R. Brinkmann Seite ( ) ( ) { } d) ( ) x 5 7y x 5 7y + 5 3
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- Ingelore Ackermann
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1 R. Brinkmann Seite Lösungen Lineare Gleichungssysteme I Ergebnisse: E1 Ergebnisse a) I 5y 3 1 L {( 3 2) } ( II ) y + 1 c) I 15y 50 L 5 2 II y + {} b) d) I + 5y 32 II y 5 11 I 3 y+ 15 II 2y 10 2 {} L 3 {} L E2 Ergebnisse a) I 2y 2 0 II y c) 2 y I y 3 ( II ) {} L {} L 5 b) d) 3y I 3 II + y I y 3 ( II ) + y 5 8 {} L 12 5 {} L 3 13 E3 Ergebnisse a) 2 I y y 6 c) 8 5 I + y y 6 {} L 8 {} L 6 8 b) d) I I 1 y y 2 {} L y y {} L 8 6 E E5 E6 Ergebnis I II + L y y { } Ergebnis: y y+ 5 L 0 10 { } Der Vater ist 0, der Sohn 10 Jahre alt. Ergebnis: L Der Behälter wird in Minuten und 5 Sekunden halb gefüllt. Erstellt von R. Brinkmann p0_lin_gsys_01_e.doc :11 Seite 1 von 13
2 R. Brinkmann Seite E E8 Ergebnis: 2a + 2b 180 b 30 L { } Die Rechteckseite a ist 60 cm lang. Ergebnis: + y 9 10y + ( 10 + y) L { 3 6} Die Ziffern der Zahl heißen 3 und 6. Die Zahl lautet 36. Erstellt von R. Brinkmann p0_lin_gsys_01_e.doc :11 Seite 2 von 13
3 R. Brinkmann Seite Ausführliche Lösungen A1 A1 A1 Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungssysteme a) I 5y 3 1 b) ( I ) + 5y 32 II y + 1 c) I 15y 50 II y + d) II y 5 11 I 3 y+ 15 II 2y 10 2 Ausführliche Lösung mit dem Einsetzverfahren a) I 5y 3 1 y 2 in ( II ) einsetzen II y {} y + 1 in I einsetzen Lösung : L 3 2 5y 3 y y 3y I 5y y : 2 y ( w) ( II ) y ( w) Ausführliche Lösung mit dem Einsetzverfahren b) I + 5y 32 3 in ( II ) einsetzen II y 5 11 y y {( )} y 5 11 in I einsetzen Lösung : L I + 5y : w II y w Erstellt von R. Brinkmann p0_lin_gsys_01_e.doc :11 Seite 3 von 13
4 R. Brinkmann Seite A1 A1 A2 Ausführliche Lösung mit dem Einsetzverfahren c) I 15y 50 y 2 in ( II ) einsetzen II y {( 2) } y + in I einsetzen Lösung : L 5 15y y y y y 22 : 11 y 2 ( ) ( w) ( II ) y ( w) I 15y Ausführliche Lösung mit dem Gleichsetzverfahren d) I 3 y eingesetzt in ( II ) y + 5 II 2y I 3 15 y II 2y : 2 I y 3 15 II y + 5 Rechte Seiten gleichsetzen : 2 10 y y 15 {} Lösung : L I 3 y w II 2y w Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungssysteme a) I 2y 2 0 b) 3y I 3 ( II ) y ( II ) + y 8 c) 2 y d) + 5 I + 3 I y 3 5y 3 ( II ) ( II ) y 5 8 Erstellt von R. Brinkmann p0_lin_gsys_01_e.doc :11 Seite von 13
5 R. Brinkmann Seite A2 A2 a) I 2y eingesetzt in I ( II ) y + 2y 2y y 20 0 I 2y 2 0 2y 20 : 2 ( II ) 2y ( 1) y 10 I 2y Lösung : L {( 10 10) } ( II ) 2y : ( 5 ) I2y ( 10) ( w) y ( 10) w Ausführliche Lösung mit dem Gleichsetzverfahren b) 3y 3y I 3 + y 5 eingesetzt in ( II ) 16 2y 5 2 ( II ) + y 8 y y I ( II ) 8 y 2 Lösung : L {( 12 5 )} 3y I + 3 3y I 3 3 ( II ) 16 2y w Rechte Seiten gleichsetzen 12 3y y + 2y ( II ) + y y w + 2y y 10y y + 10y 65 13y 65 :13 y 5 Erstellt von R. Brinkmann p0_lin_gsys_01_e.doc :11 Seite 5 von 13
6 R. Brinkmann Seite A2 A2 c) 2 y 2 y I + 3 y eingesetzt in I HN y ( II ) HN y I y 3 ( II ) I y Lösung : L {( 5 ) } ( II ) y 60 ( 1) I y II y y 260 : 615 y 2 y 2 5 I w y ( w) d) I 3 ( y ) y 13 eingesetzt in I y 3 y 3 ( II ) 8 ( y 5) I 3 ( + 5) y ( ) ( II ) 8( + 2) 5( y 5) I 3 y 3 8 ( II ) 8 5y 1 ( 3) + y 5 8 I y 28 y 15 II y 25 5y 16 I 2 32y 3 + II y 123 1y 121 : 1 y I ( II ) {( 3 )} y { 5; } Lösung : L y y ( w) ( w) Erstellt von R. Brinkmann p0_lin_gsys_01_e.doc :11 Seite 6 von 13
7 R. Brinkmann Seite A3 A3 Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungssysteme a) 2 b) 1 I I y 13 y 6 2 ( II ) 5 10 y 6 c) 8 5 d) I + y 3 ( II ) 2 1 y 6 ( II ) I y y II y a) 2 2 I y 8 eingesetzt in I y y 13 ( ) ( + ) ( ) ( ) I 23y ( 13) 3+ 1 ( II ) y 6 2( 5 10) I 3 + 6y 2 ( 10) 10 + y y 6 I 3y :2 II 2 y : 2 I 6y II y I 30 60y 20 + II y 2 ( ) 39y 312 : 39 y I : 6 Lösung : L {( 8) } ;2 y ; y ( w ) y w Erstellt von R. Brinkmann p0_lin_gsys_01_e.doc :11 Seite von 13
8 R. Brinkmann Seite A3 b) I 12 5 y 3 eingesetzt in ( II ) y 6 y II y 2 2 y I y 6 y y ( II ) y 2 y 8 1 I y 6 Lösung : L + {( 3 8) },y y I y w y ( 20 ) ( w) Erstellt von R. Brinkmann p0_lin_gsys_01_e.doc :11 Seite 8 von 13
9 R. Brinkmann Seite A3 A3 c) I eingesetzt in I y 3 y II 2 + y 6 6 y 3 6 I ( II ) y y y 3 y y 8 {} Lösung : L 6 8,y I + + y ( w ) y w d) I 8 eingesetzt in ( II ) y y ( II ) y y I 2 1 3y + 3y y y y y 18 : y Lösung : L {( 8 6) } ;y : I ( w) 2 1 3y ( w) 2 1 3y Erstellt von R. Brinkmann p0_lin_gsys_01_e.doc :11 Seite 9 von 13
10 R. Brinkmann Seite A A Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems I 9 10 ( II ) y y I 5 eingesetzt in I 2 5 y y II y y II y I : 2 I + ( w) y y y y y 1 : y Lösung : L {( 2) } ;y y w 2 5 y Erstellt von R. Brinkmann p0_lin_gsys_01_e.doc :11 Seite 10 von 13
11 R. Brinkmann Seite A5 A5 A6 Ein Vater ist im Augenblick viermal so alt wie sein Sohn und wird in 5 Jahren nur noch dreimal so alt sein. Wie alt sind beide zum jetzigen Zeitpunkt? Ausführliche Lösung Variablen: Vater Sohn y Ein Vater ist im Augenblick viermal so alt wie sein Sohn y Vater ist in 5 Jahren nur noch dreimal so alt wie sein Sohn + 5 3( y + 5 ) Gleichungssystem: I y Lösung : L {( 0 10) } ( II ) + 5 3( y + 5) Lösung mit dem Einsetzverfahren I y y einsetzen in ( II ) + 5 3( y + 5) 0 10 y + 5 3( y + 5) 0 0 ( w) y + 5 3y y 5 ( II ) + 5 3( y + 5) y ( ) y 10 einsetzen in I y ( w) Der Vater ist 0, der Sohn 10 Jahre alt. In welcher Zeit wird ein Behälter von zwei Leitungen halb gefüllt, wenn die erste Leitung zur Füllung des gesamten Behälters 18 min und die zweite dazu 22 Minuten benötigt? Erstellt von R. Brinkmann p0_lin_gsys_01_e.doc :11 Seite 11 von 13
12 R. Brinkmann Seite A6 Ausführliche Lösung Ansatz: Die erste Leitung füllt den Behälter in einer Minute 1/18. Die zweite Leitung füllt den Behälter in einer Minute 1/22. Gesucht ist die Zeit in Minuten, also die Variable HN L Minuten sind Minuten oder Minuten 5 Sekunden Der Behälter wird in Minuten und 5 Sekunden halb gefüllt. Die ließ sich mit einer einfachen Gleichung lösen. A A Der Umfang eines Rechtecks beträgt 180 cm. Wie lang ist die Seite a, wenn die Seite b 30 cm lang ist? Ausführliche Lösung Umfang des Rechtecks 2a + 2b 180 Seite b ist 30 cm lang b30 Gleichungssystem I 2a+ 2b 180 ( II ) b 30 Lösung mit dem Einsetzverfahren b 30 eingesetzt in I 2a + 2b 180 2a a a 120 : 2 a 60 L {} Probe: 2a + 2b Die Seite a ist 60 cm lang. ( w) Erstellt von R. Brinkmann p0_lin_gsys_01_e.doc :11 Seite 12 von 13
13 R. Brinkmann Seite A8 A8 Die Quersumme einer zwei zifferigen Zahl ist 9. Stellt man die Ziffern um, so ist die neue Zahl / mal so groß wie die alte. Wie heißen die beiden Ziffern? Ausführliche Lösung Die Zahl besteht aus den Ziffern und y und hat den Wert 10 +y Die Quersumme der Zahl ist + y 9 Stellt man die Ziffern um, so erhält man die neue Zahl mit dem Wert 10y + Die neue Zahl ist / mal so groß wie die alte 10y + /( 10 +y ) Das Gleichungssystem lautet : I + y 9 y y 6 einsetzen in ( I ) + y y+ ( 10+ y) 3 I 9 y 10y+ ( 10+ y) Lösung : L {( 3 6) } Lösung nach dem Einsetzverfahren 9 y einsetzen in I + y 9 10y + 9 y ( 90 10y + y) ( w) 9y + 9 ( 90 9y) 10y+ ( 10+ y) y + 9 y + y y+ y y 99y 59 : 99 y 6 Die Ziffern der Zahl heißen 3 und 6. Die Zahl lautet 36. Erstellt von R. Brinkmann p0_lin_gsys_01_e.doc :11 Seite 13 von 13
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