Übungen zur Physikvorlesung für Wirtschaftsingenieure WS2003

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1 Übunen zur Physikvrlesun für Wirtschaftsinenieure WS2003 Lösunsvrschläe zum Übunsblatt 2 1. Ein June verma einen Schlaball unter einem Abwurfwinkel vn 30 52m weit zu werfen. Welche Weite könnte er bei ptimalem Abwurfwinkel erreichen? Lösun Die x-achse des ewählten Krdinatensystems zeie in die waaerechte, die z-achse in die senkrechte Richtun. Der Nullpunkt liee in der Abwurfstelle. Beweun in x-richtun ist leichförmi a x v x =v x =cnst x t =v x t Beweun in z-richtun ist in Fle der der z-richtun enteen wirkenden Schwerkraft leichmäßi verzöert a z = v z =a z t v z = t v z z t = 2 t2 v z t Für die Anfanseschwindikeiten ilt ( vl Auf1c Übun 1) v x =v cs v = v sinα z Die esamte Fluzeit bis zum Aufscha sei t dann ist x t erade die Wurfweite = x t =v x t =v cs t Die Fluhöhe z t an der Aufschlastelle ist erade null z t = 2 t 2 v z t = 2 t 2 v sin t Aus dieser quadratischen Gleichun kann man die Fluzeit berechnen. Man erhält t = 2v sin Setzt man den Ausdruck für t in die Gleichun für ein, eribt sich die Wurfweite =v cs t = 2v 2 sin cs in Abhänikeit vm Abwurfwinkel und deranfanseschwindikeit. Unter Benutzun der Beziehun 2sin cs =sin 2 erhält man Um die rößte Wurfweite = v 2 sin 2 zu finden, muss der Extremwert vn berechnet werden: d d = 2v 0 2 cs2 Die Gleichun ist erfüllt für 2 =90, =45 Damit wird = v 2 sin 90 = v 2 Aus Gl. eribt sich 2 30 v = x 2 sin 30 = w 3 da sin 30 = Damit wird zu = v 2 = x x 30 0 w sin 30 = w = 2 52 m 3 3 =60 m

2 2. Die Körper der Masse, m 2 und m 3 können auf dem trapezförmien Blck durch Seile über Rllen verbunden leiten. Seil- und Rllenmassen sind vernachlässibar klein. Der Neiunswinkel sei 30. Mit welcher Beschleuniun setzt sich die Anrdnun in Beweun? Fall 1: Die Beweun erflt reibunsfrei und die Massen seien a.) m 2 = m 3 = 0 = 1k b.) = 0 m 2 = m 3 = 1k c.) m 2 = 0 = m 3 = 1k d.) = m 2 = m 3 = 1k Fall 2: Die Haftreibun wird berücksichtit. = m 2 = m 3 = 1k. Wie rß muß die Haftreibunszahl mindestens sein, damit sich die Anrdnun nicht bewet. Lösun m2 α m1 m3 Fall 1a leitet reibunsfrei auf der schiefen Ebene mit dem Neiunswinkel α = 30rd. Die Kmpnente der Schwerkraft * parallel zur schiefen Ebene (Hanabtriebskraft) ist F T = sin = a a=sin =/2=4,91m/s 2 Fall 1b Da m 2 auf dem Blck aufliet wirkt nur die Schwerkraft auf m 3 beschleuniend auf die Anrdnun. F=m 3 = a a= m 3 =/2=4,91m/s2 Fall 1c Die Erdanziehun wirkt auf mit = sin und auf m 2 mit F 3 =m 3 Da die Kräfte enteenerichtet sind, wirkt die Differenz F=F 3 =m 3 sin beschleuniend auf die Anrdnun der miteinander verbundenen Massen. F= a a= m m sin 3 1 =/4=2,453m/ s 2 Fall 1d Die Kräfte sind die leichen wie in 1c, die zu beschleuniende Gesamtmasse ist hier aber Für a eribt sich damit a= m m sin 3 1 =/6=1,635m/ s 2 Fall 2 Die beschleunienden Kräfte sind wie in 1c und 1d. Für Haftreibunskräfte ilt allemein F HR F N Die Nrmalkräfte F N, d. h. die Kräfte, mit denen die Massen auf die Unterlae drücken sind F N1 = cs F N2 =m 2 F N3 Damit ilt für die Reibunskräfte F HR1 cs F HR2 m 2 F HR3 Sie wirken der beschleunienden Kraft F enteen. Ist die Haftun rß ( Haftreibunszahl H rß) ilt F HRes =F HR1 F HR2 F HR3 F Die Anrdnun ruht. Im Grenzfall ilt F HRes = F H cs H m 2 =m 3 sin H = sin cs,268

3 3. Eine an einem Faden befestite Masse wird mit a 1 = 2m/sec 2 anehben, wbei die Hälfte der Reißfestikeit (Kraft) des Fadens F z erreicht ist. Bei welcher Hebebeschleuniun a 2 wird die Reißfestikeit erade erreicht? Lösun Auf die Masse wirkt senkrecht nach unten die Schwerkraft G= e G z. Wird sie durch einen Faden ehalten der nach ben bewet, wird dieser mit einer Zukraft F = e F Z z Z belastet. Befindet sich das Gewicht in Ruhe, d.h. ist die Beschleuniun a = 0, ist die Summe der beiden Kräfte leich null: F Z G Betra F z = G Wird die Masse mit a 1 a 1 beschleunit, ist die Summe der beiden Kräfte F Z G=m a 1 Für eine Anhebun mit a 1 ilt danach für die Zukraft FZ1 F Z1 F Z1 = G m a 1 G m e z a 1 G m a 1 Betra: F Z1 =G ma 1 Lt Aufabenstellun ist F Z1 = 1 2 F Z Für eine Beschleuniun a 2 erhält man anal für die Beträe der Kräfte F Z2 =G ma 2 und lt. Aufabenstellun ilt F Z2 =F Z (2) Gl liefert F Z = 2(G + ma 1) und mit G = m F Z = 2(m + ma 1) Gl (2) liefert F Z = G + ma 2 = m + ma 2 Gleichsetzun der rechten Seiten: 2m(a 1 + ) = m(a 2 + ) Daraus erhält man a 2 =2a 1 =4m/s 2 9,81m/s 2 =13, 81m/ s 2

4 4. Zwei Federn leicher Federknstante k sllen a.) parallel und b.) in Reihe betrieben werden. Berechnen Sie die Gesamtfederknstante der Anrdnun für beide Fälle. Lösun für allemeinen Fall k 1 k 2 Federkraft: F =k x d.h. =k 1 F 2 =k 2 F2 F1 x1 x1+ x2 a. Parallelanrdnun: Beide Federn werden durch die anreifende Kraft F G ween der emeinsamen Halterun leich weit auselenkt ( linke Abb.) = = x G was in den Federn die rücktreibenden Kräfte =k 1 und F 2 =k 2 hervrruft. Gleichewicht herrscht, wenn F 2 = F G ist d.h. k 1 k 2 =k G x G und mit k 1 k 2 = k G b. Reihenanrdnun: Die Gesamtauslenkun x G setzt sich aus den Anteilen und der beiden Federn zusammen = x G (2) während die Kraft F G an jeder der Federn wirksam wird (beweliche Verbindun) = F 2 = F G (3) F Ersetzt man in (2) x durch eribt sich k 1 1 = 1 k 1 k 2 k G k 1 F 2 k 2 = F G k G und mit (3) Verleicht man die Erebnisse mit der Schaltun elektrischer Widerstände, s entspricht die Spannun U der Auslenkun x, der Strm I der Kraft und 1/k dem Widerstand (Elektranalie).

5 x a Fb 5. Geeben sei die nebenstehende Galenanrdnun Fa a = 20 cm, b = 45 cm, m = 30 k Gesucht sind Belastunsart u. -röße in den α Punkten x und y. Lösun: Die Masse m zieht mit ihrem Gewicht F G =ma senkrecht nach α unten. Eine Zerleun vn F G in Richtun der Galenstreben führt y b m auf die Kmpnenten F a und F b. Die Winkel zwischen F b und F G und zwischen der Wand und b sind als Wechselwinkel eschnittener Parallelen leich. Er sei α. Man liest ab sin = a b b.z.w. sin = F a F G Daraus eribt sich die läns des Balkens a auf irkende Zukraft F a =F G a b = a b m=131 m s 2 -Fa Fb y Die über den Balken b auf die Aufhänun y wirkende Kraft F b kann man in eine Kmpnente parallel zur Wand F G =ma=294 m s 2 (Scherkraft) und eine Kmpnente senkrecht zur Wand F a = 131 m s 2 (Druckkraft) zerleen (vl. Abb.). Der Zukraft in x entspricht eine leich rße auf y wirkende Druckkraft. Außerdem wird die Befestiun y mit einer Scherkraft belastet, die dem Gewicht der Masse entspricht 6. Berechnen Sie Masse m E und mittlere Dichte ρ der Erde, wenn der Erdradius r = 6378km, die Erdbeschleuniun = 9,806 m/s 2 und die Gravitatinknstante G=6, m 3 /(k s 2 ) bekannt sind. Lösun Die Gravitatinskraft zwischen einem Körper der Masse m auf der Erdberfläche und der Erde ist F=G mm E G =m =m E r 2 r 2 m E = r2 G =5, k Vlumen der Erde V= 4 3 r3 Dichte ϱ= m E V = 3 4 r k =5503 G m 3=5,5 cm 3