1. Probeklausur Analysis 1 WS 2004 / 2005

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1 1. Probeklausur Analysis 1 WS 2004 / 2005 Es gibt 13 Aufgaben auf 2 Blättern. Die jeweilige Punktzahl steht am rechten Rand. Die Maximalpunktzahl ist 50. Die Bearbeitungszeit beträgt 40 Minuten. Bei Wahr / Falsch-Aufgaben erhält jede richtige Antwort 1 Punkt, jede falsche Antwort jedoch 1 Punkt! Die jeweilige Aufgabe als Ganzes wird jedoch nicht mit weniger als 0 Punkten bewertet. Tragen Sie unten auch Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein, und den Namen Ihres Tutors. Und nun: Viel Erfolg... Matrikelnummer: Name: Aufgabe 1 / 3 / Formulieren Sie eine Aussage A.m; n/ über natürliche Zahlen m und n in der m und n tatsächlich vorkommen, so dass 8m 2 N 9n 2 N W A.m; n/ gilt, nicht aber 9m 2 N 8n 2 N W A.m; n/. Aufgabe 2 / 4 / Sei E D fz 2 C W jzj D 1g. a. Die komplexe Multiplikation ist eine Operation auf E. wahr falsch b. Für z 2 E ist z 1 D z. wahr falsch c. Für z 2 E ist z 1 D Nz. wahr falsch d. Die Gleichung z 4 D 1 hat in E eine eindeutige Lösung. wahr falsch

2 Ana-1 PK-1 2 A n a l y s i s / 0 5 P r o f P ö s c h e l P r o b e k l a u s u r Aufgabe 3 / 7 / Eine Ordnungsrelation ist unter anderem a. reflexiv, wahr falsch b. symmetrisch, wahr falsch c. antisymmetrisch, wahr falsch d. assoziativ, wahr falsch e. transitiv, wahr falsch f. kommutativ. wahr falsch g. Und konkret: f.a; a/;.a; b/;.a; c/;.b; c/;.c; c/g ist eine Ordnungsrelation auf fa; b; cg. wahr falsch Aufgabe 4 / 4 / Beschränkte reelle Folgen a. sind immer konvergent. wahr falsch b. haben mindestens einen Häufungspunkt. wahr falsch c. haben höchstens einen Häufungspunkt. wahr falsch d. können nicht-monoton sein. wahr falsch Aufgabe 5 / 4 / Seien A und B beliebige Mengen. Beschreiben Sie sämtliche Fasern der folgenden Abbildungen. a. 1 W A B! A, die Projektion auf den ersten Faktor von A B. b. id A, die Identitätsabbildung auf A. c. 0W A! R; a 7! 0, die Nullabbildung auf A. Aufgabe 6 / 2 / Schreiben Sie die Menge Q als abzählbare Vereinigung endlicher Mengen. Aufgabe 7 / 3 / Entscheiden Sie, ob die Komposition zweier surjektiver Abbildungen wieder eine surjektive Abbildung ist. Wenn ja, geben Sie einen Beweis. Wenn nein, geben Sie ein Gegenbeispiel. Ana-1 04/05 Blatt PK-1 vom Seite 2 von 4

3 Ana-1 PK-1 3 A n a l y s i s / 0 5 P r o f P ö s c h e l P r o b e k l a u s u r Aufgabe 8 / 8 / Mit Zahlenfolge ist immer eine reelle Zahlenfolge gemeint, mit Häufungspunkt immer ein eigentlicher Häufungspunkt. Was ist wahr? a. Eine konvergente Zahlenfolge hat keinen Häufungspunkt. wahr falsch b. Eine nicht konvergente Zahlenfolge hat keinen Häufungspunkt. wahr c. Eine monotone Zahlenfolge falsch hat mindestens einen Häufungspunkt. wahr falsch d. Eine Zahlenfolge mit zwei Häufungspunkten ist monoton. wahr falsch e. Eine Zahlenfolge mit genau einem Häufungspunkt ist konvergent. wahr falsch f. Eine unbeschränkte Zahlenfolge hat keinen Häufungspunkt. wahr falsch g. Eine monotone Zahlenfolge ist entweder konvergent oder unbeschränkt. wahr falsch h. Eine streng monotone Zahlenfolge hat mindestens einen Häufungspunkt. wahr falsch Aufgabe 9 / 2 / Unter welchen Annahmen an die komplexen Zahlen und z gilt Im.z/ D Im z? Mit Begründung, bitte. Aufgabe 10 / 2 / Für welche Intervalle I ist R I wieder ein Intervall? Aufgabe 11 / 3 / Gibt es eine divergente komplexe Folge.z n / derart, dass sowohl.jz n j/ wie auch.re z n / konvergieren? Begründen Sie Ihre Antwort! Ana-1 04/05 Blatt PK-1 vom Seite 3 von 4

4 Ana-1 PK-1 4 A n a l y s i s / 0 5 P r o f P ö s c h e l P r o b e k l a u s u r Aufgabe 12 / 4 / Zeigen Sie: Ist.a n / n 1 eine monoton steigende Folge in Œ1; 1/ mit a 2n a n "; n 1; so gilt a 2 n 1 C "n; n 0: Aufgabe 13 / 4 / a. Definieren Sie eine Addition und eine Multiplikation auf dem Raum s D Abb.N; R/ aller reellen Folgen, so dass das Distributivgesetz gilt und es eine Null und eine Eins gibt. Geben Sie diese Elemente auch an. b. Warum ist s damit kein Körper? Ana-1 04/05 Blatt PK-1 vom Seite 4 von 4

5 Weihnachtsblatt Analysis 1 WS 2004 / 2005 Die Aufgaben 1 9 sind als»probeklausur zu Hause«gedacht. Bearbeitungszeit der»probeklausur«ist 120 Minuten. Die weiteren Aufgaben sind freiwillige Hausaufgaben für den Zeitvertreib. Und noch Schöne Feiertage und Guten Rutsch!

6 Ana-1 WB 2 A n a l y s i s / 0 5 P r o f P ö s c h e l W e i h n a c h t s b l a t t Aufgabe 1 Welche der folgenden Aussagen sind wahr? a. Jede Reihe kann als Folge aufgefasst werden. wahr falsch b. Jede Folge kann als Reihe aufgefasst werden. wahr falsch c. Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn die Folge ihrer Partialsummen beschränkt ist. wahr falsch d. Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergent ist. wahr falsch e. Eine Reihe ist konvergent, wenn ihre Glieder eine Nullfolge bilden. wahr f. Eine Reihe ist divergent, wenn ihre Glieder keine Nullfolge bilden. wahr falsch falsch Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen zum Quotientenkriterium sind korrekt? Dazu sei q n D a nc1 ˇ ˇ a ˇ: n a. Hat.q n / keinen Grenzwert, so ist die Reihe divergent. wahr falsch b. Ist q n < 1 für fast alle n, so ist die Reihe konvergent. wahr falsch c. Ist q n 1=2 für fast alle n, ist die Reihe absolut konvergent. wahr falsch d. Ist q n > 1 für fast alle n, so ist die Reihe divergent. wahr falsch Aufgabe 3 Ergänzen Sie die folgenden Satzänfange zu vollständigen Definitionen. a. Ein Punkt a heißt Häufungspunkt der Menge B C, wenn... b. Die reelle Folge.x n / bildet eine Cauchy-Folge, wenn... c. Eine Menge M heißt abzählbar, wenn... d. Eine Funktion f W R! R ist in 0 unstetig, wenn... e. Eine reelle Zahl s heißt Supremum der der Menge M R, wenn... Ana-1 04/05 Blatt WB vom Seite 2 von 5

7 Ana-1 WB 3 A n a l y s i s / 0 5 P r o f P ö s c h e l W e i h n a c h t s b l a t t Aufgabe 4 Die Reihe P n 1 a n sei konvergent. Welche der folgenden Reihen konvergiert? X n C 1 a. n a X X n b. np n an c..1 C 1=n/ n a n n 1 n 1 n 1 Aufgabe 5 Zeigen Sie mit Hilfe von»zu jedem " > 0 gibt es ein N... «dass lim n!1 1 n 2 n C 1 D 0: Aufgabe 6 Untersuchen Sie, ob die Funktion g B f in a D 0 einen Grenzwert besitzt, wenn f; g W R! R gegeben sind durch 8 8 < 0; x 2 Q < 1; x D 0 f.x/ D ; g.x/ D : x 2 ; x Q : x; x 0: Aufgabe 7 Untersuchen Sie die Folgen.a n / n 1 auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls deren Grenzwert. a. a n D p p n n 1 b. an D n C. 1/n n. 1/ n c. a n D n! 2n n n C. 1/n 2n C 1 Aufgabe 8 a. Beweisen Sie die Ungleichung zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel zweier nichtnegativer Zahlen a; b : p a C b ab : 2 b. Wie lautet die entsprechende Ungleichung für drei nichtnegative Zahlen a; b; c? Ana-1 04/05 Blatt WB vom Seite 3 von 5

8 Ana-1 WB 4 A n a l y s i s / 0 5 P r o f P ö s c h e l W e i h n a c h t s b l a t t Aufgabe 9 Beweisen Sie: Ist.a n / eine reelle Nullfolge und.b n / eine beschränkte reelle Folge, so ist.a n b n / eine Nullfolge. Ana-1 04/05 Blatt WB vom Seite 4 von 5

9 Ana-1 WB 5 A n a l y s i s / 0 5 P r o f P ö s c h e l W e i h n a c h t s b l a t t Aufgabe 10 a. Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für positive Zahlen x 1 ; : : : ; x n gilt: nx x i id1 nx id1 1 x i n 2 : b. Liegen die reellen Zahlen x 1 ; : : : ; x n sämtlich in Œ0; 1/ oder in Œ 1; 0, so gilt die verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung.1 C x 1 /.1 C x 2 / : : :.1 C x n / 1 C x 1 C x 2 C C x n : Aufgabe 11 Beweisen Sie das Dirichlet Kriterium: Ist.a n / eine monoton fallende Nullfolge, und sind die Partialsummen der reellen Reihe P n 1 b n beschränkt, so ist P n 1 a nb n konvergent. Aufgabe 12 Zeigen Sie: Ist.a n / monoton fallend und P n 1 a n D A endlich, so gilt a n A ; n 1: n Aufgabe 13 Zeigen Sie: Ist p n =q n eine Folge rationaler Zahlen mit q n > 0 und irrationalem Grenzwert, so gilt jp n j! 1; q n! 1: Ana-1 04/05 Blatt WB vom Seite 5 von 5

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11 Ana-1 PK-2 A n a l y s i s / 0 5 P r o f P ö s c h e l P r o b e k l a u s u r Probeklausur Analysis 1 WS 2004 / 2005 Es gibt 12 Aufgaben auf 3 Blättern. Die jeweilige Punktzahl steht am rechten Rand. Die Maximalpunktzahl ist 50. Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten. Bei Wahr / Falsch-Aufgaben erhält jede richtige Antwort 1 Punkt, jede falsche Antwort jedoch 1 Punkt! Die jeweilige Aufgabe als Ganzes wird jedoch nicht mit weniger als 0 Punkten bewertet. Und nun: Viel Erfolg... Ana-1 04/05 Blatt PK-2 vom Seite 1 von 4

12 Ana-1 PK-2 2 A n a l y s i s / 0 5 P r o f P ö s c h e l P r o b e k l a u s u r Aufgabe 1 / 5 / Gegeben sind zwei Funktionen f; g W R! R. Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen wahr sind. a. f ist beschränkt ) f nimmt sein Maximum an. wahr falsch b. f ist beschränkt ) f ist Lipschitz. wahr falsch c. f ist Lipschitz ) f ist gleichmäßig stetig. wahr falsch d. f B g ist stetig ) f ist stetig. wahr falsch e. f und g stetig ) lim x!1 f.x/=.1 C jg.x/j/ existiert. wahr falsch Aufgabe 2 / 5 / Sei f W Œa; b! R stetig und auf.a; b/ differenzierbar. a. f ist monoton steigend ) f 0 0 auf.a; b/. wahr falsch b. f besitzt in a ein absolutes Minimum ) f 0.a/ D 0. wahr falsch c. f ist umkehrbar ) f besitzt keinen kritischen Punkt. wahr falsch d. f.a/ > f.b/ ) f 0./ 0 für ein 2.a; b/. wahr falsch e. f 0 > 0 auf.a; b/ ) f besitzt eine Nullstelle. wahr falsch Aufgabe 3 / 4 / Sei A eine beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen. Begründen Sie die folgenden Aussagen. a. Es existiert sup A 2 R. b. Für alle a 2 A gilt a sup A. c. Zu jedem s < sup A existiert ein a 2 A mit a > s. Aufgabe 4 / 5 / Sei.x n / eine Cauchy-Folge in R. a. Geben Sie die Definition einer Cauchy-Folge. b. Zeigen Sie, dass eine solche Cauchy-Folge beschränkt ist. c. Ist die Folge.x n / konvergent? Aufgabe 5 / 3 / Formulieren Sie den Satz von Bolzano-Weierstraß für Folgen in R. Ana-1 04/05 Blatt PK-2 vom Seite 2 von 4

13 Ana-1 PK-2 3 A n a l y s i s / 0 5 P r o f P ö s c h e l P r o b e k l a u s u r Aufgabe 6 / 4 / Bestimmen Sie die Konvergenzradien der Reihen u.z/ D X n 0 x n n 2 C 1 ; v.z/ D X. 1/ n z 2nC1.2n C 1/! n 0 Aufgabe 7 / 5 / Sei.X; d/ ein metrischer Raum, A X. a. Definieren Sie, wann x 2 X ein Häufungspunkt von A ist. b. Definieren Sie den Abschluss A von A. c. Zeigen Sie für Teilmengen A und B von X :.A \ B/ A \ B : Aufgabe 8 / 4 / Zeigen Sie: Ist f W R! R im Punkt x 0 stetig mit f.x 0 / > 0, so existieren ein > 0 und ein ı > 0, so dass f.x/ > 0; x 2.x 0 ı; x 0 C ı/: Aufgabe 9 / 4 / a. Geben Sie die Definition einer kompakten Teilmenge eines metrischen Raumes. b. Geben Sie einen Satz aus der Vorlesung an, in dem die Kompaktheit einer Menge eine notwendige Voraussetzung darstellt. Aufgabe 10 / 3 / Untersuchen Sie, für welche z 2 C die Folge.a n / mit a n D zn n n=2 für n! 1 konvergiert, und geben Sie den Grenzwert an. Ana-1 04/05 Blatt PK-2 vom Seite 3 von 4

14 Ana-1 PK-2 4 A n a l y s i s / 0 5 P r o f P ö s c h e l P r o b e k l a u s u r Aufgabe 11 / 4 / Bestimmen und skizzieren Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung in C : Im z jz 2ij: Aufgabe 12 / 4 / Zeigen Sie mit Hilfe von " und ı, dass die Funktion Œ0; 1/! Œ0; 1/; x 7! p x in x D 1 stetig ist. Ana-1 04/05 Blatt PK-2 vom Seite 4 von 4

15 Scheinklausur Analysis 1 WS 2004 / 2005 Es gibt 9 Aufgaben auf 3 Seiten. Die jeweilige Punktzahl steht am rechten Rand. Die Maximalpunktzahl ist 50. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Es sind keinerlei Hilfsmittel zugelassen. Bei Wahr / Falsch-Aufgaben erhält jede richtige Antwort 1 Punkt, jede falsche Antwort jedoch 1 Punkt! Die jeweilige Aufgabe als Ganzes wird jedoch nicht mit weniger als 0 Punkten bewertet. Tragen Sie unten Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein, und auch den Namen Ihres Tutors. Und nun: Viel Erfolg... Name: Matrikelnummer: Tutor: Aufgabe 1 / 5 / Welche der folgenden Aussagen ist wahr? a. Ist f 2 C 1.R/ umkehrbar, so ist auch f 1 differenzierbar. wahr falsch b. Ist f W.a; b/! R stetig, so ist f auch beschränkt. wahr falsch c. Ist f W R! R monoton und beschränkt, so existiert lim x!1 f.x/. wahr falsch d. Die Wurzelfunktion p W Œ0; 1/! Œ0; 1/ ist gleichmäßig stetig, aber nicht Lipschitz. wahr falsch e. Jede kompakte Menge im R n ist beschränkt. wahr falsch

16 Ana-1 SK 2 A n a l y s i s / 0 5 P r o f P ö s c h e l S c h e i n k l a u s u r Aufgabe 2 / 6 / Entscheiden Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren, und bestimmen Sie sie gegebenfalls. 1 C. 1/ n a. lim n!1 np b. lim 1 4n n!1 2 nc4 c. lim n n!1 nx e k. kd0 Aufgabe 3 / 4 / a. Geben Sie die Definition einer injektiven Abbildung hw A! C. b. Seien f W A! B und g W B! C zwei injektive Abbildungen. Zeigen Sie, dass deren Komposition h D g B f W A! C wiederum injektiv ist. Aufgabe 4 / 4 / Sei.x n / n 0 eine Folge in einem metrischen Raum.X; d/. Zeigen Sie: a. Die Folge.x n / konvergiert gegen x 2 X genau dann, wenn lim n!1 d.x n; x / D 0. b. Ist die Folge.x n / konvergent, so ist ihr Grenzwert eindeutig. Aufgabe 5 / 8 / a. Formulieren Sie den Mittelwertsatz der Differenzialrechnung für Funktionen f W Œa; b! R. b. Geben Sie ein Beispiel einer Funktion f W Œa; b! R, die auf Œa; b stetig, aber nicht überall auf.a; b/ differenzierbar ist, für die der Mittelwertsatz nicht gilt. c. Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass jsin x sin yj jx yj; x; y 2 R: d. Zeigen Sie ebenso, dass log x < x 1; x > 1: Ana-1 04/05 Blatt SK vom Seite 2 von 4

17 Ana-1 SK 3 A n a l y s i s / 0 5 P r o f P ö s c h e l S c h e i n k l a u s u r Aufgabe 6 / 8 / Die Funktion f W.a; b/! R sei unendlich oft differenzierbar, und es sei x 0 2.a; b/. a. Was versteht man unter dem n-ten Taylorpolynom von f im Punkt x 0, und was unter dem zugehörigen Restglied? b. Geben Sie die Formel von Lagrange für dieses Restglied an. c. Geben sie zur Funktion arctanw R! R das Taylorpolynom dritter Ordnung im Punkt x 0 D 0 an. d. Schätzen Sie das zugehörige Restglied für x 2 Œ 1; 1 ab. Aufgabe 7 / 5 / a. Geben Sie die Eulersche Formel für e ix an. b. Schreiben Sie e ix als Quadrat von e ix=2, und stellen Sie damit sin x und cos x durch die Funktionen des halben Winkels, sin x=2 und cos x=2, dar. c. Bestimmen Sie damit sin =4 und cos =4. Aufgabe 8 / 5 / a. Geben Sie den Definitions- und Wertebereich der Funktion arcsin an. Skizzieren Sie diese Funktion und ihre Umkehrfunktion. b. Geben Sie die Ableitung der Funktion arcsin an, und skizzieren Sie auch diese. c. In welchen Punkten ist die Funktion f W Œ 1; 1! R; f.x/ D arcsin p 1 x 2 differenzierbar? Wie lautet die Ableitung? Aufgabe 9 / 5 / Sei sinhw R! R; sinh x D ex e x : 2 a. Zeigen Sie, dass die Gleichung sinh x D 1 eine Lösung im Intervall.0; 1/ besitzt. Zur Erinnerung: e D 2; 718 : : :. b. Zeigen Sie, dass dies auch die einzige Lösung dieser Gleichung in ganz R ist. Ana-1 04/05 Blatt SK vom Seite 3 von 4

18 Ana-1 SK 4 A n a l y s i s / 0 5 P r o f P ö s c h e l S c h e i n k l a u s u r Ana-1 04/05 Blatt SK vom Seite 4 von 4

19 Scheinklausur-Wiederholung Analysis 1 WS 2004 / 2005 Es gibt 10 Aufgaben auf 4 Seiten. Die jeweilige Punktzahl steht am rechten Rand. Die Maximalpunktzahl ist 50. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Es sind keinerlei Hilfsmittel zugelassen. Bei Wahr / Falsch-Aufgaben erhält jede richtige Antwort 1 Punkt, jede falsche Antwort jedoch 1 Punkt! Die jeweilige Aufgabe als Ganzes wird jedoch nicht mit weniger als 0 Punkten bewertet. Tragen Sie unten Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein, und auch den Namen Ihres Tutors. Und nun: Viel Erfolg... Name: Matrikelnummer: Tutor: Aufgabe 1 / 5 / Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Mit Folge ist dabei immer eine reelle Zahlenfolge gemeint. a. Jede konvergente Folge ist beschränkt. wahr falsch b. Eine Folge mit zwei Häufunspunkten kann nicht monoton sein. wahr falsch c. Eine Folge mit genau einem Häufungspunkt ist konvergent. wahr falsch d. Eine monotone und beschränkte Folge ist immer konvergent. wahr falsch e. Ist eine Folge nicht konvergent, so hat sie mindestens zwei Häufungspunkte. wahr falsch

20 Ana-1 SK-W 2 A n a l y s i s / 0 5 P r o f P ö s c h e l W i e d e r h o l u n g s k l a u s u r Aufgabe 2 / 5 / Welche der folgenden Aussagen ist wahr? a. Ist f W Œ0; 1! R stetig, so ist f auch beschränkt. wahr falsch b. Ist f W R! R monoton fallend, so besitzt f eine Nullstelle. wahr falsch c. Die Exponentialfunktion exp W R! R ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig. wahr falsch d. Jede abgeschlossene Teilmenge des R 3 ist kompakt. wahr falsch e. Eine beschränkte Funktion f W Œ0; 1! R nimmt ihr Supremum an. wahr falsch Aufgabe 3 / 4 / a. Geben Sie die Definition einer surjektiven Abbildung f W X! Z. b. Seien h W X! Y und g W Y! Z zwei surjektive Abbildungen. Zeigen Sie, dass deren Komposition f D g B hw X! Z wiederum surjektiv ist. Aufgabe 4 / 6 / Entscheiden Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren, und bestimmen Sie sie gegebenfalls. p p a. lim 2n n b. lim n!1 n!1 2n p 4 n C n 4 c. lim n!1 X2n 2 l ld1 Aufgabe 5 / 5 / a. Skizzieren Sie die Funktion arctanw R! R. Geben Sie ihren Bildbereich an, also die Menge aller von arctan angenommenen Werte. b. Ist die Funktion arctan umkehrbar? Wenn ja, geben Sie diese Funktion an, und skizzieren Sie auch diese. c. Bestimmen Sie für die Funktion f W. 1; 1/! R; f.t/ D arctan die Grenzwerte lim t 1 f.t/ und lim f 0.t/. t t 2 : Ana-1 04/05 Blatt SK-W vom Seite 2 von 4

21 Ana-1 SK-W 3 A n a l y s i s / 0 5 P r o f P ö s c h e l W i e d e r h o l u n g s k l a u s u r Aufgabe 6 / 5 / Sei.x n / n 0 eine reelle Zahlenfolge. a. Geben Sie die Definition dafür, dass diese Folge beschränkt ist. b. Geben Sie die Definition dafür, dass diese Folge gegen die reelle Zahl x konvergiert. c. Zeigen Sie: Ist die Folge.x n / n 0 unbeschränkt, so ist sie nicht konvergent. Aufgabe 7 / 5 / Gegeben ist die Funktion W R! C;.t/ D e it : a. Bestimmen Sie Re.t/, Im.t/, sowie 0.t/ und 00.t/. b. Beschreiben Sie geometrisch die Bildmenge.R/ D f.t/ W t 2 Rg C: c. Wie groß kann b maximal gewählt werden, so dass eingeschränkt auf das Intervall Œ0; b/ injektiv ist? d. Gilt der Mittelwertsatz der Differentialrechnung für die Funktion eingeschränkt auf das Intervall Œ0; 2? Begründen Sie Ihre Antwort. Aufgabe 8 / 5 / Gegeben ist die Funktion coshw R! R; cosh t D et C e t : 2 a. Zeigen Sie, dass die Gleichung cosh t D 0 keine Lösung in R besitzt. b. Bestimmen Sie cosh 0 und zeigen Sie, dass cosh auf Œ0; 1/ streng monoton steigend ist. Bestimmen Sie lim t!1 cosh t. c. Zeigen Sie, dass für jedes > 1 die Gleichung cosh t D genau eine Lösung in Œ0; 1/ besitzt. Ana-1 04/05 Blatt SK-W vom Seite 3 von 4

22 Ana-1 SK-W 4 A n a l y s i s / 0 5 P r o f P ö s c h e l W i e d e r h o l u n g s k l a u s u r Aufgabe 9 / 5 / a. Formulieren Sie den Satz von Rolle für Funktionen f W Œa; b! R. b. Ist der Satz von Rolle auf die Funktion f W Œ 1; 1 ; f.x/ D p 1 x 2 anwendbar? Wenn ja, was ist die Folgerung? Und wenn nein, warum nicht? Aufgabe 10 / 5 / Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: Ist 0 < x k < 1 für 1 k n, so gilt ny.1 x k / 1 kd1 nx x k : kd1 Ana-1 04/05 Blatt SK-W vom Seite 4 von 4