Algorithmen und Datenstrukturen 1 Kapitel 5

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1 Algorithmen und Datenstrukturen 1 Kapitel 5 Technische Fakultät robert@techfak.uni-bielefeld.de Vorlesung, U. Bielefeld, Winter 2005/2006

2 Kapitel 5: Effizienz von Algorithmen 5.1 Vorüberlegungen Nicht für jedes mathematische Problem gibt es einen Algorithmus. Wenn es einen gibt, gibt es in der Regel beliebig viele. Alle (korrekten) Algorithmen für das Problem sind mathematisch äquivalent. Aus der Sicht der Informatik unterscheiden sie sich erheblich.

3 Algorithmen sind immaterielle Produkte. Wenn sie arbeiten, brauchen sie Rechenzeit und belegen Speicherplatz im Rechner. Effizienzanalyse betrachtet den Zeit- und Platzbedarf von Algorithmen und liefert analytische Qualitätsurteile (im Unterschied zu Messungen).

4 Was sind geeignete Maßeinheiten? für Speicherplatz: Bits, Bytes, MB, Datenblöcke fester Größe für Rechenzeit: Befehlszyklen, Sekunden, Tage,..., Rechenschritte fester Dauer Das Maß sollte auf den Algorithmus bezogen sein, nicht einen bestimmten Rechner voraussetzen. Daher: Platz in Datenblöcken Zeit in (abstrakten) Rechenschritten messen

5 Datenblöcke und Rechenschritte sind jeweils vernünftig zu wählen: Länge einer Liste (z.b. beim Sortieren) Größe einer Zahl (z.b. beim Wurzel ziehen oder einer Primzahlzerlegung) Abhängigkeit von Größe der Eingabe: Es ist klar, dass der gleiche Algorithmus kleinere Eingaben schneller verarbeitet als große. Wir setzen n als Größe der Eingabe gemessen in Datenblöcken und berechnen Platz und Zeit in Abhängigkeit von n.

6 5.2 Average Case und Worst Case Abhängigkeit von den genauen Daten Auch bei gegebener Eingabe-Größe kann ein Algorithmus unterschiedlich lange rechnen oder Platz brauchen. Worst case Analyse: längstmögliche Rechenzeit für Eingabe der Größe n Average case Analyse: durchschnittliche Rechenzeit über alle Eingaben der Größe n

7 Worst case garantiert, dass der Bedarf nie höher ist als angegeben. Average case nimmt an, dass alle Eingaben gegebener Größe gleich wahrscheinlich sind, und kann daher täuschen.

8 Zusammenfassung und Formalisierung Gegeben Problem P, Algorithmus A, der P löst. Sei x die Eingabe für A, und x die Größe der Eingabe. Sei time A (x) Anzahl der Rechenschritte, space A (x) Anzahl der Datenblöcke die A zur Berechnung x benötigt. Effizienzaussagen hängen statt von x von n = x ab.

9 Worst-case Zeitkomplexität von A wc-time A (n) = max x: x =n time A(x) Average-case Zeitkomplexität von A av-time A (n) = 1 {x : x = n} x: x =n time A (x)

10 Analog dazu die Platz- oder Speicherkomplexität: Worst-case Platzkomplexität von A wc-space A (n) = max x: x =n space A(x) Average-case Platzkomplexität von A av-space A (n) = 1 {x : x = n} x: x =n space A (x)

11 Beispiel: Funktion insert insert a[ ] = [a] insert a(x : xs) = if a x then a : x : xs else x : insert axs Wir bestimmen Zeitbedarf für insert a x in Abhängigkeit von n = length x.

12 Nur der Aufruf von insert häng von n ab, die Anzahl der sonstigen Rechenschritte ist konstant. Wir annotieren das Programm insert a[ ] = [a] {c 1 } insert a(x : xs) = if a x then a : x : xs {c 2 } else x : insert axs {c 3 }

13 wc-time insert (n) = c 1 für n = 0 wc-time insert (n) = c 3 + wc-time insert (n 1) da der else-fall hier der worst case ist. Daraus erhalten wir wc-time insert (n) = c 1 + nc 3

14 Für den average case kommt es darauf an, an welcher Position eingefügt wird. Wir nehmen an, alle Positionen sind gleich wahrscheinlich. Für gegebenen Position ist Aufwand exakt berechenbar.

15 Wir bestimmen time(n i) = a wird in Liste der Länge n nach Position i eingefügt, i = 0,..., n i = 0 time(n, 0) = c 1 1 i < n time(n, i) = i c 3 + c 2 time(n, n) = n c 3 + c 1

16 Für den Durchschnitt betrachten wir die n + 1 gleich wahrscheinlichen Fälle av-time insert (n) = = = = 1 ( n 1 time(n, 0) + time(n, i) + time(n, n) ) n ( c1 + n + 1 i=1 n 1 ) (i c 3 + c 2 ) + n c 3 + c 1 i=1 1 ( 2c1 + (n 1) c 2 + n n + 1 c 1 + n 1 n + 1 c 2 + n 2 c 3 n ) i c 3 i=1

17 Betrachtung für große n: lim n wc-time insert(n) n c 3 lim n av-time insert(n) n 2 c 3 Hieran sieht man (besser als an der genauen Laufzeitformel): Aufwand wächst linear mit Größe der Eingabe. c 3 ist der wesentliche konstante Faktor, der die Laufzeit bestimmt.

18 Worst-case für insertion-sort: isort [ ] = [ ] {k 1 } isort (a : x) = insert a (isort x) {k 2 } wc-time isort (0) = k 1 wc-time isort (n + 1) = k 2 + wc-time insert (n) + wc-time isort (n) = n k 2 + k 1 + n k 2 + k 1 + n i=1 wc-time isort (i) n (c 1 + i c 3 ) i=1 n k 2 + k 1 + n c 1 + n(n + 1) c 3 2

19 wc-time isort (n) = n2 2 c 3 + n(c c 3 + k 2 ) + k 1 Also gilt auch hier wc-time isort (n) n2 2 c 3 für n Beachte: c 3 aus insert ist die einzige zeitkritische Konstante.

20 Die genauen Konstanten c 1, c 2,... hängen ab von der konkreten Rechenmaschine, der Programmiersprache, dem Übersetzer. Sie sind aber jeweils konstant und daher durch Proportionalitätsfaktoren verknüpft. Z.B. 1 Funktionsaufruf in Haskell 30 Maschinenbefehle im 1 GHz Takt c Aufruf ˆ= 30 c Maschine ˆ= sec

21 5.3 Asymptotische Effizienz-Analyse Algorithmische Komplexität wird nur bis auf konstante Faktoren bestimmt. Es interessiert (nur), ob wc-time A (n) n n log n n 2 2 n und so weiter Ebenso bei av-time(n), wc-space(n), av-space(n).

22 Dazu werden asymptotische Notationen O(n), Ω(n), Θ(n) eingeführt. Sie beschreiben asymptotische Effizienzklassen. (Sie haben aber nicht per se etwas mit Algorithmen zu tun, sondern sind mathematisch definierte Klassen von Funktionen mit ähnlichem Wachstum für n.) Seien f, g : N R +.

23 O(g) = {f C > 0, n 0 0, n n 0 : f (n) Cg(n)} d.h. f gehört zur Klasse O(g), wenn es ab n 0 durch C g(n) nach oben beschränkt ist. Beispiel: 3n 4 + 5n log 2 n O(n 4 ), denn 3n 4 + 5n log 2 n 3n 4 + 5n 4 + 7n 4 = 15n 4 für n = 1 Wir können C = 15 und n 0 = 1 wählen.

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