Prädikatenlogiken. Mathematische Logik. Vorlesung 6. Alexander Bors. 30. März & 6. April A. Bors Logik

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1 Mathematische Logik Vorlesung 6 Alexander Bors 30. März & 6. April

2 Überblick 1 Formale Prädikatenlogiken erster Stufe (Quelle: Ziegler, pp. 3 24) 2

3 Erinnerung Letztes Mal haben wir begonnen, ein formales System für Prädikatenlogik erster Stufe bei fixierter Signatur einzuführen. Wir haben Folgendes definiert: das Alphabet A = A(σ) {=,,, } {x 0, x 1,...}, wobei A(σ) = σ const σ op σ rel sowie den Formelbegriff für unser formales System (σ-formeln); dazu hatten wir zuerst das Konzept eines σ-terms eingeführt. Für die Definition des formalen Systems an sich fehlen noch: die Axiome des Systems sowie die Schlussregeln. Wir kommen dazu aber erst in der nächsten Vorlesungseinheit. Heute beschäftigen wir uns eingehend mit der der zu definierenden formalen Systeme. 3

4 Überblick über die Vorgehensweise Betrachten wir zur Motivation die einfachsten σ-formeln: atomare Formeln, d.h., Formeln der Gestalt = t 1 t 2 bzw. Rt 1 t k. Um den Wahrheitswert solcher Formeln feststellen zu können, sollten wir zunächst den auftretenden Termen einen Wert zuweisen können, in einer vorher fixierten σ-struktur M. Nach Fixierung von M sind alle auftretenden Konstantensymbole in ihrem Wert festgelegt, aber Variablen haben noch immer keinen eindeutigen Wert. Man muss also zusätzlich zu M eine Belegung β : {x 0, x 1,...} M fixieren. Der Wert eines σ-terms wird dann rekursiv definiert, und danach kann man auch auf naheliegende Weise den Wahrheitswert jeder atomaren σ-formel definieren. Der Wahrheitswert einer beliebigen σ-formel wird dann ebenfalls rekursiv definiert. 4

5 Belegungen und Werte von Termen Definition Es sei σ eine Signatur, M eine σ-struktur. Eine Belegung in M ist eine Funktion β : {x 0, x 1,...} M. Definition Es sei σ eine Signatur, M eine σ-struktur, β eine Belegung in M. Für einen σ-term t definieren wir t M [β], den Wert von t unter β, rekursiv wie folgt: 1 x M n [β] := β(x n ), für n N, 2 c M [β] := c M, für c σ const, 3 (ft 1 t k ) M [β] := f M (t M 1 [β],..., tm k [β]). Für die Wohldefiniertheit von t M [β]: Lemma

6 Belegungen und Werte von Termen cont. Beispiel Es sei σ = σ group, und wir betrachten die σ group -Struktur M mit Trägermenge M = Z/6Z = {0, 1,..., 5} und der üblichen Gruppenstruktur darauf, sodass also 1 M := 0, 1 M := (Vorzeichenwechsel modulo 6) und M := + (Addition modulo 6). Weiter sei β(x n ) := n für alle n N, und wir betrachten den Term t : 1 x 4 1 x 2 x 3. Durch Abarbeiten der rekursiven Definition folgt: t M [β] = (4 + ( 2 + 3)) = (4 + 1) = 5 = 1. 6

7 Nur Werte tatsächlich auftretender Variablen sind relevant Definition Es sei σ eine Signatur, w A. Wir bezeichnen mit Var(w) die Menge der in w auftretenden Variablen. Lemma Es sei σ eine Signatur, M eine σ-struktur, t ein σ-term, β 1 und β 2 seien Belegungen in M. Stimmen β 1 und β 2 auf Var(t) überein, so gilt t M [β 1 ] = t M [β 2 ]. Beweis Einfache Induktion nach der Länge von t. 7

8 Notation zur Auswertung von Termen Nach Lemma ergibt folgende Notation, welche an die übliche Notation f (x) zum Einsetzen eines Argumentes x in eine Funktion f angelehnt ist, Sinn: Notation Es sei σ eine Signatur, M eine σ-struktur, t ein σ-term mit Var(t) {y 1,..., y n }, y i {x 0, x 1,..., } für i = 1,..., n und paarweise verschieden. Dann schreiben wir auch t = t(y 1,..., y n ) und bezeichnen für a 1,..., a n M mit t M [a 1,..., a n ] den (nach Lemma eindeutig bestimmten) Wert von t unter einer Belegung β in M mit β(y i ) = a i, i = 1,..., n. 8

9 Überschreiben von Werten von Belegungen Wir werden uns gleich der eigentlichen Formel- zuwenden. Zuerst führen wir noch eine Notation ein: Notation Es sei σ eine Signatur, M eine σ-struktur, β eine Belegung in M, n N und a M. Dann bezeichnen wir mit β a x n, gelesen β mit a bei x n die{ Belegung β, sodass β β(x m ), wenn m n, (x m ) = a, wenn m = n.. Definition Es sei σ eine Signatur, M eine σ-struktur. Wir definieren für Belegungen β in M und σ-formeln ϕ die (von M als Parameter abhängige) binäre Relation M = ϕ[β], gelesen M erfüllt ϕ unter β, oder auch ϕ gilt in M unter β, rekursiv wie folgt: 9

10 Gültigkeit einer Formel in einer Struktur Definition cont. 1 Ist ϕ = t 1 t 2, so gelte M = ϕ[β] genau dann, wenn t1 M[β] = tm 2 [β] gilt. 2 Ist ϕ Rt 1 t k, so gelte M = ϕ[β] genau dann, wenn (t1 M[β],..., tm k [β]) RM gilt. 3 Ist ϕ ψ, so gelte M = ϕ[β] genau dann, wenn M = ψ[β]. 4 Ist ϕ ψ 1 ψ 2, so gelte M = ϕ[β] genau dann, wenn sowohl M = ψ 1 [β] als auch M = ψ 2 [β] gilt. 5 Ist ϕ xψ, so gelte M = ϕ[β] genau dann, wenn es ein a M gibt mit M = ψ[β a x ]. 10

11 Freie Variablen Es ist wieder leicht zu sehen, dass die Gültigkeit von M = ϕ[β] nur von den Werten von β auf Var(ϕ) abhängt. Tatsächlich gilt hier aber sogar eine noch stärkere Aussage: Es reicht, die Werte von β auf den in ϕ frei vorkommenden Variablen zu kennen. Definition Es sei σ eine Signatur. Für eine σ-formel ϕ definieren wir Free(ϕ), die Menge der in ϕ frei vorkommenden Variablen, wie folgt rekursiv: 1 Free(= t 1 t 2 ) := Var(t 1 ) Var(t 2 ), 2 Free(Rt 1 t k ) := Var(t 1 ) Var(t k ), 3 Free( ψ) := Free(ψ), 4 Free( ψ 1 ψ 2 ) := Free(ψ 1 ) Free(ψ 2 ), 5 Free( xψ) := Free(ψ) \ {x}. 11

12 Freie Variablen cont. Free(ϕ) besteht also gerade aus jenen Variablen, die in ϕ an mindestens einer Stelle nicht durch einen Quantor gebunden vorkommen. Damit ist auch intuitiv klar, warum der Wahrheitswert von M = ϕ[β] nur von β Free(ϕ) abhängt: die Werte aller anderen in ϕ vorkommenden Variablen werden beim Abarbeiten der rekursiven Definition sowieso überschrieben. Wir beweisen dies auch noch exakt. Lemma Es sei σ eine Signatur, M eine σ-struktur, β 1 und β 2 Belegungen in M, ϕ eine σ-formel. Stimmen β 1 und β 2 auf Free(ϕ) überein, so gilt M = ϕ[β 1 ] genau dann, wenn M = ϕ[β 2 ] gilt. 12

13 Freie Variablen cont. Beweis von Lemma Induktion über den Aufbau von ϕ. 1 Ist ϕ = t 1 t 2, so gilt wegen Var(t 1 ), Var(t 2 ) Free(ϕ) nach Lemma 2.3.5, dass t M i [β 1 ] = t M i [β 2 ] für i = 1, 2. Damit haben wir M = ϕ[β 1 ] t M 1 [β 1] = t M 2 [β 1] t M 1 [β 2] = t M 2 [β 2] M = ϕ[β 2 ]. 2 Der Fall ϕ Rt 1 t k funktioniert analog. 3 Ist ϕ ψ, so gilt wegen Free(ψ) = Free(ϕ) nach Induktionsvoraussetzung, dass M = ψ[β 1 ] M = ψ[β 2 ]. Insbesondere haben wir damit M = ϕ[β 1 ] M = ψ[β 1 ] M = ψ[β 2 ] M = ϕ[β 2 ]. 13

14 Freie Variablen cont. Beweis von Lemma cont. 4 Ist ϕ ψ 1 ψ 2, so gilt wegen Free(ψ 1 ), Free(ψ 2 ) Free(ϕ) nach Induktionsvoraussetzung, dass M = ψ 1 [β 1 ] M = ψ 1 [β 2 ] sowie M = ψ 2 [β 1 ] M = ψ 2 [β 2 ]. Insbesondere haben wir damit M = ϕ[β 1 ] (M = ψ 1 [β 1 ] und M = ψ 2 [β 1 ]) (M = ψ 1 [β 2 ] und M = ψ 2 [β 2 ]) M = ϕ[β 2 ]. 5 Ist ϕ xψ. Nach Annahme stimmen β 1 und β 2 auf Free(ϕ) = Free(ψ) \ {x} überein, und damit stimmen, für a jedes feste a M, β 1 x und β 2 a x sogar auf Free(ψ) überein, womit nach Induktionsvoraussetzung a M = ψ[β 1 x ] M = ψ[β 2 a x ] gilt. Damit haben wir a M = ϕ[β 1 ] Es gibt a M mit M = ψ[β 1 x ] a Es gibt a M mit M = ψ[β 2 x ] M = ϕ[β 2]. 14

15 Notation zum Einsetzen in Formeln Nach Lemma ergibt folgende Notation Sinn: Notation Es sei σ eine Signatur, M eine σ-struktur, ϕ eine σ-formel mit Free(ϕ) {y 1,..., y n }, y i {x 0, x 1,..., } für i = 1,..., n und paarweise verschieden. Dann schreiben wir auch ϕ = ϕ(y 1,..., y n ) und schreiben für a 1,..., a n M M = ϕ[a 1,..., a n ] genau dann, wenn M die Formel ϕ unter einer (äquivalent: jeder) Belegung β in M mit β(y i ) = a i für i = 1,..., n erfüllt. 15

16 Sätze Definition Es sei σ eine Signatur. Eine σ-formel ohne frei vorkommende Variablen heißt ein σ-satz (oder, wie bei Ziegler, auch σ-aussage). Nach Lemma haben σ-sätze unter allen Belegungen in einem festen Modell M den gleichen Wahrheitswert, sodass wir für sie die Notation etwas vereinfachen können: Notation Es sei σ eine Signatur, M eine σ-struktur, τ ein σ-satz. Gilt M = τ[β] für eine (äquivalent: jede) Belegung β in M, so schreiben wir M = τ und sagen M erfüllt τ oder τ gilt in M. 16

17 Beispiel: Die Gruppenaxiome Beispiel Eine σ group -Struktur M ist genau dann eine Gruppe, wenn in ihr folgende drei σ group -Sätze gelten: 1 x 0 x 1 x 2 = x 0 x 1 x 2 x 0 x 1 x 2 (Assoziativgesetz), 2 x 0 = x 0 1x 0 = 1x 0 x 0 (1 M ist neutrales Element), 3 x 0 = x 1 0 x 01 = 1 x 0 x 0 1 (für alle x 0 ist 1M (x 0 ) zu x 0 invers). Das sieht natürlich furchtbar hässlich aus, und deswegen vereinbaren wir ein paar Abkürzungen und alternative Schreibweisen, wenn wir in Zukunft längere Formeln aufschreiben wollen. 17

18 Ein paar (inoffizielle) Konventionen In Zukunft schreiben wir oft auch ψ 1 ψ 2 bzw. (wo Klammern für eindeutige Lesbarkeit erforderlich sind) (ψ 1 ψ 2 ) statt ψ 1 ψ 2. Ebenso schreiben wir oft zur leichteren Lesbarkeit auch x : ψ statt xψ. Zudem: ψ 1 ψ 2 ψ n := ( (ψ 1 ψ 2 ) ψ n ). Wir definieren folgende abkürzende Schreibweisen: ψ 1 ψ 2 bzw. (ψ 1 ψ 2 ) für ( ψ 1 ψ 2 ), ψ 1 ψ 2 bzw. (ψ 1 ψ 2 ) für (ψ 1 ψ 2 ), ψ 1 ψ 2 bzw. (ψ 1 ψ 2 ) für (ψ 1 ψ 2 ) (ψ 2 ψ 1 ), xψ bzw. x : ψ für x ψ. Die Schreibweisen ψ 1 ψ n bzw. (ψ 1 ψ n ) sind analog zu ψ 1 ψ n bzw. (ψ 1 ψ n ) definiert. Wir schreiben t 1 = t 2 statt = t 1 t 2 sowie t 1 Rt 2 statt Rt 1 t 2. 18

19 Zur Bindungsstärke der logischen Zeichen Soweit es möglich ist (und die Lesbarkeit nicht stark beeinträchtigt), werden wir Klammern weglassen. Die Ausdrücke sind dann gemäß der hier vereinbarten (und allgemein üblichen) Bindungsstärke der logischen Zeichen zu lesen: Höchste Bindungsstärke:, und. Zweithöchste Bindungsstärke:. Dritthöchste Bindungsstärke:. Niedrigste Bindungsstärke: und. Beispiel 1: ϕ ψ χ ω ist zu lesen als ((( ϕ) ψ) χ) ω. Beispiel 2: x ϕ χ ist zu lesen als ( x( ϕ)) χ. 19

20 Einsetzen in Terme Definition Es sei σ eine Signatur, x {x 0, x 1,...} eine Variable, s ein σ-term. Für σ-terme t definieren wir t s x, gelesen t mit s für x, rekursiv wie folgt: { 1 Ist t y eine Variable, so sei t s x : y, wenn y x, s, sonst. 2 Ist t c ein Konstantensymbol, so sei t s x : c. 3 Ist t ft 1 t k, so sei t s x : ft 1 s x t k s x. t s x ist also jener Term, der durch Substitution von s für x in t entsteht. 20

21 Einsetzen in Formeln Definition Es sei σ eine Signatur, x {x 0, x 1,...} eine Variable, s ein σ-term. Für σ-formeln ϕ definieren wir ϕ s x, gelesen ϕ mit s für x, rekursiv wie folgt: 1 Ist ϕ = t 1 t 2, so sei ϕ s x : = t 1 s x t 2 s x. 2 Ist ϕ Rt 1 t k, so sei ϕ s x : Rt 1 s x t k s x. 3 Ist ϕ ψ, so sei ϕ s x : ψ s x. 4 Ist ϕ ψ 1 ψ 2, so sei ϕ s x : ψ 1 s x ψ 2 s x {. 5 Ist ϕ yψ, so sei ϕ s x : y(ψ s x ), wenn x y, yψ, wenn x = y.. ϕ s x ist also jene Formel, die durch Ersetzen aller freien Vorkommen von x in ϕ durch s entsteht. 21

22 Motivation für das Substitutionslemma Es ist natürlich sinnvoll, bei der Definition von ϕ s x zu fordern, dass nur die freien Vorkommen von x in ϕ ersetzt werden sollen, denn an Stellen, an denen x nicht frei vorkommt, dient es ja nur als sprachliches Hilfsmittel, um die entsprechende quantorielle Aussage formulieren zu können (und nicht etwa als Platzhalter für etwas Einzusetzendes). Doch auch nach dem Treffen dieser Vorkehrung gibt es noch immer pathologische Substitutionen. Betrachte etwa folgendes Beispiel (sh. Ziegler, S. 12): ϕ : y : (y y = x) und s : y. Dann wird ϕ s x zu y : y y = y, sodass die eingesetzte Variable sofort durch den Quantor gebunden wird und ϕ s x zu einem Satz wird, dessen Wahrheitswert unabhängig vom eingesetzen Wert ist. Das ist deswegen passiert, weil x nicht frei für (die Substitution von) s in ϕ im Sinne der nachfolgenden Definition ist. 22

23 Für eine Substitution freie Variablen Definition Es sei σ eine Signatur, ϕ eine σ-formel, x eine Variable, s ein σ-term. Wir definieren die Relation x ist frei für s in ϕ rekursiv wie folgt: x ist frei für s in ϕ genau dann, wenn entweder x nicht frei in ϕ ist (klingt komisch, ist aber so) oder x frei in ϕ ist, und einer der folgenden Fälle eintritt: 1 ϕ ist eine atomare Formel, 2 ϕ ψ, und x ist frei für s in ψ, 3 ϕ ψ 1 ψ 2, und x ist frei für s sowohl in ψ 1 als auch in ψ 2, 4 ϕ yψ, und x ist frei für s in ψ und y / Var(s). D.h.: Es soll kein freies Vorkommen von x im Wirkungsbereich eines Quantors stehen, der eine Variable von s bindet. 23

24 Das Substitutionslemma Hat man diese Voraussetzungen vorliegen, verhält sich Substitution auf der semantischen Ebene so, wie man es erwarten würde: Lemma Es sei σ eine Signatur, x eine Variable, s ein σ-term, M eine σ-struktur, β eine Belegung in M. Dann gilt: 1 Für jeden σ-term t gilt: (t s x )M [β] = t M [β sm [β] x ]. 2 Für jede σ-formel ϕ, in der x frei für s vorkommt, gilt: M = ϕ s x [β] M = ϕ[β sm [β] x ]. Lemma (2) sagt: Um den Wahrheitswert von ϕ s x unter β zu bestimmen, berechne den Wert von s unter β, überschreibe damit den Wert von x unter β und setze die Werte dieser neuen Belegung in ϕ ein. 24

25 Das Substitutionslemma cont. Beweis von Lemma Wir beginnen mit dem Beweis von Punkt (1), und zwar mittels Induktion über den Aufbau von t. Ist t = x, so sieht man durch Abarbeiten der Definitionen, dass beide Seiten in der behaupteten Gleichheit gleich s M [β] sind. Ist t dagegen eine von x verschiedene Variable, so sind beide Seiten gleich t M [β] = β(t). Und wenn t eine Konstante ist, steht auf beiden Seiten t M. 25

26 Das Substitutionslemma cont. Beweis von Lemma cont. Ist schließlich t ein zusammengesetzter Term, etwa t ft 1 t k, so folgt unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung: (t s s x )M [β] (ft 1 x t s k x )M [β] f M ((t 1 s x )M [β],..., (t k s x )M [β]) f M (t M 1 was zu zeigen war. [β sm [β] x (ft 1 t k ) M [β sm [β] x ],..., tk M [β sm [β] ]) x ] t M [β sm [β] ], x 26

27 Das Substitutionslemma cont. Beweis von Lemma cont. Wir wenden uns nun dem Beweis von Punkt (2) zu, und gehen dazu mit Induktion über den Aufbau von ϕ vor. Für den Induktionsanfang (den Fall, wo ϕ atomar ist), folgt die behauptete Äquivalenz aus Punkt (1). Wir nehmen nun an, dass ϕ nicht atomar ist. Für Negationsund Konjunktionsformeln besteht der Induktionsschritt aus einfachen Äquivalenzketten, also beschränken wir uns auf die Durchführung des Arguments für Existenzformeln ϕ y ψ. Beachte: Wenn x nicht frei in ϕ kommt, so ist ϕ s x ϕ, und die behauptete Äquivalenz wird zu M = ϕ[β] M = ϕ[β sm [β] x ], was nach Lemma stimmt. 27

28 Das Substitutionslemma cont. Beweis von Lemma cont. Wir dürfen also zusätzlich annehmen, dass x frei in ϕ yψ vorkommt, insbesondere, dass x y, und da x frei für s in ϕ ist, kommt y nicht in s vor. Setze b := s M [β]. Es folgt M = ϕ s x [β] M = yψ s x [β] M = ψ s x [β a ] für ein a M y M = ψ[β a s M [β a y ] ] für ein a M y x M = ψ[β a b ] für ein a M y x 28

29 Das Substitutionslemma cont. Beweis von Lemma cont. Weiter: M = ψ[β a b ] für ein a M y x M = ψ[β b a ] für ein a M x y M = ϕ[β b x ]. 29

30 Bemerkung zum Substitutionslemma Es sei t = t(y 1,..., y n ), ϕ = ϕ(y 1,..., y n ) und s = s(y 1,..., y n ). Dann kann man das Substitutionslemma auch kürzer und sehr einprägsam schreiben als 1 t(s, y 2,..., y n ) M [a 1,..., a n ] = t M [s M [a 1,..., a n ], a 2,..., a n ] sowie 2 M = ϕ(s, y 2,..., y n )[a 1,..., a n ] M = ϕ[s M [a 1,..., a n ], a 2,..., a n ]. 30

31 σ-tautologien Endlich können wir nun auch den für die prädikatenlogischen Kalküle relevanten Tautologie-Begriff klären. Wir werden einen Kalkül für jede Signatur σ haben. Der entsprechende Tautologie-Begriff ist der folgende: Definition Es sei σ eine Signatur. Eine σ-formel ϕ heißt eine σ-tautologie, falls M = ϕ[β] für jede σ-struktur M und jede Belegung β in M. Wir schreiben dafür = σ ϕ. Definition Es sei ϕ eine Formel über einer beliebigen Signatur σ mit Free(ϕ) = {y 1,..., y n }, wobei y i = x ji mit j 1 < j 2 < < j n. Der universelle Abschluss von ϕ ist definiert als der Satz y 1 y n ϕ. 31

32 Einfache Resultate zu σ-tautologien Lemma Es sei σ eine Signatur, ϕ eine σ-formel. Dann gilt: ϕ ist genau dann eine σ-tautologie, wenn der universelle Abschluss von ϕ eine σ-tautologie ist. Beweis Einfach (sh. die Übungen). Für den Beweis des Gödelschen Vollständigkeitssatzes werden wir auch folgendes einfache Resultat zu Tautologien unter Erweiterungen von Signaturen benötigen: 32

33 Einfache Resultate zu σ-tautologien cont. Lemma Es sei σ eine Signatur und σ eine Erweiterung von σ (d.h., eine Signatur, sodass A(σ ) A(σ) und ar σ ar σ ). Weiter sei ϕ eine σ-formel. Dann ist ϕ genau dann eine σ-tautologie, wenn ϕ eine σ -Tautologie ist. Beweis Wir zeigen die Äquivalenz der negierten Aussagen. Angenommen, ϕ ist keine σ -Tautologie. Das heißt, es gibt eine σ -Struktur M = (M, (Z M ) Z σ ) sowie eine Belegung β in M, sodass M = ϕ[β]. 33

34 Einfache Resultate zu σ-tautologien cont. Beweis von Lemma cont. Bezeichne mit M das Redukt von M auf σ, d.h., die σ-struktur M = (M, (Z M ) Z σ ). Mit Induktion über den Aufbau von ϕ lässt sich leicht zeigen: M = ϕ[β] M = ϕ[β]. Also gilt auch M = ϕ[β], sodass ϕ auch keine σ-tautologie ist. Gilt umgekehrt, dass ϕ keine σ-tautologie ist, so fixiere eine σ-struktur M sowie eine Belegung β in M mit M = ϕ[β], und wähle eine beliebige Expansion von M auf σ, d.h., eine σ -Struktur M, sodass M ein Redukt von M auf σ ist (das geht auch dann gut, wenn σ neue Konstantensymbole enthält, da M ). 34

35 Einfache Resultate zu σ-tautologien cont. Beweis von Lemma cont. Nach der Äquivalenz, die auch schon im Beweis der umgekehrten Implikationsrichtung verwendet wurde, folgt M = ϕ[β], sodass ϕ auch keine σ -Tautologie ist. 35

36 Ausblick auf die nächste Vorlesungseinheit Nach der Klärung des Tautologie-Begriffes fehlen uns zur Angabe der Kalküle für die Prädikatenlogik erster Stufe bezüglich einer fixierten Signatur nur noch die Axiome und Schlussregeln, die wir nächstes Mal angeben werden. Da alle Axiome auch Tautologien sein sollen und Schlussregeln von Tautologien auf weitere Tautologien führen sollen, werden wir uns danach gleich dessen vergewissern. Außerdem werden wir die offiziellen Axiome und Schlussregeln noch durch abgeleitete Axiome und Schlussregeln ergänzen. Das sind im Grunde genommen nichts anderes als gewisse ableitbare Formeln bzw. Kombinationen aus Schlussregeln, die wir der Bequemlichkeit halber einmal ableiten und dann immer verwenden dürfen. Damit werden wir dann für den Beweis des Vollständigkeitssatzes gerüstet sein. 36