Materialien zur Vorlesung. Portfolio-Selektion

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1 Materialien zur Vorlesung Portfolio-Selektion Burkhard Erke Quellen: Schmidt/Terberger, Kap. 8; Brealey/Myers, Kap. 7/8 Juli 2002

2 Lernziele Diversifikation mindert das Risiko eines Portefeuilles Effiziente Aktienportefeuilles durch Ausnutzung der Risikoreduktion durch Diversifikation Wenn der Kapitalmarkt vollständig und vollkommen ist, und wenn es eine risikolose Anlagealternative gibt, dann ist die optimale Zusammensetzung des Aktienportefeuilles unabhängig von der Risikoneigung des Anlegers (Tobin-Separation)

3 1 Worum es geht Theorie der Portfolio-Selektion: Wie sollen Anleger einzelne Wertpapiere in einem Portfolio zusammenstellen, um eine entsprechend ihren Präferenzen optimalen Kombination von Risiko und Rendite zu erreichen? Grundidee: Diversifikation reduziert Risiken: Lieferantenauswahl eines Unternehmens: Lieferungen von 2 Zulieferern werden nicht gleichzeitig ausfallen. Versicherungen: Viele verschiedene unabhängige Risiken Investition in Aktien: Renditen laufen nicht 100% gleich. Stärke des Diversifikationseffektes hängt ab, inwieweit Risiken gleich- oder gegenläufig sind: unabhängige Risiken: Versicherungen gegenläufige Risiken: Regenschirme und Sonnenöl gleichläufige Risiken: 5 Telekommunikations-Aktien Gegenläufigkeit verstärkt den Diversifikationseffekt, sie ist aber nicht nötig, um überhaupt einen Diversifikationseffekt zu erzielen. Vermögensarten: Wertpapiere und Aktien Versicherungs- und Rentenansprüche Kunstgegenstände Grundvermögen Humankapital Marktgängigkeit Wertpapiere: Ertragbringendes Vermögensgut; auf organisiertem Markt gehandelt (Börse). Aktie: Wertpapier mit unsicherem Ertrag

4 Häufigkeit Häufigkeit Häufigkeit Portfolio-Selektion 2 Annahmen Beliebige Teilbarkeit Planungszeit eine Periode Lernziel Diversifikation mindert das Risiko eines Portefeuilles Ziel: Maximierung des Vermögensendwertes Risikoscheu (=Risikoaversion) Präferenzen durch Parameter Ertrag und Risiko abbildbar Ertrag: Erwartungswert des Endvermögens oder Erwartungswert der Rendite: V 0 [1 + E (r)] = E (V 1 ) Rendite im folgenden: r = BK 1 Bk 0 +D 1 BK 0 Risiko: Gemessen durch Varianz und Standardabweichung der Rendite. 550 Aktie Aktie Aktie Rendite Rendite Wieviel Ertrag und Risiko darf es sein? Rendite

5 3 Statistische Grundlagen Zufallsvariable: Funktion, die bei bestimmten Umweltzuständen j mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten p j bestimmte Werte annimmt. Unsicherheit wird durch die Unsicherheit darüber, welcher Umweltzustand eintreten wird, vollständig abgebildet Erwartungswert: Im Durchschnitt erwartete Realisation der Zufallsvariablen: E (er i )=µ i = P n j=1 p jr i,j. Varianz: Im Durchschnitt erwartete quadrierte Abweichung der möglichen Werte von ihrem Erwartungswert Var(er i )=σ 2 i = P n j=1 p j (r i,j µ i ) 2 Var(x i er i )=x 2 i σ 2 i,x i = const. Standardabweichung: σ i = p σ 2 i = p Var(er i )

6 Historische Renditen: Aktien schlagen Anleihen,......aber das Risiko ist deutlich höher! Quelle: Dimson, E. P, Marsh, M. Staunton (2002): Long-Run Global Capital Market Returns and Risk Premia, Unveröffentlichtes Manuskript, London Business School.

7 Aktien schlagen langfristig alle anderen Anlagen? Angenommen, 1 US-Dollar wurde 1926 in 4 Wertpapier-Klassen investiert. Die Graphik zeigt, wie sich dieser Anlagebetrag bis 1991 entwickelte hätte. (Achtung: Logarithmische Skalierung) Quelle: Jagannathan/McGrattan (1995)

8 4 Erwartungswert der Renditen eines Portefeuilles Umweltzustan d Aktie er i Portfolio er P x 1 =0, 5 x 1 =0, 67 x 1 =0, 75 j p j er 1 er 2 x 2 =0, 5 x 2 =0, 33 x 2 =0, ,25-6% 0% -3% -4% -4,5% 2 0,25 +2% -10% -4% -2% -1% 3 0,25 +10% +14% +12% % +11% 4 0,25 +14% +20% +17% +16% +15,5% µ 5% 6% 5,5% 5,33% 5,25% Table 1: Aktien- und Portfoliorenditen Erwartungswerte der Renditen: E (er 1 )=µ 1 =5%; E (er 2 )=µ 2 =6% Rendite des Portfolios in jedem Umweltzustand: r Pj = x 1 r 1j + x 2 r 2j Erwartungswert der Rendite eines Portfolios: Wegen E (er P )= P n j=1 p jr P,j gilt: Erwartungswert der Rendite eines Portefeuilles: E (er P )=µ P = x 1 µ 1 + x 2 µ 2 Mit den Portfolioanteilen gewichteter Durchschnitt der erwarteten Renditen der einzelnen Aktien Also: Der Ertrag eines Portfolios ist der Durchschnittsertrag der Aktien im Portfolio. Verallgemeinerung m Wertpapiere: E (er P )= mx x i µ i ; i=1 mx x i =1 i=1

9 5 Varianz der Renditen eines Portfolios: Einfaches Beispiel Vermögensgut 1: Haus im Wert von Euro Vermögensgut 2: Feuerversicherungspolice 2 Umweltzustände: Zustand 1: Haus brennt nieder, Wert Null, Feuerversicherung zahlt Euro. Wahrscheinlichkeit p 1 =10% Zustand 2: Haus brennt nicht und behält seinen Wert. Versicherung zahlt nicht. Auszahlungen: Risikoanalyse Umweltzustand Wahrscheinlichkeit Versicherung Haus Insgesamt 1 0, , Table 2: Auszahlungen Beispiel Vermögensgut Haus Versicherung Insgesamt Erwartete Auszahlung s s s Risiko = 0, 1( ) 2 0, 1( ) 2 0, 1( ) 2 +0, 9( ) 2 = +0, 9( ) 2 = +0, 9( ) 2 = = =0 Table 3: Auszahlungen Beispiel Das Risiko der Renditen ist nicht additiv! Völlig gegenläufige Entwicklung der Renditen führt zu einer perfekten Versicherung (null Risiko)

10 6 Varianz der Renditen eines Portfolios:Kovarianz und Korrelationskoeffizient Tendenzieller Gleichlauf der Renditen: r 1 >µ 1 r 2 >µ 2 : Tendenzieller Gleichlauf (r 1 µ 1 )(r 2 µ 2 ) im Durchschnitt positiv Kovarianz Cov (er 1, er 2 )=σ 12 = P n j=1 p j (r 1,j µ 1 )(r 2,j µ 2 ) ist positiv Tendenzielle Gegenläufigkeit: r 1 >µ 1 r 2 <µ 2 : Tendenzielle Gegenläugigkeit der Renditen (r 1 µ 1 )(r 2 µ 2 ) im Durchschnitt negativ Kovarianz Cov (er 1, er 2 )=σ 12 = P n j=1 p j (r 1,j µ 1 )(r 2,j µ 2 ) ist negativ

11 Kovarianz zweier Zufallsvariablen: Erwartungswert des Produkts der Abweichungen beider Zufallsvariablen von ihrem jeweiligen Erwartungswert. Vorzeichen der Kovarianz: Zufallsvariablen tendenziell gleichläufig: Cov > 0 Zufallsvariablen tendenziell gegenläufig: Cov < 0. Betrag der Kovarianz: Stärke des Zusammenhangs und Werte, die die Zufallsvariablen annehmen können (Dimension) Größtmöglichen Gleichlauf hat eine Variable mit sich selbst: Cov (er 1, er 1 )=σ 11 = nx p j (r 1,j µ 1 )(r 1,j µ 1 )=Var(er 1 ) j=1 Normierung der Kovarianz: Cov (er 1, er 2 ) p Var(er1 ) p Var(er 2 ) = σ 12 σ 1 σ 2 = ρ 1,2...ist der Korrelationskoeffizient zwischen den beiden Variablen. Der Korrelationskoeffizient hat keine Dimension Generell: 1 ρ 1 ρ = 1 :perfekte gegenläufige Bewegung (vollständige negative Korrelation) 1 <ρ<0:gegenläufige Bewegung ρ =0:Unkorreliertheit (Unabhängigkeit) 0 <ρ<1: gleichläufige Bewegung ρ =1: perfekte gleichläufige Bewegung (vollständige positive Korrelation).

12 7 Varianz der Renditen eines Portfolios: Anwendung auf ein Portfolio mit zwei Aktien Varianz einer Summe Varianz eines Portfolios: Var(er 1 + er 2 )=Var(er 1 )+Var(er 2 )+2Cov (er 1, er 2 ) Var(x 1 er 1 + x 2 er 2 )=x 2 1Var(er 1 )+x 2 2Var(er 2 )+2x 1 x 2 Cov (er 1, er 2 ), denn Var(x i er i )=x 2 i σ 2 i,x i und Cov (x 1 er 1,xf 2 r 2 )=x 1 x 2 Cov (er 1, er 2 ). Alternativ: Portfoliorisiko hängt ab von: Var(x 1 er 1 + x 2 er 2 )=x 2 1σ 2 1+x 2 2σ 2 2+2x 1 x 2 σ 1 σ 2 ρ 1,2 der Varianz der Renditen der einzelnen Wertpapiere im Portfolio der Kovarianz bzw. der Korrelation zwischen den Renditen Wegen der Abhängigkeit von der Kovarianz kann der Beitrag einer Aktie zum Riskiko des Portfolios nicht isoliert erfaßt werden. Bei m Wertpapieren: Var(er P )= mx i=1 mx x i x k σ i,k = k=1 mx x 2 i σ 2 i + i=1 mx i=1 mx x i x k σ i,k k=1 k6=i

13 Umweltzustan d Aktie er i Portfolio er P x 1 =0, 5 x 1 =0, 67 x 1 =0, 75 j p j er 1 er 2 x 2 =0, 5 x 2 =0, 33 x 2 =0, ,25-6% 0% -3% -4% -4,5% 2 0,25 +2% -10% -4% -2% -1% 3 0,25 +10% +14% +12% % +11% 4 0,25 +14% +20% +17% +16% +15,5% σ ,25 72,67 68,06 σ 7,68 11,75 9,18 8,52 8,25 DR 9,72 9,04 8,70 Table 4: Aktien- und Portfoliorenditen Durchschnittsrisiko: DR 2 =(x 1 σ 1 +x 2 σ 2 ) 2 = x 2 1σ 2 1+x 2 2σ 2 2+2x 1 x 2 σ 1 σ 2 1 Portfoliorisiko: Var(x 1 er 1 + x 2 er 2 )=x 2 1σ 2 1+x 2 2σ 2 2+2x 1 x 2 σ 1 σ 2 ρ 1,2 Nur für den Fall ρ 1,2 =1ist die Varianz (Standardabweichung) der Portfoliorendite gleich dem Durchschnittsrisiko. In allen anderen Fällen ist die Varianz der Portfoliorendite geringer Diversifizierungseffekt Diversifikation mindert das Risiko eines Portefeuilles Für den Fall vollständiger negativer Korrelation gilt: Var(x 1 er 1 + x 2 er 2 )=x 2 1σ 2 1+x 2 2σ 2 2 2x 1 x 2 σ 1 σ 2 =(x 1 σ 1 x 2 σ 2 ) 2 Anteile x i können so gewählt werden, dass x 1 x 2 = σ 2 σ 1. Dann ergibt sich Var(x 1 er 1 + x 2 er 2 )=0. Aus zwei riskanten Wertpapieren kann ein risikoloses Portfolio zusammengestellt werden.

14 Portfolio Standardabweichung Portfolio-Selektion 8 Naive Diversifikation Es werden alle Wertpapiere mit gleichen Anteilen ins Portfolio aufgenommen x i =1/m Var(er P ) = mx x 2 i σ 2 i + i=1 = mσ2 m 2 mx i=1 mx x i x k σ i,k = k=1 k6=i + m (m 1) σ i,k m 2 mp σ 2 i i=1 m 2 + mp mp σ i,k i=1 k=1 k6=i m 2 = σ2 m + (m 1) σ i,k m Was passiert, wenn die Zahl der Wertpapiere groß wird (m )? lim σ 2 P = σi,k Wenn die Zahl der Wertpapiere groß wird, hängt das Portfoliorisiko nur noch von der durchschnittlichen Kovarianz der Wertpapiere (σ i,k ) ab! Zahl der Wertpapiere Naive Diversifizierung reduziert das Portfolio-Risiko Diversifikation mindert das Risiko eines Portefeuilles

15 Erwartete Portfoliorendite Portfolio-Selektion 9 Systematische Diversifikation mit 2 Aktien 2 Aktien mit folgenden Ertrags-und Risikomaßen: Ertrag und Risiko eines Portfolios aus den beiden Aktien? Die Anteile x i werden variiert Aktie A B E (er i ) 10% 20% σ i 17% 21% ρ A,B =0 Punkt A: Risiko-/Ertragskombination wenn x A =1und x B =0. Punkt B: Risiko-/Ertragskombination wenn x A =0und x B =1 Linie: Risiko-/Ertragskombination zwischen den extremen Aktiengewichten Korrelationskoeffizient A C: Portfolio min. Varianz B Standardabweichung Portfolio Portfolios aus 2 Aktien mit Diversifizierungseffekt Diversifikationseffekt wenn Korrelationskoeffizient = 0: Ausgehend von x A =0 und x B =1(Punkt B) : Portfoliorisiko sinkt und gleichzeitig steigt erwarteter Ertrag. (Bis Punkt C). Standardabweichung der Portfoliorendite 6= Durchschnittsrisiko. Effiziente Portfolios zwischen C und A.

16 Erwartete Portfoliorendite Portfolio-Selektion 2 Aktien mit folgenden Ertrags-und Risikomaßen: Ertrag und Risiko eines Portfolios aus den beiden Aktien? Die Anteile x i werden variiert Aktie A B E (er i ) 10% 20% σ i 17% 21% ρ A,B =1 Punkt A: Risiko-/Ertragskombination wenn x A =1und x B =0. Punkt B: Risiko-/Ertragskombination wenn x A =0und x B =1 Linie: Risiko-/Ertragskombination zwischen den extremen Aktiengewichten Korrelationskoeffizient A B=C: Portfolio min. Varianz Standardabweichung Portfolio Portfolio ohne Diversifizierungseffekt Diversifikationseffekt wenn Korrelationskoeffizient = 1: Ausgehend von x A =0 und x B =1(Punkt B) : Portfoliorisiko steigt und gleichzeitig steigt erwarteter Ertrag. (Bis Punkt C). Standardabweichung der Portfoliorendite = Durchschnittsrisiko Effiziente Portfolios zwischen B und A.

17 Erwartete Portfoliorendite Portfolio-Selektion 2 Aktien mit folgenden Ertrags-und Risikomaßen: Ertrag und Risiko eines Portfolios aus den beiden Aktien? Die Anteile x i werden variiert Aktie A B E (er i ) 10% 20% σ i 17% 21% ρ A,B = 1 Punkt A: Risiko-/Ertragskombination wenn x A =1und x B =0. Punkt B: Risiko-/Ertragskombination wenn x A =0und x B =1 Linie: Risiko-/Ertragskombination zwischen den extremen Aktiengewichten Korrelationskoeffizient A C: Portfolio min. Varianz B Standardabweichung Portfolio Portfolio 2 Aktien Diversifikationseffekt maximal Diversifikationseffekt wenn Korrelationskoeffizient = -1: Ausgehend von x A =0 und x B =1(Punkt B) : Portfoliorisiko sinkt und gleichzeitig steigt erwarteter Ertrag. (Bis Punkt C). Standardabweichung der Portfoliorendite 6= Durchschnittsrisiko Effiziente Portfolios zwischen C und A.

18 Erwartete Portfoliorendite Portfolio-Selektion Lernziel Effiziente Aktienportefeuilles durch Ausnutzung der Risikoreduktion durch Diversifikation 10 Effiziente Portfolios 0.22 Effiziente Portfolios 0.2 A C: Min. Varianz B Standardabweichung Portfolio Jeder Anleger wählt auf der Basis seiner Präferenzen (Indifferenzkurven) das für ihn optimale Portfolio auf der efficient frontier (Linie CA). Anleger mit unterschiedlichen Präferenzen halten unterschiedliche Portfolios riskanter Wertpapiere. Man kann zeigen, dass auch für m Aktien die efficient frontier konkav ist.

19 E(r) Portfolio-Selektion 3 Ertrag und Risiko bei Portfolios aus 5 Aktien σ(r) Diversifikation mindert das Risiko eines Portefeuilles

20 11 Portfolioselektion mit risikoloser Geldanlage und Kreditaufnahme Lernziel Wenn der Kapitalmarkt vollständig und vollkommen ist, und wenn es eine risikolose Anlagealternative gibt, dann ist die optimale Zusammensetzung des Aktienportefeuilles unabhängig von der Risikoneigung des Anlegers (Tobin-Separation) Geld kann zum Zinssatz i f sicher angelegt oder ein Kredit kann zum Zinssatz i f aufgenommen werden. Ein Anteil a des Vermögens werde in riskante Wertpapiere investiert, der Anteil (1 a) indie risikolose Anlage (a >1: Kreditaufnahme). Erwartete Rendite: Risiko: Kombination der Gleichungen (1) und (2) liefert: µ a = aµ P +(1 a) i f = i f + a (µ P i f ) (1) σ 2 a = a 2 σ 2 P +(1 a) 2 σ 2 f +2a (1 a) σ P,f = a 2 σ 2 P (2) µ a = i f + σ a (µ P i f ) σ P Rendite (µ a ) ist eine lineare Funktion des Risikos (σ a ) Rendite setzt sich zusammen aus Basisverzinsung i f und einem Risikozuschlag, der das Produkt aus Menge des Risikos σ a und der Risikoprämie ( µ P i f) σ P ist.

21 Erwartete Portfoliorendite Portfolio-Selektion Mit welchem riskanten Portfolio sollte man die risikolose Anlage kombinieren? 0.22 Effiziente Portfolios D a>1 A a<1 E 0.1 B 0.08 if Standardabweichung Portfolio Es gibt jetzt ein eindeutiges optimales Portfolio (Punkt D). Jeder Anleger wird unabhängig von seinen Präferenzen das gleiche Portfolio riskanter Wertpapiere wählen. Risikoeinstellung: Hat nur noch Auswirkungen darauf, welcher Teil des Vermögens in das riskante Portfolio investiert (a) wird und welcher Teil risikolos angelegt wird (1 a). Das ist die Tobin-Separation: 1. Zusammenstellung des optimalen Portfolios riskanter Wertpapiere unabhängig von der Risikoeinstellung des Anlegers. 2. Auswahl des optimalen Portfolios, bestehend aus risikoloser Geldanlage (oder -aufnahme) und riskanten Portfolio gemäß dem Grad der Risikoeinstellung.

22 12 Zusammenfassung Risikoscheue Anleger halten bezüglich Ertrag und Risiko effiziente Portefeuilles Das Risiko wird als Standardabweichung, der Ertrag als Erwartungswert der Rendite erfaßt Die efficient frontier ist für risikolose Investoren konkav und wird gemäß der anlegerspezifischen Erwartungen bezüglich Risiko und Ertrag ermittelt Besteht eine risikolose Geldanlage und -aufnahmemöglichkeit, wird die efficient frontier zu einer Geraden, und es gibt nur ein optimales riskantes Aktienportfolio Die Anleger wählen ihre optimalen Mischportfolios gemäß ihrem Grad der Risikoscheu.