Beispiel 1. Vereinbarungen 1. Beispiel 2 (Forts.) Beispiel 2: Zeitstrahl Finanzmathematik ZINSRECHNUNG. Kapitel 2 Prof. Dr.

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1 Finanzmathematik Kapitel 2 Prof. Dr. Harald Löwe Sommersemester 2012 Abschnitt 1 ZINSRECHNUNG Vereinbarungen 1 Jahreszinssatz p% p.a. Umformen: i = p/100 m Zinsbuchungstermine pro Jahr Hier nur m = 1, 2, 4 oder 12 Halbjahr = ½ Jahr, = ¼ Jahr, Monat = 1/12 Jahr Deutsche Zinsmethode Ab jetzt alle Zahlungen auf Zinsbuchungsterminen fällig Beispiel 1 Der Verein 5. FC Rote Laterne möchte einen neuen Torwart einkaufen. Die Ablösesumme beträgt ; hiervon soll die Hälfte über einen Kredit finanziert werden. 3 4 Beispiel 2 (Forts.) Kreditkonditionen Auszahlung ; Verzinsung 7% p.a.; Zinsbuchung quartalsweise Rückzahlungen: nach ½ Jahr; nach ¾ Jahr; nach 1 Jahr; nach 1½ Jahren; nach 2 Jahren Gesucht: Restschuld nach 2 Jahren Beispiel 2: Zeitstrahl Auftragen der Zahlungen auf einem Zeitstrahl Vorteile: besserer Überblick über Zahlungen und Fälligkeiten Abzählen von Zeiträumen Weniger Fehler! Nachteil: Bei vielen Zahlungen unzweckmäßig 5 6 1

2 Beispiel 2 / Rechnung 1 Kontenabrechnung Ende 2. : Die Restschuld beträgt Anfangsschuld zzgl. 2 e Zinseszinsen Zahlung Ende 2. (mindert die Restschuld) 7 Beispiel 2 / Bemerkung Jahreszinssatz szinssatz (US-Methode) Aufzinsungsfaktor für 1 ; diesen Wert speichere in TR 8 Beispiel 2 / Rechnung 1 Kontenabrechnung Ende 2. Beispiel 2 / Rechnung 1 Diese Art der Rechnung nennt man Kontostaffelmethode Vgl.: Rechnen mit Tabellenkalkulation Kontenabrechnung Ende 3. Kontenabrechnung Ende 4. usw Beispiel 2 / Rechnung 2 Beispiel 2 / Rechnung

3 Beispiel 2 / Rechnung 2 Beispiel 2 / Rechnung 2 Wie hoch ist die Restschuld am Laufzeitende (am Ende des 8. s)? Wie hoch ist die Restschuld am Laufzeitende (am Ende des 8. s)? Abrechnung per Hand Finanztaschenrechner liefert gleiches Ergebnis Zinse jede Zahlung A auf das Laufzeitende auf, d.h. bestimme die Anzahl n der e zwischen Fälligkeitstermin von A und Laufzeitende Ersetze die Zahlung A durch A zzgl. n e Zinsen; Fälligkeit = Laufzeitende Zinseszinsrechnung 1 Zinseszinsrechnung 2 Zahlungsstrom / Cash Flow: Eine oder mehrere Zahlungen, die jeweils einen festgelegten Fälligkeitstermin haben. Hier: Fälligkeitstermine sind als e nach erster Zahlung angegeben. Laufzeit (des finanzmath. Vorgangs): Zeitspanne, in der sämtliche Zahlungen erfolgen. Hier (nach Vereinbarung): Laufzeitbeginn = Beginn 1. Laufzeitende = Ende

4 Zinseszinsrechnung 3 US-Methode 1 Zinsperiode: 1 Jahr Zahlungsperiode: Das Jahr wird in m gleiche Zahlungsperioden aufgeteilt; jede Zahlung erfolgt am Ende einer Periode. Hier: Zahlungsperiode = 1 (m = 4) Möglich wäre auch 1 Monat usf.; hier entscheidet der Vertrag! i = Jahreszinssatz, m = Anzahl der Zahlungsperioden pro Jahr Die US-Methode rechnet mit dem relativen Periodenzinssatz: US-Methode 2 US-Methode 3 Ist K der Kontostand am Anfang einer Zahlungsperiode, und erfolgt am Ende dieser Periode eine Zahlung A, so berechnet sich der neue Kontostand zu. Insbesondere werden Zinsen am Ende jeder Zahlungsperiode gebucht. Hier: i = 0,07 (Jahreszinssatz 7% p.a.), m = 4 (Zahlungsperioden pro Jahr) Relativer szinssatz: Aufgabe der Finanzmathematik Beispiel 2 / Endwert Endwert des Zahlungsstroms Gesamtwert aller Zahlungen am Laufzeitende Beantwortet die Frage: Wie hoch ist der Kontostand am Laufzeitende? Berechnung durch Kontostaffelmethode Aufzinsen aller Zahlungen auf das Laufzeitende Endwert = Kontostand am Ende des 8. s; diesen bestimmen wir so:

5 2. Aufgabe der Finanzmathematik Beispiel 2 / Barwert Barwert des Zahlungsstroms Gesamtwert aller Zahlungen am Laufzeitbeginn Beantwortet die Frage: Welche Einmaleinlage zu Beginn der Laufzeit führt auf den gleichen Endwert wie der vorgelegte Zahlungsstrom? Beantwortung der Frage durch Abzinsen Barwert B : Einmaleinlage zu t = 0 Bedingung: Verzinsen von B führt am Laufzeitende (t=8) zum gleichen Kontostand wie der vorgelegt Zahlungsstrom Auswertung der Bedingung: Beispiel 2 / Barwert (Forts.) Bedingung für Barwert B: Auflösen: 8 q p B ,2 7 Abzinsen des Endwerts um 8 e 27 Interpretation des Barwerts Voraussetzung: Sollzins = Habenzins 1. Buche unmittelbar vor Laufzeitbeginn den Barwert ab. 2. Innerhalb der Laufzeit tätige die vorgesehenen Zahlungen. 3. Dann ist der Kontostand am Ende der Laufzeit genau Beispiel 2 / Interpretation Barwert Abbuchung des Barwerts führt zum Endkontostand 0 Beispiel 2 / Berechnung Barwert Barwert = Summe der abgezinsten Zahlungen

6 Sprachregelung 100 um 3 Perioden aufzinsen Sprachregelung um 5 Perioden 100 abzinsen Ersetzen einer Zahlung zzgl. Zinsen zu einem späteren Termin nennen wir Aufzinsen dieser Zahlung. Ersetzen einer Zahlung abzgl. Zinsen zu einem früheren Termin nennen wir Abzinsen dieser Zahlung Prinzip der Zinseszinsrechnung Beleg des Prinzips Ersetzt man in einem Zahlungsstrom eine beliebige Zahlung durch die entsprechend auf- oder abgezinste Zahlung zu einem anderen Termin, so bleiben Endwert und Barwert gleich. k Perioden n Perioden A Beitrag von A zum Endwert: Zinse nun A um k Perioden auf. [Wir diskutieren nur einen der möglichen Fälle] Beleg des Prinzips (Forts.) k Perioden n Perioden Anwendung 9 10 A Ersetzen von A durch Aufzinsen: k Perioden n Perioden A Beitrag der aufgezinsten Zahlung zum Endwert: Keine Änderung des Endwerts! Vorgelegt: Zahlungsstrom Jahreszinssatz: 7% p.a. Zahlungsperiode: Gesucht: Endwert am Ende des 10. s

7 Anwendung (Forts.) 9 10 Anwendung (Forts.) Blaue Zahlungen wie Beispiel 2 Rote Zahlung zu Beispiel 2 unterschiedlich Grüne Zahlungen neu Endwert zu anderem Termin als Beispiel Geschicktes Unterteilen der roten Zahlung Jetzt: Blaue Zahlungen exakt wie Beispiel 2 Grüne Zahlungen neu Endwert zu anderem Termin als Beispiel Anwendung (Forts.) 9 10 Sprechweise Endwert des blauen Zahlungsstroms am Ende des 8. s durch Aufzinsen und Summieren bereits in Beispiel 2 bestimmt. Darf den blauen Zahlungsstrom durch diesen Wert ersetzen! Wir ersetzen den Zahlungsstrom der blauen Zahlungen durch seinen Zeitwert am Ende des 8. s Anwendung (Forts.) 9 10 Vergleichsrechnung Excel Endwert hat sich nicht geändert! Berechnung Endwert durch Aufzinsen:

8 Vergleichsrechnung FTR Beispiel 3A Die Raubritterburg Wahrzeichen der Stadt und Residenz des Finanzamts steht vor dem Verfall und soll in 3 Jahren renoviert werden. Hierzu möchte der Stadtrat folgende Rücklagen zu 9%p.a. in Wertpapieren anlegen: jetzt in 1 Jahr in 2 Jahren in 3 Jahren Wie hoch ist der in 3 Jahren zur Verfügung stehende Betrag? (Zahlungsperiode = 1 Jahr) Beispiel 3A / Lösung Rechne mit q = 1,09 Beispiel 3B Nach einem halben Jahr wird die bis dahin führende Partei der Blauen von der Opposition abgelöst. Relativ rasch beschließt der neue Stadtrat die noch ausstehenden drei Beträge von , und durch gleichhohe Zahlungen (Höhe R) so zu ersetzen, dass am Stichtag derselbe Betrag wie zuvor zur Verfügung steht. Wie hoch muss R gewählt werden? Beispiel 3B / Lösung Beispiel 3B / Lösung (Forts.) Ansatz: R R R Bestimme R so, dass beide Zahlungsströme am Ende des 3. Jahres den gleichen Zeitwert besitzen. Bei Wahl von R = ,71 haben die beiden Zahlungsströme am Ende des 3. Jahres den gleichen Endwert

9 Sprachregelung Zahlungsströme, die an einem (und dann an jedem) Termin den gleichen Zeitwert besitzen, nennen wir äquivalent. Die Zahl (beide Zeitwerte zum gleichen Termin) nennen wir Werteverhältnis; dieses ist vom gewählten Termin unabhängig. 3. Aufgabe der Finanzmathematik Bestimme fehlende Daten zweier vorgelegter Zahlungsströme so, dass diese äquivalent werden. Alternative: Bestimme fehlende Daten eines Zahlungsstroms so, dass dieser den Endwert / Barwert 0 hat Beispiel 4 Ein Kredit über wird durch die folgenden Zahlungen getilgt: nach einem Jahr nach zwei Jahren. Mit welchem Zinssatz wurde hier gerechnet? Beispiel 4 / Lösung Leistungen Bestimme den Jahreszinssatz so, dass beide Zahlungsströme am gewählten Stichtag den gleichen Wert besitzen. Gegenleistungen Beispiel 4 / Lösung Leistungen Gegenleistungen Beispiel 4 / Lösung (Forts.) Umformen: Quadratische Gleichung lösen: Mit q = 1+ i (wobei i unbekannt ist): 53 Finanzmathematisch sinnvolle Lösung nehmen: q = 1,1105 bzw. i = q 1 = 0,1105. Jahreszinssatz: 11,05% p.a. 54 9

10 Beispiel 4 / Lösung (Alternative) Kreditkonto Bestimme q = 1 + i so, dass Endwert = 0. Dies führt auf die gleiche quadratische Gleichung und damit zur gleichen Lösung. Abschnitt 2 DIE ICMA-METHODE 55 Löwe / Finanzmathematik Kapitel 2: Zinsrechnung 56 Die ICMA-Methode Bisherige Voraussetzungen: m Zinsbuchungstermine pro Jahr, alle Zahlungen sind zu Zinsbuchungsterminen fällig. US-Methode: Übergang zum relativen Periodenzinssatz Die ICMA-Methode ICMA-Methode: Übergang zum konformen Periodenzinssatz Daher rechne mit ICMA: International Capital Market Association Beispiel Jahreszinssatz 12% p.a.; mtl. Zinsbuchung; Einmalzahlung US-Methode: Relativer Monatszinssatz: Nach 1. Monat: Nach 12. Monat: Beispiel (Forts.) Jahreszinssatz 12% p.a.; mtl. Zinsbuchung; Einmalzahlung ICMA-Methode: Konformer Monatszinssatz: Nach 1. Monat: Nach 12. Monat:

11 US- und ICMA-Methode Einziger Unterschied: Berechnung des unterperiodischen Zinssatzes US-Methode ICMA-Methode relativer Zinssatz konformer Zinssatz Alle Rechenverfahren gelten sowohl für die USals auch für die ICMA-Methode! Beispiel 5 Hans Müller und Ingrid Meier heiraten mit 25 und wollen zur Absicherung ihrer Rente bis zum 65. Lebensjahr 300 pro Monat sparen (insgesamt 40 x 12 = 480 Raten). Bei der erwarteten Verzinsung von 4% p.a. hat der Finanzberater der jungen Familie bereits den Kontoendstand am Tag der letzten Rate errechnet (s.u.). Nach 10 Jahren wollen sich Meier Müllers eine Küche anschaffen: Anstatt die 120. Rate zu zahlen heben sie von dem Rentenkonto ab. Wie hoch ist nun das finanzielle Polster für die Rente? a) Kontoendstand US-Methode: ,40 b) Kontoendstand ICMA-Methode: , Beispiel 5 / Ansatz Ursprünglicher Zahlungsstrom mit Endwert K. Dieser ändert sich durch die Abhebung so: Monat Monat Beispiel 5 / Ansatz (Forts.) Geschickte Aufteilung der 120. Zahlung: Monat Ersetzen des blauen Zahlungsstroms durch den (bekannten) Endwert K: Monat K Beispiel 5 / Ansatz (Forts.) Aufzinsen und Addieren ergibt den neuen Endwert Monat K Beispiel 5 / Lösung a) Abrechnung mit US-Methode b) Abrechnung mit ICMA-Methode

12 Sprachregelung Abschnitt 3 RENTENRECHNUNG Rente: Zahlungsstrom aus Zahlungen gleicher Höhe (der Rate der Rente), die in regelmäßigen Abständen aufeinander folgen. Terminzahl: Anzahl der Zahlungen Rentenperiode: zeitlicher Abstand zwischen zwei Zahlungen Endwert der Rente: Zeitwert am Tag der letzten Rate Löwe / Finanzmathematik Kapitel 2: Zinsrechnung Beispiel 6 Sparplan in Beispiel 5: 480-malige monatliche Rente mit Rate Zahlungen insgesamt Terminzahl: 480 (Raten) eine Zahlung je Monat Rentenperiode: 1 Monat regelmäßige Zahlung je 300 Rate: Beispiel 6 (Forts.) Kontenabrechnung nach US mit 4% p.a. relativer Monatszinssatz: Gesucht: Endwert der Rente Ansatz: Zinse alle Zahlungen auf das Laufzeitende auf und addiere. Monat Beispiel 6 (Forts.) Monat te Rate zzgl. 0 Monate Zinsen: te Rate zzgl. 1 Monat Zinsen: 478-te Rate zzgl. 2 Monate Zinsen: 2-te Rate zzgl. 478 Monate Zinsen: 1-te Rate zzgl. 479 Monate Zinsen: Endwert: Beispiel 6 (Forts.) Aufzinsungsfaktor für eine Rentenperiode Terminzahl 1 Rate

13 Geometrische Summenformel Für jede von 1 verschiedene Zahl x und für jede natürliche Zahl n gilt!!!! Endwert der Rente: Erhalte: Beispiel 6 (Forts.) aufeinanderfolgende Potenzen von x Beispiel 6 (Forts.) Endwert der Rente: Erhalte: Terminzahl Beispiel 6 / Variante 1 Wie hoch ist der Endwert nach der ICMA- Methode? Wörtlich gleiche Rechnung, aber mit Ergebnis: Aufzinsungsfaktor für eine Rentenperiode Rate Beispiel 6 / Variante 2 Monatliche Zinsbuchung nach US bei 4% p.a. Wie hoch ist der Kontostand 5 Monate nach der letzten Rate? Berechnen durch Aufzinsen des Endwerts: Beispiel 6 / Variante 3 Monatliche Zinsbuchung nach US bei 4% p.a. Wie hoch muss der Kontostand einen Monat vor der ersten Rate sein, wenn die Rente vom Konto abgehoben werden soll? zzgl. 5 Monate Zinsen Kontostand am Tag der letzten Rate

14 Beispiel 6 / Variante 3 (Forts.) Berechnen des Barwerts durch Abzinsen des Endwerts um 480 Monate: Monat Beispiel 6 / Variante 4 Monatliche Zinsbuchung nach US bei 4% p.a. Anstelle der Monatsrate von 300 soll am Ende jeden s 900 gezahlt werden. Wie hoch ist der Endwert dieser Rente nach 40 Jahren = 160 en = 480 Monaten? Rate Monat Beispiel 6 / Variante 4 (Forts.) Rate R zzgl. k e = 3k Monate Zinsen Aufzinsungsfaktor für = Rentenperiode: Berechne Rate R zzgl. k e Zinsen: 81 Beispiel 6 / Variante 4 (Forts.) Rate Monat te Rate zzgl. 0 e Zinsen: te Rate zzgl. 1 Zinsen: 158-te Rate zzgl. 2 e Zinsen: 2-te Rate zzgl. 158 e Zinsen: 1-te Rate zzgl. 159 e Zinsen: 82 Beispiel 6 / Variante 4 (Forts.) Erhalte daher als Endwert (Kontostand am Tag der letzten Rate) Notiz: Rentenendwertbestimmung US- oder ICMA-Methode, m Zinsbuchungen je Jahr, d.h. das Jahr ist in m Zahlungsperioden aufgeteilt N-fache Rente mit Rate R eine Rentenperiode = k Zahlungsperioden Gesucht ist der Endwert der Rente Endwert einer Rente = Zeitwert am Tag der letzten Rate

15 Zinsbuchungen Rentenzahlungen jährlich jährlich 1 1 halbjährlich jährlich 2 2 halbjährlich halbjährlich 2 1 quartalsweise jährlich 4 4 quartalsweise halbjährlich 4 2 quartalsweise quartalsweise 4 1 monatlich jährlich monatlich halbjährlich 12 6 monatlich quartalsweise 12 3 monatlich monatlich 12 1 m k Rentenendwertbestimmung Bestimme Bestimme den Renten-Aufzinsungsfaktor Berechne den Rentenendwert Rentenendwertbestimmung Terminzahl (Anzahl der Raten) Rate Zeitwertbestimmung für Renten E = Endwert der Rente Zeitwert W einer Rente a Zahlungsperioden nach der letzten Rate: Endwert = Wert am Tag der letzten Rate Aufzinsungsfaktor für eine Rentenperiode Zeitwert W einer Rente b Zahlungsperioden vor der letzten Rate: Beispiel 7 Für seinen Ruhestand möchte Herr X. 250 je Monat (erste Rate sofort, insgesamt 30 x 12 = 360 Raten) sowie die halbjährlichen Gratifikationen seiner Firma in Höhe von je (erste Rate in 2 Monaten, insgesamt 30 x 2 = 60 Raten) zu 5% p.a. (ICMA, monatliche Zinsbuchung) anlegen. Wie hoch ist sein Vermögen am Tag der letzten Rate? Welchen monatlichen Betrag kann er hiervon über 10 Jahre bei 5% p.a. (ICMA) zur Aufbesserung seiner Rente finanzieren? Beispiel 7 / Skizze

16 Beispiel 7 / Vorbereitung ICMA-Methode mit monatlicher Zinsbuchung; Jahreszinssatz 5% p.a. Übergang zum konformen Monatszinssatz Beispiel 7 / mtl. Rente Renten-Aufzinsungsfaktor: (monatliche Zinsbuchung, monatliche Rentenzahlung, also k = 1 ) Rentenendwert über Rentenformel Diesen Wert speichere im TR Stichtag = Tag der letzten Rate, also Beitrag der Rente zum Endkontostand: Beispiel 7 / halbj. Rente Renten-Aufzinsungsfaktor (monatliche Zinsbuchung, halbjährliche Rentenzahlungen: k = 6 ) Rentenendwert über Rentenformel Beispiel 7 / Saldo Endkontenstand am Stichtag = Tag der letzten Rate der monatlichen Rente: Stichtag = 3 Monate nach letzter Rate, also Beitrag der Rente zum Endkontostand: Beispiel 7 / Auszahlung Von diesem Betrag soll eine 120-malige monatliche Rente mit Rate R =? ausgezahlt werden. Erste Rate: 1 Monat nach dem vorigen Stichtag Ansatz: Zeitwert der 120-maligen Rente einen Monat vor dem Tag der ersten Rate ist ,22. Beispiel 7 / Auszahlungsrate Renten-Aufzinsungsfaktor Rentenendwert Rentenbarwert (Wert eine Rentenperiode vor der ersten Rate) durch Abzinsen um 120 Monate

17 Beispiel 7 / Auszahlungsrate (Forts.) Ansatzgleichung Auflösen Maximale Auszahlungsrate: 9.335,56 Beispiel 8A Durchgängig 8% p.a., mtl. Zinsbuchung, ICMA Hans und Eva sind 20 und noch 3 Jahre in der Ausbildung. Hans möchte in diesen 3 Jahren 50 monatlich und anschließend 40 Jahre 150 monatlich sparen. Eva will erst am Ende ihrer Ausbildung (also in 3 Jahren) mit dem Sparen anfangen und dann ebenfalls 150 monatlich zurücklegen. Wie hoch ist in 43 Jahren die Differenz der Vermögen von Hans und Eva? Beispiel 8A / Lösung 1 3 Jahre 40 Jahre 36-malige mtl. Rente mit Rate malige mtl. Rente mit Rate 150 Hans 3 Jahre 40 Jahre Eva keine Zahlung 480-malige mtl. Rente mit Rate 150 Konformer monatlicher Aufzinsungsfaktor zu 8%p.a. Beispiel 8A / Lösung 1 (Forts.) 3 Jahre 40 Jahre 36-malige mtl. Rente mit Rate malige mtl. Rente mit Rate 150 Guthaben Hans am Stichtag Hans Beispiel 8A / Lösung 1 (Forts.) 3 Jahre 40 Jahre Eva keine Zahlung 480-malige mtl. Rente mit Rate 150 Guthaben Eva am Stichtag Gesuchte Differenz Beispiel 8A / Lösung 2 Gesucht ist nur die Differenz. Hans und Eva zahlen die 480-fache monatliche Rente mit Rate 150 Einziger Unterschied: Hans zahlt zu Beginn 36-malige monatliche Rente mit Rate 50 Vergleich 3 Jahre 40 Jahre 36-malige mtl. hier gleiche Zahlungen Rente mit Rate

18 Beispiel 8A / Lösung 2 Differenz Hans zu Eva: Wert der 46-maligen monatlichen Rente mit Rate 50 zum Stichtag = 480 Monate nach der letzten Rate: Vergleich 3 Jahre 40 Jahre 36-malige mtl. hier gleiche Zahlungen Rente mit Rate Beispiel 8B Zusatzfrage: Eva möchte den gleichen Kontoendstand wie Hans erzielen. Welche monatliche Rate müsste sie hierfür anstelle der 150 einzahlen? 3 Jahre 40 Jahre Eva keine Zahlung 480-malige mtl. Rente mit Rate R gewünschter Endwert: , Beispiel 8B / Lösung Ansatz: Endkontostand von Heinz = Endwert der 480-maligen monatlichen Rente mit Rate R: Beispiel 9A Herr Müller möchte 30 Jahre lang monatlich 100 sparen. Sein Finanzberater rät ihm zur Anlage in einen Mischfonds und schätzt die jährliche Rendite auf 10% p.a. (US-Methode zur Abrechnung) Welches Vermögen hat Herr Müller am Ende der 30 Jahre erspart? Beispiel 9A / Lösung Gesuchtes Vermögen = Endwert einer 30 x 12 = 360-maligen monatlichen Rente mit Rate 100 Relativer Aufzinsungsfaktor für 1 Monat (US) Gesuchter Endwert Beispiel 9B In den letzten vier Jahren der Laufzeit bricht der Fonds ein und verliert 12% pro Jahr an Wert. Wie hoch ist nun das Endvermögen? 360-malige mtl. Rente mit Rate Jahre 10% p.a. (US-Methode) 4 Jahre -12% p.a. (US-Methode)

19 Beispiel 9B / Lösung Kontostand nach 26 Jahren Beispiel 9B / Vergleich Zunächst -12% p.a. in den ersten vier Jahren: Kontostand nach weiteren 4 Jahren Anschließend +10% p.a. über 26 Jahre: Beispiel 9B / Vergleich Fazit: Fondsanleihen sind gegen Kursverluste am Ende der Laufzeit besonders empfindlich. Lösung: Ablaufmanagement Steige einige Jahre vor dem Ende aus dem Fonds aus und investiere in sichere Geldanlagen (mit kleinerer Rendite) Beispiel 9C Entwicklung des Fonds wie in 9B (26 Jahre +10% p.a.; 4 Jahre -12% p.a.) 3 Jahre vor Laufzeitende: Umschichtung des Vermögens in festverzinsliche Wertpapiere; angenommene Rendite ist 5% p.a. Wie hoch ist jetzt das Endvermögen? Beispiel 9C / Lösung Kontostand nach 26 Jahren Beispiel 9C / Lösung (Forts.) Kontostand nach weiteren drei Jahren (am Ende der Laufzeit) bei 5% p.a. Kontostand nach weiterem Jahr Ohne Kursverluste; mit Umschichtung: ,

20 Besonderheit ICMA Übergang zum konformen Monatszinssatz: Aufzinsen über ein mit Besonderheiten ICMA Aufzinsen über a/b Jahre mit Abzinsen über a/b Jahre mit unabhängig von der unterjährigen Verzinsung! Rentenendwert (N Raten, k Zahlungen pro Jahr) Gleiches Ergebnis durch Übergang zum konformen szinssatz! Rente über n Jahre, k Zahlungen pro Jahr nur ICMA