Blatt 07.5: Matrizen II: Inverse, Basistransformation

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1 Fakultät für Physik R: Rechemethode für Physiker, WiSe 015/16 Dozet: Ja vo Delft Übuge: Beedikt Bruogolo, Deis Schimmel, Frauke Schwarz, Lukas Weidiger Blatt 07.5: Matrize II: Iverse, Basistrasformatio Ausgabe: Freitag, Abgabe: Freitag, , 13:00 Zetralübug: [](E/M/A) bedeutet: Aufgabe zählt Pukte ud ist eifach/mittelschwer/aspruchsvoll Beispielaufgabe 1: Berechug vo Determiate [] Pukte: [](E) Bereche Sie die Determiate folgeder Matrize durch Etwickel ach eier beliebige Zeile oder Spalte. Hiweis: je mehr Nulle sie ethält, je eifacher die Rechug. ( ) ( ) a a a A =, B = 4 3 1, C = a 0 0 b b b 1 1 a b b 0 Beispielaufgabe : Gauß-Algorithmus ud Matrix-Iversio [4] Pukte: (a)[1](m); (b)[1](m); (c)[1](m); (d)[1](m) (a) Löse Sie folgedes lieares Gleichugsystem mit dem Gauß-Algorithmus. 3x 1 + x x 3 = 1, x 1 x + 4x 3 =, x x x 3 = 0. [Kotrollergebis: der Betrag vo x ist x = 3.] (b) Wie lautet die Lösug des Gleichugssystems we ma die uterste Gleichug herausimmt? (c) Ud we ma die uterste Gleichug durch x x x 3 = 0 ersetzt? (d) Dieses Gleichugssystem ka ma auch i die Form Ax = b brige. Bereche Sie das Iverse A 1 der 3 3 Matrix A mit Hilfe des Gauß-Algorithmus, ud verifiziere Sie mittels x = A 1 b Ihr Ergebis aus (a). Beispielaufgabe 3: Zwei-dimesioale Rotatiosmatrize [4] Pukte: (a)[1](m); (b)[1](e); (c)[1](m); (d)[1](m) Eie Rotatio i zwei Dimesioe ist eie lieare Abbildug, R : R R, die jede Vektor um eie vorgegebee Wikel um de Ursprug dreht, ohe seie Läge zu äder. (a) Fide Sie die -dimesioale Rotatiosmatrix R θ, die eie Drehug mit dem Wikel θ beschreibt, idem Sie wie folgt vorgehe: Mache Sie eie Skizze, die die Wirkug e j e j der Rotatio auf die beide Basisvektore e j (j = 1, ) veraschaulicht (z.b. für θ = π ). Die 6 Bildvektore e j der Basisvektore e j liefer die Spalte vo R θ. R θ 1

2 (b) Gebe Sie die Matrix R θi für die Wikel θ 1 = 0, θ = π/4, θ 3 = π/ ud θ 4 = π a. Bereche Sie die Wirkug der R θi (i = 1,, 3, 4) auf a = (1, 0) T ud b = (0, 1) T ud veraschauliche Sie diese i eier Skizze. (c) Die Verküpfug zweier Drehuge ist wieder eie Drehug. Zeige Sie, dass R θ R φ = R θ+φ. Hiweis: Nutze Sie die Additiostheoreme si θ cos φ cos(θ + φ) = cos θ cos φ si θ si φ, si(θ + φ) = si θ cos φ + cos θ si φ. Amerkug: Ei geometrischer Beweis dieser Theoreme (hier icht verlagt) erfolgt mittels der Skizze durch Betrachtug der drei rechtwiklige Dreiecke mit Diagoale der Seiteläge 1, cos φ ud si φ. cos θ cos φ θ φ cos φ 1 si θ si φ si(θ + φ) π si φ cos θ si φ θ φ θ cos(θ + φ) (d) Zeige Sie, dass die Drehug eies beliebige Vektors r = (x, y) T Läge icht ädert, also dass R θ r de gleiche Betrag hat wie r. um de Wikel θ seie Beispielaufgabe 4: Basistrasformatio ud lieare Abbildug i E [4] Pukte: (a)[0.5](m); (b)[0.5](m); (c)[0.5](e); (d)[0.5](e); (e)[0.5](m); (f)[0.5](m); (g)[0.5](e); (h)[0.5](e) Amerkug zur Notatio: I dieser Aufgabe werde Vektore im Euklidische Raum E durch Hütche gekezeichet (z.b. ˆv j, ˆx, ŷ, ê 1 E ). Die Kompote dieser Vektore bezüglich eier gegebee Basis sid Vektore i R ud trage keie Hütche (z.b. x, y R ). Der Euklidische Vektorraum E habe zwei Base, eie alte, {ˆv j }, ud eie eue, {ˆv i}, mit ˆv 1 = 3 4 ˆv ˆv, ˆv = 1 8 ˆv ˆv. (a) Die Relatio ˆv j = ˆv it i j drückt die alte durch die eue Basis aus. Fide Sie die Trasformatiosmatrix T = (t i j). (b) Fide Sie die Matrix T 1, ud drücke Sie mittels der Rücktrasformatio ˆv j = ˆv i (t 1 ) i j die eue durch die alte Basis aus. (c) Der Vektor ˆx habe Kompoete x = (1, ) T i der alte Basis. Wie laute sei Kompoete x i der eue Basis? [Kotrollergebis: x = ( 1, 4 3 )T.] (d) Der Vektor ŷ habe Kompoete y = ( 3 4, 1 3 )T i der eue Basis. Wie laute seie Kompoete y i der alte Basis? (e) Die lieare Abbildug  sei defiiert durch ˆv 1 ˆv 1 ud ˆv  ˆv. Fide Sie zuächst ihre Matrixdarstellug A i der eue Basis, ud da mittels eier Basistrasformatio ihre Matrixdarstellug A i der alte Basis. [Kotrollergebis: (A) 1 = 3.] 5 (f) ẑ sei der Bildvektor, auf de  de Vektor ˆx abbildet:  : ˆx ẑ. Fide Sie mittels A seie Kompoete z bezüglich der eue Basis, ud mittels A seie Kompoete z bezüglich der alte Basis. Sid Ihre Ergebisse für z ud z kosistet? (g) Wähle Sie u für die alte Basis ˆv 1 = ˆ3e 1 + ê ud ˆv = 1 ê1 + 3 ê, wobei ê 1 = (1, 0) T ud ê = (0, 1) T die Stadardbasisvektore vo E sid. Wie laute ˆv 1, ˆv, ˆx ud ẑ i der Stadardbasis vo E? Â

3 (h) Mache Sie eie Skizze (mit ê 1 ud ê als Eiheitsvektore i die horizotale bzw. vertikale Richtug), die die alte ud eue Basisvektore zeigt, sowie die Vektore ˆx ud ẑ. Sid die i (c) ud (f) diskutierte Koordiate dieser Vektore bezüglich beider Base mit Ihrer Skizze kosistet? Beispielaufgabe 5: Lieare Abbilduge ud Basistrasformatioe i R 3 [6] Pukte: (a)[1](m); (b)[1](e); (c)[1](e); (d)[1](m); (e)[1](m); (f)[1](m) Betrache Sie die folgede drei Basistrasformatioe i R 3, mit Stadardbasis {e 1, e, e 3 }: A : Rotatio um die 3-Achse um de Wikel θ 3 = π, i die rechtshädig positive Richtug. 4 B : Streckug der 1-Achse um de Faktor s 1 = 3; C : Rotatio um die -Achse um de Wikel θ = π, i die rechtshädig positive Richtug. Hiweis: Rechtshädig positiv bedeutet: we die rechte Had die Drehachse umklammert ud der Daume etlag ihrer positive Richtug zeigt, da zeige die adere Figer i die Richtug positiver Drehwikel. (a) Fide Sie die Matrixdarstelluge (bezüglich der Stadardbasis) vo A, B, C. (b) Was ist das Bild y = Bx des Vektors x = (1, 1, 1) T uter der Streckug B? (c) Was ist das Bild z = Dx vo x uter der Verküpfug aller drei Abbilduge, D = C B A? (d) Betrachte Sie u eie eue Basis {v j}, defiiert durch eie Rotatio der Stadardbasis mittels A, d.h. e A j v j. Skizziere Sie die alte ud eue Basisvektore i derselbe Skizze. Fide Sie die Trasformatiosmatrix T, dere Matrixelemete de Bezug zwische der alte ud der rotierte Basis agebe, mit e j = v it i j. (e) I der {v i}-basis lasse sich die Vektore x ud y darstelle als x = v ix i ud y = v iy i. Fide Sie die etsprechede Kompoete x = (x 1, x, x 3 ) T ud y = (y 1, y, y 3 ) T. (f) B sei die Darstellug der Streckug B i der rotierte Basis. Fide Sie B durch etsprechede Trasformatio der Matrix B, ud utze Sie das Ergebis, um das Bild y vo x uter B zu bereche. (Stimmt das Ergebis mit dem aus (e) überei?) Beispielaufgabe 6: Dreifach-Gauß-Itegral per Variabletrasformatio [] Pukte: [](M) Bereche Sie folgedes dreifach-gauß-itegral (mit a, b, c > 0, a, b, c R): ˆ I = dx dy dz e [a(x+y)+b(z y)+c(x z) ] R 3 Hiweise: Nutze Sie dazu die Variabletrasformatio u = a(x + y), v = b(z y), w = c(x z) ud bereche Sie die Jacobi-Determiate mittels J = (u,v,w) (x,y,z) 1. Es gilt dx e x = π. [Kotrollergebis: für a = b = c = π gilt I = 1.] Beispielaufgabe 7: Matrix-Iversio [Bous] Pukte: (a)[1](e); (b)[](m) Eie -Matrix M sei defiiert durch (M ) i j = δ i jm + δ 1 j mit i, j = 1,...,. 3

4 (a) Fide Sie die iverse Matrize M 1 ud M 1 M = 1 gilt. M 1 3. Verifiziere Sie i beide Fälle, dass (b) Formuliere Sie ahad der Ergebisse vo (a) eie Vermutug für die Form der iverse Matrix M 1 für ei allgemeies. Überprüfe Sie diese durch Berechug vo M 1 M. (c) Gebe Sie eie kompakte Formel für die Matrixelemete (M 1 ) i j a, ud zeige Sie, dass ) i l (M ) l j = δ i j, idem Sie die l-summe explizit ausführe. l (M 1 [Gesamtpuktzahl Beispielaufgabe: ] Hausaufgabe 1: Berechug vo Determiate [4] Pukte: (a)[1](e); (b)[1,5](e); (c)[1,5](e) (a) Bereche Sie die Determiate der Matrix D = ( 1 ) c 0 d 3. e (i) Welche Werte müsse c ud d habe, damit det D = 0 für alle Werte vo e? (ii) Welche Werte müsse d ud e habe, damit det D = 0 für alle Werte vo c? Hätte Sie die Ergebisse vo (i,ii) auch fide köe, ohe det D explizit zu bereche? ( ) Betrachte Sie u die zwei Matrize A = ud B = (b) Bereche Sie das Produkt AB, sowie desse Determiate det(ab) ud Iverse (AB) 1. (c) Bereche Sie das Produkt BA, sowie desse Determiate det(ba) ud Iverse (BA) 1. Ist es möglich, auch die Determiate ud die Iverse vo A ud B zu bereche? Hausaufgabe : Gauß-Algorithmus ud Matrix-Iversio [3] Pukte: (a)[1](e); (b)[1](e); (c)[1](m) Gegebe sei ei lieares Gleichugssystem Ax = b, mit 8 3a 6a A = 6a a. (1) 4 + 6a 5 + 3a (a) Bereche Sie für a = 1 3 die iverse Matrix A 1 mittels des Gauß-Algorithmus. (Amerkug: Es empfiehlt sich, das Auftrete vo Brüche möglichst so lage zu vermeide, bis die like Seite i Zeile-Stufe-Form gebracht worde ist.) Nutze Sie das Ergebis, um die Lösug x für b = (4, 1, 1) T zu ermittel. [Kotrollergebis: der Betrag vo x ist x = 117/18.] (b) Für welche Werte vo a ist die Matrix A icht ivertierbar? (c) Falls A ivertierbar ist, hat das Gleichugsystem Ax = b für jedes b eie eideutige Lösug, ämlich x = A 1 b. Falls A icht ivertierbar ist, ist die Lösug etweder icht eideutig, oder es existiert gar keie Lösug welcher dieser beide Fälle auftritt, hägt vo b ab. Etscheide Sie dies für b = (4, 1, 1) T ud die i (b) gefudede Werte vo a, ud bestimme Sie x, falls möglich. 4

5 Hausaufgabe 3: Drehmatrize i 3 Dimesioe [4] Pukte: (a)[1](e); (b)[1](e); (c)[1](e); (d)[0,5]; (e)[0,5](e); (f)[](bous,a) Rotatioe i drei Dimesioe werde durch 3 3-dimesioale Matrize dargestellt. R θ () sei die Drehmatrix, die eie Drehug mit dem Wikel θ um eie Drehachse beschreibt, dere Richtug durch de Eiheitsvektor gegebe ist. (a) Fide Sie die drei Drehmatrize R θ (e i ) für Drehuge um die drei Koordiateachse e 1, e ud e 3 explizit, idem Sie wie folgt vorgehe: Mache Sie für i = 1, ud 3 jeweils eie R θ (e i ) Skizze, die die Wirkug e j e j der Rotatio um die i-achse auf die drei Basisvektore e j (j = 1,, 3) veraschaulicht (z.b. für θ = π). Die Bildvektore 6 e j der Basisvektore e j liefer die Spalte der gesuchte Drehmatrize. (b) Es ka gezeigt werde, dass für eie allgemeie Richtug = ( 1,, 3 ) T die Matrixelemete der Drehmatrix wie folgt laute: der Drehachse (R θ ()) i j = δ ij cos θ + i j (1 cos θ) ɛ ijk k si θ (ɛ ijk = Levi-Civita-Tesor). Fide Sie mittels dieser Formel die drei Drehmatrize R θ (e i ) (i = 1,, 3). Sid Ihre Ergebisse kosistet mit dee aus (a)? (c) Bestimme Sie folgede Drehmatrize explizit, ud bereche ud skizziere Sie dere Wirkug auf de Vektor v = (1, 0, 1) T : (i) A = R π (e 3 ), (ii) B = R π ( 1 (e 3 e 1 )). (d) Rotatiosmatrize bilde eie Gruppe. Zeige Sie ahad vo A ud B aus (c), dass diese Gruppe icht kommutativ ist (im Gegesatz zum zwei-dimesioale Fall!). (e) Zeige Sie, dass für die allgemeie Drehmatrix R die Beziehug Tr(R) = 1 + cos θ gilt, wobei die Spur (Eglisch: Trace ) eier Matrix R defiiert ist durch Tr(R) = i (R)i i. (f) Das Produkt zweier Rotatiosmatrize liefert wieder eie Rotatiosmatrix. Bestimme Sie für das Produkt C = AB der Matrize aus (c) de zugehörige Eiheitsvektor ud Drehwikel θ. Hiweis: diese sid ur bis auf ei beliebiges Vorzeiche eideutig bestimmt, de R θ () ud R θ ( ) beschreibe dieselbe Rotatio. (Um das Vorzeiche kokretheitshalber festzulege, wähle Sie die Kompoete positiv.) θ ud i werde durch die Spur bzw. die Diagoalelemete der Drehmatrix festgelegt; ihre relative Vorzeiche durch die Nicht- Diagoalelemete. [Kotrollergebis: = 1/ 3.] Hausaufgabe 4: Basistrasformatio ud lieare Abbildug i E [4] Pukte: (a)[0.5](m); (b)[0.5](m); (c)[0.5](e); (d)[0.5](e); (e)[0.5](m); (f)[0.5](m); (g)[0.5](e); (h)[0.5](e) Amerkug zur Notatio: I dieser Aufgabe werde Vektore im Euklidische Raum E durch Hütche gekezeichet (z.b. ˆv j, ˆx, ŷ, ê 1 E ). Die Kompote dieser Vektore bezüglich eier gegebee Basis sid Vektore i R ud trage keie Hütche (z.b. x, y R ). Der Euklidische Vektorraum E habe zwei Base, eie alte, {ˆv j }, ud eie eue, {ˆv i}, mit ˆv 1 = 1 5 ˆv ˆv, ˆv = 6 5 ˆv ˆv. (a) Die Relatio ˆv j = ˆv it i j drückt die alte durch die eue Basis aus. Fide Sie die Trasformatiosmatrix T = (t i j). 5

6 (b) Fide Sie die Matrix T 1, ud drücke Sie mittels der Rücktrasformatio ˆv j = ˆv i (t 1 ) i j die eue durch die alte Basis aus. (c) Der Vektor ˆx habe Kompoete x = (, 1 )T i der alte Basis. Wie laute seie Kompoete x i der eue Basis? [Kotrollergebis: x = (1, 1) T.] (d) Der Vektor ŷ habe Kompoete y = ( 3, 1) T i der eue Basis. Wie laute seie Kompoete y i der alte Basis? (e) Die lieare Abbildug  sei defiiert durch ˆv  1 1(ˆv 3 1 ˆv ) ud ˆv  1(4ˆv ˆv ). Fide Sie zuächst ihre Matrixdarstellug A i der alte Basis, ud da mittels eier Basistrasformatio ihre Matrixdarstellug A i der eue Basis. [Kotrollergebis: (A ) 1 =.] 3 (f) ẑ sei der Bildvektor, auf de  de Vektor ˆx abbildet: ˆx  ẑ. Fide Sie mittels A seie Kompoete z bezüglich der alte Basis, ud mittels A seie Kompoete z bezüglich der eue Basis. Sid Ihre Ergebisse für z ud z kosistet? [Kotrollergebis: z = 1(5, 3 1)T.] (g) Wähle Sie u für die alte Basis ˆv 1 = ê 1 + ê ud ˆv = ê 1 ê, wobei ê 1 = (1, 0) T ud ê = (0, 1) T die Stadardbasisvektore vo E sid. Wie laute ˆv 1, ˆv, ˆx ud ẑ i der Stadardbasis vo E? (h) Mache Sie eie Skizze (mit ê 1 ud ê als Eiheitsvektore i die horizotale bzw. vertikale Richtug), die die alte ud eue Basisvektore zeigt, sowie die Vektore ˆx ud ẑ. Sid die i (c) ud (f) diskutierte Koordiate dieser Vektore bezüglich beider Base mit Ihrer Skizze kosistet? Hausaufgabe 5: Lieare Abbilduge ud Basistrasformatioe i R 3 [6] Pukte: (a)[1](m); (b)[1](e); (c)[1](e); (d)[1](m); (e)[1](m); (f)[1](m) Betrache Sie die folgede drei lieare Abbilduge i R 3, mit Stadardbasis {e 1, e, e 3 }. A : Rotatio um die 1-Achse um de Wikel θ 1 = π 3 d.h. eie Liksdrehug. bezüglich der rechtshädige Richtug, B : Streckug der Achse 1 ud, mit de Faktore s 1 = bzw. s = 4. C : Spiegelug i der 3-Ebee. (a) Fide Sie die Matrixdarstelluge (bezüglich der Stadardbasis) vo A, B, C. Welche dieser Abbilduge kommutiere miteiader (d.h., für welche gilt T 1 T = T T 1 )? (b) Was ist das Bild y = CAx des Vektors x = (1, 1, 1) T uter der Abbildug CA? (c) Fide Sie de Vektor z, der uter der Verküpfug aller drei Abbilduge, D = C B A, auf y abgebildet wird. [Hiweis: D 1 = A 1 B 1 C 1.] (d) Betrachte Sie u eie eue Basis {v i}, die durch Rotatio ud Spiegelug mittels CA auf die Stadardbasis abgebildet wird, v i CA e i. [Achtug: i der Beispielaufgabe war es umgekehrt!] Skizziere Sie die alte ud eue Basisvektore i derselbe Skizze. [Achtug: Die eue Basisvektore bilde ei Likssystem! Warum?] Fide Sie die Trasformatiosmatrix T, dere Matrixelemete de Bezug zwische der alte ud der eue Basis agebe, mit e j = v it i j. 6

7 (e) I der {v i}-basis lasse sich die Vektore z ud y darstelle als z = v iz i ud y = v iy i. Fide Sie die etsprechede Kompoete z = (z 1, z, z 3 ) T ud y = (y 1, y, y 3 ) T. (f) D sei die Darstellug vo D i der eue Basis. Fide Sie D durch etsprechede Trasformatio der Matrix D, ud utze Sie das Ergebis, um das Bild y vo z uter D zu bereche. (Stimmt das Ergebis mit dem aus (e) überei?). Hausaufgabe 6: Dreifach-Loretz-Itegral per Variabletrasformatio [] Pukte: [](M) Bereche Sie folgedes dreifach-loretz-itegral (mit a, b, c, d > 0, a, b, c, d R): ˆ 1 I = dx dy dz R [(xd + y) 3 + a ] 1 [(y + z x) + b ] 1 [(y z) + c ] Hiweise: Nutze Sie die Variabletrasformatio u = (xd+y)/a, v = (y+z x)/b, w = (y z)/c ud bereche Sie die Jacobi-Determiate mittels J = (u,v,w) (x,y,z) 1. Es gilt dx(x +1) 1 = π. [Kotrollergebis: für a = b = c = π, d =, gilt I = 1.] 5 Hausaufgabe 7: Matrixiversio (Bous) [0] Pukte: (a)[1](e); (b)[](m) M sei eie -Matrix M mit Matrixelemete (M ) i j = m δ ij + δ i+1,j, mit i, j = 1,...,. (a) Fide Sie die iverse Matrize M 1 ud M 1 M = 1 gilt. M 1 3. Verifiziere Sie i beide Fälle, dass (b) Formuliere Sie ahad der Ergebisse vo (a) eie Vermutug für die Form der iverse Matrix M 1 für ei allgemeies. Überprüfe Sie diese durch Berechug vo M 1 M. (c) Gebe Sie eie kompakte Formel für die Matrixelemete (M 1 ) i j a, ud zeige Sie, dass ) i l (M ) l j = δ i j, idem Sie die l-summe explizit ausführe. l (M 1 [Gesamtpuktzahl Hausaufgabe: 3] 7