y = y = 2'500 Darstellung in Grafik: P 2 (800 2'500) x (Stk) 1'000
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- Hennie Lange
- vor 6 Jahren
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1 . Kostenfunktion a) Vorgaben und Fragestellung Über die Herstellungskosten eines Produkts ist folgendes bekannt: Die variablen Material- und Lohnkosten betragen CHF. pro Stück. Die Fikosten belaufen sich auf CHF.--. Wie lautet die Kostenfunktion? Stellen Sie diese bis ' Stück grafisch dar. Definitionen D = = Menge in Stück y = Gesamtkosten in CHF keine negativen Mengen und nur ganze Stück werden produziert Funktionsgleichung Die Kostenfunktion für den gegebenen Sachverhalt lautet: y =. +. Berechnung der Gesamtkosten bei verschiedenen Mengen Mit Hilfe obiger Funktionsgleichung lassen sich die Gesamtkosten für beliebige Mengen berechnen. Gesamtkosten bei Stück: Gesamtkosten bei 8 Stück: bei Stück: y =. + y = 7 Darstellung in Grafik: P ( 7) Grafische Darstellung der Funktion y (CHF) y =. 8 + y = ' Darstellung in Grafik: P (8 ') y =. + Gesamtkosten ' '7 ' ' ' '7 ' ' ' 7 P Kostenfunktion Menge P ' (Stk) Merkmale der Kostenfunktion Die Kostenfunktion beginnt nicht im Ursprung ( ). Startpunkt auf der Y-Achse ist der Betrag der Fikosten, weil diese immer anfallen, auch wenn Stück produziert werden. Hinweis zur Grafik-Erstellung Da beide Achsen oft unterschiedliche Massstäbe (Skalen) haben, muss die Funktion anhand einer Wertetabelle gezeichnet werden. Interpretation der Funktionsgleichung y = m + q m sind die variablen Kosten pro Stück ist die Stückzahl m sind die variablen Kosten der produzierten Menge q sind die fien Kosten y sind die Gesamtkosten Betriebswirtschaftliche Funktionen
2 c) Vorgaben und Fragestellung Wenn Stück eines Produkts hergestellt werden, betragen die Gesamtkosten CHF.--, bei 7 Stück betragen sie CHF.--. Wie lautet die Kostenfunktion? Stellen Sie diese bis Stück grafisch dar. Definitionen D = = Menge in Stück y = Gesamtkosten in CHF Funktionsgleichung Punkte P und P bestimmen P ( ), P ( 7 ) Steigung m berechnen m y y = m = 7 8 m = m =. q berechnen q = y - m m =. und P ( ) einsetzen q = -. q = - q = Funktionsgleichung notieren y =. + Grafische Darstellung der Funktion y (CHF) Gesamtkosten Kostenfunktion Menge (Stk) Betriebswirtschaftliche Funktionen 7
3 . Techniken zur Berechnung des Scheitelpunkts Der Scheitelpunkt ist der Punkt, in dem die Parabel die vertikale Richtung ändert. Es handelt sich also um den Punkt der Parabel mit dem höchsten Y-Wert (wenn a < ) bzw. mit dem niedrigsten Y-Wert (wenn a > ). Die Koordinaten des Scheitelpunkts können auf mehrere Arten berechnet werden: über die Nullstellen Kapitel.. über Formeln Kapitel.. über zwei Hilfspunkte mit gleichem Y-Wert Kapitel.. über die Scheitelpunktform Kapitel.... Über die Nullstellen Da die quadratische Funktion symmetrisch ist (vgl. Kapitel.), liegt der Scheitelpunkt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen (bzw. zwei Hilfspunkten mit gleichem Y-Wert). a) y = - Nullstellen bestimmen, falls nicht bekannt (vgl. KapiteI.) N ( - ), N ( ) = -, = X-Koordinate ( s ) des Scheitelpunkts berechnen + s = s = + s = s = Y-Koordinate (y s ) des Scheitelpunkts berechnen: s in Ausgangsgleichung einsetzen y = - y s = - y s = - Scheitelpunkt S ( - ) b) y = - - bereits berechnete Nullstellen: N ( - ) und N ( ) Nullstellen N ( - ), N ( ) = -, = X-Koordinate ( s ) des Scheitelpunkts berechnen + = s Scheitelpunkt: S (. -6. ) + s = s = s =. Y-Koordinate (y s ) des Scheitelpunkts berechnen: s einsetzen y = - - y s = y s = y s = Die quadratische Funktion
4 i) y = 6 + y = y = 6 (y ) = 8 quadratisch ergänzen: ( - b) = - b + b b + b d.h. b = 8 b = (y ) + b = - + b (y ) + = ( - ) (y ) + = 8 + ausrechnen (y ) + 6 = rechte Seite als binomische Formel schreiben (y ) + 6 = ( ) y + = ( ) zusammenfassen y = ( ) + Scheitelpunktform: y = ( ) + Scheitelpunkt S ( s y s ) ablesen Y-Koordinate (y s ) X-Koordinate ( s ) y = a ( - s ) y = ( - ) y s = + y s + y = a ( y = s ) + y s ( ) + Achtung: s ist mit dem falschen Vorzeichen vorhanden s = s = + Scheitelpunkt: S ( ) Die quadratische Funktion 9
5 Aufgabe. Ermitteln Sie die Schnittpunkte der beiden Parabeln, und zeichnen Sie beide Funktionen in ein Koordinatensystem ein. a) f : y = 8 k : y = + b) f : y = + + k : y = S ( - - ), S ( -8 ) S ( -7 7 ), S ( - ) y y f f S k S 6 S S k - c) f : y = 6 k : y = d) f : y = + k : y = + 7 S ( - 9 ), S ( - - ) S ( - -7 ), S (.. ) y y k f k f 8 8 S S S S Die quadratische Funktion
6 . Preisbildung mit linearen Funktionen a) Das Marktverhalten lässt sich im Bereich zwischen und Stück mit folgenden linearen Funktionen beschreiben (wobei Stück und y CHF bedeuten): Angebot: y = + Nachfrage: y = + 9 Stellen Sie die Funktionen grafisch dar. Wie hoch sind der Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge? Definitionen D = { } = Menge in Stück y = Stückpreis in CHF Grafische Darstellung y (CHF) Preis pro Stück Gleichgewichtspreis Menge Angebot Marktgleichgewicht ( 6 ) Nachfrage Gleichgewichtsmenge (Stück) Berechnung des Marktgleichgewichts Gleichgewichtsmenge berechnen: Angebots- und Nachfragefunktion einander gleichsetzen + = = + +, - 7 = : 7 = Gleichgewichtspreis berechnen: in der Angebots- oder Nachfragefunktion einsetzen (hier: in der Angebotsfunktion) y = + y = + y = + y = 6 Marktgleichgewicht Der Gleichgewichtspreis beträgt CHF 6.-- bei einer Gleichgewichtsmenge von Stück. Markt und Preisbildung
7 b) Das Marktverhalten lässt sich im Bereich zwischen und Stück mit folgenden linearen Funktionen beschreiben (wobei Stück und y CHF bedeuten): Angebot: y = + Nachfrage: y = + Stellen Sie die Funktionen grafisch dar. Wie hoch sind der Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge? Definitionen D = { } = Menge in Stück y = Stückpreis in CHF Grafische Darstellung y (CHF) Preis pro Stück Gleichgewichtspreis Menge Angebot Marktgleichgewicht ( 6 7 ) Nachfrage Gleichgewichtsmenge (Stück) Berechnung des Marktgleichgewichts Gleichgewichtsmenge berechnen: + = + + = = - = : = 6 Gleichgewichtspreis berechnen (hier: in der Angebotsfunktion einsetzen): y = + y = 6 + y = + y = 7 Marktgleichgewicht Der Gleichgewichtspreis beträgt CHF 7.-- bei einer Gleichgewichtsmenge von 6 Stück. Markt und Preisbildung
8 6. Kategorielle Merkmale: Häufigkeitstabelle, Auswertung und Visualisierung ) Erheben Sie in Ihrer Klasse, welches der folgenden Desserts am liebsten gegessen wird: Glacé, Tiramisu, Kuchen, Schokolade oder Früchte. Erstellen Sie zu Ihrer Erhebung eine Urliste, eine Strichliste sowie eine Häufigkeitstabelle, und beantworten Sie die folgenden Fragen. a) Welches Dessert ist am beliebtesten? b) Wie viele Schüler/-innen haben dieses Dessert genannt? c) Wie viele Prozent der Klasse haben dieses Dessert genannt? d) Welches Dessert ist am wenigsten beliebt? Wie viele Prozent der Klasse haben es genannt? Stellen Sie die erhobenen Daten grafisch dar. Welches ist der häufigste Wert (sog. Modus)? Urliste Merkmal: Lieblingsdessert Glacé Tiramisu Tiramisu Tiramisu Kuchen Tiramisu Glacé Tiramisu Tiramisu Kuchen Tiramisu Glacé Tiramisu Glacé Glacé Tiramisu Schokolade Tiramisu Kuchen Glacé Früchte Glacé Schokolade Kuchen Strichliste Merkmal: Lieblingsdessert Glacé: IIII II Tiramisu: IIII IIII Kuchen: IIII Schokolade: II Früchte: I Häufigkeitstabelle. Spalte i Eintragen einer fortlaufenden Nummer, beginnend ab (i = Inde). Spalte i Eintragen der Desserts (= Ausprägungen), die Reihenfolge ist frei wählbar. Spalte n i Eintragen, wie oft jedes Dessert erhoben wurde (= absolute Häufigkeit). Spalte h i Berechnen des Anteils der Desserts an der Gesamtzahl Schüler/-innen: absolute Häufigkeit : Anzahl Schüler/-innen (= relative Häufigkeit) Die Angabe erfolgt üblicherweise als Dezimalzahl und nicht als eigentliche Prozentzahl. Es ist aber klar, dass = % bedeutet. Merkmal: Lieblingsdessert i i n i h i Berechnen der relativen Häufigkeit in der Spalte h i : Glacé (= 7 : * ) Tiramisu (= : * ) Kuchen (= : * ) Schokolade.8... (= : * ) Früchte (= : * ) Feld Feld n * = Anzahl Schüler/-innen d.h. Total der Spalte n i Beantwortung der Fragen a) Tiramisu (= ) Ausprägung mit dem grössten Wert in der Spalte n i b) Personen (= n ) c).67 % (= h ) bedeutet % d) Früchte,.7 % (=, h ) Ausprägung mit dem kleinsten Wert in der Spalte n i 88 Datenanalyse
9 Grafische Darstellung Kategorielle Merkmale können in einem Säulen- oder Kreisdiagramm visualisiert werden. Säulendiagramm y Lieblingsdessert Absolute Häufigkeiten Glacé Tiramisu Kuchen Schokolade Früchte Für jede Ausprägung wird eine Säule gezeichnet. Alle Säulen werden gleich breit gezeichnet. Die Höhe der Säulen kann die absolute oder relative Häufigkeit der Ausprägungen darstellen. Kreisdiagramm Für jede Ausprägung wird ein Kreissegment gezeichnet. Die Fläche eines Segments ist proportional zur relativen Häufigkeit der Ausprägung am Stichprobenumfang. Lieblingsdessert Schokolade 8.% Kuchen 6.67% Früchte.7% Glacé 9.7% Das erste Segment beginnt verglichen mit einer Uhr an der Position. Uhr. Die restlichen Segmente werden im Uhrzeigersinn hinzugefügt. Die Grösse eines Segments wird durch das Abtragen des entsprechenden Winkels bestimmt. Berechnung des Winkels: Relative Häufigkeit (h i ) 6 o Tiramisu.67% Beispiel: Winkel für Glacé: o (= o ) Aus dem Diagramm ablesbare Kennzahl Modus: Ausprägung, die am häufigsten erhoben wurde Der Modus (hier: Tiramisu) ist sofort ersichtlich: im Säulendiagramm als Ausprägung mit der höchsten Säule im Kreisdiagramm als Ausprägung mit dem grössten Segment Gegenüberstellung von Kreis- und Säulendiagramm Der Modus ist in einem Säulendiagramm sofort als höchste Säule erkennbar. In einem Kreisdiagramm ist das grösste Segment weniger schnell erkennbar, weil das menschliche Auge Flächen weniger gut miteinander vergleichen kann. Die einzelnen Ausprägungen können in einem Kreisdiagramm weniger schnell nach ihrer Häufigkeit geordnet werden als in einem Säulendiagramm. Fazit: Das Säulendiagramm ist dem Kreisdiagramm vorzuziehen Datenanalyse 89
10 ) Die Befragung "Welchen Buchtyp bevorzugen Sie?" hat folgende Antworten ergeben: Biografie / Sachbuch / Hörbuch / Krimi / Roman / Krimi / Krimi / Roman / Krimi / Roman / Krimi / Hörbuch / Roman / Roman / Sachbuch / Roman / Krimi / Krimi / Krimi / Hörbuch. Vervollständigen Sie die untenstehende Häufigkeitstabelle, und beantworten Sie die folgenden Fragen. a) Welcher Buchtyp wird von den meisten Befragten bevorzugt? b) Wie viele Befragte bevorzugen diesen Buchtyp? c) Wie viele Prozent der Befragten bevorzugen diesen Buchtyp? d) Welcher Buchtyp ist bei den wenigsten Befragten beliebt? Wie viele Prozent der Befragten haben diesen genannt? Stellen Sie die erhobenen Daten grafisch dar. Welche Kennzahl lässt sich direkt aus dem Diagramm ablesen und wie gross ist sie? Häufigkeitstabelle Merkmal: Bevorzugter Buchtyp i i n i h i Berechnen der relativen Häufigkeit in der Spalte h i : Biografie. (= : * ) Sachbuch. (= : * ) Hörbuch. (= : * ) Krimi 8. (= 8 : * ) Roman 6. (= 6 : * ) * = Anzahl Befragter d.h. Total der Spalte n i Beantwortung der Fragen a) Krimi (= ) Ausprägung mit dem grössten Wert in der Spalte n i b) 8 Personen (= n ) c) % (= h ) d) Biografie, % (=, h ) Ausprägung mit dem kleinsten Wert in der Spalte n i 9 Datenanalyse
11 Grafische Darstellung Säulendiagramm: y Bevorzugter Buchtyp 9 8 Absolute Häufigkeiten 7 6 Biografie Sachbuch Hörbuch Krimi Roman Kreisdiagramm: Bevorzugter Buchtyp Roman % Biografie % Sachbuch % Hörbuch % Krimi % Aus dem Diagramm ablesbare Kennzahl Name der Kennzahl Ergebnis Modus Krimi Datenanalyse 9
12 c) Berechnung Der wievielte Wert der geordneten Stichprobe dem Median entspricht, lässt sich entweder manuell durch Abzählen oder mit einer Formel bestimmen. Die Formeln für den Median ~ (ausgesprochen als " Tilde") lauten: n ist ungerade n ist gerade ~ = n+ ~ = n + n + n Anzahl Stichprobenwerte (Stichprobenumfang) n+ steht für den n + -ten Wert der geordneten Stichprobe Analoge Erläuterungen gelten für die Formel, wenn n gerade ist. Beispiele ) Merkmal: Beim Hochsprung in einer Schulklasse erzielte Höhen (in cm) Erhobene Werte: / / / 9 / / / / / / 6 / Berechnen Sie den Median. Geordnete Stichprobe notieren (Daten vom kleinsten zum grössten Wert sortieren) () () () () () (6) (7) (8) (9) () () 9 6 Median ermitteln (mit Formel für "n ist ungerade", da n = ) ~ = n+ Interpretation: ~ = ~ = (6 ) ~ = + Der 6. Stichprobenwert [ (6) ] entspricht dem Median. 9 6 Der Median liegt bei cm. Zum Vergleich: Der Mittelwert liegt bei 7.7 cm. ) Merkmal: Sonnenscheindauer vom. bis. Juni (in Stunden) Erhobene Werte: 6. / / 8 / / / / / / 7. / 6 /. / / 7 Berechnen Sie den Median. Geordnete Stichprobe notieren (Daten vom kleinsten zum grössten Wert sortieren) () () () () () (6) (7) (8) (9) () () () () Median ermitteln (mit Formel für "n ist ungerade", da n = ) ~ = n+ ~ = ~ = (7 ) ~ = + Der Median liegt bei Sonnenstunden. Datenanalyse
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