Bewegung im Gravitationsfeld in der Allgemeinen Relativitätstheorie Ein neuer Zugang auf Schulniveau

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1 Didaktik de Physik Fühjahstagung Jena 013 Bewegung im Gavitationsfeld in de Allgemeinen Relativitätstheoie Ein neue Zugang auf Schulniveau Covin Zahn, Ute Kaus Univesität Hildesheim, Institut fü Physik, Maienbuge Platz, Hildesheim, Kuzfassung In de Allgemeinen Relativitätstheoie wid die Bahn eines fei fallenden Teilchens als Geodäte beschieben, d.h. als geadestmögliche Linie in eine gekümmten Raumzeit. Wi haben geometische Methoden entwickelt, mit denen eine gekümmte Raumzeit anschaulich dagestellt weden kann und mit denen Bahnen feie Teilchen als Geaden in eine gekümmten Raumzeit konstuiet weden können. Diese Zugang zu Allgemeinen Relativitätstheoie basiet auf dem Regge Calculus, eine Methode zu Lösung de Einsteinschen Feldgleichungen und esultiet in eine koodinatenfeien, nu auf messbaen Abständen beuhenden Bescheibung de Raumzeit. Voaussetzungen sind lediglich Gundlagen de Speziellen Relativitätstheoie, so dass diese Zugang in de Obestufe einsetzba ist. 1. Gavitation ist Geometie Matte tells space how to cuve. Space tells matte how to move. (John Wheele) In diesem Beitag geht es um die Aussage Space tells matte how to move. In de Allgemeinen Relativitätstheoie existiet die Newtonsche Gavitationskaft als Usache de Bewegungsändeung eines Köpes im Gavitationsfeld nicht meh. Feie Teilchen bewegen sich auf Geodäten, also geadestmöglichen Linien duch Raum und Zeit. Die als Auswikung de Gavitation spübae elative Beschleunigung zweie Massen wid mit eine geadlinigen Bewegung in eine gekümmten Raumzeit eklät: Gavitation ist Geometie. Die mathematische Behandlung de duch Einstein gefundenen Geometisieung de Gavitationstheoie übescheitet bei Weitem die Möglichkeiten de Schulmathematik. Wi haben neues Unteichtsmateial entwickelt, das den geometischen Aspekt in den Mittelpunkt stellt und fast ohne Mathematik auskommt. Stattdessen setzen wi auf geometische Anschauung und das Konstuieen und Basteln von Modellen. In [1] wude ein maßstabsgeechtes Modell des deidimensionalen gekümmten Raums um ein Schwazes Loch vogestellt (s. a. [, 3]). Die dabei eingefühte, auf dem Regge Calculus ([4]) basieende Methode, eine gekümmte Mannigfaltigkeit in ungekümmte Teilsektoen zu zelegen ( Katen eines Staßenatlas ), lässt sich vewenden, um mittels diese sog. Sektokaten in gekümmten Räumen geometische Konstuktionen duchzufühen, wie z. B. die küzeste Vebindung zwischen zwei Punkten zu finden ode ganz pofan eine Reiseoute zu planen. Hie soll die Eweiteung unsees Unteichtsmateials auf gekümmte Raumzeiten und die daauf aufbauende Bescheibung de Bewegung im Gavitationsfeld vogestellt weden. Dass Geodäten als Geaden in stückweise ungekümmten Raumzeitsektoen konstuiet weden können, wude in [5, 6] in numeischen Simulationen nachgewiesen. Dass dieses Vefahen schon als didaktisches Wekzeug eingesetzt wude, ist uns nicht bekannt. Um den Begiff de Geodäten einzufühen, betachten wi zuest Geodäten im Raum, genaue gesagt, in einem zweidimensionalen gekümmten Raum, eine gekümmten Fläche. 1

2 Zahn, Kaus. Geodäten im Raum Eine äumliche Geodäte ist die geadestmögliche Linie in einem gekümmten Raum. Sie entspicht eine gespannten Schnu..1 Gekümmte Flächen Anhand von Flächen im Raum wid de Begiff de Kümmung eingefüht. Dabei untescheiden wi positive, negative und veschwindende Kümmung; als Pototypen weden die Sphäe, die Sattelfläche sowie die Ebene vogestellt. Ein Kiteium zu Emittlung de Kümmung ist: Ein kleines Stück de Fläche wid ausgeschnitten und flachgedückt. Reißt es dabei ein, ist die Kümmung positiv, wift es Falten, ist die Kümmung negativ. Lässt es sich ohne Eineißen ode Faltenwefen flach ausbeiten, dann ist die Kümmung null. Dieses Kiteium stellt das Vozeichen de inneen (Gaußschen) Kümmung fest. Eine gekümmte Fläche kann duch kleine ebene Flächenstücke angenähet und aus Pappe nachgebaut weden (Abb. 1 oben). Diese Flächenstücke können auch nebeneinande auf de Ebene angeodnet und als maßstabsgeechte Sektokate de gekümmten Fläche vewendet weden, wie ein Staßenatlas (Abb. 1 unten). Positiv gekümmt Positiv gekümmte Fläche, Sektokate Negativ gekümmt Negativ gekümmte Fläche, Sektokate Abb. 1: Gekümmte Flächen als Sektokaten.. Zusammenschieben von Raumsektoen Vesucht man, vie an einem gemeinsamen Eckpunkt liegende Sektoen zusammenzuschieben, gelingt das bei Sektoen eine gekümmten Fläche nicht (Abb. ). Es bleiben Lücken (die gekümmte Fläche wüde aufeißen) ode es ist zuviel Mateial da (die gekümmte Fläche wüde Falten wefen). Sektoen eine positiv gekümmten Fläche, an einem Eckpunkt zusammengeschoben. Sektoen eine negativ gekümmten Fläche, an einem Eckpunkt zusammengeschoben. Abb. : Sektoen gekümmte Flächen passen nicht zusammen..3 Gekümmte Raum um ein Schwazes Loch In Abb. 3 echts ist die Äquatoebene duch ein Schwazes Loch als Sektokate dagestellt. Die Abmessungen diese Sektoen egeben sich aus de Schwazschildmetik (links). Die Sektoen passen nicht lückenlos zusammen: Die Fläche hat eine innee Kümmung. Schwazschildmetik: ds = ( 1 s ) 1 d + dφ s = Schwazschildadius Abb. 3: Die Schwazschildmetik und die dazugehöige Sektokate fü einen Teil de Äquatoebene des Schwazen Lochs.

3 Bewegung im Gavitationsfeld in de Allgemeinen Relativitätstheoie.4 Geodäten Eine Geodäte in einem gekümmten (hie zweidimensionalen) Raum ist eine geadestmögliche Linie, sie entspicht eine gespannten Schnu. Mathematisch wid eine Geodäte duch die Geodätengleichungen (Abb. 4, links, fü die Raumzeit in de Nähe eines Schwazen Lochs) beschieben. Diese Bescheibung ist fü den Einsatz in Schule und Gundstudium nicht geeignet. In eine maßstabsgeechten Sektokate ist eine Geodäte dagegen einfach eine Geade und kann mit dem Lineal gezeichnet weden. d t M M 1 d dt = 1 M dt M M 1 d d M + 1 = 1 dφ dθ + ( M) ( ) + sin θ d θ dφ dθ d + sin θ cos θ = dφ d dφ dθ d φ = cot θ. Geodätengleichungen in de Schwazschildmetik. Wekzeug: Compute. Geodäte auf de Sektokate. Wekzeug: Lineal! Abb. 4: Geodäten: Beechnen ode Konstuieen?.5 Konstuktion von Geodäten Um eine Geodäte (gespannte Schnu) mit dem Lineal übe Sektogenzen hinweg zu zeichnen, müssen benachbate Sektoen aneinandegelegt weden. In de symmetischen Anodnung de gleichen Sektoen in Abb. 5 echts oben ist zu sehen, dass die an einem Schwazen Loch vobei gespannte Schnu ihe Richtung ändet, obwohl sie lokal gesehen an jede Stelle geadeaus läuft. Ein Geadenstück auf de zweidimensionalen Kate. Das Geadenstück auf de Kate in symmetische Anodnung. Abb. 5: Eine am Schwazen Loch vobeilaufende Geade ändet ihe Richtung. Wid eine zweite Schnu paallel zu esten gespannt (Abb. 6, die Schnüe beginnen echts im Bild als paallele Linien), ist zu sehen, dass die beiden Schnüe nicht paallel bleiben, obwohl jede einzelne eine Geodäten folgt. De Abstand de anfänglich paallelen Schnüe nimmt nach links zu. Dass Paallelen nicht paallel bleiben ist eine Eigenschaft gekümmte Räume. Diese Methode, einen gekümmten Raum und dain velaufende Geodäten zu konstuieen, kann jetzt auf eine gekümmte Raumzeit angewandt weden. Ein zweites Geadenstück, das am echten Rand paallel zum esten statet. Beide Geadenstücke auf de Kate in symmetische Anodnung. Abb. 6: Paallelen bleiben nicht paallel. 3. Geodäten in de Raumzeit Fei fallende Köpe bewegen sich auf geadestmöglichen Bahnen duch eine gekümmte Raumzeit. Ihe Weltlinien sind aumzeitliche Geodäten. 3

4 Zahn, Kaus 3.1 Minkowski-Raumzeitdiagamme ct Die Bewegung eines Köpes kann in einem Raumzeitdiagamm (Abb. 7) dagestellt weden. 9 8 Die Zeit ct (c = Lichtgeschwindigkeit) ist nach oben 7 aufgetagen, de Ot x nach echts. Die Weltlinie eines 6 Köpes bescheibt seinen Ot als Funktion de Zeit. 5 Licht beitet sich in diesem Maßstab auf Diagonalen 4 aus (c t = x). 3 In einem solchen Raumzeitdiagamm eine lokal ungekümmten Raumzeit (Inetialsystem) sind Weltlini- 1 en unbeschleunigte Köpe Geaden. 0 Weltlinie (beschleunigt) Weltlinie Licht Weltlinie (unbeschleunigt) x Abb. 7: Raumzeitdiagamm. 3. Gekümmte Raumzeit um ein Schwazes Loch Genauso wie eine gekümmte Fläche duch einzelne ungekümmte Sektoen angenähet weden kann, kann eine gekümmte Raumzeit duch einzelne ungekümmte Raumzeitsektoen angenähet weden. Die Abmessungen diese Sektoen egeben sich aus de Metik. Auf dem Papie stehen nu zwei Dimensionen zu Vefügung, so dass nu ein Unteaum aus de viedimensionalen Raumzeit dagestellt weden kann. Zusätzlich zu Zeitkoodinate t wählen wi als Raumkoodinate die Radialkoodinate. In den Raumzeitdiagammen können adiale Bewegungen, z. B. ein feie Fall nach unten beschieben weden. In Abb. 8 sind echts maßstabsgeechte Raumzeitsektoen in de Nähe eines Schwazen Lochs dagestellt ( = 1.5 s s, ct = s, de Vetex im Mittelpunkt hat die(ct,)-koodinaten (1.5 s,.5 s )). Schwazschildmetik: ds = ( 1 s ) c dt + ( 1 s ) 1 d s = Schwazschildadius Abb. 8: Jede Raumzeitsekto ist ein Minkowskidiagamm mit nach echts laufende Raum- und nach oben laufende Zeitkoodinate. Die Diagonalen stellen jeweils den Lichtkegel da. 3.3 Zusammenschieben von Raumzeitsektoen Um eine Geodäte übe die Genze zwischen zwei Raumzeitsektoen zu ziehen, müssen diese zusammengeschoben weden. Abb. 9 links: Zwei Sektoen mit eine gemeinsamen Kante. Mitte: Die beiden Sektoen zusammengeschoben, de obee gedeht. Die Lichtgeschwindigkeit ist in beiden Sektoen unteschiedlich, was nicht elaubt ist! Rechts: Die beiden Sektoen zusammengeschoben, de obee loentztansfomiet. Die Lichtgeschwindigkeit ist in beiden Sektoen gleich. Falsch! Richtig! Abb. 9: Die Lichtgeschwindigkeit ist in beiden Sektoen gleich. In Abb. 10 weden vie um einen gemeinsamen Vetex liegende Raumzeitsektoen zusammengeschoben (und dabei ggf. loentztansfomiet). Sie passen nicht zusammen: Die Raumzeit ist gekümmt! Abb. 10: Die Raumzeitsektoen passen nicht zusammen. 4

5 Bewegung im Gavitationsfeld in de Allgemeinen Relativitätstheoie 3.4 Konstuktion von Geodäten Links in Abb. 11 ist die Sektokate eines zweidimensionalen Ausschnitts aus de gekümmten Raumzeit in de Nähe eines Schwazen Lochs dagestellt. Die Raumkoodinate läuft von links nach echts im Beeich 1.5 s s, die Zeitkoodinate ct von unten nach oben im Beeich s. Die Vetizes in de Mitte haben die -Koodinate.5 s. Die Diagonalen stellen jeweils den Lichtkegel da. Im Sekto unten echts statet die Weltlinie eines Köpes (ot), de sich anfänglich in Ruhe bei =.7 s befindet. Um die Weltlinie als Geade duch die Raumzeitsektoen fotzusetzen, müssen diese entspechend loentztansfomiet aneinande gelegt weden (Bild Mitte). In de symmetischen (zuücktansfomieten) Anodnung de Sektoen (echts) ist zu sehen, dass die Weltlinie ihe Richtung (= Geschwindigkeit) ändet, obwohl sie lokal gesehen an jede Stelle geadeaus läuft. De Köpe fällt im Gavitationsfeld beschleunigt nach unten. Die Weltlinie des fallenden Köpes (t) entspicht näheungsweise de aus de Newton schen Physik bekannten, dot aus = g folgenden Paabel. Abb. 11: Weltlinie eines fei fallenden Köpes (ot) in eine Sektokate de Schwazschildmetik. Wid ein zweite Köpe aus gößee Höhe (= 3.5 s ) gleichzeitig mit dem esten fallengelassen, so beginnt seine Weltlinie paallel zu esten (links in Abb. 1). In de echten Sektokate sind beide Weltlinien gezeigt. Die anfänglich paallelen Weltlinien bleiben nicht paallel. De Abstand de fallenden Köpe nimmt mit de Zeit beschleunigt zu, obwohl jede einzelne Weltlinie eine Geodäte ist. Diese elative Beschleunigung wid in de Newtonschen Physik duch die Gezeitenkäfte beschieben. Sie ist in de Allgemeinen Relativitätstheoie eine diekte Folge de Kümmung unsee Raumzeit. Abb. 1: Zwei im Gavitationsfeld hinteeinande fei fallende Köpe steben auseinande. 4. Liteatu [1] Zahn, C.; Kaus, U.: Wokshops zu Allgemeinen Relativitätstheoie im Schülelabo Raumzeitwekstatt, Tagungsbeitag zu Fühjahstagung Didaktik de Physik, Hannove 010. [] Zahn, C.; Kaus, U.: Wi basteln ein Schwazes Loch, Abeitsheft mit Bastelbögen, 004, [3] Kaus, U.; Zahn, C.: Wi basteln ein Schwazes Loch Unteichtsmateialien zu Allgemeinen Relativitätstheoie, Paxis de Natuwissenschaften Physik, Didaktik de Relativitätstheoien, Heft 4/54, 38 43, 005. [4] Regge, T.: Geneal Relativity without Coodinates, Il Nuovo Cimento 19, , [5] R. M. Williams, G. F. R. Ellis:, Regge Calculus and Obsevations. I. Fomalism and Applications to Radial Motion and Cicula Obits, Geneal Relativity and Gavitation 13 (4), , [6] R. M. Williams, G. F. R. Ellis:, Regge Calculus and Obsevations. II. Futhe Applications, Geneal Relativity and Gavitation 16 (11), ,