M 7 - Trägheitsmoment

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1 18..8 PHYSIKALISCHES PAKTIKU FÜ ANFÄNGE LGyGe ersuch: 7 - Trägheitsmoment Das Trägheitsmoment regelmäßiger Körper sollen gemessen werden. Literatur Gerthsen-Kneser-ogel: Physik; Kap.: Dynamik des starren Körpers aus dem Netz der Universität P. A. Tipler: Physik; Kap.: Drehmoment und Trägheitsmoment Kohlrausch: Band 1, Kap.: Bestimmung des Trägheitsmoments Alonso-Finn: Physik; Kap.: Dynamik des starren Körpers 1. Grundlagen Winkel im Grad- und Bogenmaß, Winkelgeschwindigkeit, Drehmoment, Trägheitsmoment eines starren Körpers in Bezug auf - seine Schwerpunktsachse - eine Achse, die von der Symmetrieachse verschieden ist (Steinerscher Satz). essungen des Trägheitsmomentes mit Hilfe eines Drehpendels (Winkelrichtgröße, Schwingungsgleichung), Bewegungsgleichung der Drehbewegung.

2 Technische Grundlagen Der Drehtisch besteht aus einer gelagerten Achse mit angefügter Schneckenfeder. Auf das obere Ende der Achse können verschiedene Körper aufgesteckt werden, wobei die Drehachse von Drehtisch und aufgestecktem Körper zusammenfallen. Um den Einfluß der Schwerkraft bei der Untersuchung von achsenunsymmetrischen Körpern zu reduzieren, muß die Drehachse genau senkrecht ausgerichtet werden. Die orjustierung erfolgt mit Hilfe einer im Dreifuß des Drehtisches angebrachten Dosenlibelle.. Experiment.1) Justieren Sie den Drehtisch Benutzen Sie hierfür die eingebaute Dosenlibelle und eine Wasserwaage, die Sie in. auf die große Scheibe auflegen..) essen Sie die Winkelrichtgröße Dr. Wird das Drehpendel um den Winkel ϕ aus der uhelage herausgedreht, so wirkt das Drehmoment Dr φ. Die Apparatekonstante Dr heißt Winkelrichtgröße. Befestigen Sie zur essung von Dr einen Stab an der Drillachse. Bestimmen Sie mit einer Federwaage die Kraft die benötigt wird, um den Stab um die Winkel φ ¼, ½, ¾ und auszulenken. Notieren Sie sich den Abstand a von Drillachse zum Ansatzpunkt der Federwaage am Stab. Ermitteln Sie zusätzlich das Drehmoment für einen festen Auslenkwinkel () indem Sie die Kraft an mindestens verschiedenen Punkten (Abstand von der Drehachse sei a) angreifen lassen..) Für die Bestimmung der Trägheitsmomente von Kugel, ollzylinder und Hohlzylinder befestigen Sie die einzelnen Körper auf der Drillachse. essen Sie mit Hilfe einer Stoppuhr die Schwingungsdauer der verschiedenen Körper für jeweils 1 Schwingungen und wiederholen Sie jede essung drei al. Ermitteln Sie das Gewichte und die Abmessungen der Körper. Diskutieren Sie mit Ihrem Betreuer das rechnerische Ergebnis des Hohlzylinders für den Fall r (siehe Anlage)..) Weisen Sie den Steinerschen Satz nach. Benutzen Sie dazu die Kreisscheibe mit mehreren Achsenlöchern. essen Sie für jedes Achsloch die entsprechende Schwingungsdauer Ta (jeweils 1 Schwingungen) und notieren sich dazu den Abstand a des Achsloches von der Schwerpunktsachse. Wiegen Sie die Kreischeibe und bestimmen Sie die Abmessungen der Scheibe.

3 . Auswertung.1) Überprüfen Sie grafisch die Proportionalität von Drehmoment und Auslenkwinkel aus. und ermitteln Sie aus der Steigung die Winkelrichtgröße D r. Ermitteln Sie nun zusätzlich die Winkelrichtgröße Dr, indem Sie grafisch die Kraft gegen 1/a auftragen (.) und wiederum Dr aus der Steigung des Grafen bestimmen. Achtung die Winkel müssen in der Einheit rad eingesetzt werden. Warum? F ϕ 1/a.) Ermitteln Sie aus der Schwingungsdauer der verschiedenen Körper (.) deren jeweiliges Trägheitsmoment. Berechnen Sie die Trägheitsmomente aus dem Gewicht und den Abmessungen der Körper und vergleichen Sie diese mit den Ergebnissen, die Sie aus den esswerten von. erhalten haben..) Werten Sie die Drehschwingung von.) aus. T Tragen Sie T f (a) in einem Diagramm grafisch auf. Interpretieren Sie die erhaltene Kurve (Form, Steigung, Y-Achsenschnittpunkt). Berechnen Sie den erlauf von T f (a) aus dem Gewicht und den Abmessungen der Scheibe und tragen diesen grafisch auf. ergleichen Sie den gemessenen mit dem berechneten erlauf. Bestimmem sie aus der Steigung der Funktion T f (a) die Winkelrichtgröße D r und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit dem Ergebnis aus.1. Können die Abweichungen von essung und echnung des erlaufs von T f (a) durch die Fehler erklärt werden, die bei der Bestimmung von D r und der Schwingungszeit T auftreten? a Überlegen Sie, weshalb bei der essung des Trägheitsmomentes die Drehschwingung als ungedämpft betrachtet werden kann!

4 . Anlage Die Trägheitsmomente einiger regelmäßiger, homogenen Körper.1) Der ollzylinder: r² dm ρ r² Um über das gesamte olumen zu integrieren, zerlege man den Körper in kleinste Kreisringstückchen. Die infinitesimale Höhe des Stückchens ist beschrieben durch dz, die Länge (vom ittelpunkt des Zylinders aus gesehen) ist dr und die Breite (Kreisbogen!) ergibt sich aus dem infinitesima-len Winkel dϕ als r dϕ. Das olumen des kleinen Teilstücks ergibt sich daraus: rdϕ dr dz Das Integral lautet nach dem Einsetzen dann: dϕ h dz r dr [ ] 1 r 1 r ρ h 1 1 ρ² h ² ² h ρ r Z 1 Z Es ergibt sich also das Trägheitsmoment: ².) Der Hohlzylinder: r'² dm ρ r'² Die Integrationsmethode verläuft wie beim ollzylinder. Der einzige Unterschied besteht darin, daß man nicht mehr vom Zylindermittelpunkt bis zum and integriert, sondern erst ab einem gewissen adius r und dann bis. dϕ h dz r' dr' r r ' 1 1 [ r' ] ρ h ( ) r ρ h r ' r 1 1 ρ ² r² h ² + r² ² r ( ) ( ) ρ ( + ² ) HZ Es ergibt sich also das Trägheitsmoment: 1 ( ² + r ² ) HZ

5 .) Die ollkugel: I r'² dm ρ r'² an stelle sich den Körper in infinite-simale Kugelschalenstückchen zerlegt vor. Die Länge (vom Kugelmittel-punkt aus gesehen) wird wieder durch dr beschrieben, die Werte laut Bogenmaß für die Höhe und die Breite ergeben sich wieder aus infinitesi-malem Winkel mal adius, also als rdθ und r' dϕ r sinϕ dϕ. Das olumen der kleinen Teilkugelschale ergibt sich daraus: dr rdθ r sin ϕ dϕ Das r im Integral ist ebenfalls durch rsinϕ zu ersetzen! Das Integral lautet nach dem Einsetzen dann: dθ sin ϕdϕ r dr r [ ] ϕ ϕ sin d ρ r 1 sin ϕdϕ ρ sin ϕ sinϕdϕ ρ sin ρ sinϕdϕ cos ϕ sin ϕdϕ ( 1 cos ϕ ) ϕdϕ ϕ ϕ ( ) ( ( )) ρ cosϕ ϕ cos ϕ cosϕ ϕ cos ϕ sin ϕdϕ [ ( ) ( ) ] 1 ϕ 1 [ ( 1 )] ρ cos ϕ ρ + 1 ϕ ρ 6 [ ] ρ K Es ergibt sich also das Trägheitsmoment: K