probleme 3COLOR 3SAT SAT

5 Exact Cover Einführung 6 Exact Cover

6 Exact Cover Einführung 7 Problemdefinition Gegeben: endliche Menge X Familie S von Teilmengen von X Frage: Existiert Menge S S so, dass jedes Element aus X in genau einer Menge aus S liegt?

7 Exact Cover Einführung 8 Beispiel X = {1, 2,..., 7} S = {{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}, {1, 5}, {3, 5}, {1, 3}, {5, 6, 7}, {4, 5, 6}, {4, 5, 7}, {4, 6, 7}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7}} S = {{1, 5}, {2, 3, 4}, {6, 7}}

8 Exact Cover N P-Vollständigkeit 9 Beweisskizze 3Color Exact Cover Transformation: 1. X enthält pro Knoten v: v, ev c (c {r, b, g}), 3-mal Nachbarschaft N(v) 2. S enthält pro Knoten v: Sv c = {ev c, N(v)} und {v, ev c } (c {r, b, g}) 3. S enthält pro Kante {u, v}: {uv c, vu c } für alle c c Transformation polynomiell = : für zulässige Färbung (χ(u) χ(v)) ex. vollständige Überdeckung: S = { {v, e χ(v) v }, S c v c χ(v)} { u χ(v) v }, vu χ(u) =: vollständige Überdeckung liefert zulässige Färbung: {v, e c v } S χ(v) := c

9 Exact Cover N P-Vollständigkeit 10 Transformation (I) Konstruktion von X und S für Knoten v u 1 u 2 v v u 3 u 4 e r v e b v e g v u1 u2 u5 u1 u2 u5 u1 u2 u5 u 5 S r v S b v S g v

10 Exact Cover N P-Vollständigkeit 11 Transformation (II)/Beispiel Konstruktion von S für Kante {u, v} Färbung: χ(v) = r, χ(u) = b Mengen {wv r, vw c }, {wu b, uw c } implizit S r v S b v v S g v e r v e b v e g v u u u u v v v v S r u S b u S g u u = Mengen im EXACT COVER

11 Exact Cover Vertiefung 13 Aufgabe Erklären Sie Ihrem/r SitznachbarIn kurz und knapp die wesentlichen Schritte des Beweises. 4 Minuten Zeit, Wechsel nach 2 Minuten

12 Subset Sum Einführung 14 Subset Sum

13 Subset Sum Einführung 15 Problemdefinition Gegeben: endliche Menge M Gewichtsfunktion w : M N 0 K N 0 Frage: Existiert Teilmenge M M mit a M w(a) = K?

14 Subset Sum N P-Vollständigkeit 16 Beweisidee/Beispiel X = {1, 2,..., 7} S = {{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}, {1, 5}, {3, 5}, {1, 3}, {5, 6, 7}, {4, 5, 6}, {4, 5, 7}, {4, 6, 7}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7}} Exact Cover Subset Sum: Normierung der Elemente aus X auf {0, 1,..., X 1} S : {{0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 4}, {2, 4}, {0, 2}, {4, 5, 6}, {3, 4, 5}, {3, 4, 6}, {3, 5, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6}} x max = Element aus X mit max. Vorkommen in S = 4 p = (Häufigkeit von x max ) +1 = = 8 p-äre Kodierung der Elemente aus S : , , , , , , , , , , , , ,

15 Subset Sum N P-Vollständigkeit 17 Beweisidee/Beispiel (Forts.) , , , , , , , , , , , , , K := = K

16 Partition Einführung 19 Partition

17 Partition Einführung 20 Problemdefinition Gegeben: endliche Menge M Gewichtsfunktion w : M N 0 Frage: Existiert Teilmenge M M mit w(a) = a M a M\M w(a)?

18 Knapsack Einführung 22 Knapsack

19 Knapsack Einführung 23 Problemdefinition Gegeben: Menge M von Geschenken Gewichtsfunktion w : M N 0 Kinderanzahlfunktion c : M N o (wie viele Kinder mit jedem Geschenk beglückbar?) Nikolaus(knap)sack mit zulässigem Gesamtgewicht W Mindestbeglückungsindex C Frage: Kann mit einer Ladung ausreichend Gutes getan werden?

20 Knapsack Übersicht 24 N PC-Probleme 3COLOR EXACT COVER 3SAT SAT SUBSET SUM PARTITION KNAPSACK

21 Knapsack Vertiefung 25 Aufgabe Finden Sie eine Nein-Instanz für Partition mit M 4 und transformieren Sie diese auf Knapsack. 2 Minuten Zeit

22 Knapsack Vertiefung 26 Mögliche Lösung w(m) = {1, 2, 3, 4, 5} w (M) = c(m) = {2, 4, 6, 8, 10} W = C = 15

23 Komplexitätsresultate Satz 27 Komplexitätsresultate

24 Komplexitätsresultate Satz 28 Sei L N PC (N P-vollständig). Dann gilt: L P = P = N P L / P = L N PC : L / P

25 Komplexitätsresultate Motivation 29 Ausschreibung Millennium Problems Clay Mathematics Institute of Cambridge, Massachusetts (CMI): 7 schwere Probleme, darunter P = N P Preisgeld pro Lösung: 1 Mio. US$

26 Eulerkreis/Hamiltonkreis Einführung 30 Eulerkreis und Hamiltonkreis

27 Eulerkreis/Hamiltonkreis Einführung 31 Eulerkreis Gegeben: Graph G = (V, E). Frage: Existiert Zykel in G so, dass jede Kante genau einmal betreten wird?

28 Eulerkreis/Hamiltonkreis Einführung 32 Fakten 88 Möglichkeiten zu zeichnen einteilbar in 11 Äquivalenzklassen Quelle: nikolaus.html

29 Eulerkreis/Hamiltonkreis Einführung 33 Hamiltonkreis Gegeben: Graph G = (V, E). Frage: Existiert Zykel in G so, dass jeder Knoten genau einmal passiert wird?

30 Eulerkreis/Hamiltonkreis Komplexitätsstatus 34 N P-Vollständigkeit? Eulerkreis in P Hamiltonkreis in N P Reduktion: 3SAT DHC HC

31 Eulerkreis/Hamiltonkreis Königsbergproblem 35 Hintergrund Eulerkreis A B A C B C D D

32 Eulerkreis/Hamiltonkreis Königsbergproblem 36 Lösung Satz (Euler, 1736) In einem Graphen G = (V, E) existiert ein Eulerkreis g. d. w. jeder Knoten geraden Grad hat. Folgerung: Haus des Nikolaus ist kein Eulerkreis. Weiterführende Infos:

33 Schluss 37 Thema nächste Vorlesung Komplementsprachen, weitere Komplexitätsklassen

34 Schluss 38 Vielen Dank und einen schönen