Grundlagen der Technischen Informatik. 7. Übung

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1 Grundlagen der Technischen Informatik 7. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit

2 7. Übungsblatt Themen Aufgabe : Aufgabe : Aufgabe : Aufgabe : KMF, Nelson/Petrick-Verfahren Quine-McCluskey-Verfahren NAND-Technik Relation zur Vorweihnachtszeit

3 Gegeben sei die folgende Funktionstabelle: Dezimal Oktal y 0 y Dezimal Oktal y 0 y

4 a) Ermitteln Sie eine Konjunktive Minimalform (KMF) für die Funktion y 0 mit Hilfe eines Symmetriediagramms. b) Ermitteln Sie alle Primimplikanten für die Funktion y 0 mit Hilfe des Nelson-Verfahrens. Verwenden Sie dabei die Primimplikate aus Teilaufgabe a). c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens.

5 Unterschied DNF / KNF bzw. Primimplikanten / Primimplikate: DNF = Verodern aller -Stellen Einsblocküberdeckung = DNF + DMF Terme der DMF sind Konjunktionen und werden als Primimplikanten bezeichnet KNF = Verunden aller 0-Stellen Nullblocküberdeckung = KNF + KMF Terme der KMF sind Disjunktionen und werden als Primimplikate bezeichnet

6 a) Ermitteln Sie eine Konjunktive Minimalform (KMF) für die Funktion y 0 mit Hilfe eines Symmetriediagramms. y y KNF(y 0 ) = ( )( )( )

7 a) Ermitteln Sie eine Konjunktive Minimalform (KMF) für die Funktion y 0 mit Hilfe eines Symmetriediagramms ( ) ) ( KMF(y 0 ) = ( )( )

8 b) Ermitteln Sie alle Primimplikanten für die Funktion y 0 mit Hilfe des Nelson-Verfahrens. Verwenden Sie dabei die Primimplikate aus Teilaufgabe a). Nelson-Verfahren: Bestimmung aller Primimplikanten bzw. Primimplikate Petrick-Verfahren: Bestimmung der kostenminimalen Auswahl von Primimplikanten zur Einsstellenüberdeckung bzw. Primimplikaten zur Nullstellenüberdeckung

9 b) Ermitteln Sie alle Primimplikanten für die Funktion y 0 mit Hilfe des Nelson-Verfahrens. Verwenden Sie dabei die Primimplikate aus Teilaufgabe a). Vorgehensweise Nelson-Verfahren:. alle Freistellen ( Don t-cares ) werden zu Einsstellen verfügt: Einsstellenergänzung f E. Bildung einer Nullblocküberdeckung für die f E. Schrittweises Ausdistribuieren des schaltalgebraischen Ausdrucks. Streichen aller im. Schritt gefundenen Terme, die nur Freistellen überdecken

10 b) Ermitteln Sie alle Primimplikanten für die Funktion y 0 mit Hilfe des Nelson-Verfahrens. Verwenden Sie dabei die Primimplikate aus Teilaufgabe a).. alle Freistellen ( Don t-cares ) werden zu Einsstellen verfügt: Einsstellenergänzung f E Keine Don t-cares vorhanden

11 b) Ermitteln Sie alle Primimplikanten für die Funktion y 0 mit Hilfe des Nelson-Verfahrens. Verwenden Sie dabei die Primimplikate aus Teilaufgabe a).. Bildung einer Nullblocküberdeckung für die f E Bereits in Teilaufgabe a) erfolgt f E = ( )( )

12 b) Ermitteln Sie alle Primimplikanten für die Funktion y 0 mit Hilfe des Nelson-Verfahrens. Verwenden Sie dabei die Primimplikate aus Teilaufgabe a).. Schrittweises Ausdistribuieren des Ausdrucks 0 ) )( ( y

13 b) Ermitteln Sie alle Primimplikanten für die Funktion y 0 mit Hilfe des Nelson-Verfahrens. Verwenden Sie dabei die Primimplikate aus Teilaufgabe a).. Streichen aller Terme, die nur Freistellen überdecken Kein Term, der nur Freistellen überdeckt

14 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. Vorgehensweise () Petrick-Verfahren:. Aufstellen einer Überdeckungstabelle. Zeilen == Primterme. Spalten == Einsstellen Kurzform Kosten. Abarbeitung der Überdeckungstabelle mit Hilfe bestimmter Regeln (siehe nächste Folien): a) Kernermittlung b) Spaltendominanz c) Zeilendominanz d) Schritt a-c wiederholen

15 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. Kernermittlung:. Wenn eine Einsstelle (Nullstelle) nur durch einen einzigen Primterm abgedeckt wird, nennt man den Primimplikanten (Primimplikaten) Kernimplikant (Kernimplikat). Solche Terme müssen in die Überdeckungslösung aufgenommen werden. Spalten von Einsstellen (Nullstellen), die von Kerntermen abgedeckt werden können gestrichen werden, und müssen nicht mehr berücksichtigt werden

16 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. Dominanzregeln:. Spaltendominanz. Zeilendominanz Generell: Gesucht werden immer Zweierpaare. Kleinere Spalte/Zeile muss vollständig in größerer Spalte/Zeile enthalten sein. Dann spricht man davon, dass die kleinere Spalte/Zeile von der größeren dominiert wird. Bei solchen Paaren können wir dann die Regeln für Spalten-/Zeilendominanz anwenden.

17 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. Spaltendominanz: Dominierende Spalten (hier: j ) können gestrichen werden

18 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. Zeilendominanz:. Wenn eine Zeile z nur Spalten überdeckt, die auch von Zeile z überdeckt werden und für die Kosten c c gilt, dann kann die Zeile z gestrichen werden Dominierte Zeilen (hier: z ) können gestrichen werden

19 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. y y

20 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens.. alle Freistellen ( Don t-cares ) werden zu Einsstellen verfügt: Einsstellenergänzung f E Keine Don t-cares vorhanden

21 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. y y KNF(y ) = ( )( )( ) ( )( )

22 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. y ) ( ) )( ( ) )( ( ) )( )( ( ) )( )( )( ( ) )( ( ) )( )( (

23 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. k Primimplikant p i c i A B C D 5 E 6 F Kosten meist #Variablen oder #negierter_variablen

24 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. k Primimplikant p i c i X X X X A X X X X B X X X X C X X D 5 X X X X E 6 X X X X F Einsstellen, 5, 9 & werden nur von einem Primimplikant überdeckt

25 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. k Primimplikant p i c i X X X X A X X X X B X X X X C X X D 5 X X X X E 6 X X X X F A, C, D & E sind Kernimplikanten können nicht gestrichen werden

26 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. k Primimplikant p i c i X X X X A X X X X B X X X C X X D 5 X X X X E 6 X X X X F Spalte dominiert Spalte Spalte wird gestrichen

27 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. k Primimplikant p i c i X X X X A X X X X B X X X C X X D 5 X X X E 6 X X X F Spalte 7 dominiert Spalte 5 Spalte 7 wird gestrichen

28 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. k Primimplikant p i c i X X X X A X X X X B X X X C X D 5 X X X E 6 X X F Spalte 8 dominiert Spalte 9 Spalte 8 wird gestrichen

29 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. k Primimplikant p i c i X X X A X X X X B X X C X D 5 X X X E 6 X X F Spalte 0 dominiert Spalte 9 Spalte 0 wird gestrichen

30 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. k Primimplikant p i c i X X A X X X B X C X D 5 X X E 6 X X F Spalte dominiert Spalte 9 Spalte wird gestrichen

31 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. k Primimplikant p i c i X A X X B X C X D 5 X E 6 X F Zeile dominiert Zeile 6 und c c 6 Zeile 6 kann gestrichen werden

32 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. k Primimplikant p i c i X A X X B X C X D 5 X E Zeile dominiert Zeile und c c Zeile ist aber Kernimplikant Zeile kann nicht gestrichen werden

33 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. k Primimplikant p i c i X A X X B X C X D 5 X E Keine weiteren Vereinfachungen möglich DMF(y ) =

34 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. Vorgehensweise () Petrick-Verfahren:. Aufstellen einer Überdeckungstabelle. Zeilen == Primterme. Spalten == Einsstellen Primterm Kosten. Aufstellen des Petrick-Ausdrucks a) Aufstellen des Spaltenausdrucks b) Verunden der Spaltenausdrücke 5. Vereinfachen des Petrick-Ausdrucks

35 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. k Primimplikant p i c i X X X X A X X X X B X X X X C X X D 5 X X X X E 6 X X X X F Spaltenausdruck: Verordern der die Spalten überdeckenden Primimplikanten (Primimplikaten)

36 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. k Primimplikant p i c i X X X X A X X X X B X X X X C X X D 5 X X X X E 6 X X X X F Beispiele: Spalte = E; Spalte = E + F; Spalte = A + B + E + F

37 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. Aufstellen der Spaltenausdrücke: Spalte : E Spalte : E + F Spalte 5: D Spalte 7: D + F Spalte 8: A + C Spalte 9: A Spalte 0: A + B + C + E Spalte : A + B + E + F Spalte : C Spalte : B + C Spalte 5: B + F Verunden der Spaltenausdrücke: PA = E(E+F)D(D+F)(A+C)A(A+B+C+E)(A+B+E+F)C(B+C)(B+F)

38 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. Verunden der Spaltenausdrücke: PA = E(E+F)D(D+F)(A+C)A(A+B+C+E)(A+B+E+F)C(B+C)(B+F) = = ACDE(B+F) = ABCDE + ACDEF DMF (y )= DMF (y )= c(dmf ) = 6 c(dmf ) = 6 Lösungen mit den gleichen Kosten

39 c) Bestimmen Sie eine Disjunktive Minimalform (DMF) für die Funktion y mit Hilfe des Nelson/Petrick-Verfahrens. Vorgehensweise () meist einfacher und schneller als Vorgehensweise (), jedoch kann Vorgehensweise () in einer sogenannten zyklischen Resttabelle enden, bei welcher keine der Regeln mehr anwendbar ist, aber noch keine Überdeckung gefunden wurde. Vorgehensweise () hat den weiteren Vorteil, dass alle Überdeckungen gefunden werden, wobei bei Vorgehensweise () meist nur Lösung ersichtlich ist.

40 7. Übungsblatt Aufgabe Optimieren Sie mit Hilfe des Quine-McCluskey-Verfahrens die Schaltfunktion die den He-Code (D C B A) für den Leuchtbalken a einer Siebensegmentanzeige umkodiert. He D C B A a b c d e f g He D C B A a b c d e f g A B C D E F 0 0 0

41 7. Übungsblatt Aufgabe Optimieren Sie mit Hilfe des Quine-McCluskey-Verfahrens die Schaltfunktion die den He-Code (D C B A) für den Leuchtbalken a einer Siebensegmentanzeige umkodiert. Vorgehensweise Quine-McCluskey-Verfahren:. Erzeuge die Disjunktive Normalform. Fasse alle Minterme der DNF der Länge i zu Klassen Q i,j zusammen, wobei j für die Anzahl der negierten Variablen steht. Fasse Minterme benachbarter Klassen Q i,j und Q i,j- gemäß der Regel y y zusammen. Markiere zusammengefasste Terme als abgearbeitet 5. Wiederhole - bis keine Zusammenfassung mehr möglich 6. Alle unmarkierten Terme ergeben die Primimplikanten

42 7. Übungsblatt Aufgabe. Erzeuge die Disjunktive Normalform He D C B A a He D C B A a A 0 0 B 0 0 C D 0 0 E 0 F DNF(a) ABCD ABCD ABCD ABCD ABC D ABC D ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD

43 7. Übungsblatt Aufgabe. Fasse alle Minterme der Länge i zu Klassen Q i,j zusammen, wobei j für die Anzahl der negierten Variablen steht DNF(a) ABCD ABCD ABCD ABCD ABC D ABC D ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD Q, { ABCD} Q, { ABCD, ABCD} Q, { ABCD, ABCD, ABC D, ABCD, ABCD} Q Q,,0 { ABC D, ABCD} { ABCD}

44 7. Übungsblatt Aufgabe. Fasse Minterme benachbarter Klassen Q i,j und Q i,j- gemäß der Regel y y zusammen Q Q Q Q,,,,0 { ACD, ABC} { BCD, ABD, ABC, BCD, ACD} { ABD, AC D, BC D, ABC, ABD} { ABC, BCD}

45 7. Übungsblatt Aufgabe. Markiere zusammengefasste Terme als abgearbeitet Q, { ABCD} Q, { ABCD, ABCD} Q, { ABCD, ABCD, ABC D, ABCD, ABCD} Q Q,,0 { ABC D, ABCD} { ABCD}

46 7. Übungsblatt Aufgabe. Fasse Minterme benachbarter Klassen Q i,j und Q i,j- gemäß der Regel y y zusammen Q Q Q,,,0 { AC} { AB, BD} { BC}

47 7. Übungsblatt Aufgabe. Markiere zusammengefasste Terme als abgearbeitet Q, { ACD, ABC} Q, { BCD, ABD, ABC, BCD, ACD} Q, { ABD, AC D, BC D, ABC, ABD} Q,0 { ABC, BCD}

48 7. Übungsblatt Aufgabe 6. Alle unmarkierten Terme ergeben die Primimplikanten Q Q Q Q Q,,,,,0 { BCD} { AC D} { AC} { AB, BD} { BC}

49 7. Übungsblatt Aufgabe Per Überdeckungstabelle muss noch die minimale Lösung ermittelt werden: k Primimplikant A E F BCD X X AC D X X AC X X X X AB X X X X 5 BD X X X X 6 BC X X X X Die Primimplikanten,,,,6 sind Kernimplikanten

50 7. Übungsblatt Aufgabe Per Überdeckungstabelle muss noch die minimale Lösung ermittelt werden: k Primimplikant A E F BCD X X AC D X X AC X X X X AB X X X X 5 BD X X X X 6 BC X X X X Die Primimplikanten,,,,6 überdecken zusammen alle Einsstellen

51 7. Übungsblatt Aufgabe Per Überdeckungstabelle muss noch die minimale Lösung ermittelt werden: k Primimplikant A E F BCD X X AC D X X AC X X X X AB X X X X 5 BD X X X X 6 BC X X X X f ( a) BCD AC D AC BD BC

52 7. Übungsblatt Aufgabe Mit Hilfe von NAND-Gattern, kann jede beliebige Boolesche Funktion realisiert werden. (Gleiches gilt für die Verwendung von NOR-Gattern) Realisieren Sie nun die Boolesche Funktion f DCA CA CB DB unter ausschließlicher Verwendung von NAND-Gattern, die Eingänge besitzen. Wie viele NAND-Gatter sind erforderlich?

53 7. Übungsblatt Aufgabe Tipps:. Erster Schritt bei diesen Aufgabentypen ist die doppelte Negation zu notieren und diese gemäß demorgan aufzulösen um das äußerste NAND-Gatter zu erzeugen.. Negation als NAND-Gatter mit Eingängen darstellen: A B A NAND B NOT(A) NAND == NOT 0 0 X 0 X X A A

54 7. Übungsblatt Aufgabe f DCA CA CB DB DCA CA CB DB DCA CA CBDB ( D ) ( CA) ( C ) ( A) CB ( D ) B ( D ) ( CA) ( C ) ( A) CB ( D ) B Man benötigt insgesamt 5 NAND-Gatter mit zwei Eingängen.

55 7. Übungsblatt Aufgabe Bei einer Implementierung von Logikfunktionen in CMOS-Technologie stehen dem Designer sehr oft nur NAND-Gatterzellen mit fester Anzahl der Eingänge zur Verfügung (meistens nur, siehe Abbildung nächste Folie). Die Gründe dafür sind vor allem eine sehr starke Verschlechterung der Gatterlaufzeit in Abhängigkeit von der Anzahl (sog. fan-in) und der aktuellen Belegung der Eingänge, die im schlimmsten Fall sogar quadratisch mit der Anzahl der Eingänge ansteigt. Zusätzlich erhöht sich auch der Energieverbrauch bei einer größeren Anzahl der Eingänge Beträchtlich (mehr Transistoren, in CMOS immer *Anzahl der Eingänge, verbrauchen mehr Energie).

56 7. Übungsblatt Aufgabe

57 7. Übungsblatt Aufgabe In der Vorweihnachtszeit stellt sich die Frage, was besser ist: ewiges Glück oder ein Lebkuchenherz? Man sollte meinen, dass nichts besser ist als ewiges Glück. Andererseits ist ein Lebkuchenherz sicherlich besser als nichts. Besser ist bekanntlich eine transitive Relation. Was folgt daraus?

58 7. Übungsblatt Aufgabe nichts ist besser als ewiges Glück, Lebkuchenherz ist besser als nichts Transitivität: aus α y und y α z folgt α z = Lebkuchenherz y = nichts z = ewiges Glück Lebkuchenherz ist besser als ewiges Glück

59 7. Übungsblatt Danke für die Aufmerksamkeit