Wiederholung Quadratische Funktionen (Parabeln)

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1 SEITE 1 VON 7 Wiederholung Quadratische Funktionen (Parabeln) VON HEINZ BÖER 1. Regeln a) Funktionsvorschriften Normalform f(x) = a x² + b x + c Normalparabel: f(x) = x 2 Graf der Normalparabel Die einfachste Form liegt vor, wenn a = 1 und b = c = 0 gilt. Der Graf geht durch (0/0). Vier weitere Punkte erhält man, indem man von (0/0) eine Einheit nach rechts geht und eine nach oben; eine nach links und eine nach oben, zwei nach rechts und 4 nach oben, zwei nach links und 4 nach oben. Die 5 Punkte müssen noch elegant (nicht durch Strecken!) durch eine Kurve verbunden werden. Andere Formen: Die Formvariable a bestimmt die Form der Parabel. a > 0 nach oben geöffnet a < 0 nach unten geöffnet a > 1 schlanker als die Normalparabel a < 1 breiter als die Normalparabel Die Formvariable c gibt den Schnittpunkt mit der y-achse an: S y (0 c). Scheitelpunktform f(x) = a(x - x S )² + y S Scheitelpunkt ist S(x S y S ) Achtung: Es gibt einen Vorzeichenwechsel von x S ist in der Funktionsvorschrift zum Scheitelpunktwert! a hat dieselbe Bedeutung wie bei der Normalform oben. Umrechnung von der Scheitelpunktform in die Normalform: ausmultiplizieren. b) Vom Grafen zur Funktionsvorschrift Ablesen des Scheitelpunktes S(x S y S ); Eintragen der beiden Werte in die Scheitelpunktform. Vom Scheitelpunkt eine Einheit nach rechts gehen und ablesen, wie weit man von dort nach oben oder unten (negatives Vorzeichen) gehen muss, bis man wieder auf den Grafen trifft. Den Wert (mit Vorzeichen) für a in die Scheitelpunktform eintragen. Ergibt sich a = 1, so liegt eine verschobene Normalparabel vor. Ist der Wert für a in der Grafik schlecht ablesbar, dann liest man irgendeinen gut ablesbaren Punkt auf dem Grafen ab (nicht S, da der Punkt oben schon ausgewertet wurde) und setzt den x-wert in die Scheitelpunktform für x ein, den y-wert für f(x). Da x S und y S schon eingetragen waren, erhält man eine Gleichung, in der nur noch a unbekannt ist. Die Gleichung ist zu lösen. Soll die Normalform der Funktionsvorschrift bestimmt werden, so wird ausmultipliziert (s.o. a7).

2 SEITE 2 VON 7 c) Von gegebenen Daten zur Funktionsvorschrift Sind S(x S y S ) und a gegeben, so setzt man die drei Daten in die Scheitelpunktform ein und ist fertig. Falls gewünscht, erhält man die Normalform durch Ausmultiplizieren. Ist S und ein weiterer Punkt gegeben, so setzt man x S und y S ein und geht vor wie in b2. Sind drei Punkte gegeben, so wählt man die Normalform und setzt man den x-wert des ersten Punktes für x ein, den y-wert für f(x). Macht man das für alle drei Punkte, so erhält man drei Gleichungen, die nur noch a, b und c als Variablen enthalten. Das Gleichungssystem muss dann gelöst werden. d) Von der Funktionsvorschrift in Scheitelpunktform zum Grafen Zeichnen Sie den Scheitelpunkt in das Koordinatensystem. Ist a = 1, dann liegt eine verschobene Normalparabel vor. Gehen Sie von S eine Einheit nach rechts und eine nach oben, eine nach links und eine nach oben, zwei nach rechts und vier nach oben, zwei nach links und vier nach oben; genauso wie beim Zeichnen der Normalparabel (s.o. a3), hier starten Sie lediglich bei dem gegebenen Scheitelpunkt S. Ist a = -1, so verfahren Sie ebenso, gehen nur jeweils eine bzw. vier Einheiten nach unten statt oben. Ist a nicht 1 oder -1, so gehen Sie vom Scheitelpunkt S eine Einheit nach rechts und den Wert von a je nach Vorzeichen nach oben oder unten, ebenso eine Einheit nach links; zwei nach rechts und 4a nach oben bzw. unten, ebenso zwei nach links. Verbinden Sie die fünf Punkte elegant durch eine Kurve (keine Strecken zeichnen!). e) Von der Funktionsvorschrift in Normalform zum Grafen Dazu gibt es zwei verschiedene Wege: 1. Erstellen einer kompletten Wertetabelle, Punkte einzeichnen und elegant verbinden (umständlich, anfällig für Rechenfehler und in der Regel nicht zu empfehlen). Zudem wird der Scheitelpunkt evtl. nicht getroffen. 2. Bestimmen charakteristischer Punkte der Parabel, Einzeichnen und elegante Verbindung dieser Punkte zu einer Parabelkurve. Sinnvolle Punkte sind die Nullstellen: durch p-q-formel oder quadratische Ergänzung bestimmen siehe Kapitel Quadratische Gleichungen. der Scheitelpunkt: der x-wert liegt mitten zwischen den beiden Nullstellen (falls vorhanden) bzw. noch leichter: der x-wert des Scheitelpunktes ergibt sich direkt p als xs = aus der p-q-formel bei der Nullstellen-Bestimmung oben (auch 2

3 SEITE 3 VON 7 wenn keine Nullstellen existieren). Den Funktionswert y S des Scheitelpunktes gewinnt man durch Einsetzen y S = f(x S ). der Schnittpunkt mit der y-achse: Ablesen von c in der Funktionsvorschrift. Die vier Punkte müssen dann noch elegant zu einer Kurve verbunden werden. Falls es keine Nullstellen gibt, hat man nur 2 Punkte. Dann sollte man zwei weitere Punkte (wie in einer Wertetabelle) zusätzlich bestimmen, damit man die Kurve elegant hinbekommt. 2. Beispiele a) Funktionsvorschriften f(x) = -2 x² + 4 x + 1: Funktionsvorschrift in Normalform mit a = -2; b = +4; c = +1; Die Parabel ist nach unten geöffnet, da a < 0. Sie ist schlanker als die Normalparabel, da a < -1 bzw. im Betrag a > 1. Sie schneidet bei S y (0 1) die y-achse, da c = 1. f(x) = -2 (x - 1)² + 3; Scheitelpunktform mit S(1 3) Vorzeichenwechsel beim x-wert! Multipliziert man den Funktionsterm rechts aus (binomische Formel II beachten), so ergibt sich die Normalform der Funktionsvorschrift -2 (x - 1)² + 3 = - 2 (x 2 2 x + 1) + 3 = -2 x² + 4 x ; also f(x) = -2 x² + 4 x + 1. b) Vom Grafen zur Funktionsvorschrift Lesen Sie S(3-4) ab und setzen Sie den Punkt in die Scheitelpunktform ein: f(x) = a (x - 3)² - 4. Zeichnen Sie von S eine Einheit nach rechts, gehen Sie von dort 1,5 Einheiten nach oben, dann treffen Sie wieder auf die Parabel, also a = 1,5. Insgesamt f(x) = 1,5 (x - 3)² - 4. Ist Ihnen die Ablesung von a zu unsicher, so notieren Sie einen gut ablesbaren Punkt, etwa (5 2), setzen Sie den x- und y-wert in die Scheitelpunktform von oben ein (5 für x, 2 für f(x)) und berechnen Sie a: 2 = a (5-3)² = = 4 a a = 1,5 Die Normalform erhält man durch Ausmultiplizieren: 1,5 (x² - 6 x + 9) - 4 = 1,5 x² - 9 x + 13,5-4; also f(x) = 1,5 x² - 9 x + 9,5. Zur Kontrolle: Im Grafen ist zu erkennen, dass die Parabel bei c = 9,5 die y-achse schneidet.

4 SEITE 4 VON 7 c) Von gegebenen Daten zur Funktionsvorschrift In dem Brückengrafen soll die Breite w = 80 m betragen und die Höhe h = 20 m. Bei dem eingezeichneten Koordinatensystem liegt der Scheitelpunkt im Ursprung S(0 0). Also gilt: f(x) = a (x - 0)² + 0 = a x². a ist in der Zeichnung nicht ablesbar, indem man eine Einheit nach rechts geht. Aber aus den Daten kann man die Koordinaten des Punktes I (rechts) bestimmen: er liegt den halben w-wert rechts von E, also x = 40, und um die Höhe h tiefer, also y = -20. Die Koordinaten setzt man in die Funktionsgleichung ein: -20 = a 40² -20 = 1600 a a = -0,0125. Insgesamt: f(x) = -0,0125 x². Eine Parabel verläuft durch die Punkte A(0-5), B(2 11), C(-1-7). Setzen Sie die Punktkoordinaten in die Normalform f(x) = a x² + b x + c ein. Sie erhalten 3 Gleichungen A: f(0) = a 0² + b 0+ c = -5; hieraus ergibt sich c = -5. Der nun bekannte c-wert kann in die folgenden 2 Gleichungen eingesetzt werden. B: f(2) = a 2² + b 2-5 = a + 2 b = 16 Das ist Gleichung I. C: f(-1) = a (-1)² + b (-1) - 5 = a - b = -2 Das ist Gleichung II. Aus B und C erhalten Sie zwei Gleichungen mit zwei Variablen. Diese können Sie mit den bekannten Methoden lösen. Hier bietet sich das Additionsverfahren an. I: 4 a + 2 b = 16 + a in I einsetzen: b = 16-8 II 2: 2 a - 2 b = b = 8 : 2 6 a = 12 : 6 b = 4 a = 2 Die berechneten a-, b- und c-werte werden eingesetzt: f(x) = 2 x ² + 4 x - 5.

5 SEITE 5 VON 7 d) Von der Funktionsvorschrift in Scheitelpunktform zum Grafen Soll der Graf zu f(x) = -(x + 2)² + 5 gezeichnet werden, so bestimmen Sie den Scheitelpunkt S(-2 5) aus dem Funktionsterm und zeichnen ihn ein. Da a = -1, gehen Sie von S eine Einheit nach rechts und eine nach unten und machen ein Kreuzchen bei (-1 4), ebenso nach rechts bei (-3 4). Gehen Sie von S zwei nach rechts und vier nach unten, so erhalten Sie (0 1) bzw. links (-4 1). Elegant als Kurve verbunden ergibt sich der linke Graf eine nach unten geöffnete verschobene Normalparabel. Zu f(x) = 0,5 (x - 3)² + 1, ist der Scheitelpunkt S(3 1) einzuzeichnen. Von dort geht man wie bei der Normalparabel eins nach rechts und links, ebenso zwei nach rechts und links. Nur die Werte, die senkrecht zu laufen sind, müssen mit 0,5 multipliziert werden: Also geht man eins nach rechts und 0,5 nach oben, ebenso nach links. Das ergibt die Punkte (4 1,5) und (2 1,5). Geht man zwei nach rechts, muss 0,5 4 = 2 nach oben gegangen werden, entsprechend links. So erhält man (5 3) und (1 3). Die elegante Kurve sollte dann aussehen wie der rechte Graf. e) Von der Funktionsvorschrift in Normalform zum Grafen Zu f(x) = - 0,57 x² + 3 x + 4 ergibt sich die Wertetabelle x f(x) -10,13-4,28 0,43 4 6,43 7,72 7,87 6,88 4,75 1,48-2,93 und der zugehörige Graf rechts. Skizzieren Sie den Grafen zu f(x) = 0,25 x² - 0,75 x ) Berechnung des Schnittpunktes P mit der y-achse f(0) = 0,25 0² - 0, = -1; also P(0/-1) 2) Berechnung der Nullstellen 0,25 x² - 0,75 x - 1 = 0 : 0,25 x² - 3 x - 4 = 0 x 1 = 1,5 + 2, ; x 2 = 1,5-2, x 1 = 4; x 2 = -1 N 1 (4 0) und N 2 (-1 0) Die Nullstellen können auch mit quadratischer Ergänzung bestimmt werden.

6 SEITE 6 VON 7 3) Berechnung des Scheitelpunktes S Wegen der Symmetrie der Parabel liegt der x-wert des Scheitelpunktes x s genau zwischen den Nullstellen. Das ist in der p-q-formel immer der Wert x s = -p/2. Hier ist also x s = 1,5. y s = f(1,5) = 0,25 1,5² - 0,75 1,5-1 = -1,5625-1,6; also S(1,5-1,6). 4) Graf skizzieren Der Graf geht durch die Punkte P(0-1), N 1 (4 0), N 2 (-1 0) und S(1,5-1,6) (siehe oben).

7 SEITE 7 VON 7 3. Übungen Zu a) 1. Beschreiben Sie Scheitelpunkt, Öffnung und Form der Parabel: f 1 (x) = (x - 4)² + 2; f 2 (x) = -2(x + 3)² - 12; f 3 (x) = 0,5 (x + 3,5)² Notieren Sie die drei Funktionsvorschriften aus 1 in der Normalform und geben Sie zusätzlich den Schnittpunkt mit der y-achse an. 3. Zeichnen Sie die Normalparabel und notieren Sie typische Punkte. Zu b) Bestimmen Sie die Funktionsvorschriften für die beiden Parabeln. Ermitteln Sie auch die Normalform der Funktionsvorschrift und prüfen Sie die Schnittpunkte mit der y-achse. Zu c) Bestimmen Sie eine Funktionsvorschrift. 1. Eine Parabel geht durch S(-2/3) und den Punkt P(1/21). 2. Auf einer Parabel liegen die Punkte A(2/-1), B(0/1), C(3/-5). Zu d) Skizzieren Sie die Grafen zu 1. f(x) = (x - 5)² f(x) = - 2,5 (x + 1)² + 5 Zu e) f(x) = 2 x 2-2 x - 4 Bestimmen Sie Nullstellen, Scheitelpunkt und Schnittpunkt mit der y-achse und skizzieren Sie den Grafen.