Ferienkurs Experimentalphysik 2 - Mittwoch-Übungsblatt. 1 Aufgabe: Adiabatengleichung fürs Ideale Gas

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1 Aufgabe: Gasrozess Ferienkurs Exerimentalhysik - Mittwoch-Übungsblatt 1 Aufgabe: Adiabatengleichung fürs Ideale Gas Aus dem 1. HS und den Wärmekaazitäten c und c olgt zusammen mit dem Adiabatenkoeffizienten κ = c c V die Adiabatengesetze Wie kommt man dahin? V κ = const., TV κ 1 = const., T κ 1 κ = const 1.1 Lösung Wenn ein rozess adiabatisch ist, d.h. δq = 0, lautet dann der 1. HS du = νc V dt = dv (1) Mit c V = f νrt R und der idealen Gasgleichung = V landen wir mit ein wenig Umarrangieren bei f dt T = dv V () ( ) ( ln T f = ln V 1) + const. e () (3) T f V = TV f = TV κ 1 = const. (4) Aufgabe: Gasrozess Ein Liter eines -atomigen idealen Gases habe die Temeratur 73K und dein Druck von 1 bar. a) Es wird adiabatisch auf die Hälfte seines ursrünglichen Volumen komrimiert. Bestimme Druck und Temeratur nach der Komression. b) Das Gas wird nun wieder unter konstantem Druck auf 73 abgekühlt. Wie groß ist anschließend sein Volumen?.1 Lösung c V = 5 R, c = 7 R κ = c c V = 7 5 1

2 3 Aufgabe: Wärmekaazität a) b) = const. i V κ i T i V κ 1 i ( ) κ Vi = f f = i κ =, 67bar (5) ( ) κ 1 Vi = T f T f = T i κ 1 = 360K (6) T f = T i V relax (7) V relax = T f T i 3 Aufgabe: Wärmekaazität = 0, 38l (8) Ein Behälter mit 1 mol Helium (He) und ein gleich großer Behälter mit 1 mol Stickstoff (N ) werden jeweils mit der gleichen Heizleistung = 10W erwärmt. Die Wärmekaazität der Behälterwand beträgt jeweils C W = 10 J K. Berechne, wie lange es dauert, bis die Behälter von T 1 = 0 C auf T = 100 C erwärmt sind. Wie lange dauert die Erwärmung von N auf 1000 C, wenn angenommen wird, dass ab 500 C die Schwingungsfreiheitsgrade abrut angeregt werden können? 3.1 Lösung Nach dem Gleichverteilungssatz trägt jeder Freiheisgrad (eigentlich jede Energiekomonente) 1 R zur Wärmekaazität eines Gases ro Mol bei. Für ein 1-atomiges Gas gilt c V,He = 3 R. Für ein -atomiges Gas, bei dem die Translations- und Rotationsfreiheitsgrade angeregt sind gilt c V,N = 5 R Für ein -atomiges Gas, bei dem zusätzlich noch die Schwingungsfreiheitsgrade angeregt sind gilt c V,N,h = 7 R Benötigte Zeit zum Erwärmen item He : He : T = T T 1 = 80K, t = U + U Wand Q = c V T = (c V + c W ) T c V,He = 3 R t = (c V,He + c W ) T c V,N = 5 R t = (c V,N + c W ) T (9) = 179, 8s (10) = 46, 3s (11)

3 5 Aufgabe: Gasgemisch Erwärmung von N von 100 C auf 1000 C: 100 C 500 C : t 1 = c V,N + c W )(500 C 100 C) = 131, 4s (1) 500 C 1000 C : t 1 = c V,N,h + c W )(1000 C 500 C) = 1955, 0s (13) t ges = t 1 + t = 3186, 4s = 53min 6, 4s (14) 4 Aufgabe: Autoreifen Ein Autofahrer umt die Reifen seines Autos auf einen Druck von 180 ka auf, während die Temeratur bei T i = 8 C liegt. Als er sein Fahrziel erreicht hat, ist der Reifendruck auf 45ka angestiegen. Wie hoch ist dann die Temeratur der Reifen, wenn a) angenommen wird, dass sie sich nicht ausdehnen? b) angenommen wird, dass sie sich um 7% ausdehnen? 4.1 Lösung a) Wenn das Volumen eines idealen Gases konstant gehalten wird, so ist T = const.. Folglich gilt für die Größen vor und nach der Autofahrt T i i = T f f (15) T f = f i T i 360, 9K (16) b) i T i = f 1, 07 T f,b (17) T f,b = 1, 07 f i T i = 1, 07 T f = 386, K (18) 5 Aufgabe: Gasgemisch Zwei gegenüber der Außenwelt isolierte Gefäße sind durch ein kurzes Rohr mit zunächst geschlossenem Ventil und vernachlässigbarem Volumen miteinander verbunden. Im ersten Behälter befinden sich V He = m 3 Helium bei He = 1, bar und T He = 30 C. Im zweiten Behälter sind m Ne = 0, 8kg Neon bei Ne =.1bar und T Ne = 7 C. Die molare Masse von Neon ist M Ne = 0, g mol und diejenige von Helium ist M He = 4 g mol. Nun öffnet der Exerimentator das Ventil, wodurch sich die Gase vermischen und ein thermisches und mechanisches Gleichgewicht einstellt. 3

4 5 Aufgabe: Gasgemisch a) Welche Temeratur misst der Exerimentator im Endzustand? b) Welchen Druck misst er? Hinweis: Eine wichtige Erfahrungstatsache über Gemische idealer Gase ist, dass der resultierende Druck die Summe der von jedem Gas allein herrührenden Drücke (sog. artialdrücke) ist. c) Mit welchem absoluten isobaren Wärmekaazität c,ges des Gemisches muss der Exerimentator rechnen (c,he = c,ne = 5 R)? 5.1 Lösung Stoffmengen müssen noch in Mol umgerechnet werden. ν Ne = 800g 0, g mol a) Für das Gesamtsystem gilt 39, 6mol, ν He = HeV He RT He 95, 3mol (19) U = Q = W = 0 (0) Q Ne + Q He = 0 (1) ν He c V (T T He ) = ν Ne c V (T Ne T) () T = ν NeT Ne + ν He T He ν He + ν Ne = 315, 4K (3) b) V ges = V He + V Ne = m 3 + ν NeRT Ne Ne =, 54m 3 (4) Ne V ges = ν Ne RT, He V ges = ν He RT (5) = (ν Ne + ν He )RT V ges = 1, 4bar (6) c) Die gesamte innere Energie ist die Summe der einzelnen inneren Energien der beiden Gassorten. ( ) ( ) U V C,ges = + ν He T T ( = T (3 ν NeRT + 3 ) ( ( )) ν (νhe + ν HeRT) + Ne )RT T (7) = 3 ν HeR + 3 ν NeR + ν He R + ν Ne R = ν He c,he + ν Ne c,ne =, 8kJ/K 4

5 6 Aufgabe: Gasvolumen 6 Aufgabe: Gasvolumen Ein Behälter sei mit Mol idealen, 1-atomigen Gas gefüllt (Volumen ) und an ein Wärmereservoir mit Temeratur T R = 93K angeschlossen. Der Behälter sei oben mit einem beweglichen, masselosen Stemel der Fläche A = 0, 5m abgeschlossen. Außerhalb des Behälters herrsche Luftdruck i = N/m. Auf den Stemel wird langsam Sand bis zu einer Gesamtmasse m = 500kg gehäuft. Hierbei bedeutet langsam, dass die Temeratur des Gases konstant bleibt, da es mit dem Wärmereservoir in Verbindung steht. a) Wie groß sind Volumen und Druck f des Gases, wenn der gesamte Sand auf dem Stemel liegt? b) Wie groß ist die Wärmemenge, die dabei zwischen Wärmereservoir und dem Gas ausgetauscht wurde? c) Durch die Erwärmung des Gases soll der beladene Stemel nun auf die ursrüngliche Höhe gebracht werden. Welche Temeratur hat das Gas, wenn es das ursrüngliche Volumen einnimmt? Welche Wärmemenge wurde dem Gas hierfür zugefügt? 6.1 Lösung a) Isothermer rozess: i = f, f = i + mg = 1196ha (8) A = νrt R i + mg = 40, 73l (9) A b) Gesucht ist die Wärmemenge, die zur Volumenkomression verwendet wurde. Vf Vf ( ) dv W isotherm = dv = νrt R V = νrt Vi Rln (30) Q + W = 0 ( ) ( ) Vf i Q = νrt R ln = νrt R ln = νrt R ln c) Isobarer rozess: f ( 1 + mg ) = 87, 9J A i (31) T f,c T R = T f,c = T R = νrt R i = 350, 5K (3) U c) = Q c) f ( ) (33) Q c) = 3 νr T + f ( ) = 5 νr(t f,c T R ) = 390J (34) 5