Logik Vorlesung 9: Normalformen
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- Dieter Pfeiffer
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Transkript
1 Logik Vorlesung 9: Normalformen Andreas Maletti 19. Dezember 2014
2 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften Resolution 3 Prädikatenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Herbrand-Theorie Unifikation und Resolution 4 Ausblick
3 Vorlesungsziele heutige Vorlesung 1 Ersetzungstheorem 2 Negationsnormalform 3 Bereinigung von Formeln 4 Pränexnormalform 5 Skolemform Bitte Fragen direkt stellen!
4 Überblick Organisation
5 Organisation Ankündigungen Punkteübersicht (Hausaufgaben) auf Webseite verfügbar Bonuspunkte: 1 Bonuspunkt ab 36 Punkten 2 Bonuspunkte ab 45 Punkten 3 Bonuspunkte ab 54 Punkten
6 Organisation Ankündigungen Punkteübersicht (Hausaufgaben) auf Webseite verfügbar Bonuspunkte: 1 Bonuspunkt ab 36 Punkten 2 Bonuspunkte ab 45 Punkten 3 Bonuspunkte ab 54 Punkten Frage Tutorium gewünscht? Wenn ja, wann?
7 Überblick Wiederholung: Äquivalenz
8 Prädikatenlogik Wiederholung Definition (Äquivalenz) Zwei Formeln F 1, F 2 F sind äquivalent gdw. F 1 F 2 eine Tautologie ist Beispiele Sei F F beliebig. Sind die folgenden Formeln äquivalent? x yf und y xf
9 Prädikatenlogik Wiederholung Definition (Äquivalenz) Zwei Formeln F 1, F 2 F sind äquivalent gdw. F 1 F 2 eine Tautologie ist Beispiele Sei F F beliebig. Sind die folgenden Formeln äquivalent? x yf und y xf
10 Prädikatenlogik Wiederholung Definition (Äquivalenz) Zwei Formeln F 1, F 2 F sind äquivalent gdw. F 1 F 2 eine Tautologie ist Beispiele Sei F F beliebig. Sind die folgenden Formeln äquivalent? x yf und y xf x yf und x yf
11 Prädikatenlogik Wiederholung Definition (Äquivalenz) Zwei Formeln F 1, F 2 F sind äquivalent gdw. F 1 F 2 eine Tautologie ist Beispiele Sei F F beliebig. Sind die folgenden Formeln äquivalent? x yf und y xf x yf und x yf
12 Prädikatenlogik Wiederholung Definition (Äquivalenz) Zwei Formeln F 1, F 2 F sind äquivalent gdw. F 1 F 2 eine Tautologie ist Beispiele Sei F F beliebig. Sind die folgenden Formeln äquivalent? x yf und y xf x yf und x yf x xf und xf
13 Prädikatenlogik Wiederholung Definition (Äquivalenz) Zwei Formeln F 1, F 2 F sind äquivalent gdw. F 1 F 2 eine Tautologie ist Beispiele Sei F F beliebig. Sind die folgenden Formeln äquivalent? x yf und y xf x yf und x yf x xf und xf
14 Prädikatenlogik Wiederholung Definition (Äquivalenz) Zwei Formeln F 1, F 2 F sind äquivalent gdw. F 1 F 2 eine Tautologie ist Beispiele Sei F F beliebig. Sind die folgenden Formeln äquivalent? x yf und y xf x yf und x yf x xf und xf x xf und xf
15 Prädikatenlogik Wiederholung Definition (Äquivalenz) Zwei Formeln F 1, F 2 F sind äquivalent gdw. F 1 F 2 eine Tautologie ist Beispiele Sei F F beliebig. Sind die folgenden Formeln äquivalent? x yf und y xf x yf und x yf x xf und xf x xf und xf
16 Prädikatenlogik Wiederholung Definition (Äquivalenz) Zwei Formeln F 1, F 2 F sind äquivalent gdw. F 1 F 2 eine Tautologie ist Beispiele Sei F F beliebig. Sind die folgenden Formeln äquivalent? x yf und y xf x yf und x yf x xf und xf x xf und xf x xf und xf
17 Prädikatenlogik Wiederholung Definition (Äquivalenz) Zwei Formeln F 1, F 2 F sind äquivalent gdw. F 1 F 2 eine Tautologie ist Beispiele Sei F F beliebig. Sind die folgenden Formeln äquivalent? x yf und y xf x yf und x yf x xf und xf x xf und xf x xf und xf
18 Prädikatenlogik Wiederholung Definition (Äquivalenz) Zwei Formeln F 1, F 2 F sind äquivalent gdw. F 1 F 2 eine Tautologie ist Beispiele Sei F F beliebig. Sind die folgenden Formeln äquivalent? x yf und y xf x yf und x yf x xf und xf x xf und xf x xf und xf x y zf und z y xf
19 Prädikatenlogik Wiederholung Definition (Äquivalenz) Zwei Formeln F 1, F 2 F sind äquivalent gdw. F 1 F 2 eine Tautologie ist Beispiele Sei F F beliebig. Sind die folgenden Formeln äquivalent? x yf und y xf x yf und x yf x xf und xf x xf und xf x xf und xf x y zf und z y xf
20 Prädikatenlogik Wiederholung Definition (Äquivalenz) Zwei Formeln F 1, F 2 F sind äquivalent gdw. F 1 F 2 eine Tautologie ist Beispiele Sei F F beliebig. Sind die folgenden Formeln äquivalent? x yf und y xf x yf und x yf x xf und xf x xf und xf x xf und xf x y zf und z y xf x y zf und x z yf
21 Prädikatenlogik Wiederholung Definition (Äquivalenz) Zwei Formeln F 1, F 2 F sind äquivalent gdw. F 1 F 2 eine Tautologie ist Beispiele Sei F F beliebig. Sind die folgenden Formeln äquivalent? x yf und y xf x yf und x yf x xf und xf x xf und xf x xf und xf x y zf und z y xf x y zf und x z yf
22 Prädikatenlogik Äquivalenz äquivalente Formeln Bezeichnung xf x F demorgan-gesetz für xf x F demorgan-gesetz für x(f G) xf xg Distributivität über x(f G) xf xg Distributivität über x yf y xf Kommutativität von x yf y xf Kommutativität von x(f G) xf G falls x / FV(G) x(f G) xf G falls x / FV(G) x(f G) xf G falls x / FV(G) x(f G) xf G falls x / FV(G) alle klassischen Äquivalenzen der Aussagenlogik
23 Prädikatenlogik Äquivalenz Theorem (Ersetzungstheorem Prädikatenlogik) Sei F eine Formel und F eine Teilformel von F. Des Weiteren sei G eine Formel, die äquivalent zu F ist. Dann ist F äquivalent zu der Formel, die man aus F erhält, indem man ein Vorkommen der Teilformel F durch G ersetzt.
24 Prädikatenlogik Äquivalenz Theorem (Ersetzungstheorem Prädikatenlogik) Sei F eine Formel und F eine Teilformel von F. Des Weiteren sei G eine Formel, die äquivalent zu F ist. Dann ist F äquivalent zu der Formel, die man aus F erhält, indem man ein Vorkommen der Teilformel F durch G ersetzt. Notizen gleicher Wortlaut wie in der Aussagenlogik Teilformeln einer Formel der Bauart F = Qx i G mit Q {, }, i N und G F sind F selbst und alle Teilformeln von G
25 Prädikatenlogik Äquivalenz Beweis (1/3). Sei G die Formel nach der Ersetzung. Z.zg. F und G sind äquivalent. Per struktureller Induktion: 1 Sei F = R k i (t 1,..., t k ) für i, k N und t 1,..., t k T. Dann muss F = F sein und da F und G äquivalent sind, sind auch F = F und G = G äquivalent.
26 Prädikatenlogik Äquivalenz Beweis (1/3). Sei G die Formel nach der Ersetzung. Z.zg. F und G sind äquivalent. Per struktureller Induktion: 1 Sei F = R k i (t 1,..., t k ) für i, k N und t 1,..., t k T. Dann muss F = F sein und da F und G äquivalent sind, sind auch F = F und G = G äquivalent. 2 Sei F = F 1. Sei F = F. Dann weiter wie in 1
27 Prädikatenlogik Äquivalenz Beweis (1/3). Sei G die Formel nach der Ersetzung. Z.zg. F und G sind äquivalent. Per struktureller Induktion: 1 Sei F = R k i (t 1,..., t k ) für i, k N und t 1,..., t k T. Dann muss F = F sein und da F und G äquivalent sind, sind auch F = F und G = G äquivalent. 2 Sei F = F 1. Sei F = F. Dann weiter wie in 1 Das Vorkommen von F liegt in F 1. Sei G = G 1. Per Induktionsannahme sind F 1 und G 1 äquivalent. Sei J eine beliebige Interpretation. Es gilt F J = ( F 1 ) J = 1 F J 1 = 1 G J 1 = ( G 1 ) J = G J und damit (F G) J = 1. Da J beliebig war, ist F G eine Tautologie
28 Prädikatenlogik Äquivalenz Beweis (2/3). Sei G die Formel nach der Ersetzung. Z.zg. F und G sind äquivalent. Per struktureller Induktion: 3 Sei F = (F 1 F 2 ). Sei F = F. Dann weiter wie in 1
29 Prädikatenlogik Äquivalenz Beweis (2/3). Sei G die Formel nach der Ersetzung. Z.zg. F und G sind äquivalent. Per struktureller Induktion: 3 Sei F = (F 1 F 2 ). Sei F = F. Dann weiter wie in 1 Das Vorkommen von F liegt in F 1. Sei G = G 1 F 2. Per Induktionsannahme sind F 1 und G 1 äquivalent. Sei J eine beliebige Interpretation. Es gilt F J = (F 1 F 2 ) J = min(f J 1, F J 2 ) = min(g J 1, F J 2 ) = (G 1 F 2 ) J = G J und damit (F G) J = 1. Da J beliebig war, ist F G eine Tautologie
30 Prädikatenlogik Äquivalenz Beweis (2/3). Sei G die Formel nach der Ersetzung. Z.zg. F und G sind äquivalent. Per struktureller Induktion: 3 Sei F = (F 1 F 2 ). Sei F = F. Dann weiter wie in 1 Das Vorkommen von F liegt in F 1. Sei G = G 1 F 2. Per Induktionsannahme sind F 1 und G 1 äquivalent. Sei J eine beliebige Interpretation. Es gilt F J = (F 1 F 2 ) J = min(f J 1, F J 2 ) = min(g J 1, F J 2 ) = (G 1 F 2 ) J = G J und damit (F G) J = 1. Da J beliebig war, ist F G eine Tautologie Das Vorkommen von F liegt in F 2. Analog.
31 Prädikatenlogik Äquivalenz Beweis (2/3). Sei G die Formel nach der Ersetzung. Z.zg. F und G sind äquivalent. Per struktureller Induktion: 3 Sei F = (F 1 F 2 ). Sei F = F. Dann weiter wie in 1 Das Vorkommen von F liegt in F 1. Sei G = G 1 F 2. Per Induktionsannahme sind F 1 und G 1 äquivalent. Sei J eine beliebige Interpretation. Es gilt F J = (F 1 F 2 ) J = min(f J 1, F J 2 ) = min(g J 1, F J 2 ) = (G 1 F 2 ) J = G J und damit (F G) J = 1. Da J beliebig war, ist F G eine Tautologie Das Vorkommen von F liegt in F 2. Analog. 4 Sei F = (F 1 F 2 ). Analog zu 3
32 Prädikatenlogik Äquivalenz Beweis (3/3). Sei G die Formel nach der Ersetzung. Z.zg. F und G sind äquivalent. Per struktureller Induktion: 5 Sei F = x i F 1. Sei F = F. Dann weiter wie in 1
33 Prädikatenlogik Äquivalenz Beweis (3/3). Sei G die Formel nach der Ersetzung. Z.zg. F und G sind äquivalent. Per struktureller Induktion: 5 Sei F = x i F 1. Sei F = F. Dann weiter wie in 1 Das Vorkommen von F liegt in F 1. Sei G = x i G 1. Per Induktionsannahme sind F 1 und G 1 äquivalent. Sei J = (U, J) eine beliebige Interpretation. Es gilt ( x i F 1 ) J = 1 gdw. F J[x i u] 1 = 1 für alle u U gdw. G J[x i u] 1 = 1 für alle u U gdw. ( x i G 1 ) J = 1 womit (F G) J = 1. Damit ist F G eine Tautologie
34 Prädikatenlogik Äquivalenz Beweis (3/3). Sei G die Formel nach der Ersetzung. Z.zg. F und G sind äquivalent. Per struktureller Induktion: 5 Sei F = x i F 1. Sei F = F. Dann weiter wie in 1 Das Vorkommen von F liegt in F 1. Sei G = x i G 1. Per Induktionsannahme sind F 1 und G 1 äquivalent. Sei J = (U, J) eine beliebige Interpretation. Es gilt ( x i F 1 ) J = 1 gdw. F J[x i u] 1 = 1 für alle u U gdw. G J[x i u] 1 = 1 für alle u U gdw. ( x i G 1 ) J = 1 womit (F G) J = 1. Damit ist F G eine Tautologie 6 Sei F = x i F 1. Analog zu 5
35 Prädikatenlogik Äquivalenz Notizen wir können also wieder äquivalente Formeln füreinander substituieren äquivalente Formeln sind semantisch ununterscheidbar äquivalente Formeln haben die gleichen Modelle
36 Prädikatenlogik Äquivalenz Beispiele Entwickeln Sie eine Formel, deren Modelle mind. 2 Elemente im Universum haben. (die Formel muss also Universen mit 1 Element ausschließen)
37 Prädikatenlogik Äquivalenz Beispiele Entwickeln Sie eine Formel, deren Modelle mind. 2 Elemente im Universum haben. (die Formel muss also Universen mit 1 Element ausschließen) P(x) P(y) Für jedes Modell I = (U, I ) muss gelten x I P I und y I / P I. Also x I y I und da x I U und y I U, hat U mind. 2 Elemente.
38 Prädikatenlogik Äquivalenz Beispiele Entwickeln Sie eine Formel, deren Modelle mind. 2 Elemente im Universum haben. (die Formel muss also Universen mit 1 Element ausschließen) P(x) P(y) Für jedes Modell I = (U, I ) muss gelten x I P I und y I / P I. Also x I y I und da x I U und y I U, hat U mind. 2 Elemente. deren Modelle höchstens 2 Elemente im Universum haben. (die Formel muss größere Universen ausschließen) Antwort: clever: P(a) P(a) unerfüllbar und damit haben alle Modelle höchstens zwei Elemente Gibt es auch eine erfüllbare Formel? (siehe Übung)
39 Prädikatenlogik Äquivalenz Definition (Termsubstitution) Für alle l N und t T, definieren wir [x l t]: T T durch x l [x l t] = t x i [x l t] = x i für alle i N mit i l fi k (t 1,..., t k )[x l t] = fi k (t 1 [x l t],..., t k [x l t]) für alle i, k N und t 1,..., t k T Notizen Ersetzung aller (Vorkommen von) x l durch t Beispiel demnächst
40 Prädikatenlogik Äquivalenz Definition (Formelsubstitution) Für alle l N und t T, definieren wir [x l t]: F F durch R k i (t 1,..., t k )[x l t] = R k i (t 1 [x l t],..., t k [x l t]) für alle i, k N und t 1,..., t k T ( F )[x l t] = (F [x l t]) für alle F F (F 1 F 2 )[x l t] = (F 1 [x l t] F 2 [x l t]) für alle F 1, F 2 F und {, } (Qx l F )[x l t] = Qx l F für alle F F und Q {, } (keine Substitution in gebundene Variablen) (Qx i F )[x l t] = Qx i (F [x l t]) für alle F F, i N mit i l und Q {, } Notizen Ersetzung aller freien Vorkommen von x l durch t keine Änderung an gebundenen Variablen
41 Prädikatenlogik Äquivalenz Beispiel gebundene Vorkommen in rot und freie Vorkommen in grün ( F = x 0 ( R0 2 (x 0, x 1 ) R0 0 ) ( x 1 R 2 }{{} 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) ) ) }{{} x 0 x 1
42 Prädikatenlogik Äquivalenz Beispiel gebundene Vorkommen in rot und freie Vorkommen in grün ( F = x 0 ( R0 2 (x 0, x 1 ) R0 0 ) ( x 1 R 2 }{{} 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) ) ) }{{} x 0 x 1 Also ist F [x 1 f0 1(f 0 0 )] gleich ( F = x 0 ( R0 2 (x 0, f0 1 (f0 0 )) R0 0 ) ( x 1 R 2 }{{} 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) ) ) }{{} x 0 x 1
43 Prädikatenlogik Äquivalenz Beispiel gebundene Vorkommen in rot und freie Vorkommen in grün ( F = x 0 ( R0 2 (x 0, x 1 ) R0 0 ) ( x 1 R 2 }{{} 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) ) ) }{{} x 0 x 1 Also ist F [x 1 f0 1(f 0 0 )] gleich ( F = x 0 ( R0 2 (x 0, f0 1 (f0 0 )) R0 0 ) ( x 1 R 2 }{{} 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) ) ) }{{} x 0 x 1 Notizen F [x i t] = Substitution in einer Formel I [x i u] = Substitution in einer Interpretation Syntax Semantik
44 Prädikatenlogik Äquivalenz Theorem Sei Qx i F eine Formel mit Q {, }, i N und F F. Weiterhin sei j N, so dass x j nicht in F vorkommt. Dann sind Qx i F und Qx j (F [x i x j ]) äquivalent.
45 Prädikatenlogik Äquivalenz Theorem Sei Qx i F eine Formel mit Q {, }, i N und F F. Weiterhin sei j N, so dass x j nicht in F vorkommt. Dann sind Qx i F und Qx j (F [x i x j ]) äquivalent. Beweis. in der Übung
46 Prädikatenlogik Äquivalenz Theorem Sei Qx i F eine Formel mit Q {, }, i N und F F. Weiterhin sei j N, so dass x j nicht in F vorkommt. Dann sind Qx i F und Qx j (F [x i x j ]) äquivalent. Beweis. in der Übung Notizen gestattet Umbenennung gebundener Variablenvorkommen (zusammen mit Ersetzungstheorem) wir können Mehrfachbelegungen von Variablen vermeiden
47 Prädikatenlogik Normalformen
48 Prädikatenlogik Normalformen Definition (Literale) Eine Formel F ist ein Literal gdw. 1 F = R k i (t 1,..., t k ) für i, k N und t 1,..., t k T ist oder positives Literal 2 F = R k i (t 1,..., t k ) für i, k N und t 1,..., t k T ist negatives Literal Literale der Form 1 bzw. 2 heißen positiv bzw. negativ
49 Prädikatenlogik Normalformen Definition (Literale) Eine Formel F ist ein Literal gdw. 1 F = R k i (t 1,..., t k ) für i, k N und t 1,..., t k T ist oder positives Literal 2 F = R k i (t 1,..., t k ) für i, k N und t 1,..., t k T ist negatives Literal Literale der Form 1 bzw. 2 heißen positiv bzw. negativ Notizen entspricht der Def. in der Aussagenlogik Literale = Atome und negierte Atome
50 Prädikatenlogik Normalformen Definition (Negationsnormalform) Eine Formel F ist in Negationsnormalform falls Negationen ( ) nur in Literalen vorkommen.
51 Prädikatenlogik Normalformen Definition (Negationsnormalform) Eine Formel F ist in Negationsnormalform falls Negationen ( ) nur in Literalen vorkommen. Beispiele x y ( R(x) S(x, y) ) z S(z, b) ist in Negationsnormalform xs(x) und x ( R(x) S(a) ) S(b) sind nicht in Negationsnormalform
52 Prädikatenlogik Normalformen Theorem Für jede Formel F existiert eine äquivalente Formel in Negationsnormalform
53 Prädikatenlogik Normalformen Theorem Für jede Formel F existiert eine äquivalente Formel in Negationsnormalform Beweis. 1 Auflösen der Abkürzungen und 2 Anwendung der Äquivalenzen von links nach rechts äquivalente Formeln Bezeichnung F F Involution (F G) ( F ) ( G) demorgan-gesetz für (F G) ( F ) ( G) demorgan-gesetz für xf x F demorgan-gesetz für xf x F demorgan-gesetz für bis keine solche Anwendung mehr möglich ist
54 Prädikatenlogik Normalformen Theorem Für jede Formel F existiert eine äquivalente Formel in Negationsnormalform Beweis. 1 Auflösen der Abkürzungen und 2 Anwendung der Äquivalenzen von links nach rechts äquivalente Formeln Bezeichnung F F Involution (F G) ( F ) ( G) demorgan-gesetz für (F G) ( F ) ( G) demorgan-gesetz für xf x F demorgan-gesetz für xf x F demorgan-gesetz für bis keine solche Anwendung mehr möglich ist Dies terminiert (Argument wie bisher) und nach Ersetzungstheorem ist die erhaltene Formel äquivalent zu F
55 Prädikatenlogik Normalformen Beispiel äquivalent zu x ( R(x) S(a) ) S(b) x ( R(x) S(a) ) S(b)
56 Prädikatenlogik Normalformen Beispiel äquivalent zu äquivalent zu x ( R(x) S(a) ) S(b) x ( R(x) S(a) ) S(b) x ( R(x) S(a) ) S(b)
57 Prädikatenlogik Normalformen Beispiel äquivalent zu äquivalent zu äquivalent zu x ( R(x) S(a) ) S(b) x ( R(x) S(a) ) S(b) x ( R(x) S(a) ) S(b) x ( R(x) S(a) ) S(b)
58 Prädikatenlogik Normalformen Beispiel äquivalent zu äquivalent zu äquivalent zu x ( R(x) S(a) ) S(b) x ( R(x) S(a) ) S(b) x ( R(x) S(a) ) S(b) x ( R(x) S(a) ) S(b) und dies ist in Negationsnormalform
59 Prädikatenlogik Normalformen Definition Wir definieren die Funktion GV: F Pow(V) durch (gebundene Variablen in Formel) GV(R k i (t 1,..., t k )) = für alle i, k N und t 1,..., t k T GV( F ) = GV(F ) für alle F F GV(F 1 F 2 ) = GV(F 1 ) GV(F 2 ) für alle F 1, F 2 F und {, } GV(Qx i F ) = {x i } GV(F ) für alle F F, i N und Q {, }
60 Prädikatenlogik Normalformen Definition Wir definieren die Funktion GV: F Pow(V) durch (gebundene Variablen in Formel) GV(R k i (t 1,..., t k )) = für alle i, k N und t 1,..., t k T GV( F ) = GV(F ) für alle F F GV(F 1 F 2 ) = GV(F 1 ) GV(F 2 ) für alle F 1, F 2 F und {, } GV(Qx i F ) = {x i } GV(F ) für alle F F, i N und Q {, } Notizen liefert alle Variablen, die (irgendwo) gebunden werden eine Variable kann gleichzeitig gebunden und frei vorkommen
61 Prädikatenlogik Normalformen Beispiele gebundene Vorkommen in rot und freie Vorkommen in grün ( F = x 0 ( R0 2 (x 0, x 1 ) R0 0 ) ( x 1 R 2 }{{} 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) ) ) }{{} x 0 x 1 ( G = x 0 x 1 R0 2 (x 0, x 1 ) ( R0 1 (x 1 ) R0 1 (x 0 ) )) }{{} } x {{ 1 } x 0
62 Prädikatenlogik Normalformen Beispiele gebundene Vorkommen in rot und freie Vorkommen in grün ( F = x 0 ( R0 2 (x 0, x 1 ) R0 0 ) ( x 1 R 2 }{{} 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) ) ) }{{} x 0 x 1 ( G = x 0 x 1 R0 2 (x 0, x 1 ) ( R0 1 (x 1 ) R0 1 (x 0 ) )) }{{} } x {{ 1 } x 0 FV(F ) = {x 0, x 1 } und GV(F ) = {x 0, x 1 }
63 Prädikatenlogik Normalformen Beispiele gebundene Vorkommen in rot und freie Vorkommen in grün ( F = x 0 ( R0 2 (x 0, x 1 ) R0 0 ) ( x 1 R 2 }{{} 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) ) ) }{{} x 0 x 1 ( G = x 0 x 1 R0 2 (x 0, x 1 ) ( R0 1 (x 1 ) R0 1 (x 0 ) )) }{{} } x {{ 1 } x 0 FV(F ) = {x 0, x 1 } und GV(F ) = {x 0, x 1 } FV(G) = und GV(G) = {x 0, x 1 }
64 Prädikatenlogik Normalformen Definition Eine Formel F F heißt bereinigt, gdw. keine Variable gleichzeitig frei und gebunden in F vorkommt FV(F ) GV(F ) = und alle Quantoren verschiedene Variablen binden (hinter verschiedenen Vorkommen der Quantoren {, } stehen verschiedene Variablen)
65 Prädikatenlogik Normalformen Definition Eine Formel F F heißt bereinigt, gdw. keine Variable gleichzeitig frei und gebunden in F vorkommt FV(F ) GV(F ) = und alle Quantoren verschiedene Variablen binden (hinter verschiedenen Vorkommen der Quantoren {, } stehen verschiedene Variablen) Beispiele ( F = x 0 ( R0 2 (x 0, x 1 ) R0 0 ) ( x1 R 2 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) )) ( G = x 0 x 1 R0 2 (x 0, x 1 ) ( R0 1 (x 1 ) R0 1 (x 0 ) ))
66 Prädikatenlogik Normalformen Definition Eine Formel F F heißt bereinigt, gdw. keine Variable gleichzeitig frei und gebunden in F vorkommt FV(F ) GV(F ) = und alle Quantoren verschiedene Variablen binden (hinter verschiedenen Vorkommen der Quantoren {, } stehen verschiedene Variablen) Beispiele ( F = x 0 ( R0 2 (x 0, x 1 ) R0 0 ) ( x1 R 2 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) )) ( G = x 0 x 1 R0 2 (x 0, x 1 ) ( R0 1 (x 1 ) R0 1 (x 0 ) )) F ist nicht bereinigt denn FV(F ) GV(F ) = {x 0, x 1 }
67 Prädikatenlogik Normalformen Definition Eine Formel F F heißt bereinigt, gdw. keine Variable gleichzeitig frei und gebunden in F vorkommt FV(F ) GV(F ) = und alle Quantoren verschiedene Variablen binden (hinter verschiedenen Vorkommen der Quantoren {, } stehen verschiedene Variablen) Beispiele ( F = x 0 ( R0 2 (x 0, x 1 ) R0 0 ) ( x1 R 2 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) )) ( G = x 0 x 1 R0 2 (x 0, x 1 ) ( R0 1 (x 1 ) R0 1 (x 0 ) )) F ist nicht bereinigt denn FV(F ) GV(F ) = {x 0, x 1 } G ist bereinigt
68 Prädikatenlogik Normalformen Theorem Für jede Formel F existiert eine äquivalente bereinigte Formel
69 Prädikatenlogik Normalformen Theorem Für jede Formel F existiert eine äquivalente bereinigte Formel Beweis. Unter Nutzung des Umbennungs- und Ersetzungstheorems benennen wir schrittweise jedes gebundene Vorkommen einer Variable in x i mit x i / Symbole(F ) GV(F ) um.
70 Prädikatenlogik Normalformen Theorem Für jede Formel F existiert eine äquivalente bereinigte Formel Beweis. Unter Nutzung des Umbennungs- und Ersetzungstheorems benennen wir schrittweise jedes gebundene Vorkommen einer Variable in x i mit x i / Symbole(F ) GV(F ) um. Aufgrund des Unbenennungs- und des Ersetzungstheorems ist die so erhaltene Formel äquivalent zu F
71 Prädikatenlogik Normalformen Beispiel F = ( x 0 ( R0 2 (x 0, x 1 ) R0 0 ) ( x1 R 2 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) ))
72 Prädikatenlogik Normalformen Beispiel F = ( x 0 ( R0 2 (x 0, x 1 ) R0 0 ) ( x1 R 2 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) )) gebundenes x 0 kollidiert mit freiem x 0 ; Umbenennung in x 2 ( F = x 2 ( R0 2 (x 2, x 1 ) R0 0 ) ( x1 R 2 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) ))
73 Prädikatenlogik Normalformen Beispiel F = ( x 0 ( R0 2 (x 0, x 1 ) R0 0 ) ( x1 R 2 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) )) gebundenes x 0 kollidiert mit freiem x 0 ; Umbenennung in x 2 ( F = x 2 ( R0 2 (x 2, x 1 ) R0 0 ) ( x1 R 2 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) )) gebundenes x 1 kollidiert mit freiem x 1 ; Umbenennung in x 3 (Umbenennung in x 2 würde x 2 doppelt binden) ( F = x 2 ( R0 2 (x 2, x 1 ) R0 0 ) ( x3 R 2 1 (x 3, x 3 ) R0 2 (x 3, x 0 ) ))
74 Prädikatenlogik Normalformen Beispiel F = ( x 0 ( R0 2 (x 0, x 1 ) R0 0 ) ( x1 R 2 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) )) gebundenes x 0 kollidiert mit freiem x 0 ; Umbenennung in x 2 ( F = x 2 ( R0 2 (x 2, x 1 ) R0 0 ) ( x1 R 2 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) )) gebundenes x 1 kollidiert mit freiem x 1 ; Umbenennung in x 3 (Umbenennung in x 2 würde x 2 doppelt binden) ( F = x 2 ( R0 2 (x 2, x 1 ) R0 0 ) ( x3 R 2 1 (x 3, x 3 ) R0 2 (x 3, x 0 ) )) bereinigte Formel
75 Prädikatenlogik Pränexform
76 Prädikatenlogik Pränexform Notizen Übertragung der Normalformen der Aussagenlogik konjunktive Normalform für Prädikatenlogik Quantoren im Weg, aber können mit äquivalente Formeln Bezeichnung xf x F demorgan-gesetz für xf x F demorgan-gesetz für x(f G) xf G falls x / FV(G) x(f G) xf G falls x / FV(G) x(f G) xf G falls x / FV(G) x(f G) xf G falls x / FV(G) vorangestellt werden Pränexform
77 Prädikatenlogik Pränexform Definition Eine Formel ist in Pränexform gdw. F = Q 1 x i1 Q 2 x i2 Q n x in G mit Q 1,..., Q n {, } n, i 1,..., i n N und G enthält keine Quantoren
78 Prädikatenlogik Pränexform Definition Eine Formel ist in Pränexform gdw. F = Q 1 x i1 Q 2 x i2 Q n x in G mit Q 1,..., Q n {, } n, i 1,..., i n N und G enthält keine Quantoren Die Formel ist in bereinigter Pränexform gdw. sie bereinigt und in Pränexform ist.
79 Prädikatenlogik Pränexform Definition Eine Formel ist in Pränexform gdw. F = Q 1 x i1 Q 2 x i2 Q n x in G mit Q 1,..., Q n {, } n, i 1,..., i n N und G enthält keine Quantoren Die Formel ist in bereinigter Pränexform gdw. sie bereinigt und in Pränexform ist. Beispiele ( F = x 0 ( R0 2 (x 0, x 1 ) R0 0 ) ( x1 R 2 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) )) ( G = x 0 x 1 R0 2 (x 0, x 1 ) ( R0 1 (x 1 ) R0 1 (x 0 ) ))
80 Prädikatenlogik Pränexform Definition Eine Formel ist in Pränexform gdw. F = Q 1 x i1 Q 2 x i2 Q n x in G mit Q 1,..., Q n {, } n, i 1,..., i n N und G enthält keine Quantoren Die Formel ist in bereinigter Pränexform gdw. sie bereinigt und in Pränexform ist. Beispiele ( F = x 0 ( R0 2 (x 0, x 1 ) R0 0 ) ( x1 R 2 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) )) ( G = x 0 x 1 R0 2 (x 0, x 1 ) ( R0 1 (x 1 ) R0 1 (x 0 ) )) F ist nicht in Pränexform
81 Prädikatenlogik Pränexform Definition Eine Formel ist in Pränexform gdw. F = Q 1 x i1 Q 2 x i2 Q n x in G mit Q 1,..., Q n {, } n, i 1,..., i n N und G enthält keine Quantoren Die Formel ist in bereinigter Pränexform gdw. sie bereinigt und in Pränexform ist. Beispiele ( F = x 0 ( R0 2 (x 0, x 1 ) R0 0 ) ( x1 R 2 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) )) ( G = x 0 x 1 R0 2 (x 0, x 1 ) ( R0 1 (x 1 ) R0 1 (x 0 ) )) F ist nicht in Pränexform G ist in bereinigter Pränexform
82 Prädikatenlogik Pränexform Theorem Für jede Formel existiert eine äquivalente Formel in bereinigter Pränexform
83 Prädikatenlogik Pränexform Theorem Für jede Formel existiert eine äquivalente Formel in bereinigter Pränexform Ansatz 1 Transformation in Negationsnormalform 2 Bereinigung (Umbenennung der gebundenen Variablen) 3 Anwendung der folgenden Äquivalenzen von rechts nach links äquivalente Formeln Bezeichnung x(f G) xf G falls x / FV(G) x(f G) xf G falls x / FV(G) x(f G) xf G falls x / FV(G) x(f G) xf G falls x / FV(G)
84 Prädikatenlogik Pränexform Theorem Für jede Formel F existiert eine äquivalente Formel G in bereinigter Pränexform
85 Prädikatenlogik Pränexform Theorem Für jede Formel F existiert eine äquivalente Formel G in bereinigter Pränexform Beweis (1/3). Wir konstruieren G durch Induktion: Sei F = R k i (t 1,..., t k ) mit i, k N und t 1,..., t k T. Dann ist G = F bereits in bereinigter Pränexform.
86 Prädikatenlogik Pränexform Theorem Für jede Formel F existiert eine äquivalente Formel G in bereinigter Pränexform Beweis (1/3). Wir konstruieren G durch Induktion: Sei F = R k i (t 1,..., t k ) mit i, k N und t 1,..., t k T. Dann ist G = F bereits in bereinigter Pränexform. Sei F = F mit F F. Gemäß Induktionsannahme existiert eine Formel G in bereinigter Pränexform, die äquivalent zu F ist. Sei G = Q 1 x i1 Q n x in G, so dass G keine Quantoren mehr enthält. Also F = F G = Q 1 x i1 Q n x in G Q 1 x i1 Q n x in G = G und G ist in bereinigter Pränexform, wobei = und =.
87 Prädikatenlogik Pränexform Beweis (2/3). Wir konstruieren G durch Induktion: Sei F = F 1 F 2 mit F 1, F 2 F und {, }. Dann existieren bereinigte Pränexformen G 1, G 2 F, so dass F 1 und G 1 sowie F 2 und G 2 äquivalent sind.
88 Prädikatenlogik Pränexform Beweis (2/3). Wir konstruieren G durch Induktion: Sei F = F 1 F 2 mit F 1, F 2 F und {, }. Dann existieren bereinigte Pränexformen G 1, G 2 F, so dass F 1 und G 1 sowie F 2 und G 2 äquivalent sind. Seien G 1 = Q 1 x i1 Q n x in G 1 und G 2 = Q 1 x j 1 Q mx jm G 2, so dass G 1 und G 2 keine Quantoren mehr enthalten. Aufgrund des Umbenennungstheorems können wir annehmen, dass {x i1,..., x in } (Symbole(G 2 ) GV(G 2 )) = und {x j1,..., x jm } (Symbole(G 1 ) GV(G 1 )) =. Also F = F 1 F 2 G 1 G 2 = (Q 1 x i1 Q n x in G 1) G 2 ( ) Q 1 x i1 Q n x in G 1 G 2 = Q 1 x i1 Q n x in ( G 1 (Q 1x j1 Q mx jm G 2) ) Q 1 x i1 Q n x in Q 1x j1 Q mx jm ( G 1 G 2) = G und G ist in bereinigter Pränexform.
89 Prädikatenlogik Pränexform Beweis (3/3). Wir konstruieren G durch Induktion: Sei F = Qx i F mit Q {, }, i N und F F. Dann existiert eine Formel G in bereinigter Pränexform, die äquivalent zu F ist.
90 Prädikatenlogik Pränexform Beweis (3/3). Wir konstruieren G durch Induktion: Sei F = Qx i F mit Q {, }, i N und F F. Dann existiert eine Formel G in bereinigter Pränexform, die äquivalent zu F ist. Sei G = Q 1 x i1 Q n x in G, so dass G keine Quantoren mehr enthält. Aufgrund des Umbenennungstheorems können wir annehmen, dass i / {i 1,..., i n } (d.h. die Formel G bindet x i nicht). Also F = Qx i F Qx i G = Qx i (Q 1 x i1 Q n x in G ) = G und G ist in bereinigter Pränexform.
91 Prädikatenlogik Pränexform Beispiel Eingabeformel: ( x 0 ( R0 2 (x 0, x 1 ) R0 0 ) ( x1 R 2 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) ))
92 Prädikatenlogik Pränexform Beispiel Eingabeformel: ( x 0 ( R0 2 (x 0, x 1 ) R0 0 ) ( x1 R 2 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) )) 1 Negationsnormalform: ( ( x 0 R 2 0 (x 0, x 1 ) R0 0 ) ( x1 R 2 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) ))
93 Prädikatenlogik Pränexform Beispiel Eingabeformel: ( x 0 ( R0 2 (x 0, x 1 ) R0 0 ) ( x1 R 2 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) )) 1 Negationsnormalform: ( ( x 0 R 2 0 (x 0, x 1 ) R0 0 ) ( x1 R 2 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) )) 2 Bereinigung (Umbenennung aller gebundenen Variablen): ( ( x 2 R 2 0 (x 2, x 1 ) R0 0 ) ( x3 R 2 1 (x 3, x 3 ) R0 2 (x 3, x 0 ) ))
94 Prädikatenlogik Pränexform Beispiel Eingabeformel: ( x 0 ( R0 2 (x 0, x 1 ) R0 0 ) ( x1 R 2 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) )) 1 Negationsnormalform: ( ( x 0 R 2 0 (x 0, x 1 ) R0 0 ) ( x1 R 2 1 (x 1, x 1 ) R0 2 (x 1, x 0 ) )) 2 Bereinigung (Umbenennung aller gebundenen Variablen): ( ( x 2 R 2 0 (x 2, x 1 ) R0 0 ) ( x3 R 2 1 (x 3, x 3 ) R0 2 (x 3, x 0 ) )) 3 Pränexform: x 2 x 3 ( R 2 0 (x 2, x 1 ) R 0 0 ( R 2 1 (x 3, x 3 ) R 2 0 (x 3, x 0 ) ))
95 Prädikatenlogik Skolemform
96 Prädikatenlogik Skolemform Motivation in Pränexform sind alle Quantoren bereits am Anfang nun wollen wir einige Quantoren (Existenzquantoren) eliminieren
97 Prädikatenlogik Skolemform Motivation in Pränexform sind alle Quantoren bereits am Anfang nun wollen wir einige Quantoren (Existenzquantoren) eliminieren Definition Zwei Formeln F 1 und F 2 sind erfüllbarkeitsäquivalent gdw. F 1 erfüllbar gdw. F 2 erfüllbar
98 Prädikatenlogik Skolemform Motivation in Pränexform sind alle Quantoren bereits am Anfang nun wollen wir einige Quantoren (Existenzquantoren) eliminieren Definition Zwei Formeln F 1 und F 2 sind erfüllbarkeitsäquivalent gdw. F 1 erfüllbar gdw. F 2 erfüllbar Notizen gleiche Definition wie in Aussagenlogik P(x) und P(y) sind nicht äquivalent, aber erfüllbarkeitsäquivalent
99 Prädikatenlogik Skolemform Beobachtung xp(x) und P(a) sind erfüllbarkeitsäquivalent
100 Prädikatenlogik Skolemform Beobachtung xp(x) und P(a) sind erfüllbarkeitsäquivalent Was heißt ( x y zp(x, y, z) ) I = 1? für jedes u 1 U und u 2 U existiert u 3 U, so dass (u 1, u 2, u 3 ) P I wir können eine Funktion nutzen, die uns u 3 aus u 1 und u 2 berechnet x yp(x, y, f (x, y))
101 Prädikatenlogik Skolemform Beobachtung xp(x) und P(a) sind erfüllbarkeitsäquivalent Was heißt ( x y zp(x, y, z) ) I = 1? für jedes u 1 U und u 2 U existiert u 3 U, so dass (u 1, u 2, u 3 ) P I wir können eine Funktion nutzen, die uns u 3 aus u 1 und u 2 berechnet x yp(x, y, f (x, y)) durch richtige Interpretation von f ist auch diese Formel erfüllbar Erfüllbarkeitsäquivalenz
102 Prädikatenlogik Skolemform Beobachtung xp(x) und P(a) sind erfüllbarkeitsäquivalent Was heißt ( x y zp(x, y, z) ) I = 1? für jedes u 1 U und u 2 U existiert u 3 U, so dass (u 1, u 2, u 3 ) P I wir können eine Funktion nutzen, die uns u 3 aus u 1 und u 2 berechnet x yp(x, y, f (x, y)) durch richtige Interpretation von f ist auch diese Formel erfüllbar Erfüllbarkeitsäquivalenz x y zp(x, y, z) und x yp(x, y, f (x, y)) sind erfüllbarkeitsäquivalent
103 Prädikatenlogik Skolemform Skolem-Transformation Sei F eine Formel in bereinigter Pränexform. 1 falls F keinen Existenzquantor enthält, liefere F 2 sei F = x i1 x in x i G für G in bereinigter Pränexform und n N (n = 0 zulässig und G kann Quantoren enthalten) 3 sei f n j / Symbole(F ) ein neues n-stelliges Funktionssymbol 4 setze F x i1 x in G[x i f n j (x i1,..., x in )] und zu 1 (entferne Existenzquantor und ersetze x i durch f (x i1,..., x in )) Terminiert und jedes Resultat heißt Skolemform von F.
104 Prädikatenlogik Skolemform Skolem-Transformation Sei F eine Formel in bereinigter Pränexform. 1 falls F keinen Existenzquantor enthält, liefere F 2 sei F = x i1 x in x i G für G in bereinigter Pränexform und n N (n = 0 zulässig und G kann Quantoren enthalten) 3 sei f n j / Symbole(F ) ein neues n-stelliges Funktionssymbol 4 setze F x i1 x in G[x i f n j (x i1,..., x in )] und zu 1 (entferne Existenzquantor und ersetze x i durch f (x i1,..., x in )) Terminiert und jedes Resultat heißt Skolemform von F. Thoralf Albert Skolem ( 1887; 1963) norw. Mathematiker und Logiker Doktorvater (Axel Thue) bei Einreichung der Dissertation schon 4 Jahre tot lehnte überabzählbare Mengen ab
105 Prädikatenlogik Skolemform Beispiel Formel in bereinigter Pränexform x y z (P ( x, f (y, y), z ) R ( y, g(x) ))
106 Prädikatenlogik Skolemform Beispiel Formel in bereinigter Pränexform x y z (P ( x, f (y, y), z ) R ( y, g(x) )) nach 1. Schleifendurchlauf x z (P ( x, f (g (x), g (x)), z ) R ( g (x), g(x) ))
107 Prädikatenlogik Skolemform Beispiel Formel in bereinigter Pränexform x y z (P ( x, f (y, y), z ) R ( y, g(x) )) nach 1. Schleifendurchlauf x z (P ( x, f (g (x), g (x)), z ) R ( g (x), g(x) )) nach 2. Schleifendurchlauf x (P ( x, f (g (x), g (x)), g (x) ) R ( g (x), g(x) ))
108 Prädikatenlogik Skolemform Beispiel Ausgangsformel in bereinigter Pränexform: (, (, (,, ), ), )
109 Prädikatenlogik Skolemform Beispiel Ausgangsformel in bereinigter Pränexform: (, (, (,, ), ), ) Skolemform: ( ( ), ( ( ), ( ( ),, ( )), ( )), ( ))
110 Prädikatenlogik Skolemform Beispiel Ausgangsformel in bereinigter Pränexform: (, (, (,, ), ), ) Skolemform: ( ( ), ( ( ), ( ( ),, ( )), ( )), ( )) Illustration:
111 Frohe Weihnachten!
112 Zusammenfassung Ersetzungstheorem Negationsnormalform Bereinigung von Formeln Pränexnormalform Skolemform Fünfte Übungsserie ist bereits verfügbar.
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Terme. Dann ist auch f(t 1. Terme. Dann ist P (t 1
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