die gewünschte Schranke gefunden, denn es gilt (trivialerweise) für n N

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1 .5. VOLLSTÄNDIGKEIT VON R 37 Lemma.5. (Beschränktheit konvergenter Folgen) Konvergente Folgen in R sind beschränkt. Beweis. Angenommen die Folge a n n N konvergiert gegen A R. Zu ε > 0 existiert ein N N, so dass für n > N gilt A ε < a n < A + ε. Dann ist mit M = max( A ε, A + ε, a 1, a,..., a N ) die gewünschte Schranke gefunden, denn es gilt (trivialerweise) für n N a n M, weil ja die entsprechenden Zahlen zur Maximumsbildung herangezogen wurden. Für n > N ist A ε < a n < A + ε und damit a n < M. Lemma.5.3 (Beschränktheit von Cauchyfolgen) Cauchyfolgen in R sind beschränkt. Beweis. Siehe Übungen. Satz.5.4 (Grenzwerte und Ordnung) Es seien a n n N, b n n N zwei konvergente reellwertige Folgen mit Grenzwerten A, B. Dann gilt 1. Ist a n 0 für alle n N, so ist A 0.. Gilt a n b n für alle n N so ist A B. 3. Ist a n n N beschränkt, d. h. a n M für alle n N und ein positives M R, so ist A M. Beweis. Siehe Übungen.

2 38 KAPITEL. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN Satz.5.5 (Grenzwerte und Arithmetik) Es seien a n n N, b n n N zwei konvergente, reellwertige Folgen. Dann gilt 1. Die Folge a n + b n n N konvergiert und lim (a n + b n ) = lim a n + lim b n. n n n. Die Folge a n b n n N konvergiert und lim (a n b n ) = lim a n lim b n. n n n 3. Ist lim n b n 0, so ist für fast alle n N (d. h. alle bis auf endlich viele) b n 0. Der Grenzwert einer Folge wird durch Abändern an endlich vielen Positionen nicht geändert. Wir ersetzen alle b n = 0 durch b n = 1. Dann konvergiert die Folge a n /b n n N und es gilt a n lim = lim n a n. n b n lim n b n Beweis. (1) Als Grenzwert der Folge haben wir natürlich lim n a n +lim n b n im Verdacht. Um zu beweisen, dass dies tatsächlich der Grenzwert ist, nehmen wir ein ε > 0. Sei N 1 N so gewählt, dass m > N 1 impliziert a m a < ε/ und N sei so gewählt, dass für m > N gilt b m b < ε/. Wähle N = max(n 1, N ). Für m > N gilt dann (a m + b m ) (a + b) = (a m a) + (b m b) a m a + b m b < ε + ε = ε. () Dieser Beweis ist ein wenig komplizierter. Sei Wir wollen zeigen A = lim n a n und B = lim n b n. lim a n b n = A B. n Sei ε > 0 gegeben. Nach Lemma.5. sind beide Folgen beschränkt, d. h. es existiert eine Zahlen S R mit S > 0, so dass m N gilt b m < S. Setze M = max(s, A, 1). Dann gibt es ein N 1, so dass für alle m > N 1 gilt a m A < ε und ein N M, so dass für alle m > N gilt b m B < ε. Setze M N = max(n 1, N ). Dann gilt für m > N sowohl a m A <, wie auch ε M

3 .5. VOLLSTÄNDIGKEIT VON R 39 b m B < ε. Betrachte für m > N M a m b m A B = a m b m A b m + A b m A B (a m A) b m + A (b m B) = (a m A) b m + A (b m B) < ε M S + A ε M ε = ε. (3) Die dritte Aussage folgt aus Teil () und einer Übungsaufgabe. Definition.5.6 (Intervall) Es seien a, b R. Die Menge der Zahlen I = x R a x b wird als abgeschlossenes Intervall bezeichnet. Ist b a, so ist diam(i) = b a die Länge des abgeschlossenen Intervalls. Definition.5.7 (Dedekindscher 4 Schnitt) Eine Zerlegung von Q in zwei disjunkte Mengen A, B mit D1 A B = Q, D x A, y B gilt x < y, wird als Dedekindscher Schnitt bezeichnet.

4 40 KAPITEL. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN Satz.5.8 (Vollständigkeit, Dedekind Schnitte, Intervallschachtelung) Das Vollständigkeitsaxiom ist äquivalent zum 1. Intervallschachtelungsprinzip (engl. principle of nested intervals). Es sei für alle k N I k ein abgeschlossenes Intervall. Es gelte für alle k N die Schachtelungsbedingung I k+1 I k und lim diam(i k) = 0. k Dann gibt es genau eine reelle Zahl x R mit k gilt x I k oder auch x I k.. Dedekindschen Schnittaxiom. Jeder Dedekindsche Schnitt (A, B) definiert genau eine reelle Zahl z mit x A x z und y B z y und zu jeder reellen Zahl findet sich ein Dedekindscher Schnitt (A, B). Beweis. Wir beweisen zunächst, dass das Vollständigkeitsaxiom das Intervallschachtelungsaxiom impliziert. Wir betrachten die abgeschlossenen Intervalle I n = [a n, b n ] und dazu die Folgen k=1 a n n N und b n n N. Beide Folgen sind Cauchyfolgen, denn für ε > 0 existiert ein N N mit diam(i n ) < ε für alle n > N. Da für m > N gilt I m I N gibt es für i, j > N + 1 ein m > N mit a i I m, a j I m und damit d(a i, a j ) = a i a j diam(i m ) < ε. Ersetzen wir in diesem Argument a n durch b n so erhalten wir die entsprechende Aussage für die Folge der b n. Aufgrund des Vollständigkeitsaxiom existieren die Grenzwerte a = lim a j, b = lim b j. Es gilt (vgl. Übungen) a b und a, b I m für alle m. Dann ist d(a, b) = b a = lim (b j a j ) = lim diam(i j ) = 0. 4 Julius Wilhelm Richard Dedekind ( ) hatte die Idee der Dedekindschen Schnitte, seinen eigenen Angaben zu Folge, am 4. November 1858 während er eine Analysis- Vorlesung an der ETH Zürich vorbereitete. Seine wesentlichen wissenschaftlichen Arbeiten betreffen die Algebra und die Mengenlehre.

5 .5. VOLLSTÄNDIGKEIT VON R 41 Also ist a = b. Im nächsten Schritt folgern wir aus dem Intervallschachtelungsprinzip das Dedekindsche Schnittaxiom. Angenommen wir haben zwei nichtleere, disjunkte Mengen A, B Q mit A B = Q und x A, y B impliziert x < y. Sei a A und b B. Wir definieren rekursiv eine Folge von geschachtelten, abgeschlossenen Intervallen I m = [a m, b m ], a m A, b m B mit lim m diam(i m ) = 0. Setze a 1 = a, b 1 = b. Angenommen wir hätten a m A, b m B konstruiert, wir geben nun die Regel an, mit deren Hilfe wir a m+1, b m+1 konstruieren. Wir unterscheiden zwei Fälle a m + b m A a m + b m B setze a m+1 = a m + b m, b m+1 = b m a m+1 = a m, b m+1 = a m + b m Dann ist diam(i m+1 ) = 1 diam(i m) = 1 (b a) m+1 = (b a) m. Nach Satz.3.6 () konvergiert diam(i m ) 0 und es gibt nach dem Intervallschachtelungsprinzip genau eine reelle Zahl x m N I m. Wir behaupten nun, x habe die gewünschten Eigenschaften. Erstens für alle a A ist x a: Angenommen es gibt ein A a 0 > x. Dann ist für alle b B b x > b a 0. Da die Folgenglieder b m B liegen und zu jedem ε > 0 ein N N existiert, so dass n > N impliziert b n a n < ε, erhält man mit. b a 0 < b n x b n a n < ε < b a 0 für ε < b a 0 einen Widerspruch. Zweitens gilt für alle b B die Ungleichung b x. Die Begründung ist eine Kopie, der oben angegebenen Begründung. Damit hat dann x die gewünschten Eigenschaften. Zu gegebenem x R erhält man einen Schnitt durch A = y Q y < x und B = y Q y x. Im nächsten Schritt beweisen wir, dass das Dedekindsche Schnittaxiom das Intervallschachtelungsprinzip impliziert. Wir setzen also voraus, dass wir eine Folge von abgeschlossenen Intervallen I m hätten, mit I m+1 I m für alle m und lim m diam(i m ) = 0. Zu zeigen ist, dass genau ein x im Schnitt aller dieser abgeschlossenen Intervalle liegt. Setze I m = [a m, b m ] und A m = y Q y a m und B m = y Q y > b m.

6 4 KAPITEL. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN Sei A 0 = A m und B = B m. m N m N Setze A = A 0 q Q q m=1 I m. Wir zeigen zunächst A B = und A B = Q. Angenommen z A B. Dann ist z A und z B, also insbesondere z A 0 oder z m=1 I m und z B. Ist z A 0 B, so gibt es ein a m mit z a m und ein b n mit z b n. Dann ist aber a m b n und dies ist ein Widerspruch. Im anderen Fall ist z m=1 I m und in B. Dann ist z B n für alle n und z > b m für alle m. Auch dies ist ein Widerspruch! Wir zeigen A B = Q. Ist x Q und x / A 0 B, so ist x a m für alle m N und x b n für alle n N, also x m=1 I m und damit x A. Sei ζ, die zu diesem Dedekindschen Schnitt gehörende Zahl. Dann ist ζ a n für alle n und ζ b n für alle n, also ζ m=1 I m. Da lim m diam(i m ) = 0 ist, gibt es in diesem Schnitt höchstens einen Wert. Im letzten Schritt zeigen wir noch, dass das Intervallschachtelungsprinzip die Vollständigkeit zur Folge hat. Wir beginnen mit einer Cauchyfolge x n n N. Setze ε i = i und definiere eine Folge N i natürlicher Zahlen mit N i+1 > N i und für j, k > N i gilt x j x k < ε i+1. Setze I i = [x Ni +1 ε i, x Ni +1 + ε i ]. Man beachte, dass für j > N i + 1 gilt x j I i. Dann ist für j > k das abgeschlossene Intervall I j I k und diam(i m ) = m+1. Daher sind die Voraussetzungen des Intervallschachtelungsprinzip erfüllt und es existiert ein x i NI i. Wir müssen noch zeigen, dass lim x j = x. Sei ε > 0 gegeben, wähle N, so dass i > N impliziert ε i < ε. Dies ist möglich, da ε i 0 konvergiert. Dann ist x I i = [x Ni +1 ε i, x Ni +1 + ε i ]. Da auch alle x j I i für j > N i + 1 folgt, dass für diese j gilt x j x i < ε i < ε. Wir wissen bereits, dass eine Folge in R genau dann konvergent ist, wenn sie eine Cauchyfolge ist. Welche Kriterien haben wir für die Konvergenz einer Folge? Wir betrachten zunächst einige einfache Beispiele: 1. Die konstante Folge ξ = (a, a, a,..., a,... ) ist Cauchyfolge und konvergent. Sei ε > 0 gegeben, betrachte ein beliebiges N N. Dann ist für i, j > N ξ i ξ j = 0 < ε.. Die Folge ξ n = 1 n ist Cauchy-Folge und damit konvergent. Sei ε > 0. Dann existiert ein N N mit N > und somit ist < ε und ε N für i, j > N ist demnach 1, 1 < 1 und es gilt i j N 1 i 1 j < 1 i + 1 j < N < ε.