BUCH IV: RAUM MIT. 1. Einführung VIERTE DIMENSION

Transkript

1 BUCH IV: RAUM MIT n-dimensionen 1. Einführung VIERTE DIMENSION

2 Wir verlassen nun die uns vertrauten Sphären und begeben und in die Welt der vier Dimensionen! 1 1 Sind Sie bereit für die viere Dimension? Eine schöne Darstellung von den Bewohnern des Flachlands bis zu denen der 4. Dimension finden Sie unter

3 Was passiert, wenn eine Kugel eine Ebene durchdringt, vom Standpunkt eines Flachländers, ein in der Ebene lebenden zweidimensionalen Lebewesens betrachtet? Es würde kurzzeitig ein virtuelles Teilchen sehen, nämlich ein Punkt würde zu einem maximalen Kreis des Kugelradius anschwellen um dann genauso wieder zu einem verschwindenden Punkt zu schrumpfen. Was würden wir nun sehen, wenn eine 4-dimensionale Kugel unseren dreidimensionalen Raum durchdringt? Wir sehen aus dem Vakuum eine immer größer werdende Kugel auftauchen, die dann beim erreichen des größten Radius der 4-Kugel wieder kleiner wird (am Ende fast linear) und wieder vollständig verschwindet! Wenn ein vierdimensionaler Würfel unseren Raum (senkrecht) durchdringt, sehen wir ohne Vorwarnung gleich einen Würfel auftauchen der alsbald schlagartig verschwindet Beim Simplex würden wir noch bis zum Punkt linear kleiner werdende Tetraeder sehen!

4 Ebene Lebewesen können von den Polyedern nur ihre Schnittflächen erkennen, also etwa von einem Würfel ein Quadrat oder ein Rechteck, das maximal die 2-fache Länge der Breite (beim Schnitt durch zwei Gegenkanten) hat, oder aber auch ein Sechseck (oder sogar ein regelmäßiges Sechseck 2, das durch sechs der acht Kantenmitten des Würfels verläuft). Wir 3D-Wesen nehmen also von den vierdimensionalen Polytopen nur die ebenen Schnittkörper wahr, von einem 4D-Würfel also etwa nur den Basiswürfel. Setzt man auf einen Würfel einen zweiten auf ein Oberflächenquadrat senkrecht in Richtung der vierten Dimension auf (zwei Möglichkeiten in der Richtung), dann sehen wir davon praktisch nichts. Auch wenn wir ihn etwas weiter in die vierte Achsenrichtung wegbewegen (aber nicht weiter als die Kantenlänge), sehen wir von ihm nur dieses Oberflächenquadrat. Drehen wir ihn aber um die Zentrumsachse, die die Richtung der vierten Koordinatenachse hat, erscheint uns ein Rechteck als Würfelschnitt in dieser Oberfläche, das eben im maximalen Fall um das jeweils ½( 2-1)-fache über dieses Oberflächenquadrat herausragt. von 2D nach 3D 2 Übrigens kann man einem sechseckigen Verbund von Stangen gleicher Längen, bei denen noch sechs Stangen die Ecken mit dem Zentrum verbinden, zu den 12 Kanten eines Kubus umformen

5 Vom dreidimensionalen Würfel zum vierdimensionalen Hypercubus (auch Tesserakt 3 genannt) 4th Dimension PLAGIARISED By A High-School Student FROM CARL SAGAN'S VIDEO, WHICH HE DENIES HE HAD WATCHED PRIOR TO MAKING THIS RATHER FATUOUS VIDEO! Den 4D-Würfel nennt man auch Tesseract, ein fünfdimensionaler Pentaract und ein sechsdimensionale Hexaract. a=x&ei=97vlt9z9btdrsgbk2odbaq&sqi=2&ved=0cf4qsaq&biw=1152&bih=

6 Imagining the Fourth Dimension Die Zeit als 4. Dimension ist in ihrer Bewegung nur in einer Richtung zulässig (der Zeitpfeil zeigt in die Zukunft)

7 Nun können wir ja insgesamt sechs solcher Würfel senkrecht in die vierte Raumrichtung an den sechs Oberflächenquadraten so aufsetzen, dass ihre Projektion in unsere 3D-Welt gerade eben diese Würfeloberfläche ergibt. Dieser 4D-Körper ist aber dann im Vierdimensionalen noch offen, kann aber mit einem weiteren Deckwürfel (im Kantenlängenabstand in der vierten Raumrichtung, von dem wir in unserer 3D-Welt gar nichts mehr wahrnehmen können, da seine Projektion nichts ist) abgedichtet werden. Man betrachte das um eine Dimension verringerte Analogon, wie man einen Würfel aus 6 Quadraten bildet, indem man vier senkrecht auf die Kanten eines Quadrates aufsetzt und mit einem zum Basisquadrat (im Seitenabstand) parallelen dann abdeckt (oder wie man aus vier gleichlangen Strecken ein Quadrat bildet). Die Evolution der symmetrischen überall rechtwinkligen Maßeinheiten Zeichnen wir nun einen Würfel, dann nehmen wir einfach zwei leicht schräg verschobene Quadrate und verbinden deren Ecken. Entsprechend können wir nun einen 4D-Würfel (zweifach-dimensional projiziert) darstellen, indem wir die jeweils 8 Ecken zweier schräg verschobener Würfel entsprechend verbinden. Oder aber, wenn wir die auf den Grundwürfel aufgesetzten sechs noch erkennbaren Würfel hervorheben wollen, setzen wir um einen Würfel einen etwas größeren Würfel und verbinden entsprechende Ecken miteinander

8 Hyperkubus Simplex dreidimensionale zweidimensionale Ansicht Die entsprechenden Überlegungen kann man auch mit den Minimalgebilden eines Raumes anstellen. In der Ebene besteht das kleinstmögliche Polygon aus drei Ecken, denn zwei sind nur durch eine Linie verbindbar bzw. definieren die (kürzeste Linie =geradlinig) Strecke. Im 3D-Raum dagegen ist dieses ebene Dreiseit, (- das wir Dreieck nennen und die Angelsachsen Dreiwinkel -), offen, und wir brauchen zumindest einen vierten Punkt außerhalb dieser Ebene, um daraus einen Körper bilden zu können. Dieser vierte Punkt muss aber eine Verbindung zu den andern drei Punkten haben. Diese insgesamt drei weiteren Verbindungen nennen die Angelsachsen komischerweise Ecken, wir aber Kanten. Da je zwei Kanten mit einer der Basisdreiecksseiten jeweils ein Dreieck bilden müssen, erhalten wir also für dieses 3D-Minimalgebilde vier Dreiecke als begrenzende Oberfläche, weshalb der Name Vierflach auch gerechtfertigt ist. Häufiger spricht man aber vom Tetra-Eder oder einer (Dreiecks- )Pyramide. Es ist also nur logisch, dass die Minimalgebilde im nd-raum mindestens n+1 Ecken haben müssen, mit samt allen Konsequenzen daraus. Man nennt sie (n-dimensionale) Simplices

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10 Magischer Tesserakt