ASPEKTE VON WALSH-FUNKTIONEN

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1 ASPEKTE VO WALSH-UKTIOE

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3 IHALTSVERZEICHIS EILEITUG...5. EIÜHRUG...5. PROBLEMSTELLUG ASATZ, METHODE ÜBERBLICK PROGRAMME LITERATUR...9 VORAUSSETZUGE, VEREIBARUGE, BEZEICHUGE.... MEGE UD UKTIOE.... DYADISCHE DARSTELLUG REELLER ZAHLE....3 AORDUGE, TESOR- UD KROECKERPRODUKTE....4 GRUPPE....5 MAßTHEORIE, UKTIOALAALYSIS... RADEMACHER- UD WALSH-UKTIOE.... DEIITIO, GRUDLEGEDE EIGESCHATE.... DIE GRUPPE DER WALSH-UKTIOE AU DEM EIHEITSITERVALL DUALITÄT EDLICHER DYADISCHER GRUPPE DUALITÄTSTHEORIE EDLICHER UTERGRUPPE VO WALSH-UKTIOE DYADISCHE GRUPPE Grundlagen Bemerungen und Beispiele: DUALITÄT VO UTER- UD AKTORGRUPPE, HOMOMORPHISME UD ADJUGIERTE ABBILDUGE Grundlagen Bemerungen und Beispiele DER SHIT-OPERATOR Der Shift auf dyadischen Intervallen Adjungierte des Shifts Shift-invariante Anordnungen Problem B Die Sequency-Anordnung Ein - und Zweidimensionale Walsh-untionen UKTIOE UD OPERATORE AU EDLICHE DYADISCHE GRUPPE UKTIOE UD MAßE AU EDLICHE DYADISCHE GRUPPE Definitionen, grundlegende Eigenschaften ormen, Operatoren, Dualität altung Unter-, ator- und Produtgruppen Basen auf untionenräumen über dyadischen Gruppen, Koordinaten LITS VO GRUPPEHOMOMORPHISME Grundbegriffe Einschränungs- und ortsetzungsoperatoren I Verallgemeinerte Inverse Tensorprodute und Lifts WALSH-TRASORMATIO AU EDLICHE DYADISCHE GRUPPE GRUDLAGE Definitionen, Hauptsätze Walsh-Transformation von linearen Abbildungen Walsh-Transformation auf Unter-, ator- und Produtgruppen WT und Gruppenhomomorphismen Koordinaten-Darstellung der WT von Operatoren WALSH-PALEY-TRASORMATIO WPT und Tensorprodute, WHT Schnelle WPT EISCHRÄKUGS- UD ORTSETZUGSOPERATORE II Problemstellung Inlusion, Projetion Shift WALSH-TRASORMATIO EIIGER UKTIOE UD OPERATORE WPT von Betrag, orm, Hamming-untion. Polynome, Vielfalt Komplexe Exponentialfuntionen Haar-untionen...7

4 5.4.4 WPT zylischer Translationsoperatoren ALTUGSOPERATORE Approximierende Einsen Bestapproximation durch dyadische altungsoperatoren Gibbs-Ableitungen AWEDUGE BEGRIE DER HARMOISCHE AALYSIS AU DEM DYADISCHE KÖRPER Der dyadische Körper Klassische untionenräume auf dem dyadischen Körper Testfuntionen Distributionen ZUSAMMEHAG MIT DER EDLICHE WALSH-TRASORMATIO Schneiden und Kleben Sampling und die Shah-Distribution Das Abtast-Theorem...9 LITERATURVERZEICHIS...95 AHAG A MATLAB-UKTIOE...98 AHAG B BEWEISE... AHAG C DEMO.DOC...6

5 Einleitung 5 GRUDLAGE Einleitung. Einführung Walsh-untionen entstehen als Produte von Rademacher-untionen. Sie sind periodische Rechtecfuntionen, die nur die Werte ± annehmen, und ihre Einschränung auf das Einheitsintervall bildet ein vollständiges Orthonormalsystem. Bezüglich der Multipliation von untionen bilden sie eine Gruppe; analog zur lassischen ourier-transformation läßt sich eine Walsh-Transformation angeben, von der es schnell berechenbare Varianten gibt, die ohne eigentliche Multipliation ausommen und daher der lassichen ouriertransformation um ein Vielfaches an Berechnungsgeschwindigeit überlegen sind. Auf Grund dieser Eigenschaften läßt sich (zu Recht) vermuten, daß Walsh-untion dort verwendet werden, wo auch die ourier-transformation eine große Rolle spielt: bei der Analyse und Synthese (digitaler) Signale hier ist der eingeschränte Wertebereich der Walsh-untionen mitunter von Vorteil, in der Mustererennung, der Datenompression urz: im signaltheoretischen Zusammenhang. Doch auch in der Codierungstheorie und Kryptographie [Terras], beim Testen logischer Schaltreise[al] und bei der Klasifiation boole'scher untionen [Lechner] spielen Walsh-untionen eine Rolle womit die Menge der Anwendungen bei weitem nicht erschöpft ist (genetische Algorithmen!), aber vielleicht die Geduld des Lesers, der von der Anwendbareit mathematischer Resultate schon gehört hat. (icht nur) für einen Überblic über technische Anwendungen sei das Buch von [Harmuth] empfohlen; des weitern wird auf die unter.6 angeführte Literatur und die Bibliographie verwiesen. Walsh-untionen wurden durch die Arbeiten von Walsh [Walsh] und Paley [Paley] unter Mathematiern beannt; ine [ine,] behandelte sie erstmals als Objete der Harmonischen Analysis. Sie lassen sich als einfachste Spezialfälle von Vilenin-untionen [V], insbesondere von Chrestenson-untionen [chr] ansehen. Wer sich mit Walsh-untionen beschäftigt, wird durch die Vielzahl ihrer Anordnungen, also verschiedenen umerierungen, überrascht: Es gibt (die Bezeichnungen sind nicht eindeutig) Hadamard-, Paley-, Sequency- Anordnungen, auch die Kaczmarz-Anordnung wird verschiedentlich erwähnt, in [Maquisi] ist von einer harmonischen Anordnung die Rede. Ein weiterer Anordnungs-Vorschlag ist durch den Begriff der Vielfalt einer Walsh-untion ([Liedl],[Weiß]) gegeben. Ein Motiv dieser Arbeit war, diese Anordnungen systematisch zu untersuchen.. Problemstellung Im Zuge meiner Beschäftigung mit Walsh-untionen stellten sich mir folgende ragen: () Warum ist die Paley-Anordnung so gut? Gemeint ist: ragen im Rahmen der Harmonischen Analysis (Konvergenz, Approximation, altungserne) werden zumeist für das System der Walsh-Paley-untionen beantwortet. Dieses untionensystem scheint also besonders günstige Eigenschaften zu besitzen. Aber: Im Gegensatz zur reellen Analysis existieren auf der dyadischen Gruppe (siehe 3.) viele Untergruppen und viele Automorphismen und damit viele möglichen Anordnungen. Könnte es sein, daß eine (möglicherweise noch nicht beannte) Anordnung sich als analytisch günstiger erwiese? Oder aber umgeehrt: Wodurch zeichnet sich die Walsh-Paley-Anordnung unter allen möglichen Anordnungen aus? In der ourier-analysis existiert auf natürliche Weise die requenz (die Gruppe der Charatere, also die der omplexen Exponentialfuntionen, wird isomorph auf abgebildet da gibt es (bis auf ormierung) nur eine Möglicheit) als Ordnungsparameter; nicht so auf der dyadischen Gruppe. () Wie ommt es zu den merwürdigen Bildern von Walsh-untionen (siehe Titel, Abbildung 6,Abbildung 7Abbildung )? Was ist die dahinter liegende Strutur? Walsh-untionen (zumindest für pratische Berechnungen) werden reursiv erzeugt (schnelle Walsh-Transformation,WT siehe 5..) - dies ist für endliche abelsche Gruppen allgemein eine Konsequenz aus der Poissonschen

6 6.3 Ansatz, Methode ormel (siehe [Cairns]). ür manche Anordnungen von Walsh-untionen gibt es aber noch zusätzliche Ordnungsstruturen, wie die Bilder nahelegen. (Hadamard-angeordnete Walsh-untionen liefern andere Bilder (siehe Abbildung 8). (3) Was ist eine dyadische Ableitung? Dieses von Gibbs [GM] eingeführte Konzept wurde bei der Analyse logischer untionen mit Erfolg verwendet [TD] und im weiteren von [BuWa,] auf untionen auf dem Einheitsintervall beziehungsweise auf ausgedehnt. Der Konstrution nach ein (Pseudo-) Differential-Operator ([SC]), fehlt doch eine anschauliche Deutung (vgl. [BuWa], [Engels]). Der Zusammenhang mit den vorherigen ragen ergibt sich aus dem Konstrutionsprinzip: in Analogie zum reellen all erwartet man von einem Differentialoperator, daß die hohen requenzen eines Signals verstärt werden. Doch was ist eine requenz? Tatsächlich erweist sich, wie mir im Lauf der Untersuchungen deutlicher wurde, der Sequenzbegriff (vgl. [Pichler]) als Bindeglied zu lassischen ragestellungen, dessen Bedeutung über die reine Definition hinausgeht: An mehreren Punten dieses Textes selbst wenn eine Sequenz-Anordnung gefragt ist werden bei Berechnung reeller oder zylischer untionen bzw. Operatoren Sequenz-Methoden verwendet(5.4.,5.4.4,5.5.3). Dieser Begriff ist unscharf, es fällt aber auf, daß an der ahtstelle zwischen reellen und dyadischen Methoden stets dieselben Methoden verwendet werden. Eine Möglicheit, diese ragen zu beantworten, entsteht aus der Beobachtung, daß in die Konstrution der Walsh-untion eine Operation eingeht, deren Eigenschaften sich dann in den Walsh-untion wiederfinden: Dehnung um den ator, formal beschrieben als Shift-Operator (siehe.,3.4). Er hat anschauliche Bedeutung, läßt sich reell interpretieren Shift-Invarianz hat pratische Bedeutung: Dehnungen einer untion (um den ator ) sollen sich in der Walsh-Transformation einer untion wiederfinden. Tatsächlich läßt sich der Shift als Mutter der Multipliation auf dem dyadischen Körper deuten (6..). Dies ist eine Umehrung der Praxis etwa in [Ta], und von diesem Standpunt auch eine gelinde Einschränung aber wie es sinnvoll erscheint, die Multipliation auf als natürliche ortsetung der Multipliation natürlicher Zahlen verstehen zu önnen, ann auch die Interpretation der dyadischen Multipliation als distributive ortsetzung des Shifts vielleicht erhellend sein. Dies aber geht weit über das Thema dieser Arbeit hinaus. Inludiert sind Untersuchungen zur Bedeutung des Shifts bei D/D-Signalen und deren Zusammenhängen..3 Ansatz, Methode Dieser Text beschäftigt sich vorwiegend mit der Harmonischen Analysis auf endlichen dyadischen Gruppen. Der Begriff der dyadischen Gruppe wird meines Wissens in der Literatur nicht verwendet, soll aber ein vereinheitlichendes Konzept bieten: Verschiedene Anordnungen, ein - und zweidimensionale Gruppen lassen sich so mit einem Begriff behandeln. (Das Konzept ist nicht auf den endlichen all beschränt, wird aus Gründen des Umfangs der Arbeit aber nur für diesen erläutert.) Zu den weiteren Begriffen: Harmonische Analysis: Gemeint ist ein abstraterer Blicpunt auf die zu untersuchenden Phänomene. Die Standardliteratur ([SWS], [GES], [Ta]) untersucht die Walsh-untion in Analogie zum reellen all, und es gibt auch viele Gemeinsameiten, die das rechtfertigen. Da hier ansatzweise versucht wird, den Ursachen für einige dieser Gemeinsameiten auf die Spur zu ommen, muß anders vorgegangen werden: Welche Struturen verbinden die abstrate dyadische Gruppe mit der reellen Analysis? Endlicheit: Die meisten der im gegebenen Zusammenhang wesentlichen ragen lassen sich bereits an endlichen Objeten untersuchen: Zwar wird einiges omplizierter (Abschneide-Effete), aber in der Signaltheorie auftretende Objete sind oft ebenfalls endlich. Auch önnen so Konvergenz- bzw. Existenzprobleme zunächst beiseite gelassen werden. Schließlich stellt sich heraus, daß Walsh- untionen in einem sehr weitgehenden Sinn endliche Objete sind. (Testfuntionen, siehe 6..3). Insofern ist die Einführung von Distributionen im letzten Kapitel ein Widerspruch zu dieser Behauptung (sie sind Linearfomen auf endlich beschreibbaren untionen) ihre Interpretation als Maße, L p -untionen etc. ist dann freilich ein lassisches Thema der Analysis.

7 Einleitung 7.4 Überblic Im ersten Teil der Arbeit werden die von den (endlich vielen) Rademacher-untionen erzugten untionen (die Walsh-untionen) als abelsche Gruppe identifiziert, deren natürlicher Definitionsbereich mit Ÿ oder sogenannten dyadischen Intervalle gegeben ist. Auch für diese besteht eine natürliche Gruppenstrutur; geschrieben als dyadische Addition, zwischen den beiden Gruppen besteht eine orm von Dualität, die sich im Satz von Pontrjagin ausdrüct. (Tatsächlich ist auch die endliche Gruppe der Walsh-untionen einem Produt von (Kopien von) Ÿ isomorph; die Pontrjagin-Dualität in diesem all ein Ausdruc der Dualität endlichdimensionaler Ÿ -Vetorräume.). Als nahe liegende Verallgemeinerung werden dyadische Gruppen eingeführt, für die die Grundbegriffe der Harmonischen Analysis zusammmengestellt werden (.,.3). Als Verallgemeinerung der verschiedenen erwähnten Anordnungen von Walsh-untionen wird der Begriff der dyadischen Indizierungen einer dyadischen Gruppe benutzt. Diese Indizierungen önnen in vernünftiger Weise auf Unter-, ator- und Produtgruppen dyadischer Gruppen fortgesetzt werden; auf diese Weise erhält man Indizierungen, die sich bei Einschränungen oder Einbettungen gutartig verhalten. Insbesondere erhält man für die Gruppen Ÿ das Konzept der Ÿ -stabilen Anordnung (siehe 3.3.). Der Shift-Operator läßt sich nicht für beliebige dyadische Gruppen erlären. ür dyadische Intervalle und auf Ÿ wird seine Wirung untersucht. Der Versuch, dyadische Indizierungen nach ihrem Verhalten unter Shift zu lassifizieren, führt auf Shift-invariante- Anordnungen (ein etwas mißverständlicher Ausdruc), oder auf dyadische Indizierungen, die sich unter Wirung der Inversen des Shifts (auf endlichen Gruppen eigentlich nicht existent, aber als Einschränung wohldefiniert) gut verhalten. Die Walsh-Paley-Anordnung zeichnet sich durch gutes Verhalten unter beiden Operationen aus (Korollar 3.3). Als wichtiges Beispiel Shift-invarianter Anordnungen wird in die Sequency-Anordnung der Walsh-untionen behandelt. Die Bedeutung des Shifts beim Zusammenspiel zwischen eindimesnionalen und zweidimensionalen Walsh-untionen wird in beschrieben. Auch hier spielen die Walsh-Paley- untionen eine ausgezeichnete Rolle(siehe 5..). (ür die im endlichen Kontext eher unüblichen Begriffe ein- und zweidimensional setze ich fürderhin D bzw. D. Der D-all wird in diesm Text als Beispiel für den -D-all gebraucht, er ist auch in der Signaltheorie von Bedeutung und der Matrizenrechnung gut zugänglich.) Im zweiten Teil der Arbeit (Harmonische Analysis auf endlichen dyadischen Gruppen) werden zunächst die grundlegenden untionen und Operatoren auf dyadischen Gruppen beschrieben, neben Translation und altung auch die für den hiesigen Kontext wichtigen Lifts (siehe 4.) von Homomorphismen zwischen dyadischen Gruppen. Es stellt sich heraus, daß die grundlegenden Einschränungs- und ortsetzungsoperatoren für untionen auf dyadischen Gruppen sich als Lifts einfacher Homomorphismen darstellen lassen oder als deren duale Abbildungen. Die benötigten Homomorphismen (es handelt sich um Inlusionen und Projetionen und den Shift) und damit auch ihre Lifts sind beinahe zueinander invers, was durch das Konzept der verallgemeinerten Inversen (vgl.[xsw]) beschrieben werden ann. Daß im all der dyadischen Intervalle diese Lifts als Tensor- bzw. Kronecer-Produte dargestellt werden önnen, hängt mit der Zerlegbareit dyadischer Gruppen in direte Summen ihrer Untergruppen zusammen, also letztlich wieder mit der Vetorraum-Strutur (siehe 3..4). Die Walsh-Transformation und ihre grundlegenden Eigenschaften werden für beliebige endliche dyadische Gruppen erlärt; auf die Besonderheiten der Walsh-Paley-Transformation wird in 5. eingegangen: Hervorgehoben seien die Tensorprodut-Eigenschaft und die schnelle Berechenbareit (WPT, ast Walsh-Paley-Transform). Daß diese besondere Berechnungsmethode auch eine anschauliche Deutung der WPT erlaubt, wird in 5.. ausgeführt. (Der Grundgedane findet sich in [HL] dargestellt.) Dabei wird auch der Zusammenhang mit den Einschränungs- und ortsetzungsoperatoren disutiert. Die Analyse des Verhaltens dieser Operatoren unter verschiedenen Varianten der Walsh-Transformation läßt wieder die Bedeutung Shift-invarianter Anordnungen erennen. Der folgende Abschnitt stellt die Walsh-Transformierten einiger einfacher untionen und Operatoren vor. Dabei ergibt sich bei der Behandlung der Walsh-Transformation der omplexen Exponentialfuntionen (5.4.) wieder ein Zusammenhang mit der Sequency-Anordnung: Das Betragsmaximum der Walsh-Transformation einer omplexen Exponentialfuntion wird bei einer Walsh-untion angenommen, deren Sequenz-Parameter in engem Zusammenhang mit der requenz der Exponentialfuntion steht (satz Satz 5.7). In einem gewissen

8 8.5 Programme Sinn (siehe 5.5.) sind diese untionen Bestapproximationen an die durch die omplexen Exponentialfuntionen gegebenen zylischen altungsoperatoren. Auch dort werden für die Berechnung der Walsh-Transformation Sequency-Methoden verwendet. Die Behandlung dyadischer altungsoperatoren in 5.5 soll einerseits den Zusammenhang mit grundlegenden ragestellungen der Harmonischen Analysis zumindest andeuten: Approximation, Konvergenz, Charaterisierung von untionen durch ihre Walsh- Transformation. Andererseits wird damit ein Hintergrund für einige dieser Arbeit beigefügten MATLAB-untionen bereitgestellt: Viele wichtige altungsoperatoren sind über ihre Walsh-Transformation erlärt; für verschiedene Anordnungen der Walsh-untionen erhält man so auch verschiedene altungsoperatoren. Der umfangreichen Aufgabe der Disussion dieser Operatoren entziehe ich mich (für viele Resultate önnen [SWS],[GES],[Ta] onsultiert werden). Statt dessen besteht die Möglicheit, diese Operatoren im Rahmen numerischer Experimente zu visualisieren (wozu dringend aufgefordert wird), einige Werzeuge finden sich auf dem dieser Arbeit beigelegten Datenträger. Dies gilt insbesondere für die in [Pearl] vorgeschlagene Möglicheit, zylische altungsoperatoren durch dyadische zu approximieren. Die grundlegenden Ideen werden in 5.5. urz vorgestellt. Überraschender Weise findet sich als Bestapproximation an den endlichen zylischen Ableitungsoperator ein der Butzer-Wagner-Ableitung (siehe [BuWa], [BuWa], [Engels]) sehr ähnlicher Operator (Satz 5.) mit besonders einfacher Walsh-Transformation für die Walsh-Sequnecy-Anordnung! Die Theorie dyadischer Ableitungen wird nur angerissen, auf ihre Bedeutung wird in einer Weise eingegangen. Der abschließende dritte Teil dieser Arbeit (Kapitel 6) soll an die nicht endliche Theorie anschließen: Wie önnen die Objete der Harmonischen Analysis auf endlichen dyadischen Gruppen in die allgemeine Theorie eingepaßt werden, und: Wie lassen sich nichtendliche Objete (im allgemeinen: Distributionen) durch untionen auf endlichen dyadischen Gruppen approximieren? Dazu werden zunächst in 6. Resultate der Harmonischen Analysis auf dem dyadischen Körper (dies ist die geeignete Verallgemeinerung) vorgestellt; die Darstellung entlehnt Resultate aus [Ta] und verwendet einen dem in [ei] Vorgestellten ähnlichen Ansatz: Resultate werden auf einem leinen Raum von Testfuntionen beschrieben und durch Dualität auf den großen Raum der Distributionen fortgesetzt. ür die angegebene Zwece der Approximation auf endlichen dyadischen Gruppen ist der Begriff der Regularisierung einer Distribution ([Ta]) zentral. Dadurch werden Distributionen durch loal onstante = bandbegrenzte (!, Satz 6.8) untionen angenähert; deren Einschränungen auf Kugeln lassen sich als auf endlichen dyadischen Gruppen erlärte untionen ansehen. Umgeehrt lassen sich durch Zusammensetzen die ursprünglichen Distributionen beliebig gut annähern (und auch deren Walsh-Transformationen). Eine andere Art der Approximation stetiger untionen besteht im Abtasten ihrer untionswerte: Auf dieses Sampling und das Abtast-Theorem wird in 6..3 eingegangen. Dieser letzte Teil des Texts stellt höhere begriffliche Anforderungen als die vorangehenden: Hier müssen Ergebnisse aus der untionalanalysis, der Maßtheorie und der Harmonischen Analysis vorausgesetzt werden..5 Programme Auf dem dieser Arbeit beigefügten Datenträger finden sich MATLAB-untionen, die verschiedene Aspete dieses Textes illustrieren oder ergänzen sollen: Die meisten dieser untionen sind experimentell, soll heißen, nicht auf Geschwindigeit/Speicherplatz/Benutzerfreundlicheit optimiert. (Die Annahme ist zumeist: ein richtiger Aufruf eines Programms produziert ein gültiges Resultat; ob ein falscher Aufruf einen ehler (zumeist) oder ein falsches Resultat liefert, ist nicht garantiert.) Zentral sind die untionen zur Walsh-Transformation: wp.m liefert die Walsh-Paley-Transformation für D-untionen, wp.m erzeugt die WPT für D-untionen. Die untionen wt.m und wt.m erlauben die Angabe einer Umordnungsmatrix (siehe (5)), womit die Walsh- Transformation für Shift-invariante Anordnungen berechnet werden ann. Informationen über diese und weitere untionen finden sich im Text. In Anhang A werden einige dieser untionen doumentiert. Eine Variante dieses Anhangs ist auf dem Datenträger verfügbar ( Anhang_A.doc ). Auf einem Windows-System, auf dem MS-Word und MATLAB installiert sind, besteht die Möglicheit, aus dem geöffneten Doument MATLAB aufzurufen und Berechnungen durchzuführen. ähere Information dazu findet sich in Anhang A. Die Datei demo.doc auf dem Datenträger enthält einige Demo-Programme, insbesondere Informationen zum Umgang mit dem walshlab-programmpaet.

9 Einleitung 9.6 Literatur Der Großteil dieser Arbeit verwendet nur elementare mathematische Methoden, hauptsächlich der linearen Algebra. Auf Grund des durch Einführung dyadischer Gruppen und Indizierungen etwas ungewöhnlichen Blicwinels auf wohlbeannte Objete lassen sich viele Textstellen nicht diret durch Verweise auf Literatur zur dyadischen Harmonischen Analysis belegen. atürlich ann (und soll) auf Standardwere zur Harmonischen Analysis auf loalompaten abelschen Gruppen hingewiesen werden: [HR,], [Reiter], [Ru ], [Loomis]. Jedes nicht belegte Resultat zur Harmonischen Analysis auf dyadischen Gruppen in diesem Text läßt sich dort (in wesentlich allgemeinerem Zusammenhang) finden. Auch in [Ta] finden sich viele entsprechende Ergebnisse. Ein Buch, das die grundlegenden Tatsachen der Harmonische Analysis auf endlichen Gruppen in einem für das Verständnis dieses Texts leicht ausreichenden Ausmaß behandelt.und dabei nur elementare technische Anforderungen stellt, ist [Terras]. Ich verweise für Ergebnisse der Harmonischen Analysis vorzugsweise darauf. Textbücher zur linearen Algebra gibt es in großem Ausmaß. Tensor-Produte werden etwa in [ar] behandelt. Schließlich seien die Standardwere zur Walsh-ourier-Analysis genannt: [SWS], [GES], [Ta]. In allen drei Weren findet sich ein Beweis des berühmten Carleson-Hunt-Theorems über die L - Konvergenz von Walsh-ourier-Reihen. Das letzgenannte Wer enthält die wichtigsten Tatsachen zur Harmonischen Analysis auf dem dyadischen Körper; insbesondere wird auf die multipliative Strutur (Mellin-Transformation) eingegangen und eine Theorie spezieller untionen entwicelt (siehe dazu auch [SaTa]). Die beiden ersten Were onzentrieren sich auf dyadische Analysis auf der ompaten dyadischen Gruppe; insbesondere [SWS] ann als detaillierte Zusammenfassung des Wissens über Walsh-untionen gelten. [Ta] und [GES] behandeln allgemeiner Harmonische Analysis auf p- adischen bzw. p-series (eine deutscher Begriff ist mir nicht beannt) Gruppen. In diesem Zusammenhang sei auf [V],[Chr] verwiesen. ür Anwendungen etc. sei auf [ER] verwiesen, des weiteren auf [Maquisi], [Harmuth], [Beau]. In der deutschsprachigen Literatur ist in den letzten Jahren das Buch von [Gauß] erschienen, das viele Beispiele, insbesondere zur Sequenz-Anordnung von Walsh-untionen, enthält und einige der hier behandelten Themen von einem etwas omreteren Standpunt aus behandelt. Siehe dazu auch die Verweise im Text.

10 . Dyadische Darstellung reeller Zahlen Voraussetzungen, Vereinbarungen, Bezeichnungen Hier sollen einige in der Arbeit verwendete otationen zusammengefaßt werden; die benötigten Begriffe aus der linearen Algebra werden in 3.. zusammengestellt.. Mengen und untionen Das Symbol für Mengeninlusion ist Õ, bei Ausschluß der Gleichheit Ã. Es seien Õ õ,,, q, Ÿ die Menge der ganzen # bag bezeichnet. Schreibweise für Urbilder von untionen: - õ o t - bzw. f < 5 õox fbxg < 5t = f db- ; 5gi. x X X :, x Œ. RST, x œ X l : Æ q, o : Æ # π endlicht < Zahlen, Ÿ - die negativen ganzen Zahlen,, die reellen bzw. omplexen Zahlen, bezeichnet die nichtnegativen reellen Zahlen. Die Mächtigeit einer Menge A wird mit f Œ A f A = x f x Œ A Die Indiatorfuntion von X Õ W ist c B A õ f B A bbg A õ f B A f untionen auf endlichen Mengen werden oft mit ihren Koordinatenvetoren identifiziert: d i f = f x = : f. xea x x Œ A l. Dyadische Darstellung reeller Zahlen Sei x Œ ; x : = supmn Œ Õ n xr heißt Gaußlammer oder größtes Ganzes leiner gleich x. ür Œ Ÿ ist - x : = ( x ): = x mod Œ Ÿ die Projetion auf die -te Binäromponente von x.  Œ Ÿ x heißt dyadische Darstellung von x. alls die dyadische Darstellung von x abbrechend ist, heißt x dyadisch rational. Die dyadisch rationalen Zahlen bezeichne ich mit. Die dyadische Darstellung einer reellen Zahl besteht also aus ihrer im ichteindeutigeitsfall endlichen Binärentwiclung. - eÿ j Õ { ŒŸ Æ - } õ x = x x Œ Ÿ, lim x Ÿ Ÿ heißt dyadischer Körper. (Eine Begründung dafür findet sich in 6..) Auch dort sei : x x die Projetion auf die -te Komponente von x. Allgemeiner setze : Æ Ÿ ; x x, A à Ÿ A A. Ÿ A wird für A Õ Ÿ, #ea» Ÿ j < als Teilmenge von betrachtet, a aœa insbesondere seien Õ Ÿ õmx Œ x = " r, a: b o t Ÿ Õ õ o x Œ x = " t, m Œ = < - + > r. Ÿ õ x Œ x = " œ a; b Ÿ Ÿ õ x x, Mitunter werden die Elemente von Ÿ mit natürlichen Zahlen identifiziert. sind die endlichen bzw. auf Eins endenden dyadischen olgen. { j j } * m r o Æ t õ x Œ limæ x = und õ x Œ lim x =, º x õ z Œ z = x, j heißt dyadische Kugel (dyadisches Intervall) der Länge - um x; º õ º -. Analog werden dyadische Intervalle auf definiert; sie bestehen aus jenen dyadischen olgen, die bis zur -ten Komponente mit x übereinstimmen. Insbesondere ist Ÿ Õ =º. ür die Indiatorfuntion dyadischer Kugeln schreibe D m c õ º m. Einfach aber nützlich ist

11 Voraussetzungen, Vereinbarungen, Bezeichnungen at.: Zwei dyadische Intervalle (auf oder ) sind entweder disjunt, oder eines ist im anderen enthalten. - Ÿ  x ŒŸ : Æ +, x Œ + heißt Betrag von x, f:, Æ x x ŒŸ heißt ine'sche Abbildung. = " Œ + Betrag und ine'sche Abbildung sind beinahe zueinander invers: f ist injetiv, surjetiv, f x x x d i = f x x nur für x * Œ \. Weiters ist = f., aber Mit der der omponentenweisen Ÿ -Addition -Multipliation ist ein Ÿ -Vetorraum, die dyadische Addition auf wird bei Verwechslungsgefahr mit + bezeichnet. ür dyadische Intervalle ist º x º n = n + x. Die Elemente e õbd i g iœ Ÿ Œ werden als Standardbasis von bezeichnet (das ist eine Hamel-Basis!). Der Betrag induziert eine Metri auf, bezüglich der die Addition stetig ist - vgl Die Abbildung S: Æ ; Sx õ - x heißt (Rechts-)Shift auf. Offensichtlich ist der Shift bijetiv, also ist die inverse Abbildung definiert und damit S, Œ Ÿ. Es ist Sx = x, x Œ..3 Anordnungen, Tensor- und Kronecerprodute Eine Anordnung einer Menge X ist eine Bijetion einer Teilmenge von Ÿ auf X. - o t e j Vereinbarung: Auf Ÿ wird stets die lexiographische Anordnung verwendet:, - Æ Ÿ ; x õ f ; die Elemente von Ÿ werden also nach wachsenden Beträgen geordnet. So werden untionen auf Ÿ auf diese Weise mit Vetoren in b xgx ŒŸ c h identifiziert: f = f = f, f,, f. Allgemeiner werden für angeordnete Mengen A Vetoren und Matrizen über der Indexmenge A erlärt. Seien V,W beliebige Mengen, f : V Æ, g: W Æ. f ƒ g: V W Æ ; v, w ; f v g w heißt Tensorprodut der untionen f, g. (Dieses Produt ist i.a. nicht ommutativ.) - Das Kronecerprodut zweier Matrizen A Œ M, B Œ M ist erlärt als A ƒ B HG a B a nb M J Œ a B a B õ m mn I K mp nq. m n p q Der Zusammenhang zwischen Tensor- und Kronecerprodut ergibt sich für untionen auf einem Ÿ M f : Ÿ Æ, g: Ÿ Æ. Dann ist f ƒ g x y = f ƒ b ; g g ŒŸ +M ŒŸ e a a b b Œ j M Ÿ b x, y g, wie folgt: Sei wird also auf Ÿ +M (bzw. Ÿ +M ) die lexiographische Ordnung eingeführt, und werden untionen mit ihren Koordinatenvetoren identifiziert, so stimmen Tensor- und Kronecerprodut überein. Zu Tensor- und Kronecerproduten siehe auch 3..4, 4..3, Gruppen G H bedeutet: G Untergruppe von H, H G ist die Menge der Restlassen nach G. ür Elemente g i i A von den Elementen erzeugte Untergruppe. ür untionen auf Unter- bzw. atorgruppen gelten die folgenden Œ aus G sei g i iœa die Vereinbarungen: untionen auf Untergruppen werden trivial auf die Gruppe fortgesetzt, untionen auf atorgruppen werden als auf der Gruppe definiert und auf den Komengen der Restlassen onstant angesehen..5 Maßtheorie, untionalanalysis ür die benötigten Begriffe aus Maßtheorie und untionalanalysis verweise ich auf [Ru-3]. Das Lebesgue-Maß auf wird mit l bezeichnet; Salarprodute von untionen auf durch z f, g õ f g dl. (Man beachte, daß ab Kapitel 3 eine andere Definition für _, _ verwendet wird!)

12 . Definition, grundlegende Eigenschaften Rademacher- und Walsh-untionen. Definition, grundlegende Eigenschaften + x l q + Definition.: Die untion r: Æ -,, x -, Œ Ÿ heißt -te Rademacher-untion. Bemerung: Leider nicht so häufig werden Rademacher-untionen definiert als ~ x rb xg õ - (vgl. [Ta]). Wiewohl offenundig äquivalent zur hier gegebenen Definition, haben die so definierten untionen einige schreibtechnische Vorzüge. Da zumeist die hiesige Definition verwendet wird, habe ich mich für die etwas umständlichere otation entschieden. Beobachtungen: m e j r+ m x = r x ", m Œ Ÿ, die Rademacher-untionen gehen bei Dehnung um den ator ineinander über. r ist reell-periodisch mit primitiver Periode -, º ist ein undamentalbereich von r. d i. Rademacher-untionen sind auf dyadischen Intervallen onstant: r º + x = r x Abbildung : Die Rademacher-untionen r bis r 5 auf [;); weiß=, schwarz=- Die Rademacher-untionen r sind bezüglich des Standard-Salarproduts auf L ; g orthogonal, aber nicht vollständig: ri, rr3 = " i Œ Ÿ, aber rr3 π. Die Menge der Rademacher-untionen muß also geeignet ergänzt bzw. modifiziert werden, um genügend untionen (also etwa alle stetigen oder quadratintegrablen) darstellen (als Summe oder Reihe oder Integral der Basisfuntionen) zu önnen. Zwei Möglicheiten bieten sich an: Geeignet zurechtgestutzte Rademacher-untionen - nämlich die auf ihren undamentalbereich eingeschränten untionen r D - und ihre Translate bilden bei geeigneter ormierung eine Orthonormalbasis von L d ; gi - die Haar-untionen. Haar- untionen werden etwa in [ER], [GES], [SWS], behandelt; in [Vi] werden die Haar- bzw. Walsh-untionen zu sogenannten Walsh-Atomen verallgemeinert. Wird das System der Rademacher-untionen um die - nicht darstellbaren - Produte von Rademacher-untionen erweitert, entsteht eine multipliativ abgeschlossene untionenmenge, die bei geeigneter ormierung zumindest auf den dyadischen Kugeln ein vollständiges Orthonormalsystem bildet (siehe Satz., (6.6)): Definition.: Walsh-untionen sind (endliche) Produte von Rademacher-untionen. Die Menge der Walsh-untionen auf wird mit ~ b g bezeichnet. Es wird sich im Lauf der Disussion (siehe Kapitel 6) als nützlich erweisen, die hier gegebene Endlicheitsforderung etwas aufzuweichen: Welche (unendlichen) Produte von Rademacher-untionen lassen sich sinnvoll erlären? Der Wert von  Œ x a A a aœaõÿ ra x = - ist nur definiert, wenn die Summe  Œ wenn sup a Œ A a <. Also a A a x für jedes x Œ endlich ist; das ist genau dann der all,

13 Rademacher- und Walsh-untionen 3 n s. Definition.3: Die Menge der verallgemeinerten Walsh-untionen ist ~ õ ra A à Ÿ, supa A a < a A Œ (Die verallgemeinerten Walsh-untionen sind die Vervollständigung von ~ b g bezüglich einer geeigneten Topologie, vgl. Kapitel 6. ) Die hier eingeführten Walsh-untionen, ihre Eigenschaften und ihre Anwendbareit für Probleme der Signal- und Bildanalyse sind Œ der Gegenstand dieses Textes. Zunächst seien einige Beobachtungen festgehalten: Die Walsh-untion r r, M < < M ist periodisch mit undamentalbereich º und onstant auf den Mengen º M +b yg. Eine verallgemeinerte Walsh-untion r a ist genau dann periodisch, wenn inf a > -, d.h. wenn sie in liegt. Es ist rl + rl + x = r r x < < aœa l e j, M M M. (.) ~ b g und ~ bilden ommutative multipliative Gruppen, neutrales Element ist die onstante untion, jedes Element (bis auf das neutrale) ist von der Ordnung. aœa ~ Abbildung : Die von den Rademacher-untionen r, r, r3 erzeugten Walsh-untionen; die Zahlen lins geben die Rademacher-untionen an, deren Produt die Walsh-untion ist. Es ist diese letzte Eigenschaft, die es ermöglicht, ein zur Theorie der ourierreihen bzw. der ouriertransformation weitgehend analoges Begriffsgebäude zu errichten, wobei die Walsh-untionen gerade die Rolle der omplexen Exponentialfuntionen einnehmen. Gewisse Untergruppen von ~ seien eigens bezeichnet: ~ õ r, õ ~ l l, n õ r, r+,, rn-, õ r,, r -. Jede endliche Untergruppe von ist in offensichtlich einem enthalten. ür viele Anwendungen, gerade in der Signaltheorie, ist es möglich oder nötig, sich auf die Analyse von Signalen (untionen) mit ompatem Träger oder sogar auf disrete bzw. loal onstante untionen zu beschränen. Der Text wird sich mit Walsh- untionen auf endlichen Mengen befassen; dieser Definitionsbereich liegt ja den meisten pratischen Rechnungen zugrunde. Hier önnen die verwendeten Begriffe mit den elementaren Methoden der linearen Algebra erlärt und zunächst ohne Betrachtung von Konvergenzproblemen erörtert werden.. Die Gruppe der Walsh-untionen auf dem Einheitsintervall Zunächst sollen Walsh-untionen auf dyadischen Intervallen betrachtet werden. ach den obigen Beobachtungen hat eine Walsh- untion genau dann Periode -, wenn sie in liegt. ach (.) genügt es, sich auf das Einheitsintervall zu beschränen. Satz. : Die Walsh-untionen sind auf L ; g orthogonal. Beweis: Wegen der Gruppeneigenschaft genügt es, zu zeigen, daß das Integral einer nichtonstanten Walsh-untion über dem Einheitsintervall verschwindet: Sei w = r r, < < <. Dann ist l s

14 4 3. Dualitätstheorie endlicher Untergruppen von Walsh-untionen Mit der Substitution z = x wird dieses Integral zu z s e j e j ; ; s r r x dl = r x r x dl. g z z z - - ; ; g s s r z r z dl = r z r z dl, j e j e j g die Gleichheit folgt aus der Periodizität der Rademacher-untionen. Da i - > " i >, also bis auf die erste alle im Integranden stehenden Rademacher-untionen sogar Periode ½ haben, läßt sich der letzte Ausdruc auswerten als z e j e j e j e j ; ; z s s r x r x dl - r x r x dl =, g die letzte Gleichheit ergibt sich aus der ½-Periodizität des Integranden. Insbesondere gilt die Orthogonalitätsrelation (ür < M ist r trivial auf º M.) -M z rrl dl = d, l,, l M. º M g Bemerungen:.) Die obige Disussion zeigt, daß sich jede Walsh-untion eindeutig als Produt von Rademacher-untionen schreiben läßt..) Tatsächlich ist eine Orthonormalbasis von L ; g, siehe dazu (6.6). Die Orthogonalität bedingt die fundamentale Approximationseigenschaft : Satz.3 : Sei f Œ L ; g, W õ w,, w n Õ. Die Orthogonalprojetion f PW f õ  f, w i w i. liefert das eindeutig bestimmte Element leinsten L -Abstands von f aus W. Die Orthogonalprojetion ist stetig und linear. n i= DUALITÄTSTHEORIE EDLICHER DYADISCHE GRUPPE 3 Dualität endlicher dyadischer Gruppen 3. Dualitätstheorie endlicher Untergruppen von Walsh-untionen ach den Bemerungen in. sind die Walsh-untionen in n º n x gilt: genau jene mit undamentalbereich in º und den Komengen als Konstanzintervallen. Auf Grund der Äquivalenz wbxg = wb yg " w Œ rbxg = rb yg, < x i = yi, i =,, x Œ b yg Satz 3.: Die Walsh-untionen in sind auf den dyadischen Intervallen º º (3.) bxg onstant. Sie sind also nur von den ersten Binäromponenten von x abhängig - eigentlich auf Ÿ (oder auf den dyadischen Intervallen der Länge -, siehe 3., Beispiel 3) definierte untionen: Erlärt man die (dyadischen) Rademacher-untionen auf Ÿ als l q e j r : Ÿ j j x + Æ ± ; x -, < und die davon multipliativ erzeugten Gruppen õ r,, r - bzw. n õ r,, rn -, n, deren Elemente y wieder Walsh-untionen (auf Ÿ ) heißen mögen, dann ist durch r Gruppen und erlärt. Ist w das Bild von y Œ unter diesem Isomorphismus, gilt: r ein (der anonische ) Isomorphismus zwischen den

15 3 Dualität endlicher dyadischer Gruppen 5 mit der in. eingeführten Betragsfuntion. d i c h d i g y x = w x, x Œ Ÿ und w x = y x,, x, x Œ ; Da die auf Ÿ erlärten Rademacher-untionen als Einschränungen der auf Ÿ +, > definierten angesehen werden önnen, läßt sich der Definitionsbereich der Rademacher- und Walsh-untionen auf Ÿ Õ ausdehnen; dann ist mit den obigen Bezeichnungen wbxg = y d r bxgi. Insbesondere ann für M als Teilmenge von M angesehen werden. y ist als Disretisierung von w bei - den Stützstellen x Œº e j, < deutbar, die Äquidistanz der Stützstellen ist eine notwendige orderung! Die Walsh-untionen aus sind nach (3.) puntetrennend auf Ÿ. Insbesondere gilt: ybxg = "y Œ = x Œ Ÿ. = < fi = Es gilt sogar: r x, x. Bereits an dieser Stelle sei angesprochen, was beim Sampling von Walsh-untionen aus \, also der Einschränung ihrer Definitionsmenge auf Ÿ, geschieht: + y Œ fi r y Œ ; fi r y = y, (3.) Ÿ + die Einschränungen von Walsh-untionen auf einen bestimmten Ÿ sind also wieder Walsh-untionen. Umgeehrt ist y r die Menge der Urbilder von y Œ in + unter dem Einschränungsoperator. l, y q Der utzen der abgeänderten Definitionsmenge für die Walsh-untionen zeigt sich bereits bei Einführung von Charateren auf bzw. : Definition 3.: (vgl. [HR],[Ru]): Ein Charater auf einer abelschen Gruppe G ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus b g es j G, + Æ, Ã, S der omplexe Einheitsreis. Die Menge der Charatere wird mit Ĝ bezeichnet. Ĝ ist mit puntweiser Multipliation eine abelsche Gruppe (die zu G duale Gruppe oder Charatergruppe): die zu einem Charater j onjugiert-omplexe untion ist der zu j inverse Charater, die Menge der Charatere ist gegen Produtbildung abgeschlossen. Eine simple Beobachtung ist oft hilfreich: Die dualen Gruppen (algebraisch und topologisch) isomorpher Gruppen sind selbst isomorph: G cg ŒG æææææææ Q ã c H ŒH H (3.3) Dann ist c G = c Q. H Satz 3.: Die Charatere von sind genau die Auswertungsabbildungen d x : y y x, x Œ Ÿ. Analog sind die Charatere von genau die Auswertungsabbildungen d x : w w x, x Œ ;, wobei d Beweis: Die Homomorphiebedingung d y y = d y d y y Œ g x = d auf y Œº bxg. xb g x x,, ist trivialerweise erfüllt, zu zeigen bleibt, daß sich = b + g = bg = für Œ x, ist cbr g = b-g für ein õ ist c b r g = r b xg für alle Rademacher-untionen und damit - wegen der Multiplia- jedes c Œ als Auswertungsabbildung schreiben läßt: Da c y c y y c c x + Œ Ÿ, <. Mit x x tivität der Charatere - für alle Walsh-untionen aus. y +

16 6 3. Dyadische Gruppen Einfaches achrechnen überzeugt von Satz 3.3: Die Abbildung Ÿ : Æ Also ist auch die zu duale Gruppe zu Ÿ isomorph. Die Walsh-untionen erweisen sich damit als Charatere von Ÿ : x d x ist ein Isomorphismus der Gruppen e, j und eÿ, + j, insbesondere ist d x d y = d x+ y " x, y Œ Ÿ. Ÿ Tatsächlich ist jeder Charater y von Ÿ eine Walsh-untion: y y x + y = y x y y " x, y Œ, y Œ. (3.4) x = y x + x = " x Œ Ÿ -, also ist y x y x x r r =,, = - - = x. x x c h e j Satz 3.4: Es ist eÿ, + j = c, h, c, eÿ, + j (3.5) (Die Isomorphie wird durch die in Satz 3.3 angegebene Bijetion d x Diese Relationen legen Ÿ als natürlichen Definitionsbereich der Walsh-untionen nahe. x realisiert.) Das ist der Satz von Pontrjagin für Ÿ. Mit dem dyadischen Translationsoperator auf Ÿ T a f x õ f x + a, x, a Œ Ÿ, f : Ÿ Æ A (3.6) schreibt sich (3.4) als T a bag, a Ÿ, y = y y "y Œ Œ die Walsh-untionen sind Eigenfuntionen aller dyadischer Translationsoperatoren. Eine analoge Disussion für die Charatergruppe von Ÿ M: ergibt: 3. Dyadische Gruppen e e Ÿ j j M: M - Ÿ M - M:, 3.. Grundlagen Die multipliative Gruppe ist zur additiven Gruppe Ÿ isomorph, etwa vermittels der Paley-Anordnung: Ÿ Pal c - + h Ÿ ' m õ m,, m m m ææææææææ Æ r r + Œ. (3.7) Die Bilder von Ÿ unter Pal heißen Walsh-Paley-untionen. Die Paley-Anordnung ist nicht der einzige sinnvolle Isomorphismus zwischen Ÿ und ; in der Literatur werden Sequency- oder Hadamard- Anordnungen von verwendet, siehe dazu hier und (3)) und die dort zitierte Literatur. Andererseits ist nicht nur isomorph zu Ÿ M, auch Produte und atorgruppen von, Ÿ oder die Gruppen Ÿ M: sind allesamt einem Ÿ isomorph und haben demnach (siehe (3.3)) isomorphe Charatergruppen. Um diese älle gemeinsam zu untersuchen, und um die rage zwecmäßiger Anordnungen von Walsh-untionen überhaupt stellen zu önnen, werden die Begriffe der dyadischen Gruppe und der dyadischen Indizierung eingeführt:

17 3 Dualität endlicher dyadischer Gruppen 7 Definition 3.: Eine (endliche) dyadische Gruppe G ist eine zu einem Ÿ isomorphe Gruppe. Die Elemente von Ĝ seien wieder als Walsh-untionen (auf G) bezeichnet. Eine dyadische Indizierung von Ĝ mit H (laxerweise oft: eine dyadische Indizierung H) ist ein Isomorphismus h: H Æ G ; h h h = : y h. Dyadische Anordnungen sind insbesondere dyadische Indizierungen von Ĝ mit Ÿ. Eine duale Paarung ist eine Abbildung H G h H G Æ ; h, g y h, g õ y g, G dyadische Gruppe, H dyadische Indizierung von Ĝ. Die duale Paarung G G Æ ; y, g y g wird als natürliche Paarung von G und Ĝ bezeichnet. \ Bemerungen: H wie in der Definition ist ebenfalls eine dyadische Gruppe. Oft werden die Indizes H,G für duale Paarungen unterdrüct, wenn die beteiligten dyadischen Gruppen und Indizierungen beannt sind. Schreibweise: Zumeist werden bei einer gegebenen dualen Paarung die Elemente einer Gruppe additiv, die der anderen multipliativ geschrieben. Mit den eben definierten Begriffen läßt sich das Problem der zwecmäßigen Anordnungen (Problem A) vorläufig formulieren: ür welche olgen dualer Paarungen y : Ÿ Ÿ, ist stets y y? (3.8) + = Ÿ Ÿ (Dann ist die Indizierung der Walsh-untionen auf unabhängig vom gewählten.) Eine erste Antwort: at 3.5: Die olge der Paley-Anordnungen von ist eine olge zwecmäßiger Anordnungen wie in (3.8). Das ergibt sich diret aus (3.7). Dies ist ein erstes Beispiel für die günstigen Eigenschaften der Walsh-Paley-untionen, weitere finden sich in Beispiel (5)), 3.4., Weitere Einlasssungen auf das Thema zwecmäßige Anordnungen finden sich in Abschnitt 3.3 und 3.4..) Der Satz von Pontrjagin schreibt sich für dyadische Gruppen in der orm Homomorphie, Puntetrennung: y m m G = g y g = y g, h h Œ H, h H G H = h y g = y g, h g Œ G. h H G H, g = g =, y h, G = h = H G H G H ygbh h, g H y G h, g G y H h, g H yg h, g + g= b g b g b + g g= H ygbh, ggh y Gbh, g g r r (3.9) (3.) Mit den analog zu (3.6) erlärten Translationsoperatoren auf G und H schreibt sich die letzte Zeile als T y h, _ = y h, g y h, _, T y _, g = y h, g y _, g " g ŒG, h Œ H, g H G H G H G h H G H G H G die untionen H y G sind Eigenfuntionen aller dyadischen Translationsoperatoren. ür die dyadischen Translationsoperatoren ist T T = T +, die Abbildung a T a ist ein Gruppenhomomrphismus bzw. eine Darstellung der dyadischen Gruppe G (vgl. [HR]). a b a b 3.. Bemerungen und Beispiele: () Zu einer dyadische Indizierung h: H Æ G ; h y h gehört die duale Indizierung h : G Æ H ; g H yg _, g. ( h * ist die zu h adjungierte Abbildung, siehe 3.3.) Das wird stets angenommen. *

18 8 3. Dyadische Gruppen () Jede dyadische Indizierung von Ĝ ist zu einer isomorph via H ' h y Q Œ, Q: Ÿ ææææææ ÆG h. (3) Dyadische Intervalle. Die in 3. eingeführten Gruppen Ÿ sind in mancher Hinsicht als Definitionsbereich für Anwendungen in der Signaltheorie wenig zwecmäßig: Ein disretes Signal ist streng genommen wie in Abbildung 3 (a) darzustellen, wobei man sich in vielen ällen Veranschaulichungen wie in den Teilabbildungen (b), (c) wünschen würde. Dies ist zunächst nur ein ästhetisches Problem (die Darstellungen lassen sich eindeutig ineinander überführen). Betrachtet man aber Veränderungen des Definitionsbereichs eines Signals, verhalten sich die auf Ÿ erlärten untionen in oft nicht erwünschter Weise: Wird f :Ÿ Æ trivial auf Ÿ Ÿ + fortgesetzt, ergibt sich ein Bild wie in Teilabbildung (d), wobei meist ein Verhalten wie in Teilabbildung (e) erwartet wird. Diese Mängel lassen sich durch Einführung geeigneter ortsetzungs- bzw. Einbettungsoperatoren (siehe 4.., 4..4) beheben; wünschenswert ist allerdings eine natürliche Beschreibung. Betrachtet man schließlich die Definition der Walsh-untionen auf Ÿ und Ÿ +,fällt auf, daß strenggenommen zwar + =, aber Ÿ /Õ +, zumindest nicht mit der üblichen Konvention zur trivialen ortsetzung von untionen. Diese Mängel önnen durch die Einführung eines anderen Definitionsbereich für Rademacher- und Walsh- untionen weitgehend behoben werden; die neue Sichtweise ann als omplementär zur bisherigen angesehen werden. (a) (b) (b) (e) (c) (f) Abbildung 3: (a) Die untion f :3, (f) sin p x e j auf :3. = sinep xj auf Ÿ 3, (b) auf 3, (c) f auf 3 ; (d) triviale ortsetzung von f auf Ÿ 4, (e) anonische ortsetzung von f auf Definition 3.3: Die Gruppe dyadischer Intervalle M: ( -M : Träger, - : Auflösung) ist erlärt als õ Ÿ õ M: e j º º, :. õb, M,,,* g = b, M,, g + º geschrieben, wenn eine Unterscheidung M: +: M- Elemente dieser Gruppe werden in der orm x x x x x notwendig ist; bei Elementen aus wird die führende ull oft weggelassen. Die periodische Gruppe dyadischer Intervalle M: ( -M : undamentalbereich, - : Auflösung) ist õ Ÿ + Ÿ, õ M: b- : M- +: e j : ; Elemente von M: werden als x = *, x,, x + º = *, x,, x + º geschrieben, bei wird der führende Stern unterdrüct. Die dyadischen Intervalle M M º L bxg, x Œ M:, M L -, önnen als Teilmengen von M: angesehen werden; für M: wird e b - : M- +: K L õ º L Ÿ + Ÿ als dyadisches Intervall bezeichnet. Die Vetoren der Standardbasis seien auf den dyadischen Intervallen wie auf Ÿ bezeichnet \ j

19 3 Dualität endlicher dyadischer Gruppen 9 Die Gruppen M: und M: (und ihre dyadischen Intervalle) sind zueinander und zu (den dyadischen Intervallen von) Ÿ M: isomorph: Ÿ M: ann als Koordinatenraum angesehen werden. Bemerung: Oft werden Kugeln auf Ÿ so wie auf den dyadischen Intervallen bezeichnet. Ÿ M: p M: x p x+º p M p M p M p M M: b- - + x + º ;M Ÿ Diagramm Mit der üblichen Konvention für auf atorgruppen G V erlärte untionen (sie werden als auf Komengen von V onstante untionen auf G angesehen, vgl..4) entsprechen disretisierten untionen die Teilgraphen (b) und (c) von Abbildung 3, wie gewünscht. Mit dieser Konvention wird die ortsetzung einer untion von auf + wie in Teilgraph (e) erlärt: ortsetzung f x+ º + õ f x+ º + (auf º onstante untionen sind auf allen leineren dyadischen Intervallen onstant). Die dyadischen Gruppen M:M+- önnen als Bilder von unter S M- (S der Shift-Operator) oder als Untergruppen von M+- angesehen werden; die Zusammenhänge zwischen diesen Beschreibungen werden als weitere Bedingung für zwecmäßige Anordnungen (Problem B) im Zusammenhang mit der adjungierten Abbildung (siehe 3.4.) besprochen. x, den Rademacher-untionen auf M:, D M: sei die zu M: duale Gruppe; sie wird von r : M: Æ ; x - +, M + x erzeugt; setze D õ D. Analog ist D õ +, D õd. r : M: Æ ; x -, M + : untionen auf M:. É M: M: : heißen Rademacher- Mit diesen Vereinbarungen (und den Konventionen für das ortsetzen von untionen auf Unter- und atorgruppen) ist D à D, D à D, D à D. M: M:+ M: M:+ M: M-: Das Problem A ( zwecmäßige Anordnungen ) formuliert sich für die Gruppen dyadischer Intervalle in modifizierter orm: Problem A : Seien h : Ÿ Æ D, dyadische Anordnungen. ür welche olgen h h m x+ º = h m x+ º ", m Œ Ÿ, x Œ Ÿ? (Analog für die Gruppen D.) Auch in dieser assung liefern die olgen geeignet erlärter Walsh-Paley-untionen auf bzw. eine Lösung von Problem A. Bemerungen: ) Die Betragsfuntion (tatsächlich eine orm auf dem Ÿ -Vetorraum ) läßt sich auf den Gruppen dyadischer l q Intervalle erlären: &, x + º x, x Œ M: M: õ Ÿ, & Œ *, ; die Isomorphismen zwischen den dyadischen Intervallen und Ÿ erhalten den Betrag. ) Der Shift läßt sich auf den dyadischen Intervallen ebenfalls widerspruchsfrei erlären, es gibt aber gewisse technische Kompliationen, siehe dazu ist (4) Produte. Mit G, ist G G eine dyadische Gruppe. ür die Charatergruppe gilt: bg G = G g ƒg. (Jeder Charater y von G G ist eindeutig als y g; g = y g y g, y i Œ Gi darstellbar.) Sind H, dyadische Indizierungen von G,, dann ist H H eine dyadische Indizierung von bg Gg, die Produtindizierung; die duale Paarung H H G G Æ Produtpaarung. Ist G heißt G = Ÿ Ÿ M (oder M ), so ann das Tensorprodut y ƒ y Œ ƒ M (bzw. D D M ) als Element von + M angesehen (d.h. vermöge eines Isomorphismus damit identifiziert) werden : y ƒ y = y y = y - b x z g b x g b z ; g e ey S jjb x, z g (3.).

20 3. Dyadische Gruppen l (Man beachte, daß r S - M e xj = r+ lbxg.) Hier wird Ÿ Ÿ mit Ÿ +M identifiziert via x; y x, y = x + S y. (Genaueres bei Behandlung der adjungierten Abbildung, siehe 3.4.4). Gleichung (3.) läßt sich für gewisse dyadische Anordnungen, zum Beispiel die Walsh-Paley-Anordnung, weiter vereinfachen, siehe Insbesondere ist schnellen, reursiven Berechnung der Walsh-untionen ergibt (siehe 5..). (5) Paley-Paarung. Die untionen Palbmg, m Œ Ÿ j =, woraus sich die Möglicheit der wurden bereits in 3.. erlärt. Mit der anonischen Bilinearform _, _ :: Ÿ Ÿ Æ Ÿ ; m, x õ  i + l = ix l (eine Verwechslung mit dem Salarprodut wird nicht befürchtet) schreibt sich die b g m, x Paley-Paarung als y m, x = -. Offensichtlich ist es möglich, den Definitionsbereich der anonischen Bilinearform auf Ÿ auszudehnen (was bei Bedarf angenommen werden soll) eine olge von (3.8). Die Paley-Anordnung und -Paarung Õ Õ Ÿ önnen für dyadische Intervalle erlärt werden: pal: Ÿ Æ D ; pal m õpal m p : pal m *, x + º = -, - e j m, x d i b d g i - pal : Ÿ Æ D ; pal m õpal m p : pal m, x + º = -. In allen ällen wird die anonische Bilinearform wie auf Ÿ m, x bezeichnet; das Symbol für die Paley-Paarung bleibt gleich Ÿ oder ähnliche Bezeichnungen werden bei drohender Mißverständlicheit verwendet. Die anonische Bilinearform (und damit die Paley-Paarung) läßt sich auf Ÿ - Paarung. +:-M+ wie oben erlären; sie ist die Einschränung der auf Ÿ Ÿ M: Õ Õ erlärten Paley- Vereinbarung: y b_, _ g bezeichne, wenn nichts anderes angegeben ist, stets die Paley-Paarung auf dem jeweiligen Definitionsbereich. Da sich zwei dyadische Anordnungen von nur durch einen Automorphismus von Ÿ unterscheiden, läßt sich jede dyadische Anordnung dyan von als Umordnung der Walsh-Paley-untionen ansehen: dyanbmgbxg = y bum, xg mit der Umordnungsmatrix U. Schreibweise für die zugehörige duale Paarung: y U. õ y U _,_ ür onrete Rechnungen ist es nützlich, eine Matrixschreibweise für J õ HG I KJ zur Verfügung zu haben: Mit der Matrix T (der ebendiagonale) ist m, x = m J x. Die Multipliation mit J bewirt Zeilen- bzw. Spaltenvertauschung: Multipliation mit J von lins bewirt Umehrung der Zeilen-, von rechts der Spaltenreihenfolge. d i Œ Œ,, d i Œ Ÿ, Œ Ÿ Die MATLAB-untion wpd.m erzeugt bei Aufruf wpd() die Matrix y, x, Ÿ, x Ÿ - ein Beispiel zeigt Abbildung 4. Die MATLAB-untion wt.m liefert bei Aufruf wt(u) die Matrix y U x x, U die eben beschriebene Umordnumgsmatrix. (Bemerung: Das Programm setzt die Bijetivität von U nicht voraus.)

21 Dualität endlicher dyadischer Gruppen Abbildung 4: Die ersten 64 Walsh-Paley-untionen. Weiß=, Schwarz=-. Die Abbildung ist in Matrixdarstellung orientiert. Die zu G = Ÿ Ÿ M d i gehörende Produtindizierung der Paley-Anordnung heißt zweidimensionale Paley-Anordnung, y, l, _ õ y, _ ƒ y l, _ erlärt die zugehörige duale Paarung (die zweidimensionale Paley-Paarung), siehe Abbildung 5. Der sich aus (3.) ergebende Zusammenhang mit der eindimensionalen Paley-Paarung wird im folgenden Abschnitt behandelt (siehe 3.4.4). (6) Eine manchmal nützliche Indizierung von ist die Mengenindizierung (vgl. [MJT]): Jedes Element aus läßt sich eindeutig als y = a ŒA ra, A Õ,, - dyadische Gruppe und P l q schreiben. Offensichtlich ist epdl -qi dl,, - qi ' A y A a Œ A ra j,,, D, (D die symmetrische Differenz zweier Mengen) eine õ eine dyadische Indizierung von. [l,] ec h j c h c h Abbildung 5: die ersten 8x8 dimensionalen Walsh-Paley-untionen y, l,_ õ y, _ ƒ y l, _. Die einzelnen dimensionalen Walsh-Paley-untionen sind in Matrixdarstellung (x nach rechts, y nach unten); der -Index läuft nach rechts, der l-index nach unten. 3.3 Dualität von Unter- und atorgruppen, Homomorphismen und adjungierte Abbildungen 3.3. Grundlagen Sei G eine dyadische Gruppe, Vb G. Dann sind V und G V ebenfalls dyadische Gruppen. Zur Identifiation der Charatergruppen für Unter- und atorgruppen dient der Begriff der orthogonalen Gruppe: Definition 3.4: Sei y:g H Æ eine duale Paarung. ür K Õ G ist K õ h Œ H y K, h = b H die zu K orthogonale Untergruppe o b von H. Analog ist für L Õ H L õ g Œ G y g, L = b G die zu L orthogonale Untergruppe in G. g t o b g t Satz 3.6: Sei G y H eine duale Paarung V, V, b G, W H. Dann gilt

22 3.3 Dualität von Unter- und atorgruppen, Homomorphismen und adjungierte Abbildungen Beweis: ) Ein Charater von bg V b g ) G V, V V V e ) H V, 3) V = V. j g ist ein Homomorphismus G V Æ ; werden untionen auf bg Vg V onstanten untionen auf G identifiziert, folgt die Behauptung. 3) V mit auf Komengen von ÕV ist lar. Umgeehrt gibt es zu einem nicht in V liegenden w aus G stets einen bei w nicht trivialen Charater aus V : denn dann ist die zu w gehörende Äquivalenzlasse in bg Vg ungleich dem ullelement; nach (3.) gibt es auf der zu bg Vg dualen Gruppe einen bei w nichttrivialen Charater, woraus mit ) die Behauptung folgt. ) ergibt sich mit 3) als duale Aussage von ): V V H V = H e j I e j Eine einfache und später nützliche Konsequenz aus Satz 3.6 ist (mit den obigen Bezeichnungen) e j # V # V = # V # G V = # G. (3.3) Orthogonale Gruppen verhalten sich gut gegen Summen- und Durchschnittsbildung: ür V, Wb G ist b b g g V + W = V» W V» W = V + W Definition 3.5: Seien y i : H i G i Æ, i =, zwei duale Paarungen, A: G Æ G ein Homomorphismus, dann ist die adjungierte * Abbildung A H ÆH erlärt durch also y : e j G * A h * A h, g = y h, Ag " g Œ G, h Œ H. A ææææææææ Æ é ã y h,. G y Schreibweise: Der Zusammenhang einer Abbildung mit ihrer Adjungierten ann durch ein Diagramm der orm (Bezeichnungen wie oben) veranschaulicht werden. G H A æææææææ Æ G * A ææææææææ H, Satz 3.7: Seien G, dyadische Gruppen, A: G Æ ein Homomorphismus. Dann gilt: A ** Ke A = A e j d i * = Im A Insbesondere folgt: A injetiv A * surjetiv. Das Verhalten der adjungierten Abbildung unter Komposition beschreibt sich durch babg * * * = B A. - ür einen Isomorphismus A ist A * * = A - e j e j. Die erste Behauptung ist lar, zur zweiten: e j * * H G H G H G h Œ Ke A y A h, x = " x Œ G y h, Ax = " x Œ G y h,im A = h Œ Im A. Die hier angeführten Sätze über Unter- und atorgruppen sind für endliche abelsche Gruppen gültig (vgl. [Terras]). ür dyadische Gruppen ergibt sich ein weiterer Aspet: at 3.8: Sei G eine dyadische Gruppe, V G. Dann gibt es ein Wb G, V W = G.

23 3 Dualität endlicher dyadischer Gruppen 3 (W heißt Supplement von V in G.) - Da G in natürlicher Weise Ÿ -Vetorraum ist, folgt dies aus beannten Tatsachen über Vetorräume. Das Supplement einer Untergruppe ist im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. Aus einer Zerlegung von G in eine direte Summe zweier Untergruppen ergibt sich nach Satz 3.7 eine entsprechende Zerlegung der dualen Gruppe: at 3.9: Sei G eine dyadische Gruppe, V, Wb G, H y G duale Paarung. Dann gilt: G = V W H = V W. Sei G eine dyadische Gruppe, Vb G Wb G, sodaß G = W V, und somit ommutiert. Dann ist die atorgruppe G V selbst eine dyadische Gruppe. Insbesondere gibt es pw G v w ææææææææ Æ p B V G V w + V q W w Diagramm Der Isomorphismus zwischen Unter- und atorgruppe ist nützlich, da er erlaubt, mit dem jeweils einfacher handhabbaren Objet zu rechnen, er ann aber zu Unlarheiten bezüglich der Definitionsbereiche von untionen führen man beachte, daß die Repräsentantenmenge W nicht anonisch ist, wohl aber die Menge der Restlassen. (Dies ist eine abstrate Variante des im vorigen Abschnitt angeführten Isomorphismus zwischen dyadischen Intervallen und dem nicht eindeutig bestimmten Koordinatenraum Ÿ.) Der Zusammenhang zwischen den Charateren auf den verschiedenen Gruppen ergibt sich mit Satz 3.6 wie in Diagramm 3: y G G p G/V p W G/V y G/V W y W Diagramm 3 Das Diagramm ommutiert für y =, d. h. y ŒV genau dann, wenn G V yg y U V g = yg V g + V w v = y w G W g G w W v V W " Œ, Œ, Œ. Der Zusammenhang zwischen den Charateren von G V und W ist eindeutig, wie sich aus der Isomorphie der Gruppen ergibt; für duale Paarungen H y G folgen mit Satz 3.6 verschiedene sinnvolle duale Paarungen für ator- und Untergruppen: Definition 3.6: Ist G = V W, h: H Æ G eine dyadische Indizierung von Ĝ, so ist h V die zugehörige dyadische Indizierung von bg Vg, die atorindizierung, und h: H V V ; h h V Æ + õ h h V = H y G h, _ V eine dyadische Indizierung von V, die e j e j, läßt sich auf Untergruppenindizierung. Da H V, w w + V V eine dyadische Indizierung ~ h : W Æ V ;~ h w õ h w + V, w Œ W, die UG-Indizierung, einführen. Die entsprechenden dualen Paarungen heißen ator-, e j e j Untergruppen- bzw. UG-Paarung; sie werden mit V y G V, H V y V bzw. W y V bezeichnet. Bemerung: ator- und Untergruppenindizierung sind anonisch, die UG-Indizierung hängt von der verwendeten Zerlegung G = V W ab. ator-, Untergruppen- und UG-Paarung önnen äquivalent durch die folgenden Relationen erlärt werden:

24 4 3.3 Dualität von Unter- und atorgruppen, Homomorphismen und adjungierte Abbildungen 3.3. Bemerungen und Beispiele ev, g Vj ev, gj eh V v h v V, j b, g v V w W h H v V g G w v w v " Œ, Œ, Œ, Œ, Œ. (3.4). e, j e, j y V G V + = H y G y H V V + = H yg y W V = H yg U W () Indizierungen und Adjungierte. G sei eine dyadische Gruppe mit dualer Paarung H y G,Vb G ; die Adjungierte der anonischen Projetion p V : G Æ G V bezüglich der atorindizierung ist die Inlusion i V : V Æ H; v v : G H p V ææææææææ Æ G V * p V = i. V æææææææææææææ æ V Umgeehrt ist die Adjungierte der Inlusion i V : V Æ G bezüglich der UG-Indizierung die anonische Projetion auf H V : V H V i V æææææææ Æ G * iv p V æææææææææææææ æ H =. Sei G = V W eine direte Zerlegung. ür die zugehörige UG-Indizierung ist die Adjungierte der Inlusion die Projetion auf W e j, also W : p v + w = w V W i * =. V æææææææ Æ G iv pw ææææææææææææ æ H Diese Tatsachen sind allesamt einfache olgerungen aus den Definitionen der jeweiligen Indizierungen. () Gruppen dyadischer Intervalle. Die im vorigen Abschnitt eingeführten Gruppen dyadischer Intervalle verhalten sich gegenüber atorbildung gutartig : die Isomorphismen önnen als anonisch angesehen werden. Analog ist M M M M M- M: M- M: e, e, Die Walsh-Paley-Anordnung auf den jeweiligen Gruppen erweist sich als atorindizierung, wie gewünscht. Eine Liste von atoren und Untergruppen dyadischer Gruppen, Zerlegungen in orthogonale Summen und die zugehörigen dualen und orthogonalen Gruppen finden sich (für die natürliche und die Walsh-Paley-Indizierung) in Tabelle. (3) Pratische Bestimmung der orthogonalen Gruppe und der Adjungierten. Ist V,pal (die orthogonale Gruppe bezüglich der Paley- Anordnung) für Vb beannt, so ann sie für jede andere Anordnung bei beannter Umordnungsmatrix U bestimmt werden:, U -, pal V = U ev j. ür die Walsh-Paley-Anordnung sind wichtige Beispiele orthogonaler Gruppen in Tabelle zu finden; im pratischen Rechnen wird V am schnellsten über die Walsh-Transformation der Indiatorfuntion von V berechnet, siehe dazu Eine vergleichbar schnelle Möglicheit, die sich auf Matrizenrechnung über Ÿ stützt, sei hier für die Walsh-Paley-Anordnung urz sizziert: Zumeist ist Vb Ÿ in einer der beiden folgenden Darstellungen gegeben: M c Mh V = Im A, A: Ÿ Æ Ÿ, A = A, A V = A, A, B M V = Ke B, B: Ÿ Æ Ÿ, B = V B x G M B J = =. H I K In diesen ällen liefert Satz 3.7 den gesuchten Zusammenhang; V ist der Kern bzw. das Bild der jeweiligen adjungierten Abbildungen und damit mit den beannten Methoden der linearen Algebra zu bestimmen. (Die MATLAB-untion bspan.m berechnet Im(A) bzw. ein minimales Erzeugendensystem, eine Basis von Ke(A) ergibt sich als abs(null(brref(a))), wobei brref.m die Ÿ - Matrix A mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen auf obere Dreicsform bringt. - All diese untionen sind experimentell.) Die Berechnung der adjungierten Abbildung zu A:Ÿ Æ Ÿ M erfolgt (für die Walsh-Paley-Anordnung) mit Hilfe der Matrixdarstellung T T von _, _ : Sei A die Abbildungsmatrix zu A, dann ist x, Ay = x JAy = x JAJJy, also ist die Abbildungsmatrix von A *

25 3 Dualität endlicher dyadischer Gruppen 5 gegeben durch bjajg T. Dabei ist JAJ die durch Umdrehen der Reihenfolge von Zeilen und Spalten aus A hervorgegangene *, U - *, pal Matrix. ür andere Anordnungen, die durch die Umordnungsmatrix U erlärt seien, ist A = U A U. (4) Problem A. Mit den eingeführten Begriffen ann eine abstrate Version von Problem A behandelt werden: Es seien y, y duale Paarungen, Hb H. Wann ist Hy G Vbh, g + Vg= H ygbh, gg " h Œ H, g Œ G? (*) H G H G V Eine einfache Rechnung zeigt, daß (*) genau dann erfüllt ist, wenn H = V und die duale Paarung auf der atorgruppe die atorpaarung ist. Der Zusammenhang mit Problem A folgt für G =, V = K M, H = Ÿ (hier wird, wie stets, die atorgruppe mit M gleichgesetzt, siehe oben). Dann ergibt sich: e j ist eine Lösung von Problem A K = Ÿ M " M, Œ M Œ M y Ÿ M M Õ Õ, wobei die orthogonale Gruppe bezüglich der Indizierung von zu verstehen ist. Zur pratischen Bestimmung von K ist es zwecmäßig, mit Umordnungsmatrizen (vgl. (5)) zu arbeiten: Setze,,, y x = y U x Œ Ÿ, x Œ. Ÿ b g, pal M ür die Paley-Anordnung ist K M = Ÿ (siehe Tabelle ). Damit ist K M M M M = Ÿ " Ÿ = Ÿ " M U M, (3.5) und das ist genau dann der all, wenn U eine (invertierbare) untere Dreicsmatrix ist. Damit das für alle natürlichen Zahlen gilt, muß U Untermatrix von U + sein; zusammenfassend: Satz 3.: y _, _ = y U _, _ ist eine Lösung von Problem A Ÿ b g U = du, li mit u -+, l, l R S T, > l =, = l,, l *, < l Œ Ÿ. (3.6) Umordnungsmatrizen, die (3.6) erfüllen, werden als Ÿ -stabil bezeichnet. Bemerung: Die Problem A lösenden Matrizen U bilden eine Gruppe bezüglich der Multipliation.

26 6 3.4 Der Shift-Operator V V G V =c h V G = Ÿ º M M Ÿ M M Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ e,, e Ÿ Ÿ Ÿ M M l q M M -+ :-M M -+ :-M M M Ÿ r e - r r Ÿ e - e - a:b : : : : : : : : : : \[ ] \[ ] \[ ] [ ] \[ ] [ a b - a b - a b - a b - a b - a b - Œ - - Œ - - Œ - - Œ - Œ - - Œ - x = r e r r l q Ÿ e e l q e r e - r l q r Ÿ e - l q e - a a a a Œ - - Œ - - Œ Œ - - : : : : \[ ] \[ ] \ \ x x = r e r * * Ÿ e * * \ \ a a a a Œ - - Œ : : { }   Œ  - a A a Œ - a A a + Œ - a A a Œ - Œ a A a A a + G = Ÿ Ÿ M l q l q e j el q j l q e j l q e l qj Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ M M M l q el q Ÿ j Ÿ = Ÿ e Ÿ Ÿ j e Ÿ j Ÿ l q p M M M M p - - p p p Ÿ e Ÿ j e j e Ÿ l qj Ÿ M p : q p q p q p q º º º º º º º º º G º G = Ÿ Ÿ M x = e e e Œ A Õ b Œ : : \ a a b A { }   Œ x Œ Ÿ x = x x = M l q Œ A A M = Ÿ Ÿ M Ÿ l q l q Ÿ p q º p º q e Ÿ l qj Ÿ l q e j Ÿ V º M º M K M Ÿ M Ÿ e e e e Ÿ Ÿ M M M l q,, a:b a:b a b a b G V M M M M M+ : M+ : Ÿ e, e e, e Ÿ Ÿ * * M Ganz oben: Duale Gruppen von ator-/untergruppen vonÿ und Ÿ âÿ. A sei eine beliebige Teilmenge von [:-]. Die ormulierung der dualen Gruppe bei "zweidimensionalen" ator- bzw. Untergruppen ist einigermaßen schwerfällig; ähnliches gilt für die UG-Indizierung allgemeiner Hyperebenen. Lins: Zerlegung von Ÿ bzw. Ÿ âÿ M in direte Summen; die angegebenen Zerlegungen wurden zur Bestimmung der UG-Indizierung herangezogen. Oben: atorgruppen verschiedener Untergruppen dyadischer Gruppen (bzw. dazu isomorphe Gruppen). a *, * : : ] Tabelle 3.4 Der Shift-Operator In der Konstrution der Walsh-untionen auf dem Intervall bzw. stect mehr Information als die einer dyadischen Gruppe: - Bereits in die Definition der Rademacher-untionen ist der Shift-Operator via rbxg = res xj eingebaut. Die Paley-Anordnung von Walsh-untionen ist ebenfalls mit dem Shift-Operator beschreibbar: i e j e  i -i j i i y x r - i - i -i -i, = x = r S x = r S x. (3.7) Die Elemente von Ÿ lassen sich durch den Shift beschreiben: x = eâ x S j e. Der Shift erweist sich bei der Beschreibung von ortsetzungs- und Einschränungsoperatoren für untionen auf dyadischen Gruppen als wesentlich, siehe dazu 4.., 5.3. Die Lösung dieses Rätsels: wird vom Shift erzeugt: di o t di. Insbesondere ist auf natürliche Weise ein Ÿ di -Modul, daher ein Ring, wenn die ist isomorph zur additiven Gruppe der formalen Laurent-Reihen über Ÿ, Ÿ X õ  a X a Œ Ÿ, lim Æ- a =. Diese Gruppe ist wiederum isomorph zu Ÿ S S Erratum: Der in der oberen Tabelle, Zeile 4, Spalte 3 stehende Ausdruc muß orret e- M+,... e- + lauten; dies läßt sich aus technischen Gründen nicht mehr der Tabelle einfügen

27 3 Dualität endlicher dyadischer Gruppen 7 Anwendung des Shifts distributiv zu einer Multipliation, wie in (3.7) nahegelegt, fortgesetzt wird, und schließlich (wie auch die formalen Laurent-Reihen) ein Körper - der dyadische Körper. Insbesondere lassen sich Ÿ :M und Ÿ als Ringe auffassen: :M Ÿ S S, Ÿ S S - - M+. (Ÿ ist ein Ideal in Ÿ : ). Dies als algebraischer Hintergrund, um die im folgenden auszubeutenden guten Eigenschaften des Shifts einordnen zu önnen. (Mehr über die algebraischen Eigenschaften von findet sich in [Ta], [SWS], [HR]. In Kapitel 6.. sind einige aten zusammengefaßt.) In diesem Kapitel werden die folgenden ragen behandelt:. Wie ann der Shift widerspruchsfrei auf den endlichen dyadischen Gruppen Ÿ,, und ihren Produten erlärt werden?. Welche Anordnungen von Walsh-untionen sind besonders günstig bezüglich der Wirung des Shifts? Ein wichtiges Beispiel, die Sequency-Anordnung, wird eingehender behandelt. 3. Welche Zusammenhänge bestehen zwischen ein - und zweidimensionalen Walsh-untionen? (Auch hier erweist sich der Shift als nützlich Der Shift auf dyadischen Intervallen Der Shift-Operator wurde in (.) auf erlärt; dort ist er bijetiv. ür die endlichen dyadischen Gruppen Ÿ und die Gruppen dyadischer Intervalle benötigt man geeignete Definitionen: ür Ÿ A, A à Ÿ, # A < S B A B Ÿ : Ÿ Æ ; x erlärt man die Wirung des Shifts am einfachsten als Einschränung des -Bildes auf Ÿ A : BbSxg. Ist der Bildbereich beannt, wird der Index am Operator oft unterdrüct. Analog wird bei beliebigen ganzzahligen Potenzen des Shifts vorgegangen. b xg b x x g Damit S: Æ ; ; x + º ;, x + º sinnvoll erlärt ist, muß Q +, P M + sein; für die Inverse - M: P:Q + + S : Æ ; ; + º, ;, + º muß Q - sein. Auch hier werden bei Gefahr von Mißverständnissen P:Q M: Q+ P P+ Q Indizes an die Operatoren angeheftet. Am einschränendsten sind die Bedingungen an Ur- und Bildbereich des Shifts im all der periodischen dyadischen Intervalle: Es ist S: M: Æ M++r:+-, r, und S - : M: Æ M-+r:-, r, möglich. och einschränender erlären wir: - S: Æ, S : Æ M: M+:+ M: M-:- alle anderen Varianten sind durch Übergang zu atoren erlärbar und werden bei Bedarf eigens geennzeichnet: S: Æ = e ; x S x + e. : :+ + + Daß diese einschränenden Bedingungen die sachgerechtesten sein önnen, soll urz illustriert werden: Die Unmöglicheit, S - b, x,* g als Element von für b, x,* g Œ anzusehen, läßt sich physialisch deuten: Es bestehen eben zwei Möglicheiten für das Bild; diese önnen auf Grund mangelnder Auflösung nicht unterschieden werden; erst wenn man zu einer Gruppe mit gröberer Auflösung übergeht, wird das Bild eindeutig. Ähnliches gilt für die anderen Unmöglicheiten. ; 3.4. Adjungierte des Shifts Shift-invariante Anordnungen Problem B Die Walsh-Paley-Paarung auf besitzt die bemerenswerte Eigenschaft also y, Sx = y S, x " x Œ, Œ Ÿ, (3.8) Ÿ S ææææææ Æ * S = S ææææææææææ Ÿ. (3.9) Der Shift auf Ÿ hat analoge Eigenschaften; auf hingegen läßt sich etwas derartiges gar nicht formulieren, da S À (siehe oben). Allerdings gilt für die Walsh-Paley-Paarungen auf und :+ :

28 8 3.4 Der Shift-Operator Ÿ S ææææææ Æ :+ S S -:- æææææææææ * = æ Ÿ. Eine Veranschaulichung dieses Sachverhalts zeigt Abbildung 6. Abbildung 6: Die Walsh-Paley-untionen bis 63 in doppellogarithmischer Darstellung; der untionswert für x= wird nicht dargestellt. Versucht man sich an einem Analogon von (3.8) für den inversen Shift, stellt man zunächst fest, daß eine genau entsprechende ormulierung (mit identischem Ur- und Bildbereich) nur für Ÿ möglich ist: e j e j Ÿ Ÿ, - y, S x = - y S, x " x Œ, Œ Ÿ Ÿ - S ææææææææ Æ Ÿ e j - S * - = S æææææææææææææææ æ Ÿ ür erhält man (mit den jeweiligen Walsh-Paley-Paarungen):. Ÿ - S ææææææææ Æ e j :- - S * - = S -+: æææææææææææææææ æ Ÿ, analog für. Die rage, für welche anderen Anordnungen der Shift ähnlich gutes Verhalten zeigt, führt auf das Problem der Shift-stabilen Anordnungen (Problem B): Bezüglich der natürlichen Paarungen auf und :+ gilt D S ææææææ Æ :+ * S ææææææ æ D :+ Õ * ( S y = y S ). Man wünscht sich Anordnungen von D, D :+ und D +, sodaß in Analogie zu (3.9) S * = S : Problem B: Gegeben sei die Situation D + Õ S + + :+ + e + + e = ææææææ Æ = + * S Ÿ r e ææææææ æ e b Ÿ ür welche Anordnungen von D + ist S * e = S? (Derartige Anordnungen heißen Shift- oder S-invariant.)

29 3 Dualität endlicher dyadischer Gruppen 9 Die Paley-Anordnung von D + ist Shift-Invariant, wie sich aus dem oben Beschriebenen ergibt (für die Bestimmung der orthogonalen Gruppen vgl. Tabelle ). Die Herleitung der Lösung von Problem B gelingt mit elementaren Technien der linearen Algebra; sie ist etwas umfangreich: ich verweise auf Anhang B. Das Ergebnis läßt sich leicht angeben: + Satz 3.: Alle Shift-invarianten dualen Paarungen auf Ÿ + sind von der orm y U b_, _ g mit der Umordnungsmatrix l q U = G HG a J I J = +  a S = : lowband, a, a = a a I K l qj - Es ist e + = Ÿ, e = U Ÿ. Ç Bemerungen: e c h. (3.) () Daß die Umordnungsmatrizen der orm (3.) Shift-invariante Anordnungen erzeugen, läßt sich leicht nachrechnen; Satz 3. besagt, daß damit schon alle Möglicheiten für derartige Anordnungen erschöpft sind. () Shift-invariante Umordnungsmatrizen sind Ÿ -stabil. (3) Shift-invariante Umordnungsmatrizen sind selbstadjungiert : y U, x y, Ux. (4) Die Umordnungsmatrizen (3.) bilden unter der Matrizenmultipliation eine ommutative Gruppe lowband +, sie ist isomorph zur Einheitengruppe des Restlassenrings Ÿ X X + der Polynomen über Ÿ modulo X +. Œ Œ (5) Die Vermutung, die Matrix y U, x Ÿ, x Ÿ sehe für Shift-invariante Anordnungen in doppellogarithmischer Darstellung ähnlich aus wie Abbildung 6, wird durch ein Beispiel illustriert: Mit U = lowbandb,,,,g ergibt sich Abbildung 7. (Die MATLAB-untion lowband.m liefert genau derartige Matrizen.) Abbildung 7: Die U-Umordnung der Walsh-Paley-untionen, U = lowbandc,,,,h. ür die rechte Teilabbildung gilt das in Abbildung 6 Gesagte Die Hoffnung, Lösungen von Problem B wären auch welche des analogen Problems B für den inversen Shift, erfüllt sich nicht: Problem B : Gegeben sei die Situation ür welche Anordnungen von D + ist S - S + + :+ + e - + S e j * + Ÿ e+ æææææææææææ Æ e r b Ÿ e = æææææææ æ = e j e + - * - = S? (Diese Anordnungen heißen S - -invariant.) Analog zu Satz 3. gilt: Satz 3.: Alle S - + -invarianten dualen Paarungen auf Ÿ + sind von der orm y U b_, _ g mit der Umordnungsmatrix

30 3 3.4 Der Shift-Operator T I U = G a J HG KJ a a el q Ÿ j, Ÿ l q - Es ist e + = U e =. É - = I + a S = : upbandc, a, a h. (3.)  = S - -invariante Anordnungen sind i.a. nicht Ÿ -stabil. Auch lassen sich Grafien wie in den obigen beiden Abbildungen nicht erzeugen. Die Gruppe upband ist zur Gruppe lowband isomorph. Mit Hilfe von Satz 3. und Satz 3. ann die Walsh-Paley-Anordnung auf charaterisiert werden: Korollar 3.3: Die Walsh-Paley-Anordnung ist die einzige sowohl S- als auch S - -stabile Anordnung von D! Damit ist die Verwendung von Walsh-Paley-untionen als Quasi-Standard in der Literatur über Walsh-untionen nicht nur naheliegende Konvention, sondern durch innermathematische Gründe gerechtfertigt. Bemerung: Die hier behandelten ragen erhalten beim Übergang zu nichtendlichen dyadischen Gruppen einen neuen Aspet; siehe [Ta] Die Sequency-Anordnung Ein in Anwendungen bedeutendes Beispiel einer nichttrivialen Shift-invarianten Anordnung von D ist die Sequency-Anordnung; ihre Herleitung ist wesentlich mit der reellen Interpretation der Walsh-untionen vernüpft: Es geht um ein Analogon zum requenzbegriff. Bei der lassischen ourier-analysis spielt die requenz die Rolle eines Ordnungsparamters; sie ann als halbe Anzahl der ullstellen einer trigonometrischen untion auf dem Torus definiert werden. Wegen fehlender ullstellen betrachtet man bei Walsh-untion deren Vorzeichenwechsel. Dieser Begriff ist seiner Definition nach gegen Automorphismen von Ÿ nicht invariant, sondern hängt von der Anordnung der Argumente ab im Unterschied zum reellen all, wo der requenzparameter die Automorphismen der additiven reellen Gruppe (es sind gerade die Multipliationen) charaterisiert. Als Sequency-Parameter einer Walsh-untion wird die halbe Zahl ihrer Vorzeichenwechsel im Einheitsintervall verwendet werden; bei Anordnung nach wachsendem Sequency-Parameter (das ist tatsächlich eine Ÿ -lineare Umordnung der Walsh-Paley-untionen!) erhält man demnach eine zum trigonometrischen System bezüglich dieses Parameters ähnliche Anordnung. Die wichtigsten onzeptuellen Unterschiede seien deshalb nochmals hervorgehoben: Der requenzbegriff ergibt sich bei trigonometrischen untionen natürlich, er ist (im Wesentlichen) der einzige vernünftige Ordnungsparameter; bei Walsh-untionen sind auch andere Anordnungen sinnvoll. Der Sequency-Begriff ist nicht auf einfache Weise von Automorphismen von Ÿ alle requenzen unter einem reellen Automorphismus gleichartig. abhängig; im Gegensatz dazu transformieren sich requenz hängt bei trigonometrischen untionen mit äquidistanten ullstellen zusammen; ein Blic auf Graphen von Walsh- untionen zeigt die Unerfüllbareit dieser orderung. Zunächst soll die Anzahl der Vorzeichenwechsel von Walsh-Paley-untionen bestimmt werden (für eine andere Herleitung siehe [SWS], [Gauß]). Es ist zwecmäßig, die folgende Schreibweise einzuführen: ür x Œ ist x'õ x Œ b g. Beobachtung: Walsh-untionen haben Sprungstellen höchstens an den Endpunten dyadischer Intervalle. Definition 3.7: y,_ Œ D hat einen Vorzeichenwechsel (VZW) bei x' Œ * \ õ m r, wenn

31 3 Dualität endlicher dyadischer Gruppen 3 - e e jj. also genau dann, wenn y, x' + x - ' = - Betrachtet man den Term x' + x - - e e e jj y, x' = -y, x - - ', j ', ergibt sich folgendes Bild: - - e j e j - - e j e j - - e j e j x' = z, fi x - ' = z, fi x' + x - ' =,,, x' = z,, fi x - ' = z,, fi x' + x - ' =,,,, x' = z,,, fi x - ' = z,,, fi x' + x - ' =,,,,, allgemein: M x ' -  e j  o = = M x ' x' = z e fi x' + x - ' = e, M x' õ max x' = (3.) t e! Daraus folgt: Hat eine Walsh-Paley-untion yb, _ g einen VZW bei x', dann auch bei allen m r. Damit läßt sich die Anzahl der VZW von yb, _ g angeben: * r # bm r g = -, (3.3) Das gilt auch für x'= z' Œ \ mit M z' = M x' Sei Mr õ ox Œ M x = rt, r ; dann ist und M r = *. y, _ hat genau dann einen VZW bei x - + l l =- + 'Œ, wenn, x' + x - ' = M r M r  mod =. Dann gibt es für alle x'œ einen VZW, insgesamt hat y, _ ührt man die Abbildung M r G - õ G HG also - Mr + r -  r l mod H G I  l =- + K J I J KJ HG - + I J K J = HG VZW i i - + ein (sie ist Ÿ -linear und bijetiv), so ist die Anzahl der VZW von y, _ Anzahl von VZW geordnet - die Sequency-Anordnung der Walsh-untionen: y y s b, _ g ist dann. - e j ; dies ist genau dann der all, wenn - + I, Œ Ÿ  KJ gleich G -. Umgeehrt ist ybg,_ sb, _ g yb, _ g g nach wachsender õ G. Die Anzahl der VZW von d i = = Abbildung 8: # VZW y, _ G,,, 7 Im olgenden wird die Gestalt von G bestimmt:

32 3 3.4 Der Shift-Operator Definition 3.8: h õ Â ei, - + i= heißt Heaviside-Basis von Ÿ. Es ist h = G - e. Mit h = e h + h = e -, (3.4) + folgt: Ge = e Ge = e + e -,,also + G = HG I J K J = I + S. Diese Matrix ist als Gray-Matrix, der von ihr vermittelte Automorphismus von Ÿ als Gray-Transformation oder Gray-Code beannt. G vermittelt eine Shift-invariante Anordnung. Die Wirung von G illustriert Abbildung 9: Man beachte, daß die Selbstadjungiertheit von G (siehe (3))) es erlaubt, die Definitionsmenge entweder als Ÿ oder Ÿ anzusehen, dementsprechend önnen die Zahlen in der Abbildung auch als Mittelpunte dyadischer Intervalle gelesen werden. ür Eigenschaften des Gray-Codes siehe [Gauß], [ER]. Der Orthogonalraum zu Vb Ÿ bezüglich der durch G gegebenen Anordnung wird bei drohenden Mißverständnissen mit V,G bezeichnet. G Abbildung 9 Abbildung : Die ersten 3 Sequency-geordneten Walsh-untionen. Rechts die doppellogarithmische Darstellung. Die MATLAB-untion wseq.m erzeugt eine Walsh-Sequency-Matrix. gc.m erzeugt den Betrag von G. Die Beziehungen zwischen den Walsh-Sequency-untionen und den trigonometrischen untionen reichen weiter als die Einführung eines Sequency-Parameters bzw. der Anzahl der VZW einer Walsh-untion zunächst vermuten läßt: Siehe dazu 5.4., 5.4.4, Ein - und Zweidimensionale Walsh-untionen Die Disussion erfolgt für die Gruppen Ÿ M Ÿ und Ÿ +M, zwischen denen verschiedene Isomorphismen angegeben werden önnen: Die für Anwendungen wichtigsten sind das zeilenweise Auslesen

33 3 Dualität endlicher dyadischer Gruppen 33 und das spaltenweise Auslesen M M+ z: Ÿ Ÿ Æ Ÿ ; x; y y + x M M+ M s: Ÿ Ÿ Æ Ÿ ; x; y x + y S (3.5) S. (3.6) (Die Umehrabbildungen werden als zeilen- bzw. spaltenweises Einlesen bezeichnet. Dazu eine Bemerung: Später siehe 5.. wird s dem zeilenweisen Auslesen von Matrizen zugeordnet werden; der scheinbare Widerspruch erlärt sich durch das Verwenden von artesischen bzw. Matrix -Koordinaten.) Gesucht sind die Adjungierten dieser Abbildungen; auf Grund der Konstrution der Gleichungen (3.5), (3.6) wird nur der all der Paley-Anordnung behandelt (siehe dazu Gleichung (5.)); auf Ÿ Ÿ sei die Produtanordnung der atoren gegeben (vgl.(4))). e j * * e l, x j e l, y j = e l, x + S y j = b l, x g e l, S y j = b l, x g es l, y j M M M * * * Zur Adjungierten von s: Es sei s l = s l ; s l Œ Ÿ M Ÿ. Dann gilt identisch y s y s y y y y y die letzte Gleichheit folgt aus der Shift-Invarianz. Mit M -M Ÿ Ÿ,, Ÿ ' l l + l = l l l Œ, l Œ Ÿ õs liefert der Vergleich beider Seiten der Gleichung für x = bzw. y = s, M M M M M e j e j * - M * - M S M M M l + l = l, s S l + l = l. Also: * b M g b g ed Mi d ij ed Mij b M g y l, _ ƒ y l,_ x; y = y l l, x y, urz: s l l = l ; l. Das entsprechende Resultat für zeilenweises Auslesen erhält man durch analoge Rechnung oder mit folgender Beobachtung: Mit M M t: Ÿ Ÿ Æ Ÿ Ÿ ; x; y y; x (der Transposition) ist z = s t ; leicht überprüfbar ist t * * * = t, also ist z = t s, zusammenfassend: s M M+ Ÿ Ÿ æææææææ Æ Ÿ æææææææ æ s M x M ; y bx M, yg = x M + S y " - - z M ææææææ Æ M+ Ÿ Ÿ æææææææ æ Ÿ z bx M ; yg " b y, x Mg = S x M + y * s M M+ - es j * -M M ; " b, Mg S Ÿ æææææææ æ Ÿ æææææææææææ Æ Ÿ l l l l = l + l M * z M ææææææ æ M+ æææææææææææ Æ - z * Ÿ Ÿ Ÿ e j " - l M ; l l M, l = S l M + l Ein Beispiel für zeilen- und spaltenweises Auslesen gibt Abbildung : 3 3,5 43 3,5... z x z3 9. z3 x z3 9 ec h j und ihre Bilder unter spalten- und zeilenweisem Auslesen: lins auf Ÿ Ÿ c3h = ch c5h = ch c9h = ch c3h = ch c43h = ch Abbildung : Die dimensionale Walsh-Paley-untion y 3; 5,_ ; rechts auf Ÿ Ÿ. Es ist f, f, f, f, f, f die ine sche Abbildung. Man beachte die unterschiedlichen Ergebnisse des spaltenweisen Auslesens!

34 34 4. untionen und Maße auf endlichen dyadischen Gruppen Bemerung: Die Ergebnisse des zeilen- und spaltenweisen Auslesens si.d abhängig von der Einbettung einer untion in einen Ÿ, wie die Abbildung zeigt; es ist möglich, einen invarianten Auslese-Isomorphismus zu erlären; die Konstrution wird für die Walsh-Paley-Anordnung und die Gruppen Ÿ Ÿ sizziert : q c h Ÿ Ÿ ææææææ Æ Ÿ x; y y, x, y, x * Ÿ Ÿ q ææææææ æ Ÿ l, l,, l ; l, l,, l l c h c h " d i HARMOISCHE AALYSIS AU EDLICHE DYADISCHE GRUPPE 4 untionen und Operatoren auf endlichen dyadischen Gruppen 4. untionen und Maße auf endlichen dyadischen Gruppen 4.. Definitionen, grundlegende Eigenschaften G bezeichne stets eine dyadische Gruppe. S G sei der Raum aller omplexwertiger untionen auf G. (In der Literatur wird dieser Raum häufig als G die Gruppenalgebra bezeichnet; hier wird eine weniger algebraisch orientierte otation verwendet.) Die im Text getätigten Aussagen gelten üblicherweise auch für den reellen all; ist eine Spezifiation des Grundörpers notwendig, wird S G bzw. S G geschrieben. Addition und Multipliation von untionen sind wie üblich puntweise erlärt, S G diesen Operationen zu einer Algebra. Offenundig ist dsbgg, # + e b j G g, +, Œ l, q. wird mit Bemerung: Die untionen in Sb K:M g önnen als auf definiert und auf den Komengen dyadischer Intervalle onstante untionen mit ompatem Träger untionen angesehen werden. Die untionen auf der periodischen Gruppe dyadischer Intervalle werden analog als periodische untionen auf gedeutet. Offenundig entsprechen den so erlärten untionenräumen eindeutig Räume von auf Komengen reeller dyadischer Intervalle onstanten untionen; sie werden in der otation nicht eigens unterschieden. (Die meisten Abbildungen in diesem Text beruhen auf derartigen Identifiationen.) Auf den Räumen S G sind verschiedene ormen erlärbar; viele stehen in Zusammenhang mit einer Volumenmessung auf G. Wiewohl im Kontext endlicher Gruppen nicht unbedingt üblich (und onzeptuell vermeidbar), erscheint die Einführung von Maßen, insbesondere von Haarmaßen, auf endlichen dyadischen Gruppen als vereinheitlichende Sprechweise durchaus sinnvoll: Definition 4.: Ein (Borel-)Maß auf G ist eine Abbildung m: PbGg Æ mit Das Integral von f e j (Additivität). m A «B = m A + m B " A, B Õ G, A» B =, Œ SbGg bezüglich dieses Maßes ist z f dmõâ f g m g G g ŒG dl qi. sei die Menge aller Borelmaße auf G. Wenn mb X + g g = mb X g " g Œ G, X Õ G, heißt m Œ MbGg translationsinvariant. Ein M G translationsinvariantes, positives Maß (d.h. eines mit nichtnegativer Wertemenge) auf G heißt Haarmaß, bezeichnet als l G. Das Integral einer untion bezüglich eines Haarmaßes heißt Haar-Integral. Bemerungen, Beispiele:

35 4 untionen und Operatoren auf endlichen dyadischen Gruppen 35 () Maße auf endlichen dyadischen Gruppen sind durch ihre Werte auf den Elementen aus G eindeutig bestimmt; wegen der Translationsinvarianz ist insbesondere das Haarmaß stets ein Vielfaches des Zählmaßes n: X Æ# X Zählmaßes ein Haarmaß, das Haarmaß ist also bis auf einen ormierungsfator eindeutig.. Umgeehrt ist jedes Vielfache des Vereinbarung: Im olgenden sei jede endliche dyadische Gruppe mit einem Haarmaß l = l G ausgestattet. Es bezeichne m G õ l bgg. G Die in der folgenden Tabelle angegebenen ormierungen des Haarmaßes werden im Text durchgängig verwendet: dlqi dlqi dlqi G m l e G m l e G m l e G m l e G G G G G G G G - a:b - a+ -b M --M a:b -b+:-a+ b a- M + M dlqi Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Mit diesen ormierungen ist für untionen aus S :M b Tabelle g das Haarintegral z f dl gleich dem (Lebesgue)-Integral von f über ; analoges gilt für untionen über den periodischen Gruppen dyadischer Intervalle (hier wird das reelle Integral über ein Translat des undamentalbereichs genommen). () Jeder omplexen untion f auf G ann eindeutig ein Maß m f : m f bagõz f d l zugeordnet werden. (Dann ist A m f x = f x l " x Œ G und m f A A f l f ). ormal: dl qi dl qi S e f j M G, d m = f dl. (3) Ein wichtiges Beispiel für Maße sind die Diracmaße d x A x A õ x Œ œ A =z d.) Die Zuordnung ist bijetiv (Umehrabbildung: m m RST. Sie werden im Sinn des vorigen Absatzes oft als untionen (Diracfuntionen) angesehen, Bezeichnung dann ~ d x. Die Diracfuntionen bilden eine Basis von S G (siehe 4..5). Anmerung: Die Verwendung von Maßen und Integralen auf endlichen Gruppen mag als sinnlose Abstration erscheinen, schließlich lassen sich alle geschilderten Sachverhalte auch mit Summen und untionen beschreiben. Tatsächlich lassen sich durch Verwendung von Haarmaßen die (im folgenden Abschnitt zu behandelnde) Walsh-Transformation und ihre Inverse in einen Begriff fassen, insbesondere werden ormierungsfatoren automatisch in die ormeln eingearbeitet. Des weiteren sind gewisse Begriffe - wie etwa die Lifts L j - direter für Maße als für untionen formulierbar. Des weiteren sind Maße Dualvetoren der untionen aus S G (siehe den nächsten Abschnitt), was auch onzeptuell unterschieden werden soll. Endlich wird auf diese Weise der Zusammenhang zur nichtendlichen Theorie gewahrt. (Darin liegt auch eine nicht zu unterschätzende Gefahr: endlichdimensionale Dualräume sind vergleichsweise einfache Objete - die Bijetivität in ()) etwa gilt im all nichtendlicher Gruppen i.a. nicht mehr.) 4.. ormen, Operatoren, Dualität Die benötigten Begriffe aus der linearen Algebra seien urz zusammengefaßt: Die p-ormen auf SbGgsind gegeben durch p p f õ f d p p ez lj, <, G Mit diesen ormen wird S G f õsup f x. x ŒG zu einem vollständigen normierten Vetorraum. ür die Gruppen dyadischer Intervalle stimmen die p- zum Ausdruc gebracht werden, wird verwendet. Auf MbGg wird die Variationsnorm gleichwertig durch m m m MbGg õsup f b f g =  x x G dl qi Œ ormen von f mit den reellen p-ormen von f überein. Soll die ormierung von S G oft die Bezeichnung l p G

36 36 4. untionen und Maße auf endlichen dyadischen Gruppen (zur Identifiation von Maßem mit Dualvetoren siehe den nächsten Absatz) erlärt; für von untionen stammende Maße ist m f MbGg = f. (Also ist M G normisomorph zu b l Gg.) Beanntlich ist der Dualraum (also der Raum der linearen untionale) von l p G z normisomorph zu l b q Gg für onjugierte Exponenten p,q, d.h. p, q ; p + q = (diese Bezeichnungen für onjugierte Exponenten werden durchgängig verwendet). Genauer ist mit der Standard-Bilinearform f, g õ f g dl und der auf dem Dualraum V eines normierten Vetorraums V erlärten G orm x õsup x x x ŒV, x Œ V x ein normerhaltender Isomorphismus der angebenen Räume. Insbesondere ist f, g f g (Höldersche Ungleichung). M G mit dem Dualraum von l G ür p = ann die orm auf S G die Abbildung p q l bgg Æ l bgg ; f f, _, p wird p q durch mb f gõ m, f õ z f dm identifiziert. Damit ist insbesondere d x b fg = fbxg. als vom Salarprodut _, _ : b f, gg f, g õz fg dl stammend angesehen werden. Bemerung: Die Standard-Bilinearform ist nicht ausgeartet ( f, g = " f fi g = ), aber ein Salarprodut, beispielsweise ann für die unter (3)) erlärten Exponentialfuntionen w, w = sein. Das Motiv für die etwas ungewöhnliche Bezeichnungsweise des Salarproduts liegt in möglichst einheitlicher Behandlung von adjungierten und dualen Operatoren (siehe weiter unten). Lineare Abbildungen zwischen untionenräumen auf endlichen dyadischen Gruppen önnen als solche zwischen Maßräumen angesehen werden und vice versa: ür A: S G b f Æ S G sei A # : M G Æ M G erlärt durch A # m f õ maf. Umgeehrt ist für B: M G Æ M G B m õ f Bm. (Oft wird im Sinne der Lesbareit auf die gerade angegebene Unterscheidung verzichtet.) Mit der Standard-Bilinearform erlärt man zu einer linearen Abbildung A: S G Æ S G, die duale Abbildung: A : M G Æ M G : A, f õ, Af, analog für Abbildungen zwischen Maßräumen. Auch hier wird der Definitionsbereich der m m Abbildungen nach Bedarf zwischen untionen- und Maßräumen gewechselt; austregel: Sind Abbildungen zwischen l p -Räumen erlärt, werden die dualen Abbildungen als zwischen den Räumen mit onjugiertem Index definiert angenommen. Ist in diesem all A = A, heißt A symmetrisch. Von der dualen Abbildung ist die im l -all erlärte adjungierte Abbildung: ~ ~ A : Ax, y õ x, Ay zu unterscheiden. alls A ~ = A heißt A selbstadjungiert. In dem wichtigen Spezialfall daß Af = Af (d.h. bei reellen Operatoren) stimmen Adjungierte und duale Abbildung überein. ür Kerne und Bilder linearer Abbildungen ist Ke A = A Im, Im A = Ke A d i d i Œ x V x bvg = ). ür reelle Operatoren besteht die Zerlegung: bgg = Ke A bke Ag, SbGg = Im A bim Ag ; tatsächlich sind die Summen bezüglich des Salarproduts orthogonal: = b Ke Ag bke A g, analog die zweite Gleichung. (V der zu V X orthogonale Raum: S S G Die Operatornorm einer linearen Abbildung A zwischen normierten Vetorräume ist erlärt als A õsup x Ax. ür p r A:l G Æ l G wird A r, p geschrieben, A õ A. Operatornormen sind submultipliativ: AB p p, p A B. Die Abbildung A A ist eine Isometrie bezüglich der Operatornorm. Beispiele für Operatoren auf dyadischen Gruppen: () Der dyadische Translationsoperator T x, x Œ G ist eine Isometrie auf l p G, die für p= selbstadjungiert, i.a. symmetrisch ist. wird ebenfalls mit T x bezeichnet. Der Translationsoperator ann als Spezialfall der in 4..3 behandel- Der duale Operator auf M G ten altungsoperatoren angesehen werden. Es ist T ~ a d x = ~ d x+ a, die Spalten i und i + a werden vertauscht. Die Abbildungsmatrix einer Translation bezüglich der Standardbasis ist demnach eine (spezielle) Permutationsmatrix. Da zudem T a = I, entspricht eine dyadische Translation einer Spiegelung. Die Wirung des Translationsoperators auf die Charatere von G wurde bereits in 3. beschrieben: T a y = y a y "y Œ G, die Walsh-untionen sind Eigenfuntionen jedes Translationsoperators.

37 4 untionen und Operatoren auf endlichen dyadischen Gruppen 37 Abbildung : Die Abbildungsmatrizen der Translationsoperatoren auf Ÿ 4, die Bildüberschriften geben das x in T x an. ür den all G = soll eine anschauliche Deutung des Translationsoperators gegeben werden: Die dyadischen Translate sind nicht im reellen Sinn als Verschiebungen deutbar; die Wirungsweise der dyadischen Translation soll anhand der T e veranschaulicht werden: T. T. T. T. T. T T. Abbildung 3: Dyadische Translation Es ist T f, * = f, *, T f, * = f, * e e, der Operator vertauscht den linen untionsbloc mit dem rechten (in der Abbildung den rot umrandeten grünen Bereich mit dem blau umrandeten gelben), wobei die innere Abfolge der Blöce unverändert bleibt. Te Ähnlich wirt Te : f, * * ææææææ Æ f, * * : Hier werden die grün bzw. gelb schraffierten Blöce mit den nicht schraffierten gleichfarbigen vertauscht, wobei zwischen dem grünen und dem gelben Bloc ein Austausch erfolgt. T e 3 schließlich vertauscht jeweils die untionsteile in den gleichfarbigen, gleich gemusterten Blöcen. Aus diesen drei Generatoren lassen sich alle dyadischen Translationen auf Ÿ 3 zusammensetzen (im Unterschied zum all der zylischen Gruppe mit Elementen, die sich aus einem einzigen Generator erzeugen läßt). eben den T e liefern noch andere dyadische Translationen bemerenswerte Ergebnisse: Bei T. wird die untion um die Achse 3 3 x =. gespiegelt. Algebraisch ist T. f, x x x = f, x x x, x das logische Komplement: hier wird also das bitweise Komplement der Argumente erzeugt. Bei T. werden die line bzw. die rechte untionshälfte um die Achsen x =. / x =. gespiegelt, die Blöce bleiben wieder getrennt. Das hier angedeutete Erzeugendensystem h õ Â e für Ÿ (von [Gauß] Heaviside- l Basis genannt) wurde bereits bei Herleitung der Sequency-Anordnung besprochen, dort für Ÿ (siehe (3.4) ): Allgemein entspricht eine dyadische Translation einer partiellen Komplementbildung der Argumente: T. f, x x x = f, x x x. Auf dieser Beobachtung beruht zum Teil die Bedeutung der Walsh-Transformation bei Analyse 3 3 und Klassifiation logischer Schaltungen und untionen - vg. dazu [Lechner], [TD], für eine Kurzfassung [Terras], neuere Ansätze [al]. Die MATLAB-untion dytr.m erzeugt das dyadische Translat von auf Produten von Ÿ erlärten untionen. Um eine Vorstellung davon zu erhalten, wie dyadische Translationen die Gestalt einer untion verändern, verweise auf die MATLAB-untion dytrans-

38 38 4. untionen und Maße auf endlichen dyadischen Gruppen demo eine in ein MS-Word-Doument eingebettete Version findet sich auf dem dieser Arbeit beigefügten Datenträger (Datei demo.doc). ist M f symmetrisch, für p= ist M ~ f M f wird mit demselben Symbol bezeichnet. ür Kern und Bild des Multipliationsoperators gilt: KeM f = ou Œ SbGg suppbug Õ G \ suppb SdG \ suppb f gi Im M f = ou Œ SbGg suppbug Õ suppb f Sdsuppb f gi = KeM M () Der Multipliationsoperator M f : S G Æ S G ; u f u und der wichtige Spezialfall des Einschränungsoperators Q õ M M f p = f, auf l p G Operator auf M G A c A : Es ist =, für reelles f ist der Operator also selbstadjungiert. Der duale insbesondere ist S G f Im f. ür die Hintereinanderausführung von Multipliationen ist M M = M. Der Einschränungsoperator erweist sich als Projetion: Q = Q ; Hintereinanderausführen ergibt Q Q = Q». A A A B A B f g fg (3) altungsoperatoren und Lifts von Gruppenhomomorphismen sind weitere wichtige Beispiele für lineare Abbildungen; sie werden in 4..3 und 4. besprochen altung Definition 4.: Die (dyadische) altung von f, g Œ SbGg ist z f * g x õ f x + h g h dl x = f T g dl = f, T g altung von Maßen ann über die orrespondierenden untionen erlärt werden: m m õ m auf G sei der altungsoperator erlärt als C f g õ f * g. z G x x f * g f * g. ür eine untion oder ein Maß f Die altung zwischen einer untionen und einem Maß ann auf natürliche Weise als untion gedeutet werden: b f * m gb z xg = Tx f d m. Weitere äquivalente Beschreibungen der altung sind mitunter nützlich: z z m* n, f = m, n* f = f x + y dm x dn y = f x + y d m ƒ n x, y G G G G bm* ngb Ag = mbx + Ag dnbxg z G z Bemerung: ür den Träger des altungsproduts gilt supp f * g Õ supp f + supp g. Die altung ist assoziativ, ommutativ und distributiv, also: d i S G, +,* ist eine ommutative Algebra (die Gruppenalgebra). (Gleiches gilt für M G In dieser Algebra existieren die Einselemente ~ d bzw. d. (Das ist ein wesentlicher Unterschied zum ompaten bzw. loalompaten all!) altung mit Diracmaßen entspricht der dyadischen Translation:.) Daraus folgt die Translationsinvarianz der altung: T f * g = T f * g = f * T g (4.) f * d = T f " x Œ G. (4.) x x für alle untionen f,g auf G und alle dyadischen a a a Translationen. ür das altungsprodut gelten die folgenden ormabschätzungen:

39 4 untionen und Operatoren auf endlichen dyadischen Gruppen 39 Damit erweist sich l G C f p f * g f g U f * g f g p q p q p p V b,, + = g (4.3) f * g f g p qw als Banachalgebra. Aus (4.3) ergeben sich ormabschätzungen für den altungsoperator C f : f, p. Der altungsoperator ist symmetrisch und für reelles f selbstadjungiert. Kern und Bild von altungsopera- toren lassen sich gewöhnlich leichter mit Hilfe der Walsh-Transformation (siehe (5.9)) bestimmen. Tatsächlich lasen sich wesentliche Beispiele für (und Eigenschaften von) altungsoperatoren auf Grund des zentralen altungssatzes (Satz 5.) am einfachsten über ihre Walsh-Transformation erlären. altungsoperatoren lassen sich durch ihre Vertauschbareit mit Translationen charaterisieren: Einerseits folgt aus (4.) sofort T C = C T. Umgeehrt lassen sich alle mit dyadischen Translationen vertauschbare lineare Abbildungen auf S G a f f a als altungen ansehen: at 4.: Sei AT a = T A für alle dyadischen Translationen. Mit M G a (Die Diracfuntionen sind eine Basis von S G ' m õ A d ist A = C m. ; es ist A x = ATx = Tx A = x * A d d d d d. ) Da Walsh-untionen Eigenfuntionen aller Tranlationsoperatoren sind, gilt dies auch für die altungsoperatoren; genauer: C f y = f, y y (4.4) Ein wichtiges Beispiel eines altungsoperators soll bereits an dieser Stelle beschrieben werden: Definition 4.3: Sei π P A A Õ G. Der A-Erwartungswert von f Œ SbGg ist die untion õl l l m f l b Ag - + = - + = - * z f x A f x a d a A x A A f c x. A Der Wert von P A f ist unabhängig von der onreten ormierung des Haarmaßes. Es ist P f f, P =, P f P f, A p p A p A A P A ist ein selbstadjungierter, symmetrischer Operator auf SbGg. Weiter gehende Aussagen lassen sich im Allgemeinen nur für AbG erhalten; dann gilt: Satz 4.: ür A, BbG, f, g Œ SbGg gilt: i) PA = PA ii) PAPB = PA+ B iii) P f g dl = f P g dl = P f P g dl z z A A A G G G iv ) PA f * g = PA f * PA g = PA f * g v ) f = f f Œ SbG AgbSbGg ImbPAg = KebPAg = SbG AgbSbGg vi) Ke P = I - P Im P = T f - f f Œ S G, h Œ A SbGg, RST  e j A A A hi i i i i endlich z Zum Beweis: i) und ii) erhält man aus der altung von Indiatorfuntionen, sie lassen sich auch mit Hilfe der Walsh-Transformation herleiten. iii) folgt aus i) und der Symmetrie des A-Erwartungswerts, iv) ann ebenfalls aus i) gefolgert werden. v) folgt aus dem zweiten Teil von vi). Der erste Teil von vi) wird in [Reiter, 3, 6.4] bewiesen. A-Erwartungswerte spielen bei der Disussion von Lifts von Gruppenhomomorphismen (4.) und Einschränungs- bzw. ortsetzungsoperatoren auf dyadischen Gruppen (ebd.) eine Rolle. A UVW

40 4 4. untionen und Maße auf endlichen dyadischen Gruppen M zº M Beispiel: ür G = Ÿ, A = º ist P A f x = M f x + h dl h. (Siehe Abbildung 4.) altungsoperatoren dieser orm werden in 5..,5.5.,6..4 behandelt Abbildung 4: Wirung des A-Erwartungswerts auf f:=56*sin(p x ) für A= º M, M=...8 (die Zahlen in der Legende entsprechen den Werten von M) 4..4 Unter-, ator- und Produtgruppen Sei Vb G. G, V und G V sind dyadische Gruppen; auf Unter- und atorgruppen erlärte untionen lassen sich in natürlicher Weise als auf G erlärt ansehen; dann sind SbV g, SbG Vgb SbGg. SbG Vg ist sogar ein Ideal der altungsalgebra SbGg, wie aus Satz 4., iv) sofort folgt. Aus Satz 4.,vi) ergibt sich: S G S G Ke P A. (Dies ist sogar eine Isometrie bei Verwendung der l -Quotientennorm und geeigneter ormierung der Haarmaße (siehe 4..)). ür Maße erhält man die dualen Beziehungen: MbV MbGg SbV g = MbGg MbG Vg \ ; die entsprechende Gleichung für MbG Vg wird in Satz 4.4 angegeben. Seien nun f,g zwei untionen aus SbV g bzw. SbG Vg. Die altung beider untionen ann dann entweder bezüglich des Haarmaßes auf G oder des Haarmaßes auf der Unter-/atorgruppe berechnet werden: S mv f, g Œ V fi f * V g v = V f * G g v " v Œ l V G Vereinbarung: Die Haarmaße auf G, V und G V stehen in anonischer Relation, wenn mg = mv mg V bzw. gleichwertig l = l + V l (dies ist stets erreichbar). Dies wird bei fehlenden anderen Vereinbarungen vorausgesetzt. G G V V In diesem all gilt die Weilsche Relation z f d G = f x h V h G V x V G z + + G V z l d l d l V (4.5) e j. (4.6) S G V G. ür untionen auf der atorgruppe ist dann f, g Œ G V fi f * g x + V = f * g x " x Œ G ach (4.5) stimmt die altung auf V mit der auf G genau dann überein, wenn das Haarmaß auf V Einschränung des Haarmaßes auf G ist; für die Gültigeit der Weilschen Relation (und der daraus folgenden Übereinstimmung der altung auch auf der atorgruppe) muß das Haarmaß auf der atorgruppe dann das Zählmaß sein. Eine andere oft verwendete ormierungsvariante setzt m = m ; dann setze m =, = # V - G V G V lv. Seien nun G, dyadische Gruppen. Dann wird SbG Gg von den Tensorproduten f ƒ g, f Œ SbGg, g Œ SbG g erzeugt, also SbG Gg = SbGgƒ SbG g. Das Tensorprodut zweier Maße wird dual erlärt: bm ƒ mgb f ƒ f gõ mb fg mb f g, mi Œ MbG ig, f i Œ S bg ig, dann ist MbG Gg = MbGgƒ MbG g. Insbesondere ist das Haarmaß auf der Produtgruppe das Tensorprodut der Haarmaße auf den atoren, und mg G = mg mg, was bei fehlenden anderen Vereinbarungen stets angenommen wird. Das Tensorprodut der linearer Abbildungen A, :V, Æ W, ist durch A ƒ A v ƒv õa v ƒ A v erlärt; dann gilt A ƒ A = A ƒ A b gb g b g. Erwartungswerte und Einschränungsoperatoren

41 4 untionen und Operatoren auf endlichen dyadischen Gruppen 4 verhalten sich gut gegen Tensorprodutbildung: ür V Tensorproduten ist das Tensorprodut der altungen: b f ƒ f g* bg ƒ g g = b f* ggƒ b f * g g f i, g i Œ S bgig. G, Wb G ist PV W = PV ƒ PW, QV W = QV ƒqw. Die altung von Mehr über den Zusammenhang zwischen altung und Tensorprodut findet sich bei [Cowling]. Zu Tensorproduten siehe.3, den nächsten Abschnitt, 5..3, Basen auf untionenräumen über dyadischen Gruppen, Koordinaten Die Walsh-untionen bilden (bei geeigneter ormierung) eine Orthonormalbasis (OB) auf S G Text quasi die Hauptrolle. Einige andere Basen werden ebenfalls benötigt: (Satz 4.3); diese spielt im hiesigen () Bloc-Puls- (Dirac-) untionen, Standardbasis: Sie sind die untionendeutung der in (3)) eingeführten Diracmaße. Es gilt: R S T - ~ ~ d, d l G, x y x y = = sonst Damit sind die Diracfuntionen bei geeigneter (eu-)ormierung eine OB von l G Basis von S G. Die Diracfuntionen sind die natürliche, jede untion schreibt sich als f = lbg f x d x G ~ x. Verwandt ist die Standardbasis bc x g x ŒG aus den Indiatorfuntionen der einzelnen Punte. Sie ist für die Koordinatendarstellung von untionen nützlich.  Œ () Haar-untionen: Dieses untionensystem ist auf Ÿ bzw. den Gruppen dyadischer Intervalle erlärt. Ursprünglich von Haar auf dem reellen Einheitsintervall eingeführt, ann es auf wie folgt definiert werden: haar, x õ n n/ e j n j - + º n haar +, x õ r x c n x e j U V W, x Œ +, <, n. Eine Visualisierung der Haarfuntionen findet sich in Abbildung 5. Andere Charaterisierungen sind möglich, insbesondere sei auf den Zusammenhang mit den Walsh-untionen verwiesen (5.., 5.4.3). Die Haarfuntionen bilden eine OB auf l. Haarund Walsh-untionen önnen unter dem Begriff der Walsh-Atome verallgemeinert werden. ([Thiele],[Vi]). n Abbildung 5: Die ersten 6 Haar-untionen auf 4 d i (3) Exponential-untionen: Das System w, x õexp - pi x, < ist eine OB auf dem omplexen Raum l G, wobei G eine der Mengen Ÿ,, bedeute. Dieses System ist die in der lassischen ourier-analysis zumeist verwendete Basis, hier

42 4 4. untionen und Maße auf endlichen dyadischen Gruppen wird es zu Vergleichszwecen herangezogen. Der Zusammenhang mit Walsh-untionen ergibt gerade für die Sequency-Anordnung Hinweise auf deren physialische Relevanz (siehe 5.4.). (4) Die letzten beiden Basen wurden nur für Gruppen dyadischer Intervalle und den Ÿ erlärt; ür die ortsetzung auf den mehrdimensionalen all sei bemert, daß für bv ig, ew jj OB auf den dyadischen Gruppen G, die Tensorprodute v i ƒ w j eine OB auf der Produtgruppe bilden. (5) Daß die Walsh-untionen auf dyadischen Gruppen ebenfalls eine OB bilden, ist Inhalt des folgenden Satzes: Satz 4.3: Sei G eine dyadische Gruppe. Dann sind die Charatere von G eine orthogonale Basis von l b Gg. Beweis: Zum achweis der Orthogonalität genügt es zu zeigen, daß z y dl π für nichttriviale Charatere y auf G. Da ergibt sich für das Integral G = Ke y v fi G = Ke y «v + Ke y, z G z y= z y= y l = y + y v y = = y=- d Daraus folgt die lineare Unabhängigeit der Charatere; da # G Da y = m G, folgt - Die normierten Walsh-untionen m G y y Œ G { }sind eine Orthonormalbasis von l G Also ist f = f, y y " f Œ G e j m  G ŒG. = # G, folgt die Behauptung.. ür Unter- und atorgruppen von G önnen sofort Basen angegeben werden: Sei V Basis von SbG Vg ; für ein System von Repräsentanten h a (Viel) mehr zur Walsh-untions-Basis in 5. l y. (4.7) G. Dann ist mybh, _ gr eine orthogonale h Œ V von H V ist myb h a, _ g Vr eine orthogonale Basis von SbV g. untionen auf dyadischen Gruppen werden zumeist durch ihre Koordinatenvetoren dargestellt; viele Rechnungen önnen dann im Matrixalül dargestellt werden. Eine urze Zusammenstellung der benötigten Begriffe folgt: ür eine Basis v õbv,, v n g von ist jedes Element f aus SbGg eindeutig als f S G f v = Âa v darstellbar; formal: HG n I KJ a f = v f = v, v a heißt Koordinatendarstellung von f bezüglich der Basis v. ( untionen entsprechen Spaltenvetoren ). Insbesondere ist die Standardbasis von SbGgbeschrieben durch cõbc, c x,... g. Die Vetoren von v önnen ebenfalls als Spaltenvetoren vorgestellt werden. Ist A: SbGg Æ SbG g eine lineare Abbildung, und sind v,w Basen von SbGg, SbG g, dann ist die Abbildungsmatrix A v, w von A bezüglich dieser Basen erlärt durch Af = A v f = w A f. v v, w v Bezüglich der Standardbasen gilt für die Abbildungsmatrix der dualen Abbildung l A = bg A T. l

43 4 untionen und Operatoren auf endlichen dyadischen Gruppen 43 Die Indizes bei Koordinatendarstellung und Abbildungsmatrix werden bei beannten Basen zumeist unterdrüct. Insbesondere gilt dies für die unter ()) eingeführte Standardbasis c x. Seien nun G, G dyadische Gruppen, v,w Basen von S G, S G, dann ist die Kronecer-Produt-Basis von S G G = S G ƒ S G b g gegeben durch b m m n n mg. v ƒ w õ v ƒw,, v ƒw ; v ƒw,, v ƒw ; ; v ƒw,, v ƒw Damit ergibt sich ein wichtiger Zusammenhang zwischen Tensor- und Kronecerprodut: f ƒ g = f ƒ g Analog ist für lineare Abbildungen A i : S G i Æ S R i, i =, ür untionen auf G. vƒw v w A ƒ A = A ƒ A vƒw, rƒs v, r w, s G ist eine weitere Darstellung (Bild-Darstellung) üblich: Ist f = f ij v i ƒw i=... n, j =.. m j, dann ist Insbesondere für die Standardbasen auf G G = x,, x, G = y,, y f HG f f f f m õ vƒw n nm G ergibt sich damit f = HG I KJ b mg b J n g b n mg f x; y f x; y f x ; y f x ; y. I K,. Â e j l nq l mq. Diese Darstellung ist insbesondere bei der Behandlung zweidimensionaler Daten (Bilder) nützlich. Die Darstellung des Tensorproduts zweier untionen schreibt sich als für das Tensorprodut linearer Abbildungen ergibt sich f ƒ g = f g T, A ƒ A f ƒ g = A f g T A T. Die Bild-Darstellung ist offensichtlich eine Koordinatendarstellung, der Zusammenhang wird durch die Abbildung vec vermittelt: vec sie entspricht dem zeilenweisen Auslesen der Matrix f. H f I f K õ, vƒw vƒw Bemerung: Der Bild-Darstellung ann eine geometrische Deutung gegeben werden: Durch T f ƒ g q g q f d i õ, ann ein Isomorphismus S G ƒ S G Æ L S G, S G erlärt werden; in Koordinaten entspricht er gerade der Abbildung q f ƒ g q ; vgl. dazu [ar]. Warnung: ür die in MATLAB realisierten Anwendungen ist es günstig, untionen als Zeilenvetoren anzusehen; entsprechend sind die für die Algorithmen verwendeten Gleichungen gegenüber den im Text hergeleiteten transponiert. 4. Lifts von Gruppenhomomorphismen 4.. Grundbegriffe Definition 4.4: Es seien G, dyadische Gruppen mit Haarmaßen l,, j:g Æ G ein Homomorphismus. Dann wird durch L : M G Æ M G ; L d x õ d x bzw. gleichwertig L j m A õ m j - A eine lineare Abbildung L L j j j j e j erlärt (vgl. [Reiter] für den Spezialfall der Projetion auf atorgruppen). j õ, der Lift von j,

44 44 4. Lifts von Gruppenhomomorphismen b ach den Regeln für das Übertragen einer linearen Abbildung auf untionen erhält man die Abbildung L j R - z S T b - l f u h l h z ju m = L j m L j l l j L b j f f f z = + d, = f d = Ke - j z z œ Im j z : S G Æ S G als b ~ ~ bzw. gleichwertig L j d x = d j x. (Man beachte die unterschiedlichen ormierungen der Dirac-untionen auf den verschiedenen b untionenräumen!) Aus dieser Darstellung läßt sich die Abbildungsmatrix von L j (4.8) bezüglich der aus Dirac-untionen bestehenden Basis ablesen. Das Bild des Haarmaßes unter einem Lift ist ein Haarmaß auf dem Bild: bfjg bfg bjg L l A + jx = L l A " A Õ Im j; L l Im j = m. Komposition von Homomorphismen überträgt sich auf die Lifts: j j j b m - m e j L = L L. Ist j ein Isomorphismus dyadischer Gruppen, so ist L j f z = f j z. Tensorprodute von Lifts önnen wieder als Lifts identifiziert werden: Seien j i : G i Æ L i, i =, Homomorphismen dyadischer Gruppen, dann ist durch j j : G G Æ L L ; j j g ; g õ j g ; j g ein Homomorphismus zwischen den Produtgruppen, die direte Summe von j,, erlärt. Damit ist Gleiches gilt für L j b j b g. L j j = L j ƒl j wenn die Haarmaße auf den Produtgruppen als Produte der Haarmaße der atoren gewählt werden. Weitere Eigenschaften des Lifts sind im folgenden Satz zusammengefaßt: Satz 4.4: Mit den obigen Bezeichnungen gilt: i) ii) L = L b ~ = L b : S G Æ S G ; f f j j j j L j, L j M L j = spanmb d - d xg* MbGg, x Œ jr = ei - PKe jjmbgg, d L ji = MbG jgbmbgg L j = om Œ MbGgsuppb mg Õ jt = Mb jgbmbg g d L ji = MbG jgbmbg g b b b j j j j j j iii) L m* n = L m * L n, L f * g = L f * L g iv) Ke Ke Ke Ke v) mit Im Im Im, Im \Im L L b = P L b h L = h Q j j j Ke j, j j j Im j h l bg g l Im j j õ b g (4.9) Bemerungen: Die Beweise der obigen Aussagen sind großteils einfache Rechenaufgaben; die Darstellung von KeL j ergibt sich wie jene von b KeP A in Satz 4., siehe dazu [Reiter, 3, 6.4]. (ür Kern und Bild von L j ergeben sich analoge Aussagen; Maßräume werden durch untionenräume ersetzt. Vereinbarung: Künftig wird oft nicht zwischen L b, L unterschieden, wenn der Zusammenhang aus dem Kontext lar scheint.) Insbesondere ist L j genau dann injetiv, wenn j injetiv; gleiches gilt für die Surjetivität. Aussage iii) bedeutet, daß die Lifts Banach-Algebren-Homomorphismen sind. Aus i) folgt: z u dl j m = u G z j dm. (4.) G v) weist den Zusammenhang zu den in ()) und 4..3 eingeführten Projetionsoperatoren. (Man beachte, daß auf den rechten Seiten der Gleichungen nicht mehr die onreten Homomorphismen, sondern nur ihre Kern- bzw. Bildräume vorommen!) Insbesondere ist damit j j

45 4 untionen und Operatoren auf endlichen dyadischen Gruppen 45 L f, L g = h f, g ; L u, L v = u j, v j = h u, v. j j G j G j j G G j G d i j j j Das heißt: Ist fke L fi L f = h f [Con, S. 48])., analog für den dualen Operator: Der Lift ist Vielfaches einer partiellen Isometrie (vgl. Später nützlich werden die folgenden, beinahe trivialen, Verschmelzungsregeln sein: L j = L P L j j j = P L Ke Kej j L = Q L L = L Q j Im j j j j Im j 4.. Einschränungs- und ortsetzungsoperatoren I Lifts werden in diesem Text verwendet, um gewisse ortsetzungs- und Einschränungsoperatoren für untionen zu erlären und deren Verhalten unter der Walsh-Transformation zu studieren (siehe 5.3). Grundlegend ist dafür die folgende Situation: Sei G = V W. v ŒV, w Œ W. In den folgenden Tabellen sind (Paare von) Homomorphismen erlärt: Bezeichnung, Definition: G-Projetion auf W längs V: V q = q : G Æ G; v + w w Kern, Bild: Keq = V,Im q = W ; h = # V Lift: duale Abbildung: L L : S G ~ ~ L d = d W R S T Æ S G Kerne, Bilder: Ke Ke z q q - l G, q fbw vg dl + = V f w + h h v =, v π q w+ v w fi Lq = # bv gpv QW bgg Æ SbGg fbw + vg = fbwg fi = bv g Lq e Lqj Æ Im Lq eim Lqj eim L qj Im L q KeL e qj KeL q bi - PV gsbgg SbG Vg SbWg SbG \ Wg L : S ; L L # Q P q q q W V Bezeichnung, Definition: Kanonische Projetion: Repräsentantenabbildung: p = pv : G Æ G V ; g g + V X = XW : G V Æ G; w + V w Kern, Bild: Ke p = V,Im p = G V ; h p = mg mg V = mv Ke X =,Im X = W ; h X = mg V l G W Vernüpfung: p X = id G V : G V Æ G V, X p = q p X p = p, X p X = X Lift: LV õl : SbGg Æ SbG Vg L p : S G V Æ S G duale Abbildung: L p p b + g = b + g dlv V f x V f x h h = h L p XPV f x + V, ~ ~ L d = d p x z x+ V L : S G V Æ S G ; L u = u p p p b g l q V W RST h Xu w + V v = L Xu v + w = v π = h QW L X pubv + wg, ~ ~ L d = d L : S G Æ S G V ; L f w + V = f w X X w+ V w X

46 46 4. Lifts von Gruppenhomomorphismen Kerne, Bilder: KeL p KeL p Æ Im L p Im L p dim L pi Im L p dkel pi KeL p bi - PV gsbgg SbG Vg SbG Vg lq bim L Xg Im L X bkel Xg KeL X KeL X dkel Xi Æ Im L X dim L pi SbG \ Wg SbWg SbG Vg lq Bezeichnung, Definition: Projetion auf W längs V: Inlusion: V p = p : G Æ W ; v + w w W i = iw : W Æ G; w w Kern, Bild: Ke p = V,Im p = W ; h = m m Ke i =,Im i = W ; h = m l W p G W Vernüpfung: p i = id W, i p = qw p i p = p, i p i = i Lift: duale Abbildung: L p L Æ SbWg z : S G f w f w h d h - p = lw + l G V = h pl ipv f w, L ~ d ~ = d p w+ v w ( V-Teilsumme ) ( Inlusion ) L : S W Æ S G ; L u w + v = u w p p ( V-periodische ortsetzung e j e j Kerne, Bilder: KeL p KeL p Æ Im L p Im L p eim L pj Im L p KeL e pj KeL p bi - PV gsbgg SbG Vg SbWg lq Tabelle 3 V l q L : S W i Æ SbGg RST h iu w v = L iu v + w = v π = h iqw L p u b v + w g, ~ ~ L d = d i w w i W G L : S G Æ S W ; L f w = f w i i ( Einschränung ) Im L i Im L i KeL i KeL i KeL i dkel ii Æ Im L i dim L ii SbG \ Wg SbWg SbWg lq Anmerungen: b V b b V V b KeL V sei die Quotientennorm f + KeL b V õinf f + v eingeführt.) Die duale Abbildung v ŒKeL b G Vg Æ SbGg f f pv ist die übliche Einbettung von auf der atorgruppe erlärten untionen. Aus (4.) folgt in b V L : l G KeL Æ l G V ; f + KeL L f erweist sich als isometrischer Isomorphismus der angegebenen Banach- Algebren. (Auf l G L V b : S ; Verallgemeinerung der Weilschen Relation z G V 4..3 Verallgemeinerte Inverse b V u L f dl = u p f dl u Œ S G V, f Œ S G. G V z b Vg G d G b V i Da sich jeder Homomorphismus zwischen dyadischen Gruppen anonisch zerlegen läßt ( j = i Im j p Ke mit einem Isomorphismus j ), lassen sich die Lifts auf die obigen älle und Lifts von Isomorphismen zurücführen. Es ist aber im Hinblic auf die in Tabelle 3 unter Vernüpfung eingetragenen Relationen zwecmäßig, das Konzept der verallgemeinerten Inversen einzuführen: Definition 4.5: (vgl. [XSW]) Eine verallgemeinerte Inverse zu einem Homomorphismus j:g j j Æ G zwischen dyadischen Gruppen ist ein Homomorphismus j:g Æ G mit jjj = j. Sind j, j verallgemeinerte Inverse voneinander, heißt j reflexive verallgemeinerte Inverse von j. Sprechweise: bj, jg ist ein Paar refleviver verallgemeinerter Inverser (RVI). Satz 4.5: Unter den obigen Voraussetzungen gilt:

47 4 untionen und Operatoren auf endlichen dyadischen Gruppen 47 i) j existiert immer: Mit der Zerlegung G = Ke j V ist die Einschränung von j auf V ein Isomorphismus zwischen V und Im j ; j: G = Im j W G ; jv v; w ist eine verallgemeinerte Inverse. ii) Mit der oben angegebenen Zerlegung von G ist für jede verallgemeinerte Inverse j : j jv Œ v + Ke j, v ŒV. iii) Auch eine reflexive verallgemeinerte Inverse existiert stets: Ist j eine verallgemeinerte Inverse von j, dann ist jjj eine reflexive verallgemeinerte Inverse. iv) ür RVI gilt: G = Im j Kej, G = Im j Ke j., Im, Ke. v) ür RVI gilt mit der obigen Zerlegung jj v + w = v v Œ j w Œ j vi) Ist j injetiv, so ist jede verallgemeinerte Inverse reflexiv. vii) Eine verallgemeinerte Inverse von j * ist j * ; ist j reflexiv, so auch j * * *. (Vorsicht: Im allgemeinen ist j π j!) ür den Beweis sei auf Anhang B verwiesen. Die MATLAB-untion gbinv.m liefert die (reflexive) verallgemeinerte Inverse einer Ÿ - Matrix. Damit lassen sich p V, X V g und e p W, i W j aus den obigen Tabellen als RVI identifizieren. q V W ist als Projetion auch verallgemeinerte Inverse von sich selbst (!). b W Mit verallgemeinerten Inversen läßt sich eine nützliche ormel für den Lift angeben: L = h Q L Im PKe (4.) j j j j j Sie verallgemeinert die in Tabelle 3 unter Lift angeführten ormeln. Damit ann eine Zerlegung der Wirung des Lifts angegeben werden: Sei j:g Æ G mit RVI j. Dann ist L j R - l l bj + g = z d, Ke j f u v S T f u + h h v = v π in Übereinstimmung mit (4.). ür die duale Abbildung ergibt sich U V, u Œ G, v Œ Ke j W gb x + yg = gbxg, x Œ Im, y Œ Ke. Interessant ist die demonstriert: = Kej eq Im j = bv g Ke j Im j L j j j j Vernüpfung der verschiedenen Lifts, hier an den vier möglichen Endomorphismen von S G L = = jl j h jpke j, L jl j L jj L j # P Q Kej L L = L = L q = # V Q P L L = h Q e j j j jj Im j Im j Kej j j j Im j 4..4 Tensorprodute und Lifts ür den all eines Paares RVI bj, jg soll gezeigt werden, wie sich bezüglich einer geeigneten Basis die Abbildungsmatrix des Lifts durch Kronecer-Produte darstellt. Sei dazu G = V W, G = V W, V = Ke j, W = Im j, die überstrichenen Gruppen entsprechen Kern und Bild von j. Dann ist V V W. ür j erhält man folgende Zerlegung: j: R S T iso j iso W G = V W ææææææææ Æ V W ææææææææææææ Æ V W ææææææææ Æ V W g = v + w v; w Æ ; jw jw ( die ullabbildung V ). Zunächst wird L j = L ƒ L j betrachtet ( j õ j W ): ür g W ist ~ L j g = l l g j f w = d w f d l = l l c w f v. Bezüglich der W W ; für f V Standardbasis auf S V Œ S ist L V d V Vi  V v ŒV ergibt sich die Abbildungsmatrix von L zu lv L = L H G I, Œ M # V V l V KJ d i # ; z Œ S d i

48 48 4. Lifts von Gruppenhomomorphismen damit ergibt sich bezüglich der Kronecer-Produtbasis = ƒ = H G l L L L ƒ L KJ j j j l I, (4.) die Abbildungsmatrix der dualen Abbildung bezüglich dieser Basis ist L j L L L L = ƒ = H G I K J ƒ j j j ist dabei eine (näher zu bestimmende) Permutationsmatrix. (Die Haarmaße auf den direten Summen und den direten Produten seien gleich normiert.) Sind nun die Basen v auf S V L - v, L w die Abbildungsmatrix von L j die orm (4.). iso iso T. und w auf SbWg die Standardbasen, so hat bezüglich der Standardbasen Die eben abgeleiteten ormeln lassen sich insbesondere dazu verwenden, Tensorprodut-ormeln für Einschränungs- und ortsetzungsoperatoren herzuleiten. olgende Paare verallgemeinerter Inverser werden behandelt: () Inlusion und Projetion: R T x x; i ææææææ Æ i, p : S Ÿ ææææææ æ Ÿ p x " x; x ür den Lift der Inlusion betrachte die Ersatzabbildung : Ÿ L id + b +g id lq ææææææææææ Ÿ e + ; dann ist æ Æ = I ƒ H I K bezüglich der üblichen ormierung der Haarmaße. Da die Kronecer-Produtbasen von Ÿ gleich den Standardbasen sind, erhält man für Inlusion und Einschränung: L i = I ƒ H I K L, i = I ƒ L i f = f ƒ H I K = d fbg,, fb. g,, fb. g,,, fb. g, L T f = I ƒ f = f, f., f.,, f. Die Projetion hat die Ersatzabbildung Ÿ - Mittel und -periodische ortsetzung: i d i d id + e æææææææææææ ÆŸ l q ; damit ergibt sich für e + d i i L p = I ƒ L, p = I ƒ H I K L p f = I ƒ f = f + f f + f f + f d.,..,,,.. T L p f = f ƒ H I K = f f f f f f f f d,, b. g, b. g, b. g, b. g,, b. g, b. gi i i T T () Shift und inverser Shift: R x, x S - S, S : ææææææ Æ j S Ÿ æææææææ æ Ÿ + - S z " x, z e T b g

49 4 untionen und Operatoren auf endlichen dyadischen Gruppen :+ Der Shift ist injetiv; für S - ergibt sich Ÿ = KeS Im S = e Ÿ. Als Ersatzabbildung für den Shift wähle S :+ lq Ÿ æææææææææ Æ e Ÿ. Man überzeugt sich leicht davon, daß die Abbildungsmatrix des Lifts des Shifts zwischen e j e S Ÿ :+ j, S Ÿ ein Vielfaches der Identität ist; Zurücführen auf die ursprünglichen Räume ergibt L S = H I K ƒi L, S = ƒ I L S = H I T f K ƒ f = d f, i L f = ƒ I f = f, f., f. S T d i d i :+ Umgeehrt wird als Ersatz für S - die Abbildung e Ÿ æææææææææææ - Æ Ÿ S l q gewählt; man erhält d i = H I K ƒ d i i L - = ƒi L, - I S S L - = ƒ I = S f d f f f., f. f.,,, f. f. L = - S H I T K f ƒ f = d f, f i Bemerung: Die Kronecer-Produt-Darstellung der hier erlärten Einschränungs- und ortsetzungsoperatoren hätte man mit weniger Mühe auch erraten önnen; wesentlich an den Resultaten ist der Zusammenhang mit den Lifts von Gruppenhomorphismen. Abbildung 6 visualisiert die Wirung der eben erlärten Operatoren. Disussion: Will man Einschränungs--/ortsetzungsoperatoren auf Ÿ erlären, so erennt man, daß die Tensorprodut- Darstellung etwa der Inlusion auf Ÿ der Tensorprodut-Darstellung des Lifts des Shifts auf Ÿ (bis auf einen ator) entspricht, für die anderen Tensorprodute gibt es ebensolche verdrehte Zuord.ungen. Eine Erlärung dieses Phänomens besteht darin, daß etwa die Inlusion auf Ÿ dieselbe Koordinatenform hat wie der Shift auf Ÿ etc.. Im einzelnen ergeben sich folgende Tensorprodute (die Homomorphismen auf Ÿ werden mit Punt geennzeichnet): = H I K ƒ L I L i i = ƒ I L = ƒi L = H I p p K ƒi L I L I S = ƒ H I K - S - = ƒ L I L I S = ƒ S = ƒ H I K T d i auf Ÿ 4 ; zweite Reihe: L L L L Abbildung 6: Einschränungs- und ortsetzungsoperatoren. Oben: f õsin. 8 p x i f, p f, S f, f -. Dritte Reihe: S g õ f õsin e. 8 p xj auf Ÿ 5 ; letzte Reihe: L L L ig, pg, Sg, L - g. Die Bezeichnung der Lifts ist wie im Text. Bemerung: Der Operator L S S - summiert line und rechte Hälfte der gegebenen untion.

50 5 5. Grundlagen 5 Walsh-Transformation auf endlichen dyadischen Gruppen 5. Grundlagen Vereinbarung: (G,H) bedeuten im olgenden, wenn nicht explizit anderes gesagt wird, stets zwei endliche dyadische Gruppen mit dualer Paarung y õ y, Y õ Y, G wird Zeitbereich, H der Spetal- oder Sequenzbereich genannt. H G H G 5.. Definitionen, Hauptsätze Definition 5.: Die Abbildung H G G S G Æ S H ; f W f õ f : f h õ f, y h, _ = f x y h, x dl x heißt (endliche) Walsh-Transformation (WT) von f. Der Träger von f heißt Spetrum von f, notiert als Sp(f). olgende Spezialfälle erhalten a:b r:s eigene amen: ür G = Ÿ Ÿ und die Paley-Paarung spricht man von der Walsh-Paley-Transformation, WPT a,b r, s, insbesondere für Ÿ von WPT und für Ÿ von WPT Ṅ. Analog wird die Walsh-Transformation für die genannten Gruppen und die Sequency-Paarung als WST (mit den entsprechenden Indizes) bezeichnet. Ist U eine Umordnungsmatrix, so sei WTU f h = WPT f Uh. ür Maße ist die Walsh-Transformation erlärt als d i W : M G Æ S H ; W m h õ m h = m y h,_ = y h, x d m x. H G H G Die -otation wird verwendet, wenn Ur- und Bildbereich beannt sind. Die Walsh-Transformation ist offensichtlich eine lineare Abbildung zwischen den angegebenen Maß- bzw. untionenräumen; die Definition für Maße ist mit der für untionen onsistent: = f. Direte Berechnung der WT ann mit Hilfe der Definition geschehen: f = l f G m f z z G Y ; es gibt aber wesentlich effizientere Berechnungsmöglicheiten, siehe 5... Aus der Definition der WT folgt unmittelbar die ormabschätzung Offensichtlich ist f bg = z G f f. f dl. Ein Blic auf Gleichung (4.7) zeigt, daß die Walsh-Transformation einer untion ein Vielfaches ihrer Koordinatendarstellung bezüglich der aus Walsh-untionen bestehenden Basis von S G Bemerung: f = f für alle untionen f aus S G ist: f = mg f Auf H ist als dyadischer Gruppe ebenfalls eine Walsh-Transformation erlärt: ür r Œ SbHg ist GWH rbxg = z rbhgybh, xg d l Hbhg. (5.) H Das Zusammenspiel dieser beiden Transformation bildet den Inhalt von Satz 5. (Inversionssatz): W W mgm H G H H G = G id S z G # Beweis: G H H G f x = f z y h, z dl G z y h, x dl H h = f z y h + x, z dl G z dl H h = W W (*) folgt aus Satz 4.3. Im Hinblic auf dieses Reslultat erfolgt die H z z G H G yb, g dl H dl G H x G H G H G c dl l bg = f z h + x z h z = m f z z z = m f x G = m H cx z d i d* i z z z Y.

51 5 Walsh-Transformation auf endlichen dyadischen Gruppen 5 Definition 5.: Die Haarmaße auf G,H seien stets so normiert, daß mg m H =#bgg bzw. gleichwertig l G l H = # G. l H heißt das zu l G duale Maß. (ür die bisher eingeführten dualen Paarungen und die in Tabelle angegebenen ormierungen von Haarmaßen ist diese Vereinbarung erfüllt.) - ür duale Haarmaße vereinfacht sich die Inversionsformel zu H W G = G W H - (5.) Damit folgt für die Haarmaße von zueinander orthogonalen Untergruppen l GbV g l HeV j =, insbesondere ist l H m G = -. (5.3) Bemerung: Die Besonderheit der Inversionsformel (5.) vom Standpunt der abstraten harmonischen Analysis besteht darin, daß die inverse Walsh-Transformation mit der Walsh-Transformation zusammenfällt: Es besteht eine otwendigeit, etwa in (5.) den onjugierten Charater zur Definition der inversen WT heranzuziehen alle Charatere sind reellwertig. Die Walsh-Transformationen zweier wichtiger untionen sollen bereits hier angeführt werden: x ~ ~ y,_ = d, d = y _, x (5.4) Mit der Vereinbarung über die ormierung dualer Haarmaße folgt sofort (Beweis durch achrechnen) Satz 5. (Plancherel-Parseval): Die Walsh-Transformation ist eine Isometrie: l Der Parsevalschen Gleichung ann noch eine andere, manchmal nützliche, orm gegeben werden: f, g = f, g " f Œ S H, g Œ S G H G G Æ l H : f = f.es ist f, g = f, g.. (5.5) Die wohl bemerenswerteste Eigenschaft der Walsh-Transformation ist ihr Zusammenspiel mit der altung: Aus der Reprodutionseigenschaft G H f * y = f, y y (5.6) folgt f, y = f * y und damit f * g = f g* = f g = g f Satz 5.3 (altungssatz): f * g = f g " f, g Œ S G., y, y,, y y, y, y. Das beweist Aus dem altungssatz ergibt sich sofort eine Charaterisierung der untionen, die eine altungsinverse auf G besitzen: Zu ~ - f Œ S G $ g Œ S G, f * g = d Sp f = H. In diesem all ist g = f Die Bedeutung der eben angeführten Sätze liegt darin, daß mit ihrer Hilfe das Rechnen in einer schwierigen Algebra, der altungsalgebra S G e j. in das Rechnen in einer einfachen Algebra, nämlich dsbhg i, +, überführt wird isometrisch und invertierbar. Etwas M onreter: Direte Berechnung einer altung zweier untionen auf einer dyadischen Gruppe der Ordnung õ ostet o Multipliationen; Multipliation zweier untionen auf der dyadischen Gruppen beansprucht nur Multipliations-Operationen. Der pratische Vorteil beim Rechnen in SbGg scheint dennoch nicht vorhanden - benötigt die direte Berechnung der WT einer untion doch wieder o e j Multipliationen. Es stellt sich aber heraus, daß die WT mit wesentlich geringerem Aufwand zu berechnen ist - pratisch ohne Multipliationen: Dies geschieht mit Hilfe der sogenannten Schnellen WT (ast WT, WT), worauf in 5.. urz eingegangen wird. Die MATLAB-untionen wp.m und wp.m realisieren diese schnelle Walsh-Transformation für ein- und zweidimensionale untionen. Auf derartigen untionen basierend realisiert dyconv.m die dyadische altung. Die Bedeutung des altungssatzes beruht aber nicht allein auf der einfacheren Berechenbareit dyadischer altungen: Multipliation von untionen ist auch unmittelbarer anschaulich und analytisch leichter handhabbar tatsächlich werden viele altungsoperatoren am einfachsten spetral, d.h. über ihre Walsh-Transformierten als Multipliationsoperatoren erlärt, siehe 5.5. e j

52 5 5. Grundlagen Ein experimentelles Werzeug zur Veranschaulichung von altungen und Walsh-Transformationen auf den Gruppen Ÿ und Ÿ Ÿ bietet die MATLAB-funtion walshlab. Ihr Aufruf öffnet ein enster, das Ergebnis einer Berechnung önnte wie in M Abbildung 7 aussehen: Abbildung 7: walshlab-oberfläche Die untionsweise des Programms läßt sich grob wie folgt beschreiben: Die enster lins zeigen (Scharen von) untion(en), die rechten Seiten die entsprechenden Walsh-Transformierten. Die untionen im enster unten lins sind die altungen der untionen in den enstern darüber. Entsprechend ist im enster unten rechts das puntweise Produt der untionen in den darüber liegenden enstern zu finden. Wird eine untion bzw. ihre WT abgeändert dies ann durch Eingabe von MATLAB-Ausdrücen in den sich unter den oberen vier enstern befindenden Eingabefeldern geschehen werden die Ergebnisse des altungsproduts neu berechnet und dargestellt. In der Datei demo.doc finden sich mit walshlaestaltete Beispiele. 5.. Walsh-Transformation von linearen Abbildungen Definition 5.3: Sei A: S G Æ S G eine lineare Abbildung. Dann ist durch Af Af A : S H Æ S H festgelegt, die Walsh-Transformation von A. õ eine lineare Abbildung Es ommutiert das Diagramm B S G S H B A æææææææ Æ S G A æææææææ Æ S H Da die Walsh-Transformation von Maßen bereits erlärt wurde, Maße als Linearformen aber auch lineare Abbildungen sind, bleibt für diesen all die Übereinstimmung beider Definitionen zu lären. Wenn die WT S = " Œ, also trivial, erlärt ist und das sei der all stimmen die beiden Definitionen tatsächlich überein, und es ist m, f Kern und Bild von  erhält man aus den entsprechenden Räumen für A: Ke A = Ke A, Im A = Im A dl qi durch x x x = mb fg. (5.7) Leicht nachzurechnen ist die Vertauschbareitsrelation zwischen dualem und Walsh-transformiertem Operator: da = A i (5.8)

53 5 Walsh-Transformation auf endlichen dyadischen Gruppen 53 Die Walsh-Transformierte eines altungsoperators ist ein Multipliationsoperator: C = M. Insbesondere ist T f f a = M yb_, ag. In 4..3 wurde angeführt, daß die direte Bestimmung von Kern und Bild bei altungsoperatoren schwierig sein ann; mit Hilfe der WT lassen sie sich sofort aus den entsprechenden Größen der Multipliationsoperatoren ableiten: = g Œ KeC f * g supp g» supp f =, f g Œ Im C g = f * h supp g Õ supp f f Die Zerlegung S G KeC f Im C f folgt aus (5.7) und der entsprechenden Gleichung für Multipliationsoperatoren Walsh-Transformation auf Unter-, ator- und Produtgruppen e j e j Zunächst soll die Wirungsweise der Walsh-Transformation auf untionen aus S G disutiert werden, deren Träger Teil einer Untergruppe ist, oder die auf Komengen einer Untergruppe onstant sind: Satz 5.4: Sei V G, f Œ SbGg. Es ist e j e j supp f Õ V f Œ S H V bs H, f Œ S G V bs G supp f ÕV (5.9) Eine Anwendung ergibt sich in der Bestimmung der Walsh-Transformation von c V : Die untion hat den Träger V, die Walsh- Transformation ist auf den Komengen von V onstant; andererseits ist c V auf Komengen von V onstant, das Spetrum ist Teilmenge von V. Zusammen ergibt sich: die Walsh-Transformation von c V ist das Vielfache der Indiatorfuntion auf V, und zwar e e jj. (5.) c = l V c = l V c, V G - V G V H V Damit läßt sich V einfach bestimmen. Ist A Õ G eine Untergruppe von G, so ist doch ĉ A auf Komengen von A onstant; insbesondere ist So läßt sich auch in diesem all A A G hœh A c = l A = maxc h " h Œ A. identifizieren. Die MATLAB-untion cwpog.m berechnet auf diese Art für die Paley- Anordnung auf Ÿ die Indiatorfuntion der orthogonalen Gruppe zu einer gegebenen Menge A. Ausgeschrieben liefert (5.) nützliche Gleichungen für Integrale von Walsh-untionen: l G V, V yb, vg l Gbvg R Œ z d = S V T, œv z l H V, v V yb, vg l Hbg R = e j Œ d S V, v œv T (5.) Aus (5.) folgt für die Walsh-Transformationen der Operatoren P ür shift-invariante Anordnungen auf Ÿ folgt daraus P V, Q : V Q = P, P = Q. (5.) V V V V = Q -. º bmg º b Mg Insbesondere ist f Œ KeP f. Aus (5.) erhält man mit der Parsevalschen Gleichung verschiedene Versionen der Poissonschen ormel: V V

54 54 5. Grundlagen P V fbxg = f x z G z f h h x H h V V GbV g b + g dl = yb, g dl, l  f x z z V b + g = l HeV j f  h h x h V f G = f H V V G V z z y,, Œ Œ dl dl l z Wird auf G Vg das zu l G V duale Maß l V gewählt, schreibt sich die Poissonsche ormel in der orm zv zv f dl = f dl. V z V Dabei wurde folgende einfache, aber nützliche Tatsache verwendet: (5.3) at 5.5: Stehen die Haarmaße auf G, V, G V in anonischer Relation und werden auf den dualen Gruppen die dualen Haarmaße geählt, so stehen auch diese in anonischer Relation. b g Sei nun f Œ S G V b S G. Der Zusammenhang der Walsh-Transformationen von f auf G und auf G V (bezüglich der atorpaarung) ist gegeben durch Ist f Œ S V S G e j e j. H WG f v = mv W V G V f v " v Œ V, dann schreibt sich der Zusammenhang zwischen den Walsh-Transformationen auf der Gruppe und der Untergruppe (bezüglich der Untergruppen-Paarung) als H V e j V l G V WV f h + V = H WG f h " h Œ H. m Die letzten beiden Ergebnisse sind Spezialfälle von Resultaten über die Walsh-Transformation des Operators L j ; mehr dazu in Beispiel: Sei G = Ÿ, V = º G. ür Ÿ -stabile dyadische Anordnungen ist º M = Ÿ M (Gleichung (3.5)). In diesem all ist b P V f g = f M Ÿ. Daraus folgt insbesondere, daß M P V z M = b + g dl =  Œ U M y,. º Ÿ M f x f x h h f x Teilsummen der Entwiclung einer untion nach der Basis der Walsh-untionen entsprechen Integralmittelwerten. Dieses Ergebnis spielt in der nichtendlichen Theorie der Walsh-untionen eine heausragende Rolle: Aus ihm folgt die f.ü. Konvergenz der -ten Teilsummen einer Walsh-ourier-Reihe. Siehe dazu 6. und die dort gegebenen Literaturhinweise. Mehr über derartige altungsoperatoren findet sich in 5.5. d i Seien G, dyadische Gruppen mit dualen Paarungen y i õ H y i G, i =,. Auf G G i sei die Produtpaarung y bh ; hg, ; g g = y h, g y h, g gegeben. Dann ist die WT auf SbG Gg bezüglich der Produtpaarung das Tensorprodut der Walsh-Transformationen auf den atoren: W = W ƒ W, (5.4) H H G G H G H G wenn die Haarmaße auf den jeweiligen Produten die Produte der Haarmaße der atoren sind. Analog ist für lineare Abbildungen R i : S G i Æ S U i, i =, (alles untionenräume über dyadischen Gruppen) br ƒ R = R g ƒr, wenn wieder Produtpaarungen angenommen werden. Bemerung: Gleichung (5.4) erlaubt es, partielle Walsh-Transformationen für untionen auf Produtgruppen einzuführen: ür f Œ SbG G g sei H W G fbh g f g g H G h g G g, gõz b, g y b G, g d l b g.

55 5 Walsh-Transformation auf endlichen dyadischen Gruppen 55 Gleichung (5.4) besagt dann, daß die Walsh-Transformation auf der Produtgruppe durch Iteration der partiellen Walsh- Transformationen berechnet werden ann. Dies ist insbesondere für die Walsh-Transformation zweidimensionaler Signale, aber auch für die sogenannte Short Time Walsh-Transformation (STWT) von Bedeutung: siehe 5..,5... In der Datei demo.doc finden sich Besipiele für die partielle Walsh-Transformation WT und Gruppenhomomorphismen Ziel dieses Abschnitts ist es, die Walsh-Transformation der Lifts von Homomorphismen dyadischer Gruppen herzuleiten und für ator- bzw UG-Indizierungen ormeln für die WT der Einschränungs- und ortsetzungsoperatoren zu gewinnen. Sei G j ææææææ ÆG j * : Ausgangsput der Untersuchung ist die Beobachtung b g d i b g e j, * L j y h, _ x = y h, jx = y j h, x " x Œ G, h Œ H die zu j (im Gruppensinn) adjungierte Abbildung. Daraus läßt sich eine ormel für die WT des Lifts gewinnen: dl j f i b h g L j f, y b h, _ g f, L jy b h, _ g f, y ej h,_ j f ej h j = = * * = =, G G G also L j = L * (5.5) Im Spezialfall der Projetions- und Repräsentantenabbildungen aus Tabelle 3 erhält man (mit den dortigen Bezeichnungen) in Worten dlbpvgi = L di L p L i V i d b Vgi d V i = W W dlb Wgi = L e p L L V j d b Wgi = e pv j X X j, (5.6) Projetion=Einschränung W-Repräsentantenabbildung=V -per. ortsetzung Einbettung=Inlusion W-Einschränung=V -Teilsumme Ob sich eine in Koordinaten einfache Kronecer-Produt-Darstellung dieser Lifts ergibt, hängt von den orthogonalen Räumen und demnach von der verwendeten dyadischen Indizierung ab; für die WPT werden diese ragen (auch für die WT der Lifts des Shifts) in 5.. behandelt; eine Disussion für allgemeine Indizierungen findet sich in Koordinaten-Darstellung der WT von Operatoren ür einen Operator A:G Æ G soll die Abbildungsmatrix seiner WT angegeben werden, desgleichen für untionen f Œ SbG G g ihre Bild-Darstellung. Vorausgeschict sei die - - Bemerung: Y = # bgg Y. Sei nun Y õ Y, Y õ Y. Dann ist H G H G  = l m G T Y A Y. ür f Œ SbG G g ergibt sich die Bild-Darstellung zu T f = l bgl bgy f Y.

56 56 5. Walsh-Paley-Transformation 5. Walsh-Paley-Transformation In diesem Abschnitt sei G õÿ M, G õÿ die duale Paarung sei die Paley-Paarung. Zwei Besonderheiten der WPT werden vorgestellt: Zum einen ist dies die Tensorprodut-Eigenschaft, die einen einfachen Zzusammenhang zwischen ein - und zweidimensionaler WPT herstellt und so beispielsweise einfache Berechnung der WPT von Einschränungs- und ortsetzungsoperatoren erlaubt. Eng damit zusammenhängend ist die Möglicheit der schnellen Berechnung der WPT; ein möglicher Algorithmus wird disutiert; er ommt ohne die in der diesbezüglichen Literatur oft erwähnte Bitumehr aus und ermöglicht in Ansätzen eine physialische Interpretation der WPT. Kontrastierend wird eine andere orm der Walsh-Transformation auf einem Ÿ, die Walsh-Hadamard- Transformation (WHT), eingeführt: Auch diese verhält sich gut gegen Tensorprodut-Bildung und erlaubt schnelle Berechnung; die Lifts der Einschränungs-/ortsetzungsoperatoren werden jedoch schwieriger interpretierbar. 5.. WPT und Tensorprodute, WHT Das Verhalten der WPT auf Produten von M M Ÿ s: Ÿ Ÿ ; x; y x + S y = " x, y " und der Adjungierten s * : M+ Æ M Ÿ Ÿ Ÿ, -M S M " b, Mg" b M ; g = + = läßt sich aus dem in (.4.4) behandelten Isomorphismus folgern: Der Lift e j e j e j L s : S Ÿ M S S ; ~ d ~ d ~ d ~ ƒ Ÿ Æ Ÿ M+ ƒ, = d + x y M x y x S y hat bezüglich der Standardbasen auf den jeweiligen Räumen die Identität als Abbildungsmatrix. In der Bild-Darstellung entsrpicht er dem zeilenweisen Auslesen einer gegebenen Matrix. Auf M Ÿ Ÿ wird das zeilenweise Auslesen durch : M M+ - s Ÿ Ÿ Æ Ÿ, ; S + = ", " mit entsprechendem Lift realisiert. Erlärt man modifizierte Tensorprodute b M g M b M g e j e j e j s e j e j e j s M M+ S Ÿ ƒ S Ÿ Æ S Ÿ ; f ƒ g õl f ƒ g S Ÿ M M+ ƒ S Ÿ Æ S Ÿ ; f ƒ g õl f ƒ g dann ist in beiden ällen f ƒ g = f ƒ g, die Koordinatendarstellung der modifizierten Tensorprodute wird also durch das Kronecer-Produt vermittelt. ür die WPT erhält man die Tensorprodut-Eigenschaft Gleiches gilt für die WPT auf Ÿ c h S S. (5.7) WPT f ƒ g = WPT f ƒ WPT g, f Œ, g Œ M+ M M Ÿ. M Definiert man nun für lineare Abbildungen ebenfalls ein modifiziertes Tensorprodut durch c hc h A ƒ B f ƒ g õ Af ƒ Bg, so folgt A ƒ B = L A ƒ B L - (für die dualen Gruppen verwende ṡ ), Koordinatendarstellung ist wieder das Kronecer-Produt s c h s der Abbildungsmatrizen, und die WPT schreibt sich als ca ƒ Bh = B ƒ A (5.8) Anwendungen: () Aus den erhaltenen Resultaten önnen unmittelbar die Tensorprodut-Darstellungen für die Walsh-Paley-Transformierten der Einschränungs-/ortsetzungsoperatoren auf Ÿ erhalten werden: Es ist

57 5 Walsh-Transformation auf endlichen dyadischen Gruppen 57 H I K = H I K, H I K = H I K = = (siehe 5..5) und damit = H I K ƒ = = ƒ = L, i I L L i I L, p p L = ƒ I = L, i L = H I p K ƒ I = L p i (5.9) Analog für die Lifts der Shifts: L, S = I ƒ H I K = L L I L, S S = ƒ = S L = I ƒ = L, L = I ƒ L S S S H I K = S - (5.) ür eine Illustration siehe Abbildung 3. () Die Tensorprodut-Eigenschaft der WPT stellt einen Zusammenhang zwischen ein - und zweidimensionaler WPT her: Sei M f Œ SeŸ Ÿ j. Dann ist f = L - s WPT +M L f, das heißt: Wird die untion zeilenweise ausgelesen, auf das Ergebnis die ( eindimensionale ) WPT angewandt und das Resultat dann wieder zeilenweise eingelesen, so ist die Bild-Darstellung des Ergebnisses genau die Transponierte der Bild-Darstellung von f. (ür die lassische endliche ouriertransformation läßt sich ein derartiges Ergebnis i.a. nicht erreichen.) Es ist also für die Berechnung der WPT einer untion (fast) gleichgültig, ob diese untion ein- oder zweidimensional aufgefaßt wird. Dieses Ergebnis ann man sich bei der sogenannten Short Time Walsh-Transformation (STWT), (auch gefensterte Walsh-Transformation genannt) zunutze machen: Die Idee besteht darin, für eine auf Ÿ -K+:M definierte untion die Walsh-Transformation auf Komengen von º durchzuführen: eb K STWT f l, w õ T f c w, l Œ, w Œ º Ÿ Ÿ l g j s T M Wird f, zeilenweise eingelesen, mit L s - f identifiziert, dann entspricht der STWT gerade die partielle Walsh-Transformation (siehe 5..3) von L s - f.die Tensorprodut-Eigenschaft der WPT erlaubt es nun, die vollständige Walsh-Transformierte von f durch spaltenweise Walsh-Transformation und anschließendes spaltenweises Auslesen zu erhalten. ür Beispiele siehe demo.doc. Bemerung: Die Tensorprodut-Eigenschaft zeichnet die WPT unter allen Ÿ -stabilen Anordnungen aus: Ist U stabiler Umordnungsmatrizen, dann ist c i ih b U ig b U igu i e j i e j f g g - ƒ = ƒ f " f Œ S Ÿ, g Œ S Ÿ " U = id. (5.) (Der Index U deute WT bezüglich der durch U gegebenen Anordnung an.) c h eine olge Ÿ - (3) Vor allem in der technischen Literatur ist eine dyadische Indizierung gebräuchlich, die sich insbesondere bei der Analyse logischer untionen zu bewähren scheint: ür M õ G = Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ M - fach

58 58 5. Walsh-Paley-Transformation M die Produtanordnung der dyadischen Anordnung auf Ÿ (es gibt nur eine); das ist die Hadamard-Indizierung von bÿ g M (man beachte die Klammerung). Werden untionen auf bÿ g M zeilenweise ausgelesen, ergibt sich die Hadamard-Paarung sei H õ Ÿ auf Ÿ M Ÿ als M b g M x x M y h ; M, x = Die zugehörige Umordnungsmatrix ist U h; M = HG I KJ, die Hadamard-Anordnung ist ersichtlich nicht Ÿ -stabil. Das bestätigt ein Blic auf Abbildung 8. Die Walsh-Transformation bezüglich der Hadamard-Paarung wird als WHT bezeichnet; die Anwendungen in der Signaltheorie sind wegen der fehlenden Ÿ -Stabilität gering (die WHT der ortsetzungs- und Einschränungsoperatoren liefert einen Eindruc, siehe Abbildung 3); wo derartige ragen seundär sind (etwa gerade bei der Analyse logischer untionen, vgl. [lechner],[td],[al]), ann die WHT ebenso wie die WPT verwendet werden. Insbesondere ist WHT f ƒ g = WHT f ƒ WHT g c h. Im hiesigen Text wird die WHT zur Kontrastierung verwendet. (Anmerung: Der häufige Gebrauch der WHT in Texten zur pratischen Berechnung der WPT (!) Rezept: Berechne die WHT, die WPT ergibt sich daraus mit einer Bitumehr, das entspricht der obigenumordnungsmatrix beruht auf einem Mißverständnis: Die WPT benötigt zu ihrer effizienten Berechnung einer Bitumehr; siehe dazu den folgenden Abschnitt.) 3 Abbildung 8: Die Walsh-Hadamard-untionen auf Ÿ, Ÿ, Ÿ, Ÿ Schnelle WPT ür die WPT läßt sich eine Reursionsgleichung entwiceln: ür Œ - Ÿ, x Œ Ÿ -, y Œ eine Walsh-Paley-untion ist ydb, g, bx,* gi = yb, ydb, g, bx, gi = yb, xg, (5.) ydb, g, bx, gi = -yb, xg in Matrixschreibweise Y HG Y = Y - - I KJ, (5.3) ƒ, ƒ, - ( Y die Walsh-Paley-Matrix auf Ÿ ).

59 5 Walsh-Transformation auf endlichen dyadischen Gruppen 59 Abbildung 9: Illustration von (5.) Die MATLAB-untion wpd.m realisiert die obige Reursion; man beachte, daß diese Variante ohne (die sonst in der Literatur stets vorhandene) Bitumehr ausommt! (Die MATLAB-untionen wpdemo.m und wpdemo.m demonstrieren den reursiven Aufbau der Walsh-Paley-Matrizen). In [HL] wird eine physialische Interpretation der WPT vorgestellt, die hier urz referiert werden soll: ür T c h S ist f = f,, f Œ Y f = HG Y Y - - mit den Summations- bzw. Differenzenoperatoren G HG G HG f f f f f f f f + f + f + f + f - f - f - f - f II J KJ I J KJ KJ HG = Y Y - -  : S Æ S ;  f x õ f x, + f x,, D - : S Æ S ; D f x õ f x, - f x,. -  D U V W f f I K J, (5.5) -, x Œ Ÿ. (5.6) c h. Bemerung: Der Summationsoperator ist genau das in 4..4 besprochene L p, für den Differenzenoperator gilt: D f = L p r - f Gleichung (5.5) läßt sich auch mit Hilfe der Weilschen Relation (Gleichung (4.6)) herleiten. Damit schreibt sich die WPT reursiv als WPT WPT-  f I f = HG WPT- f K J D b f g -bâ fg b fg -bd fg. Das bedeutet insbesondere, daß WPT - = WPT, WPT - = WPT, Ÿ e -+ +Ÿ das heißt, die niedersequenten Anteile des WP-Spetrums lassen sich als WPT eines Mittelwerts von f deuten, die hochsequenten Anteile sind die WPT einer Differenz! Die WPT ergibt sich durch Iteration dieses Vorgangs:

60 6 5. Walsh-Paley-Transformation Zur Strutur der beteiligten Matrizen: R = HG I H ; K R, R, - I   - D WPT f = G J G J f f   G J HG KJ D - HG  I K J = R, R,. - D D D - R, I KJ - - -,, R -, -, R - = ; R, = HG R, KJ - - -fach Die Matrizen sind orthogonal, ihre Inversen sind im wesentlichen die Transponierten: R H G - I K J - -, = -, R, - - G - I R -, - =. - HG R -, -KJ -fach Alle R, sind dünn besetzte Matrizen, die Anzahl der Elemente ungleich ull ist R, als dünn besetzte Matrizen. Bemerungen: + I J H I K. -. Die MATLAB-untion rmat.m erzeugt die () Die WPT läßt sich mit der angegebenen Reursion bis auf die - im wesentlichen unwichtige - Multipliation mit nur durch Additionen bzw. Subtrationen realisieren; der Aufwand An Rechenoperationen beträgt O n log n, n = für ein Signal der Länge n. Besteht der Signalvetor aus ganzen Zahlen (etwa oft in der Bildverarbeitung, aber auch bei sog. quantisierten Signalen), so läßt sich die WPT in rundungsfreier estommaarithmeti realisieren. - Es gibt viele weitere Möglicheiten der schnellen Berechnung der WPT, vgl. etwa [ER]. () Die beiden eben erlärten Operatoren Â, D liefern die nieder- bzw. hochfrequenten (in diesem Zusammenhang spricht man von den - sequenten Anteilen) eines Signals f: Sei * õ ~ d + ~ d, *+ õ ~ d - ~ d e j e j. Dann ist I f x f x KJ fi * b, g = * b, g, e e f + f f + f * * f = f + f * * f + f G das altungsprodut ist also auf Komengen von e onstant. Andererseits ist H f - f - f + f *+ * f = f - f *+ f x *+ f x - f + f G J fi *, = - *, H I K, hier beschreibt das altungsprodut gerade die Veränderung innerhalb der Komengen von e. Mit dem Sampling-Operator ƒ : : S S- ; ƒ : f x õ f x, ist dann Æ c h c h  f = ƒ * * f, D f = ƒ *+ * f.

61 5 Walsh-Transformation auf endlichen dyadischen Gruppen 6 Bemerung: Der Differenzenoperator hängt mit dem Summationsoperator via D f =  WPT f =  M  M  M f, r r - r - M r - f zusammen. Damit ist der Paley-Index gibt also an, welche Summen- bzw. Differenzenoperatoren in welcher Reihenfolge auf die untion angewendet worden sind. ür eine auf Ÿ 3 erlärte untion f ist etwa f = 3 D D  f. (3) Wird die Transformation f HG  D f f I K J in den weiteren Reursionsschritten nur auf den niedersequenten Anteil angewendet, also I K J H  -  f  f f D -  f HG D f G J D f so erhält man die Haar-Transformierte von f, also (bis auf eine multipliative Konstante) die untion f, haar, _ I K (!). (Hier besteht ein Zusammenhang zu sogenannten Multisalen-Analyse und der Konstrution von Wavelets siehe dazu etwa [LMR] Die MATLAB-untionen ht.m und ht.m realisieren die Haar-Transformation. Beispiel: Die MATLAB-untionen wpneut.m und wptest.m realisieren die hier angegebene Iterationsvorschrift, erstere als Demo- Programm, das zweite (nur für leinere Ÿ sinnvoll) gibt die olge der Teilgraphen aus, die bei fortgesetztem Anwenden der Summations- und Differenzenoperatoren entstehen, zum Schluß - wieder in eine Abbildung zusammengefaßt - die WPT (siehe Abbildung ). Die zweidimensionale WPT läßt sich als Abfolge von zeilenweisen eindimensionalen WPTen, gefolgt von spaltenweisen WPTen ansehen (die Reihenfolge ann natürlich auch umgeehrt sein). Alles für die eindimensionale WPT Gesagte gilt natürlich auch hier; insbesondere läßt sich eine schnelle WPT angeben; in Abbildung wird der erste Reursionsschritt gezeigt: ür die WHT ist eine ähnliche Deutung möglich: Die Walsh-Hadamard-Matrix der Ordnung, Y h,, läßt die Reursion Y = Yh ƒ - - h,, H I K (5.7)

62 6 5. Walsh-Paley-Transformation Abbildung : Die untion exp - 6 x QP 5 5 L O M e j auf Ÿ 4 und die Iteration ihrer Walsh-Paley-Transformation, generiert mit wptest.m. Zu den Teilbildüberschriften: Anhängen von bedeutet Anwendung des passenden Summationsoperators, den Differenzenoperator, voila! es entsteht die Walsh-Paley- Indizierung. (äheres siehe Text.) Abbildung : Der erste Schritt der WPT, angewendet auf d:=detail(:56,:56). Berechnet wurde R T d R8,8. Das Produt wurde in vier Teilmatrizen zerlegt. 8,8

63 5 Walsh-Transformation auf endlichen dyadischen Gruppen 63 und damit schnelle Berechnung zu (WHT, ast Walsh Hadamard Transform ). Der Zusammenhang mit der Paley-Anordnung und der WPT ist durch die Bitumehr gegeben: y h,, x = y J, x, WHT f = WPT f J, auf diese Weise wird die WPT mitunter berechnet (die MATLAB-untion wpaley.m tut dies). Die Reursionsformel ehler! Verweisquelle onnte nicht gefunden werden. ermöglicht eine Interpretation der WHT analog zu der anschließend an Gleichung (5.3) ausgeführten für die WPT, in Stichworten (und mit den für die WPT eingeführten Bezeichnungen): Es ist WHT f = R, f, die einzelnen Reursionsschritte werden also mit derselben Transformationsmatrix durchgeführt; diese trennt den hochsequenten Anteil vom niedersequenten. Insbesondere entspricht der erste Reursionsschritt dem für die WPT. Der Unterschied zur WPT besteht darin, daß der weitere Iterationsprozeß nicht auf die einzelnen Teile der untion zugreift, sondern das gesamte Signal wieder einer Transformation unterwirft; ein Bild: Abbildung : Die untion exp - 6 x QP Abbildung ) L M e j O auf Ÿ 4 und die Iteration ihrer Walsh-Hadamard-Transformation, generiert mit whtest.m. (Vgl. mit Die MATLAB-untion wh.m realisiert die Walsh-Hadamard-Transformation auf Ÿ, whtest.m und whtest.m zeigen Demo- Versionen der oben sizzierten Reursion. 5.3 Einschränungs- und ortsetzungsoperatoren II 5.3. Problemstellung Die WPT der ortsetzungs-/einschränungsoperatoren wurde bereits in 5.. besprochen. ür andere Anordnungen ergeben sich die folgenden Bilder:

64 Einschränungs- und ortsetzungsoperatoren II f wpf whf wsf f wpf whf wsf Abbildung 3: Walsh-Transformation der ortsetzungs- und Einschränungsoperatoren für die WPT, WST, WHT: Obere Teilabbildung: In der ersten Zeile die untion f õsin e. 8 p xj auf Ÿ 4, ihre WPT, WST und WHT. In den Zeilen darunter die Ergebnisse der orsetzungsoperatoren : Li, L, LS, L p - und die entsprechenden Transformierten. Zweite Teilabbildung: Oben f õsin. 8 p x S e j auf Ÿ 5 und die Walsh-Transformationen, darunter die Ergebnisse der Einschränungsoperatoren L L L i, p, S, L - mit den Walsh-Transformationen. S Ziel dieses Abschnitts ist, diese Bilder zu erlären, soll heißen: die WT der Lift-Operatoren für andere Anordnungen als die Paley- Anordnung zu bestimmen. Dazu werden zunächst Ergebnisse für die Walsh-Transformation von Tensorproduten im Hinblic auf die Umordnungsmatrizen vorgestellt; diese werden anschließend aum verwendet, sondern die gefragten WT der Lifts werden nach Möglicheit ad hoc bestimmt (nur, wer nicht rechnet, rechnet nicht falsch). Bezeichnungen: Seien f Œ S, g Œ S, A: S Æ S, B: S Æ S lineare Abbildungen, U M etc. Umordnungsmatrizen für die M M M entsprechenden Räume, f U die Walsh-Transformation von f bezüglich der Anordnung U, f die WPT von f, analog für lineare Abbildungen. Längere elementare Rechnung ergibt f U = L U f A = L U A L U - U c Mh e Mj c hu M d ic h e M M je U M U j f ƒ g = U M + f ƒ g = - - L L U U U g ƒ f + + ƒ = - - U U U U U U U M M U ƒ U - ca Bh L e + j B A L e M+ M j (5.8)

65 5 Walsh-Transformation auf endlichen dyadischen Gruppen 65 Diese ormeln lösen das gegebene Problem grundsätzlich, d.h. für alle möglichen Umordnungsmatrizen. ür Ÿ - stabile bzw. Shiftinvariante Umordnungsmatrizen ergeben sich für die ortsetzungs/einschränungsoperatoren einfachere Berechnungsmöglicheiten: 5.3. Inlusion, Projetion Es sei an die Relationen (5.6) erinnert: Lei L p Ÿ j U eÿ j = H G I K J. Dies gilt stets für UG-Anordnungen. Es ist eÿ j - + = U e ; - für Ÿ -stabile Anordnungen ist und damit eÿ j ür die WST ist A =,,, U = H I A K, - + = A. Dann ist b L i f g die A -periodische ortsetzung von f U : L i f = f T f U e U, A Uj U, in diesem all handelt es sich um die antiperiodische ortsetzung von f s. b g Dual dazu ist wieder für Ÿ -stabile Anordnungen: e = H G I L p Ÿ j e K J U Ÿ j L i, dl i gi bg = g Ubg+ g Ud + b, Agi. (5.9) U ür die Herleitung der WT der Projetion wird ein wenig getricst: Eigentlich müßte statt der Projetion auf die atorgruppe die entsprechende Projetion auf die Untergruppe Ÿ stehen; da sich in der Koordinatendarstellung nichts ändert, ist der Tric erlaubt: el q Lep e j L i - + U l q U j l q bl pg U = H e Ÿ ür Ÿ -stabile Anordnungen ist U - Ÿ = Ÿ, und damit mit beannter Tensorprodut-Darstellung. Entsprechend ist L p j I K = L (5.3) i e = I e j L H i U U el q j K + -, Ÿ für Ÿ -stabile Anordnungen dl pi = L i. (5.3) Shift Hier werden Shift-invariante Anordnungen vorausgesetzt. Dann ist S * = S (in 3.4. wurden die Adjungierten des Shifts für einen etwas abgeänderten Ur- bzw. Bildbereich hergeleitet, das Resultat stimmt trotzdem), und es folgt d i S U S S U S L = L, L * = L * (5.3)

66 Einschränungs- und ortsetzungsoperatoren II mit beannter Tensorprodut-Darstellung. Das Resultat für dl S f i U dl f = f L S i, S Ub, _ g - - U - ann mit Hilfe von (5.8) hergeleitet werden, es läßt sich aber auch diret mit dem Ansatz y erzielen. Man erhält für Shift-invariante Anordnungen R T f U S U + = * L = d S - f S i d i, c h U, U π c h + (5.33) Zu (*): Es ist G a J U + = fi U + = + Â l -l = + - a a - c h : c,..., h, G J a a H I K für die WST ergibt sich die Bedingung (*) zu dl S - = -. (5.34) i : Dies ist das einzige Resultat, zu dessen Ableitung ich tatsächlich auf (5.8) zurücgreifen muß: ach ()) ist U L - = ƒ I S, = : A: S Æ = : B: Æ S S S in den Bezeichnungen von (5.8) ist M=, M=, ==:. Dann ist (für Shift-invariante Anordnungen) M M + U U U = U U = id, - - M + M = + = H G I K J H U U U U U U - U U id g K = g U - Da U + U + = id, folgt mit den Bezeichnungen des letzten Absatzes: g = a. Damit erhält man als Zwischenergebnis L O M d i QP = d I ƒ i H K I H K = + a - - a e c,, h j erhält man schließlich - dl f = f S + e S i Ue j Mit L id f f U L I id L S -. U a - U I HG I K J. b, (5.36) für die WST insbesondere - dl - f = S + S i bg f se ej. (5.37) s Damit ist Abbildung 3 erlärt (die WHT transformiert sich wie die untion). Die Ergebnisse für die WPT und WST sind in der folgenden Tabelle zusammengefaßt. Bezeichnung ormel WPT WST Inlusion f ƒ H I K f T.... f Einschränung I ƒ H I K ƒ f, d i f ƒi f f + T f e ƒi f f ƒ H I K H I K ƒ f H I K ƒ f f ƒ H I K ƒi f I ƒ f e -Teilsumme I ƒ f e -per. ortsetzung Strecung Dehnung T... j Ÿ

67 5 Walsh-Transformation auf endlichen dyadischen Gruppen 67 e -Teilsumme e -per.ortsetzung ƒi f I ƒ f f S - e + e j H I K ƒ f f ƒ H I K fbsg, = - sonst Tabelle Walsh-Transformation einiger untionen und Operatoren 5.4. WPT von Betrag, orm, Hamming-untion. Polynome, Vielfalt. Die WPT der Betragsfuntion Ÿ x ' x x ergibt sich wie folgt: Es ist r =  < x = - - e j y : - - = ~ ~ - - e jd d 4 e  < -, also x = - - x d r i. Dann ist. (5.38) Die Beobachtung, daß der Betrag als Summe von Rademacher-untionen geschrieben werden ann, ann als Ausgangspunt einer gleich der Summe Hbg õ j - - dy b, _ g Theorie der Vielfalt von untionen dienen: ach [Liedl] ist die Vielfalt einer Walsh-untion die Anzahl der sie als Produt erzeugenden verschiedenen Rademacher-untionen. Damit ist die Vielfalt von y, _  j. Die hier auf Ÿ definierte untion H (anaolog auf Ÿ ) wird als Hamming-untion bezeichnet. Sei V i die Bezeichnung für die Vielfalt einer Walsh-untion, dann ist V y, _ = H. ür untionen f auf Ÿ definiere die Vielfalt von f als d i o = sup o Œ suppbwpt gt. d i = " Œ Dann ist V f H f Offensichtlich ist V Sei P V f õ sup V y y Œ, f, y π. Õ. Daraus läßt sich folgern (vgl. [Weiß]): a X ein Polynom n-ten Grades. Dann ist V P n  = n (Die Beweisidee zeigt sich für : Produte von untionen entsprechen unter der WT altungen, ~ d * ~ d = ~ d +, diese untionen entsprechen i.a. Walsh-untionen der Vielfalt...) d i =. t e e l e e l Mit dem Summationsoperator Jf x õ  f z (er ist disretes Analogon zur unbestimmten Integration) gilt sogar: z x V f = M < fi V Jf = M +. (Siehe [Weiß].) Die MATLAB-untionen hamming.m und vielfalt.m berechnen die Hamming-untion bzw. die Vielfalt einer untion. Die Hamming-untion induziert via d H x, y õ H x + y eine Metri auf Ÿ ; sie heißt Hamming-Abstand auf Ÿ. Der Hamming- Abstand zweier Punte x,y auf Ÿ gibt die Anzahl der unterschiedlichen Komponenten von x,y an. Dies spielt in der Theorie fehlerorrigierender Codes (vgl. [BR]) eine große Rolle. Offensichtlich ist H erhält man für die WPT   eÿ j. Da H x = x = - r x - e  - j. ~ H = d - d e - e j Insbesondere ist VbHg = Daraus ergibt sich leicht: V H = max,. Auf Ÿ lassen sich die Sphären W õox Œ Ÿ Hbxg = t einführen. Offensichtlich ist e j = H I K. # W

68 Walsh-Transformation einiger untionen und Operatoren untionen auf Ÿ, die nur von der Hamming-untion ihres Arguments abhängen, die also von der orm f = H sind, lassen sich in der orm f  a i c i Wi = schreiben. Dies sind genau die untionen, die bei Permutation der Argumente invariant bleiben, soll heißen: dl qi c h Ÿ ' blg d li f = H "q Œ Aut,, ist f x = f x q,, x q. Die Adjungierte der Abbildung Ÿ ' x x q für die Paley- Paarung ist ebenfalls von der orm ~ für eine Permutation ~ q, also ist mit f auch die WPT von f nur von der Ham- q ming-untion ihrer Argumente abhängig. Mehr zu diesem Thema (es gehört eigentlich in den Bereich der nichtommutativen Harmonischen Analysis) findet sich bei [Terras] und [Ch]. Beispiele zu Vielfalt und Hamming-orm finden sich in demo.doc. Âj j j ür x = e + x e Œ Ÿ ist x õ - die orm von x, zusätzlich sei õ. Die ormeigenschaften lassen sich leicht verifizieren; es gilt eine verschärfte orm der Dreiecsungleichung: x y max x, y + d i mit Gleichheit genau dann, wenn x π y. o Œ Ÿ + < -n t entsprechen genau den dyadischen Intervallen º n bxg, sind also insbesondere Komengen von Die Kugeln z z x Untergruppen von Ÿ. Die WPT der Indiatorfuntion einer Ursprungsugel ergibt sich zu Dann ist Da a -M c = c, M. º M º - -M c - M l = c M- -c M l = x = H < < K -a  a - x = = > M -M M - -, M, l l < =, l > - M -. M - c,, erhält man für die nach einiger Rechnung: R - b+ a - g b ag, a e j blg = S L -a -a a e - - j b + g - O + b ag b ag b ag, l e - M j - T QP Eine untion auf Ÿ, die nur von der orm des Arguments abhängt, heißt radial. Die gerade hergeleiteten Resultate besagen insbesondere: Die WPT einer radialen untion ist wieder radial. Die norminvarianten Automorphismen von Ÿ werden genau durch die unteren Dreiecsmatrizen dargestellt, entsprechen also (via adjungierter Abbildung) gerade den Ÿ -linearen euanordnungen. I R S T l = l > 5.4. Komplexe Exponentialfuntionen In ((3))) wurden die omplexe Exponentialfuntionen auf Ÿ erlärt. aturgemäß ist die Walsh-Transformation derartiger untionen von Interesse. Das Ergebnis einer direten Berechung der Walsh-Paley- und der Walsh-Sequency-Transformierten von e ;, 7 7 ist in Abbildung 4 zusammengefaßt:

69 5 Walsh-Transformation auf endlichen dyadischen Gruppen Abbildung 4 Hier sind in der oberen Reihe von lins nach rechts die Absolutbeträge, die Real- und Imaginärteile der Walsh-Paley-Transformation der omplexen Exponentialfuntionen, in der unteren Reihe die entsprechenden Daten für die Walsh-Sequency-Transformation angegeben. ür die Sequency-Transformationen deutet sich ein Zusammenhang mit der requenz der Exponentialfuntionen an. Die Gestalt der Bilder legt eine reursive Strutur der Matrizen X X d i e j õ B, l, õ e, y, < õdab, l, gi õe e, y j G p;, l ; l s ;, l < ; l nahe. In [TH,,] werden Reursionsformeln für das verwandte Problem der Walsh-Transformation von Real- und Imaginärteilen der omplexen Exponentialfuntion (also Sinus- und Kosinusfuntionen) entwicelt; mir erscheint der im folgenden gewählte Ansatz durchsichtiger. Sei w õ expe-pi j. Dann ist R l en B, l,, l l l B, l, e B, l,,,,, e - w y j d - i = c - + h = S + w y - = - +,,, (5.39) und damit ergibt sich mit W õdiag w X p; T e j < - - W + W = HG c + W h c - W h e l n j d i I X I X I X I X p; - p; - p; - p; - I c, X p; = ; KJ die MATLAB-untion wpexp.m realisiert diese Reursion (bis auf einen ormierungsfator). ür die Matrix der Sequency- Komponenten der omplexen Exponentialfuntionen erhält man ci - W hx ci + W hx X s ; = I + W X I - W X HG c h c h c M h c h s ; - s ; - s ; - s ; - I, X s ; = KJ mit X õ X,, X für X = X,, X. (Die Beweise erfolgen durch Indution). Diese Reursion wird in wsexp.m realisiert. - Die hier angegebenen Relationen erlären die in der obigen Abbildung sichtbare fratale Strutur der behandelten Matrizen. h

70 7 5.4 Walsh-Transformation einiger untionen und Operatoren = e y G Ÿ, wobei eine beliebige reelle Zahl ausgenommen ull bedeute, festgehalten werden. ür In der mir vorliegenden Literatur findet sich nichts über Betragsmaxima der Walsh-Sequency-Koeffizienten der omplexen Exponentialfuntionen; deshalb werden die benötigten Resultate im Anhang hergeleitet. An dieser Stelle soll eine aus diesen Rechnungen folgende ormel für A, m, ;, m m, > ist e e j ji e e j j l l HG K J I - + HG K J = - -l l -l A, m, = cos p + S Gm exp i p S l Gm l bzw. b e m g l j - m + m m + + m -l A, m, = -i - exp -i - cos + x KJ - - p p l = HG HG I K JI HG I K J Satz 5.6: Die Walsh-Sequency-Transformierte von e m =, -. W b g : Wde ibmg, < < ; s ; - - m m m m l m p p sdcos p ibmg = b- g - cos e + x l j - l = sin p, m m - b g - m+ + m - p -l Ws sin p m = - cos + x HG HG I R K J S T I R K J S T - - sin p -, m d i b m g m - e l j - l = cos, m m - Satz 5.7: Die Betragsmaxima von (5.4) liegen für < W s - W sin p : s d b cos p : d b bei: gi RS gi e e e e -, < - - T -, < - -, RS T - -, < < e e e hat ihr Betragsmaximum genau an den Stellen jj jj jj jj cos -, + = - + = + = p e - + = Die Walsh-Sequency-Transformation der Exponential- bzw. trigonometrischen untionen hat demnach ihr Betragsmaximum bei einer in engem Zusammenhang mit der requenz stehenden Sequenz; insofern ist der Sequenzbegriff nicht nur durch die Zahl der Vorzeichenwechsel mit der requenz verwandt. Zu zeigen bleibt das Verhalten des ourier-spetrums der Walsh-Sequency-untionen (es entspricht der Strutur von X s * ), insbesondere die dortigen Betragsmaxima: Satz 5.8: Die Betragsmaxima des ourier-spetrums von y Gm (also der untion A, m, = S m +, = - S m +. b (5.4) g ) liegen an den Stellen Korollar: Sei R, A, m, max A, m, Z m m b, g = õ S ŒŸ, T sonst, A, m, max A, m, n Zb, mg R = õ < sonst S T Dann ist Z = Z.

71 5 Walsh-Transformation auf endlichen dyadischen Gruppen Haar-untionen Die Definition der Haar-untionen wurde unter ()) gegeben; ihr Zusammenhang mit der WPT wurde in 5.. angerissen; hier interessiert ihr Zusammenhang mit den Walsh-untionen, insbesondere ihre WPT. Der ist einfach angegeben: Sei e e j j Q = G HG haar õ haar,_,, haar -, _, dann ist haar Y Q, im Bild: - Y = - Y3 - - Y - I J KJ, Abbildung 5 Die Matlab-untion haart.m realisiert die Matrix Q; viel mehr wäre über Haar-untionen zu sagen, siehe dazu etwa [SWS], [ER], [GES], [Gauß], [Rao] WPT zylischer Translationsoperatoren. Die Menge Ÿ ist mit der zylischen Addition (das ist die gewöhnlichen Addition modulo ) isomorph zur zylischen Gruppe mit Elementen; Gruppencharatere sind genau die omplexen Exponentialfuntionen; wird die zylische Addition mit dem gewöhnlichen ~ Plus-Zeichen geschrieben, so ann man den zylischen Translationsoperator erlären: T a f x õ f x - a, x, a Œ Ÿ. Die Walsh- Transformation zylischer Translationsoperatoren genügt einer Reursionsgleichung; aus dieser wird in ein Zusammenhang zwischen gewöhnlicher und dyadischer Ableitung gefolgert. (ür die WT zylischer Translationsoperatoren vgl. [Rao].) Satz 5.9: ür die WPT des zylischen Translationsoperators auf Ÿ gilt: WPT ~ ete j = L M WPT WPT WPT e j e j ~ ~ Te + I -WPT T - e + I - ~ ~ P, T - I -WPT T - I - e e j - e e j - L M H IO KQP ƒ O QP WPT ~ ~ Te = ƒ WPT - j = - -Te Der Beweis benutzt die in eingeführten Methoden: ach Gleichung (3.) ist - ~ ete j = H I K -, (5.4). (5.4)

72 7 5.5 altungsoperatoren d i e j  M x x + f x - e = e = h, x = x e i= M x  i M x i i i= - - i G i i,. Sei nun V e ~ b, g = e b, _ g, b, _ g = z e, d - ij b, g d = Ÿ = ye, hm x jybi +, xg dlbxg. (dabei wird M()= gesetzt) mit der Heaviside-Basis h = e = I + S e i V i i x e i x x z T y y y f y l Ÿ = ye M x jyb + g dl + ye M x jyb + g dl o - t l q Es ist nun x Œ Ÿ M x - = Ÿ, damit zerlegt sich das Integral in (5.43) in z V i,, h i, x x, h i, x x, - - Ÿ l q e Ÿ + Sbi, g S bi, g Sbi, g = yb, e gz ybi +, x + eg dl bxg = ybi, eg y i, - Ÿ z b + xg d - bxg - l Ÿ ( l sei das Haarmaß auf Ÿ ). ür Œ Ÿ - ist daraus folgt (5.4). Dies läßt sich auch in der orm ~ schreiben. Da WPT Te V S i, V i,, S i, e V i, i = = - - " Œ Ÿ, - L M I - V = - V I H K ƒ + H- -K ƒ - - e j =, ergibt sich (5.4) aus der letzten Gleichung durch direte Rechnung. z I O QP ~ õ WPT T. Dann ist Bemerungen:. An dieser Stelle zeigt sich wieder der enge Zusammenhang zwischen Sequency-Methoden mit den Objeten lassischen ourier-analysis.. Die Walsh-Transformation auf Ÿ ist ersichtlich nicht invariant gegen zylische Translationen; es besteht aber die Möglicheit, aus der WT einer untion einen gegen zylische Translationen invarianten Ausdruc zu bilden, siehe dazu [ER]. (5.43) 5.5 altungsoperatoren Die herausragende Stellung von altungsoperatoren in der ommutativen Harmonischen Analysis liegt zum einen an ihrer Translationsinvarianz: ach at 4. sind die altungsoperatoren (zumindest für endliche dyadische Gruppen) genau die mit allen dyadischen Translationen vertauschbaren linearen Abbildungen von S(G). altungsoperatoren wiren, salopp gesprochen, nur auf den translations-invarianten Anteil einer untion. Dieser läßt sich für untionen auf der zylischen Gruppe, dem Torus oder der reellen Geraden noch gut vorstellen; die Wirung der dyadischen Translation ist weniger leicht nachvollziehbar (siehe ())). ür einen anschaulichen Eindruc verweise auf die MATLAB-untion dytransdemo: eine in ein MS-Word-Doument eingebettete Version findet sich auf dem dieser Arbeit beigefügten Datenträger (Datei demos.doc). Ein anderer Aspet der Bedeutung von altungsoperatoren stammt aus dem altungssatz: gewisse Sequenzanteile einer untion önnen verstärt werden. Auf diese Weise önnen Glättungsoperatoren realisiert werden, oder umgeehrt die hochsequenten Anteile einer untion hervorgehoben werden. Als eine orm von Glättung ann auch die Datenompression angesehen werden: eine Möglicheit besteht darin, nur gewisse Teile der Walsh-Transformation einer untion zu verwenden; dies ann als Multipliation von f mit einer Indiatorfuntion gedeutet werden. Schließlich spielen altungsoperatoren bei der Erörterung von Konvergenzfragen sogenannter Walsh-ourier-Reihen eine herausragende Rolle (siehe dazu die Hinweise in ())). All diese Anwendungen stehen miteinander in engem Zusammenhang; auch wurde damit nur ein Teil der Anwendungen von altungsoperatoren genannt. Die Menge der Publiationen zu den verschiedensten altungsoperatoren ist beinahe unüberschaubar. In diesem Abschnitt werden einige Beispiele für Glättungsoperatoren vorgestellt, die zudem für Konvergenzuntersuchungen von Walsh-ourier-Reihen von Bedeutung sind; dabei muß selbst für die grundlegensten Eigenschaften auf die einschlägige Literatur verwiesen werden. Vielmehr erfolgt hier der Hinweis auf das walshlab-programmpaet, das für die Visualisierung der Wirungsweise dyadischer altungsoperatoren ge-

73 5 Walsh-Transformation auf endlichen dyadischen Gruppen 73 dacht ist. Insbesondere finden sich auf dem zu dieser Arbeit gehörenden Datenträger in der MS-Word-Datei demos.doc Beispiele für die Wirung dyadischer altungsoperatoren. Der andere Teil der in diesem Abschnitt vorgestellten Operatoren gehört zur Gruppe der sogenannten endlichen Gibbs-Ableitungen. Diese versuchen, einige Eigenschaften lassischer Ableitungsoperatoren auf dyadische altungsoperatoren zu übertragen. Auch hier werden im wesentlichen nur Beispiele angeführt, auch hier empfehle ich, sich der oben angegebenen Programme zur Veranschaulichung zu bedienen. Daß sich in der Klasse der dyadischen altungsoperatoren ein Element durch eine besondere ähe zum lassischen Differenzenoperator auszeichnen läßt, und daß sich dieses Element tatsächlich als Gibbs-Ableitungs-Operator entpuppt, ist ein überraschendes Ergebnis, das, weil in der von mir bearbeiteten Literatur nicht vorgefunden, abschließend referiert werden soll. Die dazu benötigte Theorie der optimalen dyadischen altungsoperatoren (vgl. [Pearl]) ist an sich bemerenswert, weil sie eine Möglicheit der Konstrution dyadischer altungsoperatoren aufzeigt. Bemerung: Die meisten der hier angegebenen altungsoperatoren werden auf der Spetralseite definiert. Je nach verwendeter dyadischer Anordnung entstehen auf der Zeitseite verschiedene Operatoren; dies muß, wenn nötig, durch einen Index U (für die Umordnungsmatrix) geennzeichnet werden; in der allgemeinen Disussion werden derartige Indizes unterdrüct Approximierende Einsen Voraussetzung: Es werden die Gruppen G õÿ Ÿ behandelt, für die duale Paarung sei H õ Ÿ Ÿ (die Ergebnisse übertragen sich auf die Gruppen dyadischer Intervalle). Die dyadische Anordnung (charaterisiert durch die Umordnungsmatrix U) wird als Ÿ -stabil angenommen. Belege für die (und Präzisierungen der) in diesem Abschnitt getätigten Aussagen finden sich in [SWS], [GES], [Ta]. Zunächst einige einfache Tatsachen zur Approximation von untionen: Sei f f f G X eine translationsinvariante orm auf S G, für die " Œ S. ür die altung gilt dann die Abschätzung f * g f g X X X Õ sei PA õof Œ SbGg spb f g Õ At die Menge der A-(Walsh)-Polynome. Dann ist f õ Œ P f - p ein Maß für die Approximationsgüte der A-Polynome an f. Sei Q nun eine Projetion SbGg Æ PA. Dann. (Man beachte, die p-ormen diese Bedingungen erfüllen.) ür A H E A X p A X, inf läßt sich die ehlerabschätzung E f f - Qf + Q E f A, X x X A, X ( Q X die Operatornorm von Q) ableiten, die Grundlage vieler ehlerformeln sein ann. e j (5.44) Bemerung: ür altungsoperatoren ist C f x f. () Der V-Erwartungswert P V wurde in Definition 4.3 erlärt; hier wird der all V õ º M º M behandelt; es sei an die die wesentliche Eigenschaften P V = Q, P V V = erinnert (siehe Gleichung (5.)). Abbildung 4 liefert eine Veranschaulichung im p eindimensionalen all. Die P V sind für V gleichmäßig gegen ull gehend ein disrete Anaologon zu den in 6..4 vorgestellten Regularisierungen. Trivialerweise gilt die ehlerformel - = =L M O \ \ QP V H V Â. Œ H Ÿ Ÿ f P f f f () Dirichlet-Kerne. ür A Õ H sei D A õc A der Dirichlet-Kern zu A. (Dieses Konzept ist für beliebige dyadische Gruppen erlär- bar.) Insbesondere sei DL,... L õ Dl,, L - q l,, L - q. Ist A Untergruppe von H, reduziert sich der Dirichlet-Kern auf den A - Erwartungswert. Auf der Zeitseite beschreibt sich die Wirung der Dirichlet-Kerne durch D A * f x = A f y, x. Di- Œ richlet-kerne beschreiben demnach Teilsummen von Walsh-ourier-Reihen. ür Konvergenzuntersuchungen (und Approximationsprobleme, vgl. (5.44)) sind die p-ormen der Dirichlet-Kerne D L,... L, (die sogenannten Lebesgue-Konstanten) von Bedeutung: die - ormen sind (für wachsende Ls und s) unbeschränt, die p-ormen sind für p < (im eindimensionalen all) beschränt. Ge- Â

74 altungsoperatoren schlossene ormeln für D A sind mir nicht beannt, doch in [SWS] findet sich eine große Zahl von Reursionsformeln und Abschätzungen. Die D A sind Projetionen auf P A, und zwar die besten: Satz 5.: (vgl. [SWS]). Ist Q eine Projetion auf P A, dann ist unter den obigen Voraussetzungen C Q. D A x X (3) ejer-kerne. Beim Versuch, das Konvergenzverhalten der Walsh-ourier-Reihen zu verbessern, ann man auf sogenannte Summationsmethoden zurücgreifen; den ejer-kernen entspricht das sogenannte Cesaro-Verfahren. ür eindimensionales G wird der ejer- Kern wieder spetral definiert.  R S w m e j -, w m w = m T. sonst Damit ist m m D i, also entspricht die Wirung der ejer-kerne auf untionen einer Mittelung der Wirung der Dirichlet- m = i = Kerne. Die Hoffnung, daß sich auf diese Weise das Konvergenzverhalten von Walsh-ourier-Reihen verbessert, erfüllt sich. Im mehrdimensionalen all önnen die ejer-kerne als Tensorprodute der eindimensionalen Varianten erlärt werden, es gibt aber auch andere sinnvolle Setzungen. (Dies wird etwa in der MATLAB-untion fejerdach realisiert.). Offensichtlich sind die ejer-kerne (bzw. die ihnen zugeordneten altungsoperatoren) eine Projetionen; um dieses Mano zu beheben, önnen die de la Valle-Poussin- Kerne eingeführt werden: V õ -. Es gibt eine Vielzahl weiterer nützlicher Kerne; ich verweise (ohne Anspruch auf Vollständigeit) auf [SWS] 5.5. Bestapproximation durch dyadische altungsoperatoren Es sollen die Resultate eines in [Pearl] vorgestellten Ansatzes referiert werden: ür eine beliebige lineare Abbildung A: S G Æ S G ann die rage nach dem bestapproximierenden dyadischen altungsoperator C f gestellt werden. Dabei wird als Abstandsmaß zweier Operatoren A, B die Größe z Af - Bf f = (5.45) gewählt, wobei das Integral ein Oberflächenintegral über die Oberfläche der Einheitsugel f = Õ G # zu nehmen ist,und das Maß der Oberfläche gleich ist. (Der Ausdruc (5.45) ist der Erwartungswert des mittleren quadratischen Abstands der Bilder zweier untionen unter den beiden Operatoren). Mit Hilfe des Gauß schen Integralsatzes ergibt sich diese Größe als Quadrat der Hilbert- Schmidt-orm von A-B: A õ a = AA i G K # # G tr ~, H -S  i H I, e j, (5.46) (tr die Spur der linearen Abbildung A). Mit diesen Setzungen lautet das Approximationsproblem: Suche f Œ SbGg, sodaß A - C Æ min! (5.47) f H -S (Die Wahl der Hilbert-Schmidt-orm garantiert, daß das Bestapproximationsproblem für Operatoren eine eindeutige Lösung hat.) Da die Hilbert-Schmidt-orm nach Definition invariant gegen unitäre Abbildungen ist, dh. A, ist (5.47) offensichtlich zu folgendem Problem äquivalent: S G Suche f Œ SbGg, sodaß = AU, U eine Isometrie von H -S H -S A - C = A - M Æ min! f H -S f H -S (5.48) e j. Das ist aber genau dann der all, wenn f = diag A Bezeichnung: ür die bestapproximierende untion zu einem Operators A nach (5.47) schreibe ich q A.

75 5 Walsh-Transformation auf endlichen dyadischen Gruppen 75 Insbesondere önnen auf diese Weise zylische altungsoperatoren durch dyadische approximiert werden. Die MATLAB-untion optdy realisiert diese Approximation. ür Beispiele verweise ich auf das MS-Word Doument demos.doc auf dem Datenträger. Bemerung: Schränt man sich bei der Wahl der approximierenden Operatoren auf dyadische Translationsoperatoren ein, so folgt aus den Ergebnissen in5.4., daß die Bestapproximation an den durch eine omplexen Exponentialfuntion gegebenen zylischen altungsoperator aus einer Walsh-untion der in Satz 5.7 angegebenen Sequenz besteht. Ein Resultat wird im nächsten Abschnitt benötigt: Satz 5.: Auf Ÿ ist die Bestapproximation des zylischen Translationsoperators ~ T e Beweis: Sei f õwpt q ~ Te e j d i ~ W s q T - e = - +. gegeben durch e j. Dann folgt mit den Bezeichnungen von aus Gleichung (5.43), daß ~ fbg = Tbe gyb, _ g, yb, _ g = z ye, h x Mbxgj dl = Ÿ = yb, hlg leox Œ Ÿ Mbxg = ltj.  l = = : L l. (5.49) - Es ist (!) Mbg=. Damit (siehe Gleichung (3.3)): L = - -, L =, >. Da Ghl = el, erhält man mit b y, e l g l = woraus die Behauptung folgt. L M l l l l f G = l l QP - = = l = l = O L M    O QP, Gibbs-Ableitungen ach [St3] ann der Gibbs-Ableitungsoperator (auch: die dyadische Ableitung) D f der Ordnung auf einer endlichen dyadischen Gruppe G durch H Ge f jbwg fbw g H G W D f õ, W f, f Œ S G, Œ (5.5) erlärt werden. ür die Zwece dieser Arbeit betrachten wir eingeschränter Gibbs-Ableitungsoperatoren auf Ÿ für Shift-invariante Anordnungen U, die durch die Bedingung f w, = f w, = : f w geennzeichnet sind; wir schreiben dann D õd. Tatsächlich ist die hier gebrachte Definition eher affirmativ: Jede untion ann auf diese Weise zu einem Gibbs-Ableitungsoperator erlärt werden. Gewünscht wird ein Verhalten analog zu den ouriertransformationen lassischer Differentialoperatoren: Hohe Sequenzanteile im Spetrum einer untion sollen verstärt werden, dh. f soll mit dem Betrag von w wachsen. Man bemere auch, daß die Gleichung (5.5) für < auch Anti-Differentiation beinhaltet, und daß so geeignetes f vorausgesetzt undamentalsätze der dyadischen Differential- und Integralrechnung per fiat erschaffen werden önnen. Eine erste orm des Gibbs-Ableitungsoperators wurde von Gibbs (967) eingeführt, die sogenannte logische Ableitung. (ür eine Wiedergabe der ursprünglichen Definition, eine Disussion der historischen Entwiclung der Begriffe sowie für eine allgemeine Einführung in den Themenreis der Gibbs-Ableitung auf beliebigen loalompaten abelschen Gruppen empfehle ich den ausgezeichneten Übersichtsartiel [St3]). Die folgenden Setzungen werden in der Literatur ausführlicher behandelt (Man beachte, daß hier wieder ganze Klassen von Operatoren definiert werden, je nach der verwendeten Umordnungsmatrix): f f () fbwg= w : Dies ist für die Paley-Paarung der von Butzer und Wagner eingeführte Operator, Bezeichnung: Butzer-Wagner- Ableitung. Er (bzw. seine Verallgemeinerungen auf nichtendliche dyadische Gruppen) sind in der Literatur am ausführlichsten behandelt, vgl. [BuWa,], [Eng], [HeZelin], [SWS]. Auf der Zeitseite läßt er sich (für die Paley-Paarung) in der orm

76 altungsoperatoren schreiben. l - df x õ D f x = Â f x - f x + e l = l () fbwg = w : Diese Setzung führt für Ÿ und die alle Ÿ -stabilen Anordnungen U auf ein Vielfaches des von Onneweer [On] vorgeschlagenen Operators, Bezeichnung: Onneweer-Ableitung. mit der Vereinbarung: f f = f - - f - l õd * + Â f - f * l = l õ D. - (3) f w = Â - l l w = - l l : Dies wurde in [BEW,] vorgeschlagen, um (im alle nichtendlicher dyadischer Gruppen) zumindest die Differenzierbareit von Polynomen Âa x zu gewährleisten. Bezeichnung: gf, BEW-Ableitung. (Ein geschlossener Ausdruc für gf ist omplex und wird hier nicht angegeben. Ich verweise auf die Originalliteratur.) Disussion: ür die Butzer-Wagner-Ableitung liegen die meisten Resultate vor. In Analogie zu den (Pseudo)-Differentialoperatoren der lassischen ourier-analysis gebildet, lassen sich auch ähnliche Resultate beweisen: Insbesondere lassen sich ehlerabschätzungen bei der untionsapproximation wie im vorigen Abschnitt bedeutend verbessern, wenn von einer untion die r-fache dyadische Differenzierbareit im Butzer-Wagner-Sinn beannt ist. Ich verweise für Resultate auf die in diesem Abschnitt zitierte Literatur. Tatsächlich sind stücweise stetige untionen mit abzählbaren Unstetigeitsstellen, die nicht zu dicht gepact sind nur dann dyadisch differenzierbar, wenn sie stücweise onstant sind ([Eng]). Im Gegenzug gibt es viele sehr unstetige untionen, die eine dyadische Ableitung besitzen. (ür die hier behandelten untionen auf Ÿ ist dieses Problem freilich nicht existent.) Die BEW-Ableitung ist ein Versuch, zumindest dyadische Differenzierbareit einfacher untionen zu erreichen. Abbildung 6 zeigt die Graphen der hier besprochenen Ableitungsoperatoren. Man beachte, daß die den Operatoren entsprechenden f nicht gut loalisiert sind, wie dies beim lassischen Ableitungsoperator der all ist Abbildung 6: Die zu den Gibbs-Ableitungen gehörenden f und ihre WPT. Von oben nach unten: Butzer-Wagner-Ableitung, Onneweer-Ableitung, BEW- Ableitung und der in Satz 5. onstruierte Operator. Die Interpretation von Gibbs-Ableitungen ist eines der essential open problems (Butzer,Wagner, 975, Engels, 985, für die Butzer- Wagner-Ableitung). Zwar ann gesagt werden, daß für die hier angeführten Beispiele die hochsequenten Anteile einer untion verstärt werden, und die Onneweer-Ableitung ann auch als Hervorhebung der Differenzen einer untion zu ihren Regularisierungen (siehe 6..4) gelesen werden im Verhältnis zur Klarheit und Anschaulicheit des lassischen Ableitungsbegriffs sind dies aber

77 6 Anwendungen 77 recht verschwommene Deutungen. Tatsächlich ist ja die geometrisch-topologische Strutur dyadischer Gruppen sehr unterschiedlich zu der Situation auf der reellen Zahlengeraden. Dennoch besteht ein Zusammenhang: Satz 5.: Die Bestapproximation der endlichen Ableitung D õ ei - ~ Tbe gj durch einen dyadischen altungsoperator q D [Pearl] (vgl. 5.5.) ist eine Gibbs-Ableitung. Es ist Ws qd bg = +. im Sinn von Auf der Zeitseite schreibt sich dieser Ausdruc als h die Heaviside-Basis von Ÿ. b fg = f - Th f + e f - Th fj q D 4  =, Das bemerenswerte an dieser Tatsache ist nicht, daß qbd g eine Gibbs-Ableitung ist (das gilt, wie oben bemert, fast immer), sondern, daß sie vom Butzer-Wagner-Typ ist. Die Rolle des Sequenz-Parameters bei der Darstellung/Approximation reeller untionen und Operatoren wird ebenfalls wieder deutlich. ür Anwendungen in der Signalverarbeitung stellt sich die rage, ob die hier behandelten Beispiele für Gibbs-Ableitungen dem Verhalten lassischer Differntiationsoperatoren entsprechen. Inwiefern das der all ist, ann die Leserin anhand von Abbildung 7 (möglicherweise noch nicht) entscheiden. Mehr Beispiele finden sich in demo.doc Abbildung 7: Die Gibbs-Ableitungen von sin(p x ) auf Ÿ 7. Von lins nach rechts, oben nach unten: Butzer-Wagner, Onneweer, BEW -Ableitungen und der in Satz 5. erlärte Operator. 6 Anwendungen 6. Begriffe der Harmonischen Analysis auf dem dyadischen Körper ~ Es sei an die Definition der verallgemeinerten Walsh-untionen (Definition.3) erinnert. ür f Œ L c h, w Œ ann ~ f : Æ, f b wgõ f w dx z als Walsh-Transformation von f erlärt werden. Sachgerechter ist wieder ein veränderter Definitionsbereich, in diesem all. ür untionen/ Maße / Distributionen (soll sein: Linearformen auf gewissen untionenräumen) auf önnen altungsprodute und Walsh- Transformation ganz ähnlich wie für endliche Gruppen erlärt werden. eben der rage der Existenz der so erlärten Objete (auf endlichen dyadischen Gruppen war sie trivial) sind vor allem ragen der Repräsentierbareit von Bedeutung, onreter: Inwiefern ann eine untion/ ein Maß etc. aus der Walsh-Transformation reonstruiert werden (Inverisionssatz)? Und: Kann eine auf erlärte untion/ Distribution als Walsh-Transformation einer untion/ Distribution angesehen werden? Diese ragen beinhalten viele

78 78 6. Begriffe der Harmonischen Analysis auf dem dyadischen Körper Aspete (die einen guten Teil der abstraten Harmonischen Analysis ausmachen): Konvergenz verschiedener Teilsummen, Summierungsverfahren, Eindeutigeitsfragen (Eindeutigeitsmengen,...), für die auf die reichhaltige Literatur verwiesen werden muß, insbesondere auf [SWS], [GES] und [Ta], für die allgemeinen ragestellungen auch [Ru], [Reiter], [HR I,II]. Hier soll nur der Zusammenhang zwischen der harmonischen Analysis auf und der auf den Gruppen dyadischer Intervalle untersucht werden, onreter: Wie önnen Objete auf durch untionen auf endlichen dyadischen Gruppen approximiert werden? Dazu müssen zunächst einige Ergebnisse der Harmonischen Analysis auf dem dyadischen Körper mitgeteilt werden. Im Unterschied zu den vorigen Abschnitten müssen hier Vorenntnisse aus der untionalanalysis und Maßtheorie vorausgesetzt werden; die benötigten Tatsachen finden sich, wenn nicht anders angegeben, in [Ru,-3]. Bemerung: Grundsätzlich ist ein Aufbau der dyadischen Harmonischen Analysis wie in den vorangehenden Abschnitten auch für den dyadischen Körper möglich; man erhält das Konzept der loalompaten dyadischen Gruppen ; aus Platzgründen wird davon abgesehen. 6.. Der dyadische Körper Die Beweise der hier festgehaltenen Tatsachen finden sich, wenn nichts anderes angegeben, in [Ta]. Vereinbarung: Wenn nichts anderes vereinbart, werden alle Gruppenmorphismen als stetig angesehen, auch wenn dies nicht explizit gesagt wird. Isomorphismen seien mit ihrer Inversen stetig (dies folgt für lcag s zwar aus dem offenen Abbildungssatz für Gruppen - vgl. etwa [HR], sei aber explizit festgehalten). Auf der abelschen Gruppe, + (die Addition ist wieder die omponentenweise mod -Addition) wird die Menge D der (verallgemei- x n a A A Õ Œ a < Œ s, r a bxgõb-g sind wieder die Rademacher-untionen. (D a+ nerten) Walsh-untionen erlärt: Dõ r a Ÿ,sup a A ist anonisch isomorph zu ~ -i.) D ist multipliative Gruppe, mit der Paley-Indizierung Pal: Æ D; r ist ein Isomorphismus der beiden Gruppen erlärt. Wie in 4.4. wird durch - x õ, x = e +  x e Œ, õ j j j iœÿ eine orm auf erlärt; es gilt die verschärfte Dreiecsungleichung x + y max d x, y i mit Gleichheit genau dann, wenn x π y. Mit der von der orm induzierten Metri wird zu einem vollständigen metrischen Raum. Die Betragsfuntion erzeugt eine äquivalente Metri auf Grund der Abschätzung x x x ; da x - y x + y gilt, ist die Betragsfuntion auf stetig. Die von der orm erzeugte Topologie hat die dyadischen Kugeln als Basis; wird damit zur loalompaten abelschen Gruppe. Die Kugeln º sind (offene und abgeschlossene, ompate) Untergruppen von. Teilmengen von sind genau dann ompat, wenn sie abgeschlossen und (norm-)beschränt sind (Heine-Borel-Eigenschaft). Die Charatere von sind genau die verallgemeinerten Walsh- untionen, bezüglich der üblichen ( ompat-offenen, vgl., [Ru], [Reiter], [HR]) Topologie auf D ist ææææææææææ Pal ÆD dann auch ein topologischer Isomorphismus. Der Satz von Pontrijagin (Satz 3.4) lautet hier = D, die Isomorphie ist als algebraische und topologische zu verstehen. ützlich scheint wieder die Einführung dyadischer Indizierungen bzw. dualer Paarungen (siehe 3.): Eine dyadische Indizierung ist ein (algebraischer und topologischer) Isomorphismus G Æ D, G eine topologische Gruppe. Ein Isomorphismus Æ D heißt dyadische Anordnung; ein Beispiel liefert die oben angegebene Paley-Indizierung. Jede andere dyadische Anordnung erhält man aus dieser vermittels eines (stetigen) Automorphismus U von, insbesondere die Sequency-Anordnung durch G:e e + e +. Die Paley-Paarung ist gegeben als die untionen y, _, y U õ y x y: Æ ; ; y, = -  - + x x õpal x i i, Œ sind die (verallgemeinerten) Walsh-Paley-untionen. Ist U Automorphismus von, so wird bu _,_ g definiert und als U-Paarung bezeichnet. ür diese Paarungen gelten sinngemäß die Gleichungen (3.9), (3.).

79 6 Anwendungen 79 ür Unter- und atorgruppen von werden wie in 3.3. die orthogonalen Gruppen eingeführt, die Satz 3.6 gilt wörtlich für abgeschlossene Untergruppen von. Wichtigste Beispiele sind º und disrete Untergruppen. Insbesondere sei Õ õ x Œ x = " > r; die Elemente werden im allgemeinen als natürliche Zahlen geschrieben. (Auf existieren aber m bg m r schreclich viele weiter Untergruppen; die Menge õ x Œ x = " Œ Ÿ ist eine abgeschlossene, zu isomorphe Untergruppe von!) Adjungierte Abbildungen önnen für stetige Gruppenhomomorphismen wie im endlichen all erlärt werden; statt Satz 3.7 gilt hier: für einen stetigen Homomorphismus j: Æ. * * e j Ke j = Im j, Im j = Ke j Auf wird durch distributive ortsetzung von e e l õ e+ l eine dyadischen Multipliation eingeführt, bezüglich derer zu einem topologischen Körper ( charb g= ), dem dyadischen Körper, wird. Auf die Eigenschaften dieser Multipliation ann hier leider nicht eingegangen werden (vgl. [SWS]), bemert sei nur, daß x y = x y, x = - y, x, Sx = e x x = e + e x, G und sich allgemein alle Shift-invarianten Umordnungen auf Ÿ als Einschränungen von Multipliationen mit Elementen der orm ansehen lassen(!); umgeehrt ann die dyadische Multipliation als distributive ortsetzung des Shift-Operators gedeutet werden. U- Paarungen, die als dyadische Multipliation mit Elementen a der orm angesehen werden önnen, heißen multipliativ. * Schreibweise y a, l = y a, l = r a l. ür multipliative U-Paarungen ist º = º. (6.) L -L 6.. Klassische untionenräume auf dem dyadischen Körper Es werden einige wichtige Ergebnisse der Harmonischen Analysis auf untionen- und Distributionenräumen über vorgestellt; die zugehörigen Beweise finden sich in [Ta]. Ziel dieses Abschnittes ist eine Bereitstellung der Werzeuge zum Herstellung der Verbindungen zwischen Walsh-Transformation und altung auf endlichen dyadischen Gruppen und den entsprechenden Begriffen auf. ür die benötigten Begriffe aus der untionalanalysis verweise ich auf [Ru,], für die verwendeten Begriffe aus der Theorie loalonvexer Räume, insbesondere die Eigenschaften diverser indutiver Limiten, auf [Sch], [Tr]. Das Haarmaß l (vgl. [Reiter],[Ru],[HR]) auf ann so normiert werden, daß l B = l B für alle Borelmengen B aus. (Es existiert sogar ein Isomorphismus zwischen den Borelmengen auf und denen auf, vgl. [Ash].) Das Haarmaß ist bis auf ormierung eindeutig; für Automorphismen U auf wird die Modulfuntion D U õl U º l º eingeführt, dann ist d i d i d i l U A = D U l A für alle Borelmengen A, und D UV = D U D V für alle Automorphismen U,V, vgl. [Reiter],[HR]. ür integrierbare untionen folgt: z - d i f Ux dl x = D U f x dl x. Ist U insbesondere eine dyadische Multipliation mit w Œ, so ist Dbwg = w. z * Zumindest erwähnt werden soll, daß zwischen der multipliativen Untergruppe W õ x Œ x = { } und der additiven Gruppe D der -adischen ganzen Zahlen (vgl. [HR]) ein topologisch-algebraischer Isomorphismus besteht, eine Tatsache, die sich in der von mir bearbeiteten Literatur nicht findet.

80 8 6. Begriffe der Harmonischen Analysis auf dem dyadischen Körper Werden in üblicher Weise die L p -,L p - Räume auf eingeführt (letztere seien die Äquivalenzlassen der ersteren), gilt insbesondere: p p c h f Œ L f f Œ L, z z f dl = f _ dl, und die Abbildung f f f ist ein isometrischer Isomorphismus der entsprechenden L p -Räume, p. (f die ine'sche Abbildung). Bezüglich Stetigeit sei angemert: Ist f eine auf erlärte, stetige untion, so ist f eine auf definierte und dort stetige untion. Genauere Aussagen über den Zusammenhang zwischen Stetigeit/Integrierbareit auf und finden sich in [SWS], [GES].) Existenz ist jedenfalls für f, g Œ L b g f.ü. gesichert, ist f Œ L b g, g Œ L b g, so existiert das altungsprodut überall und ist gleichmäßig stetig. L b g ist mit der altung eine (ommutative) Banach-Algebra, die altungsalgebra. ür Maße m Œ Mb g ist b f * mgbxg õ fbx + hg dmbhg, f Œ L b g als Element von L b g wohldefiniert. Weitere Eigenschaften der altung finden sich in Das altungsprodut zweier auf erlärten untionen f,g im Punt x wird formal erlärt als f * g x õ f x + h g h dl h ; die z [BuEn], [Ru], [HR I]. Insbesondere gelten für untionen aus den entsprechenden Räumen die ormabschätzungen von Gleichung (4.3): p f Œ L, g Œ L, p fi f * g Œ L, f * g f g f Œ L, g Œ C fi f * g Œ C, f * g f g p p p f Œ L, g Œ L, < p < fi f * g Œ C, f * g f g p p m Œ M, g Œ L, p < fi m* g Œ L, m* g m g m Œ M, g Œ C fi m* g Œ C, m* g m g Beim Beweis dieser Abschätzungen wird die folgende Tatsache benötigt: p p p p p p M Satz 6.: Der Translationsoperator T h fbxgõ fbx + hg ist stetig auf L p, p < und auf C. Ein Beweis findet sich etwa in [Ta] und in den angegebenen Weren zur abstraten Harmonischen Analysis ([HR],[Ru]). Dehnungs- und Strecungsoperatoren sind für untionen auf erlärt als D h x õh a x, St h x õ a h a x, a Œ \. a - - a e j l q M p z Eigenschaften: Dabgg = g Stag = g D g h = D g D h, St g* h = St g * St h a a a a a a Definition 6.: Sei y U eine U-Paarung. Die Walsh-Transformation von m Œ Mb g ist ür f Œ L m m m : ; m y, x d m x. W U õ U õ Æ õ U ist insbesondere f bg fbxg Ub, xg z õ y dl. Grundlegende Eigenschaften der Walsh-Transformation auf L : z

81 6 Anwendungen 8 f f f _, g f, h, _ f f etg j = yu dyu i = Th e f, g Œ L j b g f * g = f g ( altungssatz ) - f U U f - b g = bd g eu j *, U Œ Autb g (6.) Also ist die Walsh-Transformation eine stetige lineare Abbildung von L in L (sogar in C ), siehe den nächsten Abschnitt). Die Gleichungen oben gelten auch, wenn man f durch ein endliches Borelmaß ersetzt (die -orm muß durch ersetzt werden; außerdem ist die Translation von Maßen sinnvoll zu definieren). Es gilt sogar (siehe [Ta]): M f Œ L fi f ist gleichmäßig stetig. (Dasselbe gilt für die Walsh-Transformation von endlichen Borelmaßen.) ür multipliative Anordnungen erhält man für die Walsh-Transformation des Strecungsoperators bsta fg = Da f, analog für den Dehnungsoperator. Bemerung: ür Dirac-Maße d x ist d y _, =. x U x Aus dem altungssatz bzw. dem Verhalten der Walsh-Transformation bei Translationen ergeben sich nützliche Konsequenzen für auf Untergruppen loalisierte bzw. auf Komengen onstante untionen: e j e j f Œ L, supp f Õ V = Vb fi f h + v = f h " v ŒV f Œ L, f g + w = f g " w Œ Wb, g Œ G fi supp f Õ W Bemerung: Ist das Haarmaß von V gleich ull, so ist eine dort definierte untion im L -Sinn gleich der ullfuntion; auch die Walsh-Transformation einer derartigen untion ist gleich ull. In diesem all ist es mitunter nützlich, daß der untion zugeordnete endliche Borelmaß auf G, zu betrachten (vgl. [Reiter],[Ru]). Siehe dazu auch 6.. u, A õz f dlv, A Œ B G, f Œ L V V» A f V Beispiel: Ist V abgeschlossene Untergruppe von mit endlichem Maß, dann gilt: ĉ = V c Daraus ergibt sich insbesondere für das Integral von Walsh-untionen: l V, V yub, xg lbxg R Œ z d = S V, œv 6..3 Testfuntionen V V (6.3) l. (6.4) T Bevor weiter auf die Eigenschaften der Walsh-Transformation eingegangen wird, erscheint es mir zwecmäßig, untionenräume einzuführen, die als Verbindung zu der in den vorigen Kapiteln besprochenen endlichen Theorie dienen: Die S K o supp S õ f : Æ f Õ º, f x+ º = f x " x Œ,, K - K S õ, K ŒŸ, heißen Stufenräume; sie lassen sich anonisch mit den Räumen S - + S, K.. t c : K h identifizieren, es ist S, K Õ S, K +, S, K Õ S +, die Inlusion definiert also eine natürliche Ordnungsrelation auf den S, K. Die Stufenräume sind endlichdimensional, topologisch also einem isomorph. Die Elemente von S heißen Testfuntionen auf. Wie leicht festzustellen ist, besitzt S eine abzählbare Hamel-Basis. Die Topologie auf S wird als strit indutiver Limit der Topologien auf den S, K angenommen

82 8 6. Begriffe der Harmonischen Analysis auf dem dyadischen Körper (vgl. [Tr], [Sch]), sie ergibt sich als feinste loalonvexe Topologie auf S. olgende Eigenschaften seien angeführt (für die verwendeten Begriffe verweise ich auf [Ru 3], [Tr], [Sch]): Satz 6.: S ist ein vollständiger, hausdorffscher, loalonvexer topologischer Vetorraum, eine Cauchyfolge onvergiert in S (Zeichen: j S æææææææ Æj ) ge- à S, K für einen Stufenraum und dort Cauchyfolge ist. Die Inlusionsabbildung von Stufenräumen in S ist stetig, umgeehrt stimmt nau dann, wenn j die von S auf den Stufenräumen induzierte Topologie mit der Originaltopologie überein. Eine Teilmenge von S ist genau dann beschränt, wenn sie in einem Stufenraum liegt und dort beschränt ist. Satz 6.3: Jede lineare Abbildung von S in einen loalonvexen topologischen Vetorraum ist stetig (!) (vgl. [Sch,II, Ex 3,4]) Daraus folgt insbesondere Korollar 6.4: Jeder Unterraum von S ist abgeschlossen, Unter- und Quotientenräume von S tragen wieder die feinste loalonvexe Topologie, jede algebraische Zerlegung von S in eine direte Summe zweier Unterräume ist auch eine topologische Zerlegung. Die Menge der stetigen (diese Voraussetzung ist nach Satz 6.3 überflüssig) Linearformen auf S, wird als Raum Distributionen auf bezeichnet. S der (temperierten) at 6.5: S ist eine puntetrennende Algebra stetiger untionen auf. S ist dicht in L p, p < und in C ; die Inlusionsabbildungen sind stetig. Wird auf C die indutive Limit-Topologie (vgl. [Treves]) eingeführt, so ist S auch dort stetig und dicht einbettbar. Walsh-Transformation und altung auf den Stufenräumen stehen zumindest für multipliative U-Paarungen in engem Zusammenhang mit den für endliche dyadische Gruppen erlärten Begriffen: Satz 6.6: Die Walsh-Transformation ist (für multipliative U-Paarungen) ein stetiger, involutorischer Automorphismus auf S. Die Inversionsformel (4.), der Satz von Plancherel-Parseval und der altungssatz gelten für untionen aus S. Insbesondere gilt: f Œ S K f, Œ SK,. Werden die S, K mit den Räumen Sc - + : K h identifiziert, so stimmen die Begriffe für Walsh-Transformation und altung überein. Auch die Abbildung ' h T j Œ S erweist sich als stetig. h Dies folgt sofort aus den entsprechenden Eigenschaften der Stufenräume und der Relation º = º. estgehalten sei noch, daß S unter Automorphismen U von invariant ist: S U = S. Damit sind insbesondere Dehnungs- und Strecungsoperatoren auf S erlärt (das ließe sich aber auch einfach diret nachweisen). Vereinbarung: ürderhin seien mit U-Paarungen stets multipliative gemeint. Da S dicht in L und L ist, läßt sich die Walsh-Transformation dort fortsetzen: ür L erhält man die bereits oben erlärte Walsh- Transformation; da für f Œ S f f und Ŝ Õ C, gilt die ormabschätzung für alle f Œ L, und es ist el j Õ C (Satz von Riemann-Lebesgue). Insbesondere gilt eine orm der Parseval schen Gleichung: z z f, g Œ fi f g dl = f g dl. (6.5) L Im L -all läßt sich die Walsh-Transformation ebenfalls als stetige ortsetzung der Walsh-Transformation auf S erlären; sie ist ein isometrischer Isomorphismus auf L ; insbesondere ist Plancherel-Parseval gültig, und es gilt die Inversionsformel f = f " f Œ L. (6.6) Insbesondere folgt daraus die Vollständigeit des Systems der Walsh-untionen auf L ; g, vgl... L -L

83 6 Anwendungen 83 Die Gleichbezeichnung der onzeptuell verschiedenen Walsh-Transformationen ist ungefährlich, da sie auf L» L übereinstimmen. Insbesondere gilt: e f Œ L fi f c æææææææææ Æ f. º j - Mit Hilfe des Satzes von Riesz-Thorin (vgl.[sws], [HR]) ann die Walsh-Transformation nun auf L p, < p < fortgesetzt werden; dann ist stets f p 6..4 Distributionen f ; für p > führt dieser Ansatz nicht mehr notwendig auf eine untion als Walsh-Transformierte. p In einer systematischen Darstellung wäre jetzt das Problem der Inversion der Walsh-Transformation jenseits der L -Theorie zu behandeln, insbesondere für L. ür das lassische Ergebnis verweise ich auf [Ta]; hier wird auf dieses Problem eingegangen, nachdem Walsh-Transformation und altung auf S erweitert wurde. Zuvor sollen noch einige Eigenschaften von S zusammengetragen werden: (Verwechslung mit dem Salarprodut ist nicht ür die Wirung einer Linearform j auf eine untion f aus S schreibe f,j õj f zu befürchten). S wird mit der schwach*-topologie versehen, d.h. mit der gröbsten Topologie, sodaß alle Abbildungen j f, j b f Œ Sg stetig sind. Damit wird S zu einem loalonvexen topologischen Vetorraum, der sogar eine abzählbare - Umgebungsbasis besitzt und somit invariant metrisierbar ist (!). Bezüglich dieser Metri wird S zum rechet-raum ([Tr, Ex 9.6])! Konvergenz in S S ist charaterisiert durch j ææææææææ Æj Œ S f, j Æ f, j " f Œ S. (Bemerung: Schwach*-Konvergenz b g ist freilich analytisch oft wenig befriedigend; in einigen ällen sind stärere Aussagen erreichbar, siehe weiter unten). Wichtige Beispiele für Distributionen ergeben sich aus at 6.5: S dicht und stetig eingebettet in L p, p < bedeutet für die duale Abbildung incl p p p q incl S ææææææææ ææææææææææææ õ Æ S L, el j L ; f, qbgg = f, g =z p fgdl und Keq = Imbinclg = L d i l q; also wird L p für < p auf diese Weise schwach*-stetig in S eingebettet. Analog erhält man aus der stetigen und dichten Einbettung von S in C die schwach*-stetige Einbettung von Mb g = C in S (damit auch die von L ) und der stetigen Einbettung von S in C die schwach*-stetige Einbettung von C in S, den Raum der Radon-Maße. Insbesondere sind damit alle loal integrierbaren untionen als Distributionen deutbar. Sprechweise j = : j = Œ g g S ist eine L p -untion, ein endliches Borelmaß etc.. S und endliche Linearombinationen von Dirac-Maßen sind schwach*-dicht in leicht zeigen läßt. S, wie sich durch Betrachtung des Annihilators Eine Distribution j verschwindet auf der offenen Menge A Õ genau dann, wenn für alle Testfuntionen f mit Träger in A gilt f, j =. Als Träger von j (suppj ) wird das Komplement der größten offenen Menge, auf der j verschwindet, bezeichnet. Diese Definition stimmt für L p -untionen, stetige untionen mit ompaten Träger oder Maße mit den für diese Objete bereits erlärten Begriffen überein. Definition 6./Satz 6.7: ür f Œ S,j Œ S ist das Produt f j erlärt durch g, fj õ gf, j " g Œ S ; die Abbildung j fj ist S -stetig; es gilt sogar: f S f S æææææææ Æ ææææææææ Æ fi f æ S ; j j j æææææææ Æ fj. ür den Träger des Produts gilt supp fj Õ supp f» supp j. Der Translationsoperator T h ann ähnlich erlärt werden durch f, Th j õ Th f, j und ist stetiger Isomorphismus von S. Die Walsh-Transformation der Distribution j wird erlärt durch f, j õ f, j, auch sie ist ein Isomorphismus von S, es gilt der Inversionssatz j j. Dehnung und Strecung önnen ebenfalls auf S erlärt werden: c h = f, Sta j õ Da f, j, f, Daj õ Sta f, j ; für untionen stimmt dies mit der alten Definition überein. Dehnung und Strecung sind damit stetige Operatoren auf S ; die ormel für die Walsh-Transformation stimmt mit der auf S bzw. L überein.

84 84 6. Begriffe der Harmonischen Analysis auf dem dyadischen Körper mit den oben erlärten Walsh-Transformationen überein. () Die eben verwendete Methode, Abbildun- Bemerungen: () Auf Grund der Parsevalschen ormel stimmt die distributionelle Walsh-Transformation für L - bzw. L - untionen und für Maße aus M gen auf S zu gewinnen, indem sie durch Transposition auf Abbildungen aus S zurücgeführt werden, ist ein Standardverfahren zur Konstrution von Operatoren auf S. Zur Charaterisierung von altungen auf S wird zunächst der Raum OM õoj Œ S $ j Œ Ÿ, Th j = j" h Œº t der loal onstanten untionen eingeführt. Die Bezeichnung ist gerechtfertigt, da sich jedes j Œ O M tatsächlich als loal integrierbare untion erweist: mit gbxgõ T xc º, j (j auf den Komengen von º onstant) ist j = j g. ([Ta, III, 3.3]). Dual sei O C der Raum der Distributionen mit ompatem Träger. Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir c õc, õ c = c. (6.7) º - º altungsprodute werden zunächst zwischen Testfuntionen und Distributionen erlärt, und zwar gleichwertig durch b b g g f * j = f j g, f * j = g* f, j f * j x = T f, j Dann ist f * j Œ O M, die Abbildung j f * j ist stetig in S S S n n n n f æææææææ Æ f, j ææææææææ Æj fi f j ææææææææ Æ fj. x U V W f, g Œ S, j Œ S. Damit ist insbesondere in diesem all der altungssatz etabliert. Bemerung: j f jc f Œ OMh ist eine stetiger Endomorphismus von der Multipliation S OM Õ S.) S und analog zu den Verhältnissen beim Produt ist S. (Die Wohldefiniertheit folgt aus der Wohldefiniertheit Eine Charaterisierung bandbeschränter untionen/distributionen liefert der folgende Satz (vgl. [Ta, III, 3.7]): Satz 6.8: f Œ O f Œ O, präziser: f Œ S, Th f = f " h Œ º suppe f j Õº -. M C Bemerung: Eine untion/distribution heißt w-bandbeschränt, wenn supp f e j Õ - º w und bandbeschränt, wenn sie w-bandbeschränt für ein w ist. Der Satz drüct also aus: die bandbeschränten untionen sind genau die loal onstanten. Eine genauere Disussion bandbeschränter untionen erfolgt in 6.. Beweis: Zeige zunächst die Äquivalenz f Œ O, f onstant auf Komengen von º * f = f dann durch Walsh-Transformation. Die Umehrung geht genauso. M ; die Behauptung ergibt sich Bemerung: Aus Satz 6.8 folgt O» O = S. M Man vergleiche mit den Verhältnissen der reellen Analysis: dort hat eine bandbeschränte untion nie ompaten Träger. C b Mit diesem Resultat läßt sich nun die altung auch zwischen Distributionen mit ompatem Träger erlären: ür j Œ S, n Œ OC setze j* ng õ j n. Dann ist j j* n eine stetige Abbildung auf S. Allgemeiner läßt sich die altung für mehrerer Distributionen erlären, wenn bis auf eine Ausnahme alle beteiligen atoren ompaten Träger haben; dann ist das altungsprodut assoziativ und ommutativ. Analog ist das (Punt-)Produt für Distributionen genau dann erlärt, wenn sie (wieder bis auf eine Ausnahme) loal onstante untionen sind ; auch hier gilt Assoziativität und Kommutativität. Bemerung: Wie bereits unter 6.. angeführt, ann die altung für gewisse Distributionen etwa untionen aus L p ohne Rücgriff auf die hier geforderten Kompatheitsbedingungen erlärt werden. und L auch

85 6 Anwendungen 85 Ein wesentliches Hilfsmittel zur Beantwortung der am Anfang dieses Kapitels gestellten rage: Wie önnen Objete (und das sollen vornehmlich Distributionen sein) auf durch soche auf den :M approximiert werden? sind die jetzt herbeizitierten Regularisierungssätze. ür ihren (eher einfachen) Beweis verweise ich auf [Ta, IV,.8, IV,.9]. Definition 6.3: Eine untion f :Ÿ Æ heißt regulär, wenn onstant auf Komengen von º, b, _ g dl b,_ g dl i) f, _ z ii) f = f l " l " x Œ. x+ º x+ º Die Regularisierung einer Distribution j Œ S ist die untion jb, _ g = bj* g. z at 6.9: Die Regularisierung einer Distribution ist eine reguläre untion. Umgeehrt gilt: Jede reguläre untion f, x Distribution f, und f,_ S ææææææææ Æ f für strebt gegen Unendlich. (Durch g, f õlim Æ z g f,_, g Œ S ist die Grenzdistribution f wohldefiniert.) dl ist Regularisierung einer Ist f eine loal integrierbare untion, so strebt die Regularisierung sogar f.ü. gegen f, wie aus der Theorie der Lebesgueschen Dichtepunte folgt. Allgemeiner gilt: Satz 6. ( Regularisierungssatz I ): ([Ta, IV,.8]) f ü.. p p p Æ p i) Sei f Œ L, p. Dann ist f, _ f, f, _ æææææææææ Æ f, f,_ æææææææææææ f p. æ ii)ist zusätzlich p <, so gilt f,_ æ iii)ür p = gilt: f,_ iv)ür m Œ M schwach* æææææææææææ Æ f. p ææææææææ Æ f. ist m m m schwach * b, _ g, b, _ g ææææææææææææ Æ m, mb, _ g æ æææææææææ Æ Æ m v)ist f gleichmäßig stetig und beschränt, so gilt: f, _ Eine Umehrung liefert. M M æææææææææ Æ f. Satz 6. ( Regularisierungssatz II ): ([Ta, IV,.9]) Sei fb, xg regulär, es gebe ein p Œ gilt: < p p = : f, x p =, f, _ p =, f, _ : fb, xg ist Regularisierung einer L p -untion. ist Regularisierung eines Maßes aus Mb g. ist L -Cauchyfolge: fb, xg ist Regularisierung einer L -untion. ist L -Cauchyfolge: f b, xg ist Regularisierung einer gleichmäßig stetigen, beschränten untion. Bemerungen, Beispiele: " Œ Ÿ. Dann ;, sodaß f,_ A p () ach at 6.9 önnen Distributionen bijetiv auf die Menge der regulären untionen abgebildet und so durch olgen loal onstanter untionen veranschaulicht werden. In [SWS], [Yo], [Yo] werden sogenannte Quasimaße (nicht zu verwechseln mit den in [La] verwendeten gleichnamigen Objeten) bzw. dyadische Maße erlärt, das sind additive Mengenfuntionen auf der Boole schen Algebra der dyadischen Intervalle auf ; auch diese dyadischen Maße stehen in bijetivem Zusammenhang mit S : Durch

86 86 6. Begriffe der Harmonischen Analysis auf dem dyadischen Körper n b +º gõ T, j wird jeder Distribution ein dyadisches Maß zugeordnet. Insbesondere läßt sich jedes positive dyadische Maß j x x mit einem Borelmaß auf identifizieren ([SWS], [Ta, IV,.6]). () Mit Hilfe der Regularisierungssätze önnen Inversionsformeln für die Walsh-Transformation auf L p, p angegeben p p werden: ür f Œ L ist f * æææææææææ Æ f und wegen der Stetigeit der Walsh-Transformation auf L p auch b p f * = f c ææææææææææ Æ f g º. Insbesondere gilt: - f. ü. e f c º j = f * f æ ææææææææ - Æ. * (6.8) ür ormonvergenz gilt analoges. Insbesondere folgt aus der Inversionsformel der Eindeutigeitssatz: f Œ L, f = fi f =.Allgemeiner lassen sich verschiedene beannte Konvergenzssätze für Walsh-ourierreihen als Spezialfälle der Regularisierungssätze ansehen, darauf sei urz eingegangen: Sei f Œ,suppb f g Õº. Dann ist f auf Komengen von º = º L onstant, und für x Œº ist, e f c º j bxg = fbwg y x f m m, x Ubw g l = m U = -  Œ y Ÿ fbx + hg dlbhg (6.9) zº z - º  fbgy Ub g e j ŒŸb Õ g Die Summe in (6.9) ist die -Teilsumme der Walsh-ourierreihe, _ von Distributionen mit Träger in º durch die olgen f. Offensichtlich ann die Walsh-Transformation die Walsh-ourier-Koeffizienten beschrieben werden, was formal oft auch in orm der gerade eingeführten Walsh-ourierreihe geschrieben wird. Ein wichtiger Teilbereich der Theorie der Walsh- ourierreihen besteht in der Klärung der rage, wann gewisse Teilsummen dieser Reihen fast überall oder bezüglich gewisser ormen onvergieren; die beiden obigen Gleichungen sagen: Die -Teilsummen der Walsh-ourierreihen von f onvergieren f.ü. und auch in -orm; für stetige untionen folgt die Konvergenz der Teilsummen sogar für die Supremums-orm (vgl. [SWS], [GES]). ür allgemeinere Teilsummen sind mit Hilfe der obigen Regularisierungssätze allerdings eine Aussagen zu gewinnen; das allgemeine Konvergenzproblem ist auch weit schwieriger in der Behandlung; die wohl wichtigsten Resultate sind fehlende f.ü. Konvergenz für L - untionen und f.ü. Konvergenz für L -untionen (Satz von Carleson-Hunt) auf º. Die Tatsache der besonders einfachen Behandelbareit von -Teilsummen hängt offensichtlich damit zusammen, daß diese Mittelwerte über Untergruppen sind. Da die in diesem Text hauptsächlich behandelten endlichen dyadischen Gruppen stets von der Ordnung sind, besteht in diesem Zusammenhang eine otwendigeit für allgemeinere Konvergenzuntersuchungen. Wichtiger im hiesigen Kontext erscheinen mir ragen über die Geschwindigeit der Konvergenz bzw. Güte der Approximation von e f c º j bzw. geglätteten Versionen davon an f für - verschiedene Klassen von untionen bzw. Distributionen und verschiedene ormen. Aus den Regularisierungssätzen läßt sich folgern, daß die Approximationsgüte vom Wachstum der Walsh-Transformation im Unendlichen abhängt: ür j Œ, p, M ist ĵ L p b g L p -Räume bzw. die Supremumsnorm für M j (die ormen für die Walsh-Transformation seien die für die onjugierten Indizes im all der ). Also ist j - j* j \ º, - wieder mit den jeweils passenden ormen. In diesem Sinn ist das Wachstum der Walsh-Transformation ein Maß für die Glattheit (im dyadischen Sinn) einer untion/distribution. Dabei sind die lassisch stetigen untionen durch besonders langsames allen der * Das ist das tatsächlich in [BE ] für L bewiesene Ergebnis. Die dort gemachte Behauptung der L -Invertierbareit (vgl. [Ta, II,.6]) unter den angegebenen Voraussetzungen ist falsch: Ein Gegenbeispiel findet sich in [SWS, ch.4., p. 7] im Anschluß an den Beweis von (Cor.3); die dortige Konstrution sei urz - an die hiesigen Verhältnisse adaptiert - wiedergegeben: Mit der Walsh-Paley-Anordnung auf definiere -n n n - P õ y, _ n y, _ T n cº ; dann ist P Œ C» L, P, P suppe j Õº \ º. Es ist n e j e j  - Œ S f õ  P Œ C» L, f œ L. n -( n+ ) - n

87 6 Anwendungen 87 Walsh-ourier-Koeffizienten charaterisierbar: Ist f auf dem reellen Einheitsintervall stetig, f d i õ f Œ C bº g, dann folgt aus f = O - -a H log I K, a > für Æ, daß f onstant ist ([SWS,.3.Cor.]). Mehr dazu in der angegebenen Literatur. (3) ür Distributionen mit Träger in º soll noch eine bemerenswerte Tatsache festgehalten werden: Aus Satz 6.8 folgt, daß der Wertebereich der Walsh-ourier-Koeffizienten e f b gj einer Einschränung unterliegt, mit anderen Worten: Alle Walsh-Reihen Âa y, _ U lassen sich als Distributionen auf º ansehen; für genauere Erörterungen (Konvergenz, Eindeutigeit,...) sei auf [SWS] verwiesen (dort werden diese ragen im Kontext der dyadischen Maße verhandelt). Dieses Ergebnis ist nur ein spetaulärer all folgender Klasse von Umehraufgaben : Kann eine gegebene untion/distribution als Walsh-Transformierte einer anderen untion angesehen werden? Darauf ann hier leider nicht eingegangen werden. (4) Offensichtlich ist die Regularisierung des Dirac-Maßes bei. Insbesondere ist die olge b g eine (L -) approximierenden Eins, d.h. die olge ist L -beschränt, und das altungsprodut jeder L -untion f mit den onvergiert in orm gegen f. Approximierende Einsen mit speziellen Eigenschaften spielen für die Untersuchung der Konvergenz von Teilsummen von Walsh- ourierreihen bzw. allgemeiner bei Summationsverfahren neben den Teilsummen beschreibenden Dirichlet-Kernen (die aber wegen fehlender Beschräntheit eine approximierenden Einsen sind) eine große Rolle. Insbesondere seien ejer-kerne, de la Vallee-Poussin- Kerne und Abel-Poisson-Kerne genannt; sie (bzw. ihre Walsh-Transformierten) sind durch die MATLAB-untionen fejerdach, poissondach, vpdach realisiert und in das walshlab-programmpaet eingebunden. Siehe auch (5) Die in erlärten Gibbs-Ableitungen lassen sich als Dsitributionen ansehen; die Definition der untionen f bleibt auch hier gültig, die angegebenen ormeln für die Darstellung des Gibbs-Operators auf der Zeitseite müssen gegebenenfalls modifiziert werden; ich verweise auf die bei der Beprechung der einzelnen Operatoren angegebene Literatur. 6. Zusammenhang mit der endlichen Walsh-Transformation In diesem Abschnitt soll gelärt werden, wie eine untion/distribution auf (und ihre Walsh-Transformation) durch auf den atorgruppen lebende Objete approximiert werden ann; zentrale Punte in der Disussion werden das Abtast-Theorem (Sampling-Therorem, Satz 6.3) und seine Verallgemeinerungen sein: Wie ann eine Distribution durch Abtastwerte repräsentiert bzw. approximiert werden? Die so erhaltenen Disretisierungen önnen dann als Objete auf endlichen atorgruppen angesehen bzw. mit endlichen Methoden behandelt werden. Benötigt werden Zerstücelungstechnien und Sätze über das Zusammensetzen von Stücen - und zwar soll eine untion sowohl im Zeit - als auch im requenzbereich beschnitten (bzw. gefiltert) werden. 6.. Schneiden und Kleben Zielsetzung: Eine Distribution auf soll zerlegt werden in untionen auf (Komenengen von) endlichen Unter-/atorgruppen und aus diesen Teilen wieder zusammengesetzt werden. Zwei (verwandte) Strategien werden betrachtet: f õbt f g c, f =  T f, ŒÕ ~ ~ f õ f c, f = lim f ür die Walsh-Transformierten bedeutet das Æ f = y, _ f *, f = f y, _  ŒÕ ~, ~ f = f * f = lim f Æ (6.) (6.) ~ Man beachte, daß T f = f. Die in den obigen Gleichungen rechts stehenden Ausdrüce sind stets im Distributionssinn  < onvergent; tatsächlich sind sie in (6.) auch für Elemente aus M und L p, p < normonvergent, dies gilt auch für untionen aus C, für loal integrierbare untionen gilt f.ü.-konvergenz. Die Teilfuntionen werden in geeigneter Weise durch bandbegrenzte untionen angenähert, die dann als untionen auf einer endlichen dyadischen Gruppe angesehen werden önnen; man

88 88 6. Zusammenhang mit der endlichen Walsh-Transformation würde sich wünschen, daß gewisse Diagonalfolgen gut onvergieren. Auch die umgeehrte Reihenfolge - zuerst Bandbegrenzung, dann Zeitbegrenzung ist sinnvoll, liefert aber in den hier betrachteten ällen dasselbe Ergebnis: f c * h = f * h c, supph Õº Bemerungen: ) Die Summe in Gleichung (6.) steht mit partieller Walsh-Transformation bzw. STWT in Zusammenhang, siehe 5..3, 5..und weiter unten. ) In der lassischen ourier-analysis wünscht man sich zum Ausschneiden der untionen f glattere untionen als die c, um auf der Spetralseite einen gut loalisierten altungsoperator zu erhalten; dieses Problem existiert in der dyadischen Harmonischen Analysis nicht in der orm: die c sind sowohl auf der Zeit-, als auch auf der Spetralseite gut loalisiert in gewisser Weise die glattesten auf möglichen untionen ( Indiatorfuntionen von Kugeln sind die Gauß schen Glocenurven der dyadischen Analysis ). Eine Konretisierung dieser Aussagen findet sich in der Konstrution von S in [Os]. ichtsdestotrotz ist eine verallgemeinerte ragestellung sinnvoll: () Seien v, h Œ S, v =, z h =. Wie onvergieren die olgen d i d i f D v * St -l h bzw. f * St - l h D v? (im allgemeinen önnen Multipliation und altung nicht einfach vertauscht werden) gegen f Œ S, insbesondere für L p - untionen oder gleichmäßig stetige untionen? Insbesondere interessiert, ob die Diagonalfolgen d i d i bg bbg e D v * St - j etc. onvergieren. Allgemeiner sei a, monoton wachsende, unbeschränte olgen natürlicher Zahlen; es interessiert die Konvergenz von f h b a f D v * St - h bzw. f * St - h D v () Sei G ein System offener Teilmengen von, die überdecen. Dann gibt es eine olge bv i gi ŒÕ von untionen aus S, die eine G untergeordnete loalendliche Zerlegung der Eins (ZDE) bilden, das heißt: v i " i, der Träger jedes v i liegt in einem Element aus G,  v x = " x Œ, zu jeder ompaten Menge K in gibt es eine Zahl m und eine offene Obermenge W von K, sodaß Â m = i v i x = auf W. (Insbesondere wird jede ompate Umgebung jedes Puntes aus nur von den Trägern endlich vieler v i geschnitten). (Ein Beweis dieser Tatsachen für Testfuntionen über den reellen Zahlen findet sich etwa in [Ru3]. Er ann leicht an die hiesigen Verhältnisse adaptiert werden). Die untion h sei wie oben. Auch hier interessiert die Konvergenz von  d i  f v * St -l h und f * St -l h v bzw. von Diagonalfolgen  d i f v * St - h und f * St - h v  und deren Verallgemeinerungen. Die angegebenen Problemstellungen lassen sich unter einem gemeinsamen Blicpunt betrachten: Es finden Multipliationen mit einer untionenfolge von Testfuntionen statt, die im Distributionssinn gegen geht. Wir haben also Klassen approximierender Einsen für Multipliation und altung, die eine Distribution in eine zeit- und bandbegrenzte untion, also in eine Testfuntion überführen. Es besteht die Erwartung, daß für geeignete Klassen von Distributionen die ursprüngliche Distribution wieder angenähert werden ann und daß die Konvergenz der äherungen so gut ist, daß auch die Walsh-Transformierten der äherungen onvergieren. Diese Erwartung wird erfüllt: Satz 6.: i) ür h Œ S, z h = onvergiert h õst - h im Distributionssinn gegen d. Ist f loal integrierbar, so onvergiert f *h f.ü. gegen f, für p f Œ ol, b p < g, Ct ist diese olge normonvergent.

89 6 Anwendungen 89 onvergiert v v b p g C t ii) ür v Œ S, v = o p õd im Distributionssinn gegen. f v f Œ L, <,, M erhält man ormonvergenz. iii) ür eine ZDE wie in () sei w  õ v l l. Dann gelten für w l die Aussagen ii). (Der Beweis von i) erfolgt wie beim Regularisierungssatz. Die restlichen Aussagen sind einfach.) Zur Konvergenz der Diagonalfolgen: Sei u eine der olgen v distributionell gegen f. ür f Œ L, <, Telesopabschätzung o p b onvergiert für jede untion puntweise gegen f, für abg, w abg, abg wie unter (). Dann onvergieren die olgen b f u g* St h und d f * St hi u p g C - - t erhält man wieder ormonvergenz. Dies folgt für ormonvergenz aus einer b g b g f - f u * St - h f - f * St - h + f * St - h - f u * St - h, analog für Distributionen. Bemerungen: () Die Voraussetzungen an h und v im obigen Satz lassen sich noch weitgehend abschwächen, tatsächlich sind aber viele der in der Literatur behandelten altungserne Testfuntionen. Will man zeit- und bandbeschränte olgenglieder, dann ist die getroffen Wahl die richtige, insbesondere für das Ausgangsproblem: die Approximation von Distributionen durch untionen auf endlichen dyadischen Gruppen. p () ür f Œ L, p folgt aus der ormonvergenz etwa der f u * - Transformierten zum onjugierten Index. (3) Die olgen h õst - h sind ein Beispiel für L - approximierende Einsen. St h auch die ormonvergenz der Walsh- 6.. Sampling und die Shah-Distribution Will man untionen diret durch Abtasten ihrer untionswerte in approximierende untionen auf endlichen dyadischen Gruppen überführen, nützt Satz 6. nicht unmittelbar. In diesem Abschnitt werden die nötigen Hilfsmittel zur ormulierung des im nächsten Abschnitt zu behandelnden Abtast-Theorems bereitgestellt. (Ich folge in dieser Herleitung des Abtast-Theorems der in [ei] vorgetragenen Vorgansweise.) Die Shah-Distribution auf ist õ  d Œ Õ. ür Strecung und Dehnung von erhält man - a - Â, Œ a a  d Œ a. Õ Õ D = a d St = Die Shah-Distribution ist invariant gegen Walsh-Transformation : =  y _,, =. (6.) ŒÕ Die letzte Gleichung wird als Poisson sche ormel bezeichnet (die lassische Poisson sche ormel auf loalompaten abelschen Gruppen wird in diesem Text nicht behandelt). Der Beweis:der ersten Gleichung ann über die Gleichheit der Regularisierungen geführt werden, die dabei auftauchende Identität  y, _ * = Â, y, _ y, _ = ÂT folgt aus Gleichung (5.). altung einer Distribution mit ist bei ompatem Träger möglich und erzeugt die Õ -periodische ortsetzung der Distribution, Multipliation ist für bandbeschränte untionen erlärt und ann als eine orm des Sampling angesehen werden:

90 9 6. Zusammenhang mit der endlichen Walsh-Transformation - - a ŒÕ e j a a Œ a d M i Õ,  g D = a g a d ææææ Æ f * St = T - f g Œ O f = g Das Sampling ann als verlustfrei für auf Komengen von º M onstante untionen g angesehen werden, wenn a M, das Spetrum also überschneidungsfrei periodisch fortgesetzt wird; der all a = P, P M wird hier gebraucht: Abschneiden im Sequenzbereich heißt Verbreiterung im Zeitbereich und umgeehrt:  d i W d i g D w * ææææ Æ f * St w c W. (6.3) Sei supp g Õ º -M, supp g /Õ º - M+ (Sprechweise: º -M ist tragende Untergruppe von ĝ ). alls M w spricht man von Oversampling, sonst vom Undersampling; der all M = w heißt ritischer all. Vergleiche Abbildung 8: Abbildung 8: Verschiedene ormen des Sampling von gõ 4  c 4 + T - =. Oberste Zeile: g und die WPT von g; ür die weiteren Bilder seien die Werte von w, W aus (6.3) angegeben: Zeile : grün: w=4,w=6, blau: w=4,w=5, Zeile 3: grün w=5,w=7, blau: w=4,w=5. Die beiden unteren Zeilen versuchen einen Eindruc von den beim Undersampling entstehenden Effeten zu vermitteln; hier ist zum roten Teilgraphen gehörende untion = grün+blau, grün= T -5 f ; also Zeile 4: w=3,w=4, Zeile 5: w=3,w=5. Bemerungen: () Der erste Teil von Gleichung (6.) stellt einen Zusammenhang zur lassischen Poisson-ormel her: ür f Œ L ist   f * = T f = f, y, _ y, _ ŒÕ ŒÕ, die Summe ÂT f läßt sich als Lift L p einer Projetion p: Æ º ansehen; auf diese Weise wird die Harmonische Analysis auf mit der auf º vernüpft. Auf dieses Thema ann leider nicht genauer eingegangen werden. () Die Shah-Distribution und die amilie der Strecungs- bzw. Dehnungsoperatoren stehen in Zusammenhang mit den in 4.. erlärten Einschränungs- und ortsetzungsoperatoren. Auf ist der Shift ein Automorphismus, deshalb treten Abschneide-Effete hier nicht auf. Auch hier ann eine eingehendere Analyse aus Platzgründen nicht erfolgen es müßte das allgemeine Konzept einer dyadischen Gruppe eingeführt werden, um untionen auf Unter- und atorgruppen von systematisch untersuchen zu önnen. Das Konzept der Shah-Distribution ist insofern ein gewisser Ersatz, als daß untionen auf dünnen Untergruppen (d.h. solchen vom Haarmaß ) wie etwa Õ zumindest als Distributionen realisiert werden önnen.

91 6 Anwendungen Das Abtast-Theorem Die lassische orm des Abtasttheorems ist eine triviale Umformulierung von Satz 6.8: Satz 6.3 ( Abtast-Theorem ): Jede w-bandbegrenzte untion f läßt sich schreiben als Die Summe in (6.4) onvergiert gleichmäßig auf ompaten Teilmengen von. e j -w f =  f T c Œ -w Õ -w. (6.4) Das Abtast-Theorem gibt an, wie eine bandbeschränte untion aus einer disreten Menge von Abtastwerten mit Hilfe einer Reonstrutionsfuntion (hier c -w, es wird sich als vorteilhaft erweisen, statt dessen w zu setzen) wiedergewonnen werden ann. Es erhebt sich die rage, inwiefern auch allgemeinere untionen durch eine Reonstrution aus Abtastwerten approximiert werden önnen, also nach ehlerabschätzungen. Dabei ann Gleichung (6.4) in zwei Richtungen verallgemeinert werden: Die Abtastwerte müssen nicht untionswerte sein; bei vielen Messungen realer Signale erhält man eher Integralmittelwerte, und für die Reonstrutionsfuntion muß nicht Indiatorfuntion einer dyadischen Kugel sein. Vorgangsweise: ür bandbegrenzte untionen wird zunächst ein verallgemeinertes Abtast-Theorem und für dieses eine ehlerabschätzung hergeleitet; gibt man die orderung: Abtatswerte=untionswerte auf, so erhält man eine Regularisierungsmethode für eine größere Klasse von Signalen. Bemerung: Aus dem obigen Satz folgt insbesondere, daß es ein irregular sampling problem für dyadisch bandbeschränte untionen nicht gibt: Eine bandbeschränte untion ist bereits dann erlärt, wenn alle Stützstellen in verschiedenen aufeinanderfolgenden dyadischen Intervallen liegen. Aus dieser einfachen Beobachtung erzeugt die MATLAB-untion dyappr.m einen Algorithmus zur dyadischen Interpolation. Siehe dazu demo.doc In der Herleitung des verallgemeinerten Abtast-Theorems folge ich [ei]: Sei f bandbeschränt, supp f Õº -w. ür eine Distribution h Œ S ist wenn ĥ f h = f bzw. f * h = f (6.5) º - =. Die Produte (6.5) sind ohne weitere orderung an f nur für Distributionen mit ompatem Träger erlärt, also w h Œ O C, h º - =. (6.6) w Die orderung an den Träger von h zeigt ein bei altungsproduten allgemeines Prinzip: Je bessere Eigenschaften bezüglich Glattheit und Asymptotischem Verhalten ein ator besitzt, desto weniger muß vom anderen gefordert werden; wird etwa zusätzlich f Œ L gefordert, so ann h Œ M erlaubt werden, siehe dazu auch die Bemerungen weiter unten. Will man das altungsintegral in (6.5) durch eine Summe ersetzen, so muß h zusätzlich noch als W-bandbegrenzt, W w vorausgesetzt werden: c h - e j supp h Õº, w fi * h = W W f St W f (6.7) Auf der Zeitseite liest sich diese Gleichung als d f D * h = i W f. (6.8) Zusammengefaßt erhält man Satz 6.4 ( Verallgemeinertes Abtast-Therorem ): Sei h Œ S, h sei W-bandbeschränt, ĥ bandbeschränte untion f  = - W - W º - =, w W. Dann ist für jede w- w f f T -W ŒÕ. (6.9) e j h

92 9 6. Zusammenhang mit der endlichen Walsh-Transformation Die Konvergenz ist gleichmäßig auf ompaten Teilmengen von. Genauer stellt die -te Teilsumme die untion auf Translaten von º W- exat dar, wenn W - w. Bemerungen: - () Die letzte Aussage des Satzes folgt aus der Tatsache, daß mit f auch f T w c W w-bandbeschränt ist, wenn die im Satz angegebene Bedingung erfüllt. Tatsächlich sind an jeder Stelle x Œ nur endlich viele Summanden ungleich ull. () Die aus der Herleitung folgende Bedingung h Œ S ann abgeschwächt werden, wenn an f Ablingbedingungen gestellt werden. Insbesondere ann für f Œ S die Reonstrutionsfuntion h als W-bandbegrenzte untion aus O M angenommen werden; die Summe in Gleichung (6.9) ist dann endlich. ür die eingangs dieses Abschnitts genannten Zwece ist allerdings die hier hergeleitete orm die passende. (3) Ein Beispiel für Reonstrutionsfuntionen h liefern die de la Valle-Poussin-Kerne (für eine Definition siehe 5.5.) (4) Die Größe W-w heißt Sampling-Rate. Sie ist offensichtlich nur für h = w gleich, d.h. in der Situation von Satz 6.3. Tatsächlich ist Satz 6.4 nicht allgemeiner als Satz 6.3, da aus (6.9) die Relation c Zerlegung von w. Insbesondere gelten die beiden Relationen h* = h W h* w = w -w  -W = W-w T - W = -... h folgt. h ist gleichsam nur eine Die Reihe auf der rechten Seite von Gleichung (6.9) heißt Sampling-Entwiclung von f, Bezeichnung: sample( f, h ). Da diese Entwiclung auch für nicht bandbegrenzte untionen angegeben werden ann, erhebt sich die rage nach der Güte der Approximation einer (beliebigen?) untion durch ihre Sampling-Entwiclung. Auch interessiert die rage, ob - und in welcher Weise - die Sampling- Entwiclungen sampled f,st - hi für Æ gegen f onvergieren. Da im Abtast-Theorem untionen durch ihre Werte an gewissen Stellen approximiert werden, wird als zu untersuchende untionslasse die der auf stetigen untionen gewählt. Sei also f Œ C Dann ist mit den bisherigen Bezeichnungen d i f - sample f, h x = f - f * h x + f * h - sample f, h x. T b xg T bxg Tbxg = z fbxg- fbx + zg hbzg dlbz g, supp h W W = e j - - zur Abschätzung von T setze f õ sample f, W f -W Œ Õ T eine auch sonst bemerenswerte Tatsache, und damit Die ormabschätzungen für die altung liefern  sample f e W. Dann ist (6.) b,hg = f * h, (6.) j T x = f - f *h x. e T x f - f c supph h. j T ann auf verschiedene Weisen abgeschätzt werden. Die Approximationsgüte hängt einerseits von der Größe des Trägers und der - orm von h ab, andrerseits vom sogenannten Stetigeitsmodul von f. Siehe dazu für den Spezialfall h = [BE],[SWS], [HC],[GES], [Ta]. Aus der ehlerabschätzung folgt, daß sampled f,st - hi loal gleichmäßig gegen f onvergiert (für T ziehe Satz 6. heran), für gleichmäßig stetige untionen folgt sogar gleichmäßige Konvergenz. Insbesondere gilt für stetige untionen mit ompatem Träger: w.

93 6 Anwendungen 93 d sample( f, St ) f - h i æ ææææææææ Æ (6.) die Walsh-Transformation einer derartigen untion ann also durch die der verallgemeinerten Sampling-Entwiclung approximiert werden. Umgeehrt folgt aus der loal gleichmäßigen Konvergenz der untionenfolge L M - ba+ Wg - a+ W  f T O - - Œ QP a+ W St a h Õ a e j die Existenz einer stetigen Interpolationsfuntion f, als deren Sampling-Entwiclungen die olgenglieder angesehen werden önnen. Bemerungen: Tatsächlich ann man zeigen, daß für f die -ortsetzung einer auf Riemann-integrierbaren untion mit ompatem Träger die olge samplec f, h im L -Sinn gegen f onvergiert, was für die Gültigeit von Gleichung (6.) hinreicht. Tatsächlich sind die Sampling-Entwiclungen in diesem all Riemann-Summen. Siehe dazu [SWS]. Der Wunsch nach möglichst leiner -orm von h führt auf die orderung h ; dies ist aber nur für h = W, W w möglich. Ein guter Abriß der Geschichte des Abtast-Theorems findet sich in [Hi]. In [BE,] wird auf die n-dimensionale Theorie eingegangen. Tatsächlich lassen sich Approximationen für allgemeinere untionen/distributionen gewinnen, wenn die Einschränung: Abtasten=Bestimmen von untionswerten fallen gelassen wird: Setzt man statt dessen die Integral-Mittelwerte f, T -W h tatsächlich werden pratisch oft Meßergebnisse als Integrale gedeutet, läßt sich in allgemeineren ällen Konvergenz erreichen: ür w- bandbegrenzte untionen ist  -W -W -W Œ Œ f = T f = f * - W h, T - W h h T -W h Â Õ Õ e j, (6.3) e j was sich analog zur Herleitung des Abtast-Theorems folgern läßt, wenn Gleichung (6.5) durch ihre olgerung f h = f h h = f in der weiteren Argumentation ersetzt wird. Die Teilsummen rechts sind für f Œ S erlärt und stimmen mit f * h* h überein. Die der Konvergenz der olge f õ f * St - h* h (6.4) wurde in 6.. behandelt, für h = ist man genau in der Situation von Satz 6.. Tatsächlich wird für die Konvergenz von (6.4) die Bedingung ĥ º - nicht benötigt die erlaubt die exate Darstellung w-bandbegrenzter untionen, h muß nur den Vorausset- w zungen von Satz 6. genügen. Bezeichnung: Die untionenfolge (6.4) nenne ich verallgemeinerte Regularisierung von f, Da die untionen T - W h im allgemeinen nicht linear unabhängig sind (man betrachte etwa die Sampling-Entwiclung von h), sind - W+ ragen nach der Konvergenz der untionenfolgen g õ a, St - T -W h d i ŒÕ  in Abhängigeit von den (i.a. nicht eindeutig bestimmten) Koeffizienten schwieriger zu behandeln; notwendig dafür, daß die g von * w + der orm (6.4) sind, ist die Regularität von g, wie aus der zweiten Gleichung (6.) folgt. In diesem all onvergieren dann mit den Regularisierungen g * w + auch die g im Distributionssinn gegen dasselbe Element g Œ S. ür h = W ist die Situation günstiger: Mit der Regularität der olge g folgt die eindeutige Entwiclung g W  = - - T - W- W+, f T - W- W+ Œ, Õ aus der Regularität und Satz 6. folgen Bedingungen für die a, : a +, + a +, + = a, entspricht der Regularität; L p - Beschräntheit bedeutet: d i Œ p p a õ a, l, a für alle. p C Offen ist noch die rage des Schneidens und Klebens im all der Sampling-Entwiclung einer stetigen untion, also etwa nach der Existenz von

94 94 6. Zusammenhang mit der endlichen Walsh-Transformation vorzugsweise im L -Sinn. Dazu ein Gegenbeispiel: d i, lim Æ sample f c, St - h d b -m f = -m * c m m  St - T c - m+ m= g Die untion liegt in L» C und ist gleichmäßig stetig, also onvergiert ihre Sampling-Entwiclung in der Supremumsnorm. icht aber in der L -orm: samplec f, h liegt nie in L. Auch die zurechtgeschnittene untionenfolge samplec f c, h ist nicht L -onvergent. Tatsächlich läßt sich zu jedem Sampling-Schema sample f c,st - bb g, a, b monoton wachsende, i e a j unbeschränte olgen natürlicher Zahlen, eine gleichmäßig stetige untion aus L» C angeben, für die das Schema nicht L - c e -qbg j e abg ab- gj so, daß l d r π i (das ist immer möglich) und c = e,st = - a j e a a - j mit großer läche, während b+ g - z r. onvergent ist: Die Konstrutionsidee für diese untion: Sei r = c * St - c -c, wähle b, q sample r c - b c c, setze f õâ r. Dann ist Also läßt sich L -Konvergenz im allgemeinen (d.h. für allgemeine Sampling-Schemata) nur für stetige untionen mit ompatem Träger erreichen.

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98 98 Matlab-untionen AHAG A MATLAB-UKTIOE The crux of the biscuit is the apostrophe (ran Zappa) Auf dem der Diplomarbeit beigefügten Datenträger befindet sich im Verzeichnis "Doumente" die MS-Word-Datei "Anhang_A.doc"; sie enthält eine Version dieses Texts. Ist auf dem verwendeten Computer das MATLAB-oteboo (Doumentvorlage M_BOOK.DOT) installiert, so önnen die im Text angegebenen Beispiele interativ verändert werden: Voraussetzung dafür ist die orrete Installation der in der Datei "testfuns.zip" enthaltenen MATLAB-untionen. Diese müssen in ein Verzeichnis opiert werden, hier "vz" genannt. Bei der Deompression von testfuns.zip nach vz wird dort ein Unterverzeichnis "classes" angelegt. "vz" und "vz\classes" müssen dem MATLAB-Suchpfad hinzugefügt werden. Die in "testfuns.zip" enthaltenen MATLAB-untionen werden am Ende dieses Anhangs aufgelistet. Außerdem finden sich dort einige *.mat-dateien (sie enthalten verschiedene Testdaten, auch finden sich Teile des walshlab-programmpaets darunter): ür einen Teil der angegebenen untionen werden Aufrufe und Wirungsweise demonstriert; für eine (leine) Untermenge davon wird auch der Programmcode aufgelistet und besprochen. Grundsätzlich sind alle untionen experimentell: ehlerwarnungen werden im allgemeinen nicht ausgegeben. Viele Algorithmen dienen nur der Illustration von Sachverhalten; Optimierungen auf Speicherplatz und/oder Geschwindigeit wurden nur in einigen ällen vorgenommen. Die angegebenen MATLAB-untionen lassen sich in folgende Bereiche gliedern: Test- und Hilfsfuntionen Transformationen dyadische lineare Algebra altungs- und Translationsoperatoren ür Demo- Programme, insbesondere auch zum walshlab-programmpaet, verweise ich auf die ebenfalls auf dem Datenträger enthaltene Datei demo.doc. i) Test- und Hilfsfuntionen a) dynorm Aufruf: dynorm(x) Beschreibung: Gibt die dyadischen ormen der in x enthaltenen Elemente an. Diplomarbeit: 4.4. Ähnlich: hamming, weight, vielfalt Beispiel: disp(dynorm([...3;.4 7 8])) b) dywrstrss Aufruf: dywrstrss() Beschreibung: Liefert die -te Approximation an die dyadische Weierstraß-untion, eine stetige, nicht differnzierbare untion. Literatur: [SWS, S.5] Beispiel:

99 Test- und Hilfsfuntionen 99 dwrs=dywrstrss();plot(z(),dwrs) c) hamming Aufruf: hamming(ndx,[ndx]) Beschreibung: liefert die Hamming-Distanz (das ist die Anzahl unterschiedlicher Stellen in der dyadischen Darstellung) zwischen den Vetoren natürlicher Zahlen ndx, ndx; das zweite Argument ist optional. (Dann wird die Hamming-orm von ndx berechnet) Diplomarbeit: 4.4. Ähnlich: dynorm, weight, vielfalt Beispiel: disp(hamming([],[:8])) 3 d) indi Aufruf: z=indi(v,[r]) type indi Beschreibung: liefert die Indiatorfuntion der im Vetor v enthaltenen Elemente: Wenn ARGI==, dann wird v als Integer- Vetor angenommen,z liegt dann im leinstmöglichen S Vetor, wird er als Definitionsmenge aufgefaßt; Ähnlich: indi, padzeros, padzeros Beispiel: Ÿ e j ; wenn r einelementig, wird r als aufgefaßt, wenn r mehrelementiger indi([-.3 4],[ ]),indi([ 4],7),indi([ 4],7) ans = ans = ans = e) indi Aufruf: z=indi(elements,[v]) type indi Beschreibung: "zweidimensionale" Indiatorfuntion: elements is von der orm [x,..., xn; y..., yn], eine ( x n)- Matrix mit den Integer-Koordinaten (xi,yi). Ist ARGI==, wird die "leinstmögliche Einbettung" in ein Rechtec der orm [:n] x [:n] vorgenommen; Ähnlich: indi, padzeros, padzeros Beispiel: spy(indi([ 3 5; 3]))

100 Matlab-untionen n z = 3 f) padzeros, padzeros type padzeros type padzeros Aufruf: z=padzeros(f,[]);z=padzeros(f,[,m]); Beschreibung: hängt an den Vetor f/ die Matrix f ullen an, sodaß size(z)=[ M]. Wenn ARGI ==, werden die leinste "passende" Zweierpotenzen ausgewählt. Ähnlich: indi, indi, interindi Beispiel: disp(padzeros([. 3],5)).. 3. g) vsin, vcos, vexp type vcos type vsin type vexp Aufruf: z=vcos(ndx,), z=vsin(ndx,), z=vexp(ndx,) Beschreibung: ür z=vexp(ndx,) ist z(r,s)=cos(pi ndx(r) s/), vsin, vcos sind die Imaginär- bzw. Realteile dieses Ausdrucs Diplomarbeit: 3..5 (3), 4.4. Beispiel: plot(vcos([.3.8.3],3)') h) vielfalt type vielfalt Aufruf: z=vielfalt(f) Beschreibung: Berechnet die Vielfalt des untionsvetors f Diplomarbeit: 4.4. Ähnlich: dynorm, weight, hamming Beispiel: disp(vielfalt([:3].))

101 Walsh-Transformation und verwandte Transformationen i) weight Aufruf: z=weight(x) type weight Beschreibung: z ist Matrix derselben Größe wie x (Elemente von x sind Integer); Eintrag ist Hamming-orm der Elemente von x Diplomarbeit: 4.4. Ähnlich: dynorm, weight, vielfalt Beispiel: disp(weight(:7)) 3 ii) Walsh-Transformation und verwandte Transformationen a) chres, ct, ict, ct, ct, ict, ict Auruf: z=chres(n,), z=ct(f,,[n]), z=ict(f,,[n]) type chres type ct type ict type ct type ct Beschreibung: chres(n,) erzeugt die n x n -Matrix der Chrestenson-untionen der Ordnung (n muß eine Potenz von sein). ür = ergeben sich die Walsh-Paley-untionen, allgemein ist b g chres b g m, x õw, -i -i w õexp pi, m, x õm x m x m x m m x x , = Â i, = Â i ct(f,,[n]) berechnet die Chrestenson-Transformation der untion f (f ann auch eine Schar von untionen, also eine Matrix sein; dann wird die ct auf die Zeilen von f angewandt), d.h. (bis auf einen ator) die Koordinatendarstellung von f bezüglich der Orthogonalbasis der Chrestenson-untionen. ct(f,) ist die ÆWalsh-Paley-Transformation. Wird n angegeben, so wird f auf die Länge n geürzt oder mit ullen aufgefüllt. ict(f,,[n]) ist die inverse Chretenson-Transformation, es ist ict( ct(f,,n),)=n.f. Bemerung: All diese untionen sind experimentell; insbesondere ist die Geschwindigeit von ct, ict sehr gering. - Die Varianten ct/ und ihre Inversen sind (bei gleicher Syntax und untionalität) für Zweierpotenzen schneller. Diplomarbeit:.4.3 Literatur: [Elliot, Rao], dort unter der Bezeichnung "generalized tranform", xx Ähnlich: wt, wp, wh, wseq, hat, iht Beispiel: f=./(:496);nd=[ 4 8 6]; for =:4;subplot(,,);z=ct(f,nd());plot(:495,real(z),'r',:495,imag(z),'g');title (numstr(nd()));end;

102 Matlab-untionen b) gc type gc Auruf: ndx=gc(ndx) Beschreibung: Berechnet den Gray-Code des Indexvetors ndx; ndx Sequency-Transformation benötigt. Diplomarbeit:.4.3 Beispiel: e d ij = G r ndx. Dies wird für die Berechnung der Walsh- disp(gc([:3])) 3 c) haart Aufruf: z=haart() type haart Beschreibung: Berechnet die WPT der ersten Haarfuntionen Diplomarbeit: (xx) Literatur: xx Beispiel: imagesc(haart(3)) d) ht, iht, ht, iht function z=ht(f,) % berechnet schnell die haar-trafo if (nargin==) =size(f);=pow(nextpow(()));ff=zeros((),); ff(:,:())=f(:,:()); f=ff; end; if(==) z=f;return;end; nn=/; f=f(:,::);f=f(:,::);q=sqrt(nn); z=[ht(f+f,nn),q*(f-f)]; Aufruf: z=ht(f,[n]), z=iht(f,[n]), z=ht(f), z=iht(f) type ht type iht type ht type iht Beschreibung: ht(f,[n]) berechnet die schnelle eindimensionale Haar-Transformation des auf die Länge n (n muß eine Zweierpotenz sein) durch ullen erweiterten oder eingeürzten Vetors f; ist f eine Matrix, so wird die Haar-Transformation auf die Zeilen von f angewandt. Ist ARGI==, so wird f auf leinstmögliche Länge trivial fortgesetzt. iht berechnet entsprechend die inverse Haar- Transformation, es ist e e e jjj e j iht ht eye = eye. ht und iht sind die entsprechenden Zweidimensionalen Haar-Transformationen. Diplomarbeit: 4.., Ähnlich: ct, ict, wt, wt, wp, wp, wh, wh Beispiel: load testgraphs smalla; z=(ht(smalla));cm=contrast(z);imagesc(z);colormap(-cm);

103 Walsh-Transformation und verwandte Transformationen e) wh, wp, wp, wt, wt, wprec type wp function f=wp(f,) % bislang schnellste variante der wpt (-dimensional) ohne bitrvs if (nargin==) [m,]=size(f);mm=nextpow();=pow(mm);ff=zeros(m,); ff(:,:)=f(:,:); f=ff; else [m,]=size(f);mm=log();ff=zeros(m,);ff(:,:)=f(:,:);f=ff; end; n=/;nd=:(n-); for =:(mm-) f=f(:,+nd);f=f(:,(mm-)+nd+); f=[f+f,f-f];%plot(f);pause; nd=nd(::end)/;nd=[nd,n+nd]; end f=f(:,+nd);f=f(:,+nd); f=[f+f,f-f]; Aufruf: z=wp(f,[n]),z=wh(f,[n]),z=wp(f),z=wt(f,,[lb]), z=wt(f,,[lb]) type wh type wp type wt type wt type wprec Beschreibung: Die untionalität von wp, wh, wp entspricht der von ht, ht; wp berechnet die WPT, wh die WHT. Zur ormierung: Die Walsh-Koeffizienten werden bezüglich des durch das Zählmaß gegebenen Salarproduts (siehe xx) berechnet. Bemerung: Im- Vergleich zum in 4... angedeuteten Algorithmus wurde hier die Reursion in eine Iteration aufgelöst; dies bedeutet einen erheblichen Geschwindigeitsgewinn. wprec realisiert (bei gleicher untionaliät wie wp) den reursiven Algorithmus. wt realisiert die Walsh- Transformation für shift-invariante Anordnungen (siehe.4.): Ist U = lowband, a,. a - fi lb = a,. a - ; dabei müssen Werte am Ende von lb nicht angegeben werden; für die Sequency-Anordnung ist lb=. Das zweite Argument von wt realisiert das Haarmaß: ->Haarmaß wie für Ÿ normiert, -> Zählmaß. Diplomarbeit: Kapitel 4, insbeondere 4.4.,.4. Literatur: Siehe Literaturverzeichnis Ähnlich: ht,...,ct Beispiel: imagesc(wt(eye(6),,))

104 4 Matlab-untionen iii) Dyadische Lineare Algebra, Gruppen; Konvertierung Bemerung, Hinweis: Die Programme zur dyadsichen linearen Algebra und Gruppentheorie haben nur die untion, manche Elemente der in der Diplomarbeit vorgestellten Theorie zu veranschaulichen. Ein leistungsfähiges Programm für Berechnungen in Gruppen (Ringen, Körpern) ist (das im Internet frei verfügbare)gap (groups, algorithms, and programming) a) bd, based, db, dbase Aufruf: nd=bd(bnd), nd=based(base,basend), bnd=db(nd,[]), basend=dbase(nd,base,[]) type bd type based type db type dbase Beschreibung: Die untionen sind Verallgemeinerungen bzw. Varianten der Matlab-untionen decbin und bindec, sie liefern jedoch eine Strings, sondern Zahelnvetoren (bzw. benötigen dies als Eingabe). Beispiel: nd=[,3,5]; bnd=db(nd,4), bd(bnd).', tnd=dbase(nd,3,4), based(3,tnd).' bnd = ans = 3 5 tnd = ans = 3 5 b) bild Aufruf: bnd=bild(a,nd) i Beschreibung: bnd,: = A f nd c) binv, gbinv Aufruf: ia=binv(a), gia=gbinv(a,[d]) d, A (m,n)-binärmatrix, nd Vetor natürlicher Zahlen, f die ine'sche Abbildung type bild type binv type gbinv Beschreibung: ia ist die Inverse der Binärmatrix a, gia ist die verallgemeinerte Inverse der Binärmatrix a; ist hier ARGI==, dann wird eine reflexive verallgemeinerte Inverse von a berechnet. Diplomarbeit: 3..3 Literatur: [Xiao, Wu, xx] d) bnull, brref, bspan Aufruf: z=bnull(a), [z,nd]=brref(a), [z,q]=bspan(a) type bnull type brref type bspan Beschreibung: brref und bnull sind Adaptionen der entsprechenden Matlab-Programme null und rref: A sei eine Bimärmatrix; z=brref(a) ist die reduzierte row-echelon-form von A, A(:,nd) ist Basis von Bild(A). Die Zeilen von bnull(a) bilden eine Basis des Kerns von A; für [z,q]=bspan(a) sind die Zeilen von z das Bild von A, q liefert eine Basis. Beispiel:

105 Dyadische Lineare Algebra, Gruppen; Konvertierung 5 a=[ ; ; ]; [z,nd]=brref(a), bnull(a), [z,nd]=bspan(a) z = nd = 3 ans = Empty matrix: 3-by- z = nd = e) cbim Aufruf: z=cbim(a) type cbim Beschreibung: Berechnet die Indiatorfuntion des Bildes der Binärmatrix A mithilfe der Walsh-Transformation Beispiel: a=[ ; ; ]; cbim(a),bd(bild(a)).' ans = ans = f) cwpog Aufruf: z=cwpog(v,[]), type cwpog Beschreibung: berechnet die Indiatorfuntion der orthogonalen Gruppe der von v aufgespannten dyadischen Untergruppe von Ÿ (=n) (Walsh-Paley-Anordnung!!). Diplomarbeit:.3 Literatur: Ähnlich: orthgraph, orthgrnd, orthgroup, orthgroup Beispiel: cwpog([,3],6) ans = Columns through Columns 3 through 6 g) lowband Aufruf: z=lowband(b,[]) type lowband

106 6 Matlab-untionen Beschreibung: Berechnet die in der Diplomarbeit beschriebene untere Dreicsmatrix lowband der Größe ; wenn ARGI==, ist =length(b) Diplomarbeit:.4. Beispiel: lowband([ ],3) Column wins diagonal conflict. ans = iv) altungsoperatoren a) boxfn Aufruf: z=boxfn(v,xrange,[yrange]) type boxfn Beschreibung: boxfn liefert die Indiatorfuntion c xrange yrange in v() Ÿ Ÿ v() ; ist ARGI==, so wird die "eindimensionale" Variante angenommen. Beispiel: boxfn(8, [,5]), boxfn([3,4], [,],[,3]) ans = ans = b) dirdach, fejerdach, poissondach, vpdach,rieszdach Aufruf: z=dirdach(v,nd), z=fejerdach(v, nd), z=poissondach(v, nd), z=vpdach(v, nd) type dirdach type fejerdach type poissondach type vpdach type rieszdach Beschreibung: Berechnet die WT der Dirichlet-, ejer-, Poisson- oder Valee-Poussin - Kerne in Ÿ Ÿ v() der Ordnung nd (im v() zweidimensionalen all muß nd einelementig sein). Diplomarbeit: xx Literatur: siehe Diplomarbeit Ähnlich: Walshlab Beispiel: n=8; nd=3; z=wp([dirdach(n,nd); fejerdach(n,nd); poissondach(n,.995); vpdach(n,nd)]);for =:4;subplot(,,);stairs(z(7),z(,:));end

107 altungsoperatoren c) dyconv Aufruf: z=dyconv(f,[g]) type dyconv Beschreibung: Berechnet die dyadische altung der auf Ÿ erlärten untionen f und g mit Hilfe der schnellen WT; sind f und g gleichgroße Scharen von Vetoren, so wird zeilenweise gefaltet, ist f Vetor und g eine Schar von Vetoren, wird f mit jeder Zeile gefaltet. Ist ARGI==, so wird der zu f gehörende altungsoperator ausgegeben. Diplomarbeit: 3.x, 4.x Literatur: siehe Diplomarbeit Ähnlich: dyconv, Walshlab Beispiel: clf;imagesc(dyconv(vsin(,3), wp(dirdach(3,:3)))) d) dyconv Aufruf: z=dyconv(f,g) type dyconv Beschreibung: Berechnet die zweidimensionale altung von f,g Ähnlich: dyconv, Walshlab Beispiel: a=rand(4), u=zeros(4);u()=6;dyconv(a,u) a = ans = e) dytr Aufruf: z=dytr(verschiebung,x) type dytr Beschreibung: x ist eine rechtecige Datenstrutur der Größe n x n x... x nr (alles Zweierpotenzen), verschiebung ist ein Vetor der Länge r, <=x < n; es wird die dyadische translation von x um verschiebung durchgeführt.

108 8 Matlab-untionen Diplomarbeit: 3.. Beispiel: a=[ 3 5; ; - 3; ]; dytr([ ], a), dytr([ ],a) ans = ans =

109 Matlab-untionen 9 v) MATLAB-untionen achsen.m adjustfd.m bd.m based.m baserv.m bbitget.m bewdir.m bewmult.m bild.m binv.m bitrvs.m bnull.m boxfn.m brref.m brv.m bspan.m cantor.m cbim.m chres.m comb.m cplot.m ct.m ct.m ct.m cwpog.m db.m dbase.m dter.m dehn.m dirdach.m domset.m drawfd.m dyappr.m dyconv.m dyconv.m dydiv.m dyinterp.m dyinterp.m dyinterval.m dymult.m dynorm.m dyntrvlmin.m dyprimes.m dyrem.m dytr.m dytrans.m dytransdemo.m dywrstrss.m eusum.m eusummat.m fejdirapp.m fejer.m fejerdach.m fun.m funadjst.m funax.m funcrt.m gbinv.m gc.m gibbs.m graffilt.m haart.m hamming.m heigvect.m ht.m ht.m htdemo.m hyp.m hyp.m ict.m iht.m iht.m indi.m indi.m interindi.m irrwpc.m onstset.m rawtchou.m lowband.m normalize.m onneweer.m opdyt.m optdy.m padzeros.m padzeros.m palw.m poissondach.m poissondach.m putpic.m Q.m Q_.m radewalshdem.m restimbdem.m rieszdach.m rmat.m rowmovie.m rowmovie.m RR.m rszdch.m rszdch.m rt.m rtrans.m R_.m strec.m teilsumdach.m terd.m uindx.m vcos.m vexp.m vielfalt.m vp.m vpdach.m vsin.m walshlab.m walshlab.m walshlab_.m weight.m wh.m whrec.m whtest.m whtest.m w.m wl.m wldemo.m wl_changedim.m wl_conv.m wl_conv.m wl_drawfig.m wl_filter.m wl_init.m wl_intro.m wl_method.m wl_movie.m wl_ud.m wl_udsize.m wl_udsize.m wl_update.m wp.m wp.m wptest.m wpaley.m wpd.m wpexp.m wpfun.m wpgut.m wpneut.m wprec.m wptest.m wpur.m wseq.m wsexp.m wsum.m wt.m wt.m wtu.m z.m

110 Beweise AHAG B BEWEISE i) Umordnungsmatrix Beweis von Satz 3.: Es sei U: Ÿ Æ Ÿ eine Umordnungsmatrix für die gesuchte Anordnung von D + ; die definierende + + Gleichung für die Adjungierte des Shifts schreibt sich unter den Voraussetzungen von Problem B ausführlich als e j d i. (*) * y e e U S x e+, + = y e e U x + e " x Œ + Œ e + + +, S, + + Sei nun S * = S. (**) e Dann ergibt sich für die orthogonalen Gruppen und die Umordnungsmatrix: e = e = Ÿ fi U Ÿ = Ÿ, + S e = U Ÿ = U e,, U e e j l q e l qj el q Diese Relationen führen (*) in die folgende äquivalente orm über: lq Ÿ HG j l q e + e + Œ Ÿ Œ Ÿ l q I e j KJ = = HG 4 l q y USU e m, x y UU e m, Sx y e m+, x " x Œ +,- m -; J die duale Paarung ann auf Ÿ eingeschränt werden: Das heißt: - õ mit V V V V = U - e j * y USU e, x = y e, x " m, m -, x Œ. m m+ - m m+ USU e = e " m,- m m m+ SU e = U e SV = V " m,- m - m m+ I J K, (#) e j. Die allgemeine Lösung der Reursionsgleichung (#) ist I V = G a J I HG KJ = +  a S a a Damit ist auch die Umordnungsmatrix U von dieser Gestalt. Ç ii) Verallgemeinerte Inverse Es sollen die in Satz 4.5 behaupteten Eigenschaften verallgemeinerter Inverser bewiesen und anschließende der in der MATLAB- untion gbinv.m verwendete Algorithmus gerechtfertigt werden. Beweis von xx: ) folgt unmittelbar aus der Definition von A -, 3) ergibt sich durch diretes achrechnen. Zu 4): Wir beweisen, daß G = A - Im Ke A, die zweite Behauptung ergibt sich durch Vertauschen der Rollen von A, A - -. Sei alsov Œ Im A» Ke A ; dann ist v = Ag, g Œ G. Es folgt = A v = A Ag fi = AA Ag = g fi v =, also - Im A» KeA = lq und analog Im A -» KeA = lq. Also ist G = Im A Ke A - M ; zu zeigen bleibt M = l q. ür m aus M folgt

111 Verallgemeinerte Inverse - A m π m œ KeA A m Œ Im A, AA m Œ Im A, A AA m = A m Œ Im A A AA m - m =, AA m - m Œ KeA fi AA m = m fi m = ŒIm A ŒM e - - e j - - aufgrund der direten Zerlegung von G und damit die Behauptung. ür 5) sei g = Av + w - - AA g = AA Av = v, also - HG j also AA a + b a. ŒIm A ŒKe A I -K J = ŒIm A - ŒKe A ; dann ist Zum Bewis von 6) sei A injetiv, A - eine (nicht als reflexiv vorausgesetzte) verallgemeinerte Inverse von A. Aus der Injetivität folgt - A Ag = g und damit auch die Surjetivität von A - ; umgeehrt ist A A A g = g = A g = : g, womit die Reflexivität nachgewiesen ist. 6) folgt aus den Eigenschaften der dualen Abbildung: Es ist * - * * * - * e j e j. A A A = AA A = A Zur Begründung des in gbinv.m verwendeten Algorithmus zur Berechnung der verallgemeinerten Inversen: brref.m berechnet die binäre row-echolon-form einer Matrix., es ist also A = brrefbag mit einer invertierbaren Matrix A. Durch analoges Spaltenumformen von brref A der Rang von A. Ist A:Ÿ A õ U I ist A M A erhält man schließlich A AU A A I = I H K, M Æ Ÿ eine M -Matrix, so ist I M eine verallgemeinerte Inverse von AA - A A A AU A I M A AU AU A I I I U A A = = H I K = H Im Listing von gbinv sind die dieser Begründung entsprechenden Größen vermert: I K H I K A. function z=gbinv(a,st) % liefert eine verallgemeinerte inverse (binaer) der Matrix a % nur für testzwece % wenn st=='r', wird eine reflexive verallgemeinerte inverse berechnet. [m,n]=size(a); a=brref([a,eye(m)]); a=[a(:,:n);eye(n)]; a3=brref(a')'; e=a(:,(n+):(n+m)); <-- A f=a3((m+):(m+n),:); <--U A z=mod(f*eye(n,m)*e,); if(nargin==) if (st=='r') z=mod(z*a*z,); end; end; H I K I, und für

112 Beweise iii) Walsh-Transformation von Exponentialfuntionen Zu den Sätzen in 5.4.: Gesucht sind die Betragsmaxima von A, l, b g (und des Real- bzw. Imaginärteils davon) für ganzzahlige als untion von l. Die oben angegebenen Reursionsformeln erweisen sich für diese Aufgabe als weniger geeignet, es läßt sich aber eine günstigere orm angeben: Sei, wie oben, A, m, ;, m ausgenommen ull bedeute. Dann ist für m, > = e y G Ÿ, wobei in der folgenden Ableitung eine beliebige reelle Zahl e jd i  x Œ Ÿ x Œ Ÿ ; A, m, = + x - - e y G m, x. (5) l q  lq d i c h Der erste Summand läßt sich schreiben als -  exp -pi S x y m, x x Œ G S Ÿ. Da ycgm, S xh = ycs Gm, xh = ycgs m, xh und S x = - x auf Ÿ, vereinfacht sich diese Summe zu -  e x y x ; - m, x = A, m, - Œ cgs h c S h. Ÿ - Der zweite Summand in (5) vereinfacht sich analog: Zusammenfassend: -  e y e y x ; + x m, e + x = ; m, e A, m, - Œ d i c G S h b G Ÿ g c S h. - c h A, m, = + ; m, e A, m, -, m <, >, > e y G S. (6) b* g Mit Ab,, g = ist damit wieder eine Reursionsformel für die Walsh-Sequency-Koeffizienten von e ; gefunden, die sich in diesem all sogar ersichtlich in orm eines endlichen Produts schreiben läßt. Vorher soll noch der Ausdruc (*) weiter vereinfacht werden: Es ist ybm, e g m pim = b- g = e -, also ist e ; bg ybgm, eg = exp - ipe + bg mgj. ür omplexe Zahlen z vom Betrag gilt allgemein + z = Reez j z ; damit wird (*) zu ür (6) ergibt sich damit: HG cos p e ji K J e j. p - + G + Gm e i m e e j ji e e j j l HG K J I - + HG K J = - -l l -l A, m, = cos p + S Gm exp i p S l G m (7) l l ableiten, Aus dieser Beziehung läßt sich eine geschlossene ormel für die Walsh-Sequency-Koeffizienten von sin px, cos px siehe dazu weiter unten. In der hier angebenen Gestalt nutzt die Beziehung beim Beweis von Satz 5: Die Walsh-Sequency-Transformierte von e m =, -. : Wde ibmg, < < ; s ; b -.Der hier angegebene Beweis benötigt die Binärdarstellungen von G, G - : g hat ihr Betragsmaximum genau an den Stellen Hilfssatz 6: Sei = + < M  l > M l -. Dann ist l I e j H G K J e j e j e j = G - = e + e + + e e, -M - M+ - M+ - M+ - M+ - M G = e + + e + + e e. Insbesondere ist G + G - = -M - M+ - M+ - M+ - M+ - M M +. Der Beweis erfolgt durch achrechnen. Ç

113 Walsh-Transformation von Exponentialfuntionen 3 Beweis von Satz : Es sei d i Dann ist n x, a = n x, a +, 3 n, a > n, a a Œ ;. I HG K J = I HG K J = p cos a, x p n: Ÿ Æ, b, a cos a I x g + HG b xg K J = S. p sin a, x R T Mit der eingeführten Schreibweise ist - e j l = -l A, m, = n m i + m i+,. G. Wenn, wie behauptet Die Abbildung G: Ÿ Ÿ Æ ist ein Automorphismus von Ÿ m ; für die weitere Rechnung sei x õ x õ m m max =, - x max = Gbg, Gb -g. Um die Argumente des Betragsmaximums von Ab, m, g zu bestimmen, genügt es also, alle x l aus Ÿ zu finden, sodaß all : ungerade, also =. -l e l j. n x, Æ max!, l =... - b g b g ach Hilfssatz 6 ist in diesem all G =, +, +,, G - =,, +,. Es genügt also zu zeigen, daß l=: max cos l=: max cos HG HG max cos p + x l I HG K J = + H G HG = HG p p + x max cos x l I K JI II KJ K J KJ befindet sich bei für x=. HG HG HG HG I x K JI R S x = =, l = x Œ Ÿ, l =. x = +, l > T l l - I K JI = KJ p cos +, x p p x I + maxcos HG K JI x I = + + KJ HG K JI = HG KJ S p I sin +, x K JI HG HG I K JI HG HG R T KJ = U V W =. l>: max cos p max cos p l - + x = + +, l l + < <. Das gesuchte Maximum liegt bei KJ KJ l - 3 l - 3 l - x = + + l Œ ; + l Œ ; - + l Œ l + l - m, r mod. all : gerade, wird durch Indution auf den ersten all zurücgeführt: Sei = und der Satz für bereits bewiesen. Dann ist p m m Ab, m, g = cos x Ae, x H G I, j K J S -, wie sich aus (7) ergibt. Das Betragsmaximum des ersten ators findet sich bei x sich auch in diesem all die Behauptung (Details sind selbst auszuführen). Ç = =, nach Indutionsvoraussetzung ergibt m Es interessieren natürlich auch die Betragsmaxima der Walsh-Sequency-Koeffizienten des Real- bzw. Imaginärteils von e ;. Dazu wird zunächst Gleichung (7) in eine handlichere orm gebracht: Es ist

114 4 Beweise e j - m p - l m x - - I l l A, m, = cos + x l i i. l HG K J - - = l = l = HG HG m + m m + m - - # = -i -, I K JI KJ ## = exp -ip -. # ## (Dan an die Rechenünste von Maple.) Dann ist W b g - - m m m m l m p p sdcos p ibmg = b- g - cos e + x l j - l = sin p, m m - b g - sin p -, m d i b m g m - e l j - l = cos, m m - - m+ + m - p -l Ws sin p m = - cos + x HG HG I R K J S T I R K J S T e e e e e e e jj jj jj jj cos -, + = - + = + = p e - + = p p ür > ist cos > sin ; wir beschränen uns bei der Bestimmung der Betragsmaxima von (8) auf diesen all. (8) Satz 7: Die Betragsmaxima von (8) liegen für < W s - bei: W sin p : s d b gi RS cos p : d b gi -, < - - T -, < - -, RS T - -, < < Zu zeigen bleibt das Verhalten des ourier-spetrums der Walsh-Sequency-untionen (es entspricht der Strutur von X s * ), insbesondere die dortigen Betragsmaxima: Satz 8: Die Betragsmaxima des ourier-spetrums von y Gm (also der untion A, m, = S m +, = - S m +. b g ) liegen an den Stellen Korollar: Sei R, A, m, max A, m, Z m m b, g = õ S ŒŸ, T sonst, A, m, max A, m, n Zb, mg R = õ < sonst S T Dann ist Z = Z. Der Beweis des Satzes ist analog dem von Satz 5: Vorausgeschict sei, daß S e j,. - j = - j - < j < m Sei wieder x õ x = G m. R T bm + g = S S m +, m =. Weiters gilt allgemein: all : x = m + m =. Wie im Beweis von Satz 5 (die Rollen von x und sind jetzt vertauscht) erhält man eine Gleichungsette = x = = x + x + = x + + x +, l l drüct man darin x wieder durch m aus, ergibt sich nach einiger Rechnung:

115 Walsh-Transformation von Exponentialfuntionen 5 I I II = m m G J + G + S G H K,. Überprüft man diese Gleichung für die älle m =, m = und m =, m =, so erhält man die behauptung. H H II K J KJ all : x =, wird wieder durch Indution auf den ersten all zurücgeführt: Sei etwa x = m + m =. Es ist für x A m A = = fi,, =, m, - I S HG K J. Der Ausdruc auf der rechten Seite nimmt nach Voraussetzung sein Ma- - õ SbS + g, - an. Ist m = m =, ergibt sich v zu m fi m m 4 I, II =, -, wie behauptet. =, also ist m von der orm m = b*,,, g fi m + = b*,,, g. ür v wie oben g b, g und v = b*,, g = Sbm + g. Die weiteren Indutionsschritte funtionieren analog. Ç ximum an den Stellen v m v ür m = m = ergibt sich nach Voraussetzung m b ist dann v = S Sm + = *

116 6 demo.doc AHAG C DEMO.DOC Bemerung: Dieser Text ist eine partielle Expansion der Datei demo.doc auf der beigefügten Disette. Einige untionen wurden hier abgeändert, um der Darstellung "am Papier" besser zu genügen. ür Installation der nötigen MATLAB-untionen gilt das in Anhang A Gesagte. i) Reursionseigenschaften Die Walsh-untionen haben bemerenswerte Reursionseigenschaften. Sie sollen zunächst für die Walsh-Paley-untionen gezeigt werden. Sei Es sollen Einschränungen dieser untion auf verschiedene Teilbereiche betrachtet werden: l q : l q 4 4 e l qj e l qj a) auf Ÿ 4 b) auf Ÿ 4 c) auf Ÿ Ÿ n=3; z=wt(eye(n),,[]); za=z.*repmat([ ],3,6);zb=z.*repmat([;],6, 3);zc=z.*repmat([ ; ], 6, 6); subplot(,,);imagesc(z); subplot(,,);imagesc(za);subplot(,,3);imagesc(zb);subplot(,,4);imagesc(zc);colorm ap(gray) ; Soll das Spiel mit Sequeny-angeordneten Walsh-untionen wiederholt werden, muß der dritte Parameter in der Definition von z von [] auf [] gesetzt werden; auch hier ist eine reursive Strutur erennbar, sie ist allerdings nicht so einfach gebaut wie bei den Walsh- Paley-untionen: Spiegelungen treten auf. Ein Teil des Geheimnisses wird bei Maßstabsänderung sichtbar: subplot(,,);pcolor(z);set(gca,'xscale','log','yscale','log') ii) D- und D- Walsh-untionen Die Umwandlung von D-Walsh-untionen in D-Walsh-untionen durch zeilen- und spaltenweises Auslesen soll demonstriert werden: clf;m=3;=5;z=zeros(m,); =3;l=;z(+,l+)=;wz=wt(z,,);subplot(,,); q=zeros(size(z)+);q([:m],[:])=wz([:m],[:]); pcolor(q);colormap(gray);title(numstr([,l]))

117 WPT Spaltenweises Auslesen; ws=wz(:);bar(wt(ws',,)); find(wt(ws',,))-,*+l ans = 98 ans = 98 Zeilenweises Auslesen: wz=wz';wze=wz(:); bar(wt(wze',,)); find(wt(wze',,))-,l*m+ ans = 9 ans = 9 So soll es sein. iii) WPT clf;wpneut(./(:4)); Sehenswert ist die Iteration auch für andere "Testfuntionen"; mögliche Beispiele: hamming(:3) dynorm(:3); wp(fejerdach(4,73)); und die weiteren Kerne sowie ihre wp-transformierten. wptest(vsin(:55,56)); z=imread('raucher.bmp'); colormenu;;wptest(z); Um sich Ergebnisse bei einer gewissen Reursionstive genauer anzusehen: q=max(size(z));lq=log(q); zahl=lq;z=double(z);zoom on z=rmat(lq,zahl)*z*rmat(lq,zahl).';imagesc(z);zahl=zahl-;

118 8 demo.doc iv) altungsoperatoren a) Dyadische Translation Einen Eindruc von der Wirung dyadischer Translationen auf ein Bild vermittelt die Matlab-untion dytransdemo: load detail; z=x(:56,:56);colormap(bone);dytransdemo(z') z=imread('raucher.bmp'); z=z(::end,::end);imagesc(z) v) Das Walshlab-Programm a) Approximierende Einsen walshlab;warning off;wl_init;global z RES_ xax_ h_ D-Variante Zuerst sollen die Dirichlet-Kerne erzeugt werden: Dazu ann der Ausdruc

119 Das Walshlab-Programm 9 dirdach(3,:3) in das Eingabefeld (,) (Matrix-Koordinaten) eingefügt werden, dann bestätigen mit ETER In z{,} sind nun die Dirichlet-Kerne zu sehen, in z{,} die WPT der Dirichlet-Kerne, z{3,} zeigt die altungsprodute mit vsin(.8,3), z{3,} die WPT davon. ür eine andere Darstellungsform setzen Sie in den eldern (d-style on axis) ein Zeichen! Sie önnen auch durch Anlicen des elds "movie" eine zeilenweise Darstellung der beteiligten untionen erhalten! Wenn Sie "dirdach" durch "fejerdach" ersetzen, erhalten Sie die ejer-kerne! "vpdach" liefert de la Valle-Poussin-Kerne, "poissondach" die Poisson-Kerne. (dort ist der Aufruf poissondach(3,.9:.5:) ein möglicher, das zweite Argument sind die Werte von r und sollten zwischen und liegen. Die so besprochenen Kerne önnen durch Anlicen des eldes "filter" erhalten werden; in der zu einem Kern gehörenden (und so benannten) Dialogbox sollen im eld "index range" die Parameter-Werte (für die ersten 3 Kerne das, für Poisson das r) eingegebenw werden. Oder als sript: z=wl_update(z,dirdach(3,:3),[ ]); wl_drawfig(z,zeros(3,)); stil=[ ; ; ];wl_drawfig(z,stil); (s) Die Matrix stil enthält die Information für d/d-darstellung, wl_update dient zur Eingabe einer untion in das eld [ ]+=[ ] (Die programminterne otation beginnt bei ull). wl_movie; "dirdach" ann ersetzt werden: fejerdach die ersten 3 ejer-kerne vpdach(3,:6) die ersten 6 de la Valle-Poussin Kerne. poissondach(3,.9:.5:) - Die Poisson-Kerne für den Parameter r zwischen.9 und.

120 demo.doc Um die entsprechenden Sequency-Dirichlet-Kerne zu erzeugen, ann im walshlab-menu "order " der Menupunt sequency (Default ist Walsh-Paley). gewählt und anschließend die oben stehende Abfolge (s) durchlaufen werden. Oder man exeutiert den folgenden Befehl wl_ud('seq'); (hier ann bei Bedarf 'paley' gesetzt werden) D-Variante ür D-Signale werden eine ilterscharen angezeigt/berechnet. Im Menupunt "dim" soll D angelict sein: wl_changedim() Zuerst wird eine neue, zweidimensionale "Testfuntion" benötigt; load d:\testgr\graft; %(Hier atuellen Suchpfad verwenden xx) z=wl_update(z,smalla,[ ]); stil=[ ; ; ];wl_drawfig(z,stil); Wieder ein Dirichlet-ilter: z=wl_update(z,dirdach([8 8],[48 64]),[ ]); stil=[ ; ; ];wl_drawfig(z,stil ); ür ejer-, Valle-Poussin-, Poisson-Kerne ann wie im D-all abgeändert werden. b) Gibbs-Ableitungen Die oben geladene Testfuntion wird als Schar von D-untionen angesehen, indem im Menu "dim" der Punt D ausgewählt wird. Über die Taste "filter" ann dann Gibbs (unglüclicherweise die Bezeichnung für die Butzer-Wagner-Ableitung) gewählt werden; setze =8, den Parameter (*) auf (er gibt die Ordnung der Ableitung an). Als Sript wl_changedim() z=wl_update(z,gibbs(8,),[ ]); stil=[ ; ; ];wl_drawfig(z,stil );

121 Approximation ür die BEW-Ableitung wird bewmult statt gibbs verwendet; z=wl_update(z,bewmult(:7),[ ]); ;wl_drawfig(z,stil ); Analog für die untion onneweer (sie gibt die Onneweer-Ableitung an) Hier auch: Hamming -orm (roth multiplicity filter) c) Andere Anwendungen von walshlab andere ilter: altungen mit Walsh-untionen: Wähle auf der Sequenz-Seite eye(n) vi) Approximation load train;z=padzeros(y');wpz=wt(z,,);wsz=wt(z,,); subplot(3,,);plot(z(4),z);subplot(3,,);plot(wpz);subplot(3,,3);plot(wsz);

122 demo.doc (Bemerung: Derartige Signale lassen sich auch noch mit walshlab in erträglicher Zeit bearbeiten) Es interessiert der L-ehler der Dirichlet-Kerne in Paley-und in Sequency-Anordnung. Da direte Berechnung Minuten dauert, findet sich das Ergebnis in einer Datei: load trndirnorm;figure;plot(:4,dnp,:4,dns,'r'); Angezeigt wird der relative L-ehler der Dirichlet-Approximationen. (Die Berechnung anderer ormen ist wesentlich aufwendiger, da im L-all Plancherel angewendet werden ann) Wer derartiges selbst berechnen (lassen) will: Hier die Kommandos für die Paley-Anordnung: f=[];wz=wt(z,,); for nd=:length(z);f=[f,norm(wz(nd:end))];f=f/norm(wz);plot(f) (Es ist günstig, ürzere Signale zu wählen) Eine andere Strategie besteht darin, die jeweils betragsmäßig größten Koeffizienten des Sperums zu wählen: wz=wt(z,,);hilf=sort(abs(wz));plot(hilf) c=zeros(size(z));c(abs(wz)>.5)=;plot(c); plot(wt(c.*wz,,)-z) vii) Zylische Translation und Walsh-Transformation Wie ändert sich die Walsh-Transformation einer untion unter zylischer Translation? Zunächst betrachten wir die Walsh- untionen: n=3;=; wn=wt(eye(n),,); f=vsin(,n); nd=:(n-); zaehler=7; for dt=zaehler nd=mod(nd+dt,n)+; wd=wn(:,nd); % fd=f(nd); subplot(,,);imagesc(wd);title(numstr(dt)); subplot(,,);imagesc(wt(wd,,));pause % subplot(,,);plot(fd);title(numstr(dt)); % subplot(,,);plot(wt(fd,,));pause(); end Bedeutungen: =..WPT, =...WST dt... zylische Translation um dt Einheiten Bemerung: Werden die "ausommentierten" Zeilen statt der darüber stehenden verwendet, erhält man plots der Verschiebungen der sinus-untion.

123 artielle Walsh-Transformation, STWT 3 viii) artielle Walsh-Transformation, STWT Das Geschehen soll an einem "echten Signal" demonstriert werden: (seq=:wpt, seq=:wst) load splat;z=padzeros(y'); seq=; laugh=domset(z,3);wlaugh=wtfun(laugh,seq); Hier werden der Bequemlicheit halber die fundom-struturen eingesetzt (siehe fundom) subplot(,,);drawfd(laugh); subplot(,,);drawfd(wlaugh); Das Signal wird im Seundentat zerschnitten: l=length(z)/8; zr=zeros(l,8);zr(:)=z;zr=zr'; laughsplit=domset(zr,);wls=wtfun(laughsplit,seq); figure; for =:8;subplot(8,,*-);drawfd(subsref(laughsplit,));end; for =:8;subplot(8,,*);drawfd(subsref(wls,));end; Die zweidimensionale wt von zr (entspricht der zeilenweisen wt von laughsplit) wird berechnet und spaltenweise ausgelesen: wzr=wt(zr,,seq);wtd=wzr(:); wtd=wtd'; norm(wtd-wt(z,,seq)) ans =.98e-7 Bei der WST funtioniert das nicht (setze seq=!) ix) Einschränungs- und ortsetzungsoperatoren Die MATLAB-untion restimbdem erzeugt die Bilder der in der Diplomarbeit besprochenen ortsetzungs- und Einschränungsoperatoren und ihre WPT, WST, WHT

124 4 demo.doc f=[(:6),6./(:6)];restimbdem(f); Die Anordnung der Bilder ist wie im Text; siehe die dortigen Erläuterungen; x) Bestapproximation durch dyadische altungsoperatoren Zunächst soll die Bestapproximation endlicher zylischer Differnzenoperatoren durch dyadische altungsoperatoren illustriert werden: Die Matlab -untion optdy liefert diese Bestapproximation; n=3;idn=eye(n);seq=;=; =+; z=idn(,:)-idn(,:);opz=real(optdy(z)); subplot(,3,);plot(opz);title(numstr(-)); subplot(,3,);plot(wt(opz,,)); subplot(,3,3);plot(wt(opz,,)); c=dyconv(opz); subplot(,3,4);imagesc(real(c)) subplot(,3,5);imagesc(wt(c,,)); subplot(,3,6);imagesc(wt(c,,)); pause(); (Diese Sequenz sollte mit ALT+L aufgerufen werden, wenn sich der Cursor im Rechenbereich befindet) Bilder: Erste Reihe: Der dyadische altungsoperator, der die Bestapproximation an ~ T - I darstellt, dargestellt als untion; daneben seine WPT und WST; unten dasselbe, dargestellt als altungs-operator, WPT, WST Da die Theorie von [Pearl] Bestapproximation eines Operators auch durch zylische altungsoperatoren liefert, stellt sich die rage: Was ist die zylische Bestapproximation an die dyadische Bestapproximation? =; =+; z=idn(,:)-idn(,:);opz=real(optdy(z));opz=opdyt(opz); subplot(,,);cplot(opz);title(numstr(-)); subplot(,,);cplot(fftshift(fft(opz))); pause();. 5 x 4 x Hier werden die entsprechende zylische untion und ihre ouriertransformation dargestellt Zurüc zur Bestapproximation durch dyadische altungsoperatoren: Man ann, wenn man will, die "spannendsten" Operatoren (ob sie aus zylischer altung stammen, ist irrelevant) durch dyadische approximieren: Eine Liste: omplexe Exponentialfuntionen n=8;=3;f=vexp(,n);seq=;r=optdy(f);wr=wt(r,,seq)/n; Summationsoperator Jfbxgõ Â f y y x : n=3; z=toeplitz(ones(,n),[,zeros(,n-)]); wr=diag(wp(z)).'; r=wp(wr)/n;

125 Sampling 5 Dirichlet-Kern:sin(.pi.x)/(.pi.x) : n=8;=3;seq=;f=vsin(,n)./(z(n))/pi/; f()=; r=optdy(f);wr=wt(r,,seq)/n; Bemerung: In der Datei dirtdy.mat finden sich die Werte für die dyadischen Bestapproximationen an die ourier-dirichlet- Kerne -56 zeilenweise in der Matrix dirtdy load dirtdy ; subplot(,,);imagesc(real(dirtdy)),subplot(,,),imagesc(real(wt(dirtdy,,))) subplot(,,);mesh(real(dirtdy(:3,:))');view(,5),subplot(,,);mesh(real(wt(di rtdy(:3,:),,))');view(,5) Bilder: Lins Zeit- rechts Sequenzbereich subplot(,,);cplot(r),subplot(,,),cplot(wr) xi) Sampling Der einfacheren Handhabung halber wird mit fundom-struturen (Siehe weiter unten) gearbeitet: %load laughter;z=padzeros(y'); %z=vsin(,4); %z=log/(abs(vsin(7.,4))+.); nd=exp(:.:3);y=sin((5*nd));z=padzeros(y); f=domset(z,3); subplot(,,);drawfd(f); subplot(,,);wf=wtfun(f,);drawfd(wf);zoom xon; "Undersampling um den ator r" r=8;z=z(:r:end);f=domset(z,3); subplot(,,3);drawfd(f-f); subplot(,,4);wdf=wtfun(f-f,);drawfd(wdf); fehl=norm(get(f-f,'val'),)/norm(get(f,'val'),), fehl =

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