Physik-Department. Ferienkurs zur Experimentalphysik 4. Michael Mittermair, Daniel Jost 01/09/14

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1 Physik-Department Ferienkurs zur Experimentalphysik 4 Michael Mittermair, Daniel Jost 01/09/14 Technische Universität München Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Quantenmechanik Wellencharakter und Elektronenwelle Wellenpakte Heisenberg sche Unschärferelation Grundlagen der Quantenmechanik und Schrödinger-Gleichung Observable, Operatoren, Erwartungswert und Eigenwert Eigenschaften und spezielle Lösungen der Schrödingergleichung Drehimpulsquantisierung Spin

2 1 Einleitung Ziel dieses Ferienkurses ist es, die Studenten auf die Zweitklausur im Fach Experimentalphysik 4 vorzubereiten. Das vorliegende Skript beschränkt sich in seiner Ausführung auf wesentliche Aspekte der Vorlesung. Aufgrund der zeitlichen Begrenzung des Ferienkurses auf eine Woche werden diese Aspekte oberflächlich wiederholt. Die zum Ferienkursskript korrespondierenden Aufgaben basieren teilweise auf den hier behandelten Themen, fordern an anderer Stelle jedoch Vorwissen der Studenten. 2 Quantenmechanik Unter Quantenmechanik 1 versteht man den Teilbereich der Physik, der sich mit physikalischen Phänomenen im nanoskopischen Bereich beschäftigt. Die Quantenmechanik bietet ein mathematisches Gerüst, um den Dualismus zwischen Welle und Teilchen in diesem Größenordnungsregime zu beschreiben. Abbildung Wellencharakter und Elektronenwelle Hinweise auf den Welle-Teilchen-Dualismus von Licht liefern zum einen Beugungsund Interferenzexperimente, sowie Photo- oder Comptoneffekt. Für die Energie eines 1 Quantum von lat. quantus wie viel.

3 2 Quantenmechanik Photons sowie dessen Impulses gilt E = h ω (1) p = h k (2) Für subatomare Teilchen mit einer von Null verschiedenen Ruhemasse gilt, dass sich ihr Wellencharakter mithilfe der de-broglie-wellenlänge beschreiben lässt. Diese Beziehung ergibt sich aus Gleichung 2 mit λ = 2π/k zu λ = h p = h 2m0 E kin (3) Abbildung 2: Caption. Dies wurde beispielsweise mit der Beugung von Elektronenwellen an einem Kristallgitter verifiziert (vgl. Abbildung 2). Freie Elektronen durchlaufen die Beschleunigungsspannung U B und werden an einem Kristallgitter gestreut mit der Bragg-Bedingung 2 s = 2d sin θ = n λ (4) mit der de-broglie-wellenlänge λ, die nach Gleichung 3 von der Beschleunigungsspannung der Elektronen abhängt. Für 100 V liegt die Wellenlänge im Ângström-Bereich. 2.2 Wellenpakte Analog zu Lichtwellen können Materiewellen mit ebenen Wellen der Form [ ] i ψ(r, t) = ψ 0 exp [i(k.r ωt)] = ψ 0 exp (p.r Et) h (5) beschrieben werden. Diese Darstellung birgt jedoch Probleme. Die Gleichung 5 ist unendlich ausgedehnt und daher nicht normierbar. Die Teilchen sind nicht lokalisiert. 2

4 2 Quantenmechanik Zudem tritt - wie wir später feststellen - bei Materiewellen Dispersion auf. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist frequenzabhängig. Es wird daher das sogenannte Wellenpaket eingeführt, das aus einer Überlagerung vieler ebener Wellen besteht. ψ(x, t) = k0 + k k 0 k c(k)ψ 0 exp [ik(x ω(k)t)] (6) Abbildung 3: Darstellung eines Wellenpaketes; Überlagerung ebener Wellen. Für die Phasengeschwindigkeit eines solchen Wellenpakets gilt v Ph = ω k (7) und für die Gruppengeschwindigkeit v Gr = dω dk = v Ph λ dv Ph dλ (8) Aus Gleichung 8 geht hervor, dass für eine explizite Wellenlängenabhängigkeit der Phasengeschwindigkeit diese nicht mehr identisch mit der Gruppengeschwindigkeit ist. Das bedeutet, dass die unterschiedlichen monochromatischen Wellen des Wellenpaketes voneinander unterscheidbare Ausbreitungsgeschwindigkeiten besitzen. Das Wellenpaket wird dadurch signifikant deformiert, d. h. das Paket wird breiter während sich die Amplitude reduziert. Man nennt diesen Vorgang Dispersion. Betrachte man hierzu ein nichtrelativistisches Teilchen der Energie E = p2 = m 0v 2 T 2m 0 2 mit der Teilchengeschwindigkeit v T. Die Gruppengeschwindigkeit entspricht v Gr = dω dk = d( hω) d( hk) = de dp = p m 0 = v T 3

5 2 Quantenmechanik der Teilchengeschwindigkeit. Die Phasengeschwindigkeit erhält man durch Einsetzen von ω = hk 2 /2m 0 in Gleichung 7: v Ph = hk 2m 0 = 1 2 v T Für Gleichung 6 erhält man eine Lösung der Form ψ(x, t) = 2 π a(k 0) exp [i(k 0.x ω.t)] sin( k(ω 0.t x)) ω 0.t x (9) 2.3 Heisenberg'sche Unschärferelation Abbildung 4 Für ein Wellenpaket mit der Standardabweichung x und der Breite k der Amplitudenverteilung gibt es eine untere Grenze für die Genauigkeit einer Messung der beiden Größen x k 1 (10) beziehungsweise x p h (11) wobei die Gleichheitszeichen für ein gaußförmiges Wellenpaket gelten. Die Unschärferelation besagt, dass man Ort und Impuls eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau oder scharf messen kann. Die zeitliche Entwicklung der Standardabweichung ist x(t) = v Gr t + x 0 = h t + x 0 (12) m x 0 Ein weiterer Messprozess, der der Unschärferelation unterliegt, ist die Energieunschärfe mit E t h (13) 4

6 3 Grundlagen der Quantenmechanik und Schrödinger-Gleichung Welche Voraussetzung erfüllt sein muss, sodass zwei Messgrößen nicht gleichzeitig beliebig genau messbar sind, wird später besprochen. 3 Grundlagen der Quantenmechanik und Schrödinger-Gleichung 3.1 Observable, Operatoren, Erwartungswert und Eigenwert In der Quantenmechanik ersetzt man den Begriff der Messgröße durch den Begriff der Observablen. Man interpretiert die Wellenfunktion statistisch, d. h. ψ(x, t) = A(x, t) exp [i(k 0.x ω 0.t)] respektive die Überlagerung eben dieser ebenen Wellen zu einem Wellenpaket ist per se zunächst nutzlos und bespielsweise erst ihr Absolutquadrat ergibt physikalisch Sinn. Für die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen am Ort r zur Zeit t zu finden, gilt P(r, t) = ψ(r, t) 2 dv (14) Ein Attribut der Wellenfunktion, das bereits im vorigen Kapitel angedeutet worden ist, ist ihr Normierung auf 1. Es wird gefordert, dass ψ(r, t) 2 dv (15) R Die Wellenfunktion kann auch verwendet werden, um den Erwartungswert, oder Mittelwert, einer Observablen A zu bestimmen. Im Allgemeinen gilt: A = ψ ÂψdV (16) Die Repräsentation dieser Messgröße  nennt man Operator. Jeder Messgröße ist ein solcher Operator zugeordnet. Hierzu Tabelle 1 mit einigen Operatoren. Tabelle 1: Häufig verwendete Operatoren in der Quantenmechanik. Größe r p L E pot E kin Operator ˆr = r ˆp = ˆL = ˆr ˆp = i h(r ) ˆV(r) = V(r) Ê kin = ˆp2 2m = h2 2 2m E Ĥ = h2 2 2m + ˆV(r) 5

7 3 Grundlagen der Quantenmechanik und Schrödinger-Gleichung Um herauszufinden, ob zwei physikalische Größen gleichzeitig beliebig genau messbar sind oder der Unschärferelation unterliegen, verwendet man die Kommutatorrelation: Definition 3.1. Seien  und ˆB zwei Operatoren, so nennt man [Â, ˆB ] =  ˆB ˆB (17) die Kommutatorrelation und es gilt für [Â, ˆB ] = 0 dass  und ˆB vertauschbar sind. Ein weiterer wichtiger Begriff ist der Eigenwert eines Operators. Definition 3.2. Gegeben sei die Eigenfunktion ψ zu dem Operator Â. Dann ist a a Eigenwert von  und es gilt: Âψ = aψ (18) a Naives Beispiel hierfür / x exp[ax] = a exp[ax] Für den Eigenwert a gilt, dass er dem Erwartungswert der Messgröße A entspricht. 3.2 Eigenschaften und spezielle Lösungen der Schrödingergleichung Die zeitabhängige Schrödingergleichung ist Definition 3.3. i h Ψ = HΨ (19) t mit dem Hamiltonoperator H, der eingesetzt ( ) h2 2 + V(r, t) ψ(r, t) = i h ψ(r, t) (20) 2m t liefert. Für ein zeitunabhängiges Potential V(r, t) = V(r) kann man Gleichung 20 mithilfe eines Seperationsansatzes in die stationäre Schrödingergleichung überführen: ( ) h2 2 2m + V(r) ψ(r) = Eψ(r) (21) Die Schrödingergleichung 20 ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung in der Zeit und 2. Ordnung im Ort. Damit ist die Schrödingergleichung nicht relativistisch invariant. Sie ist linear in ψ, womit das Superpositionsprinzip gilt. Wie zu erkennen ist, entspricht der Eigenwert des Hamiltonoperators Ĥ gerade der Energie. Um Lösungen für ein gegebenes Problem zu erhalten, müssen die Randbedingungen eben dieses Problems berücksichtigt werden. 6

8 3 Grundlagen der Quantenmechanik und Schrödinger-Gleichung 3.3 Drehimpulsquantisierung Der Drehimpulsoperator ist gegeben mit ˆL = ˆr ˆp = i h(r ) (22) In Kugelkoordinaten kann man schreiben: sin φ + cot θ cos φ φ ˆL = i h cos φ θ + cot θ sin φ φ (23) φ Das Betragsquadrat des Drehimpulses ist proportional zum Winkelanteil des Laplace- Operators: ˆL 2 = h 2 [ 1 sin θ ( sin θ ) + 1 θ θ sin 2 θ 2 ] φ 2 = h 2 2 θ,φ (24) Das bedeutet, dass die Kugelflächenfunktionen Y lm Eigenfunktionen von ˆL 2 sind. Liegt ein kugelsymmetrisches Potential V(r) = V(r) vor, so erhält man eine Lösung der Schrödingergleichung aus dem Produkt eines Radialanteils R(r) und eines Winkelanteils Y(θ, φ) = Θ(θ) Φ(φ) mit der Polarlösung Θ(θ) und der Azimuthallösung Φ(φ). Die Kugelflächenfunktionen sind außerdem Eigenfunktionen von ˆL z und es gelten folgende Eigenwertgleichungen: ˆL 2 Y lm (θ, φ) = h 2 l(l + 1)Y lm (θ, φ) (25) ˆL z Y lm (θ, φ) = hm l Y lm (θ, φ) (26) mit der Bahndrehimpulsquantenzahl l, l N und der Magnetquantenzahl m l, l m l l. Frage 1. Was bedeutet es für die gleichzeitige Messung von ˆL und ˆL z, dass die Kugelflächenfunktionen Y lm (θ, φ) zu beiden Operatoren Eigenfunktionen sind? Konventionell wählt man die z-achse des Drehimpulses als Quantisierungsachse. ˆL x und ˆL y sind nicht gleichzeitig messbar, aber durch ˆL und ˆL z eingeschränkt nach ˆL 2 x + ˆL 2 y = ˆL ˆL 2 z = h 2 ( l(l + 1) m 2 ) l (27) 7

9 3 Grundlagen der Quantenmechanik und Schrödinger-Gleichung Abbildung 5: Mögliche Richtungen des Drehimpulses bei festen L und L z. Die Länge, sowie die Projektion auf die Quantisierungsachse des Drehimpulses ist wohldefiniert (vgl. Abbildung 6). 3.4 Spin Abbildung 6: Schematischer Aufbau des Stern-Gerlach-Experiments: Ein Silberatomstrahl wird durch ein inhomogenes Magnetfeld gelenkt. Die tatsächlich beobachtete Verteilung widerspricht der klassisch erwarteten; zwei Spots werden beobachtet, was ein Hinweis für einen weiteren Freiheitsgrad ist. Das Stern-Gerlach-Experiment lieferte erste Hinweise auf eine weitere Eigenschaft von Teilchen. Ein in einem Atomstrahlofen erzeugter Silberatomstrahl wird in diesem Versuch durch ein inhomogenes Magnetfeld gelenkt. Statt der klassisch erwarteten Verteilung eines längsgezogenen Spots beobachtet man zwei distinktive Spots. Die Beobachtung kann durch die Einführung eines weitere Freiheitsgrades von Teilchen erklärt werden, dem so genannten Spin Ŝ. Obgleich es sich beim Spin um eine vektorielle Größe handelt, existiert kein klassisches Analogon dazu und ist ein intrinsisch quantenphysikalisches Phänomen. Der Spin ist mit dem magnetischen Moment µ eines Teilchens verknüpft und besitzt die Erwartungswerte Ŝ 2 = h 2 s(s + 1) (28) 8

10 Literatur Ŝ z = hm s (29) Hierbei ist s die Spinquantenzahl und m s die Orientierungsquantenzahl mit s m s s. Für Elektronen ist s = 1/2 und damit m s = ±1/2. Man nennt die beiden Zustände Spin-Up, respektive Spin-Down. Der Spin hat keinen Einfluss auf die übrigen Eigenschaften eines Zustandes, weswegen sich die Gesamtwellenfunktion aus der bereits bekannten Ortswellenfunktion ψ(r, t) und der Spinwellenfunktion χ(s) zusammensetzt. Ψ(r, t) = ψ(r, t) χ(s) (30) Teilchen mit ganzzahligem Spin nennt man Bosonen, solche mit halbzahligem Spin nennt man Fermionen. Bosonen und Fermionen verhalten sich unterschiedlich, was man beispielsweise mit Streuexperimenten zeigen kann. Dieser Unterschied liegt an der Austauschsymmetrie der beteiligten Wellenfunktionen. Für zwei identische, nichtwechselwirkende Teilchen an den Koordinaten r 1 und r 2 existiert eine Gesamtwellenfunktion, für die unter Vertauschung Ψ(r 2, r 1 ) der beiden Teilchen gelten muss, dass Ψ(r 1, r 2 2 = Ψ(r 2, r 1 ) 2 (31) Das bedeutet, dass es für die Gesamtwellenfunktion zwei Möglichkeiten gibt: Ψ(r 1, r 2 ) = Ψ(r 2, r 1 ) (32) d. h. symmetrisch unter Austausch (Bosonen) Ψ(r 1, r 2 ) = Ψ(r 2, r 1 ) (33) und antisymmetrisch unter Austausch (Fermionen). Man kann die Gesamtwellenfunktion also schreiben als Ψ(r 1, r 2 ) = C [ψ 1 (r 1 ) ψ 2 (r 2 ) ± ψ 1 (r 2 ) ψ 2 (r 1 )] (34) Liegen zwei Fermionen im gleichen Zustand vor, d. h. mit identischem Satz von Quantenzahlen, so ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude hierfür null. Zwei Fermionen können also nicht im exakt gleichen Zustand mit einem identischen Satz von Quantenzahlen existieren. Man nennt dieses Ausschlussprinzip auch Pauli-Prinzip. Literatur [1] Gross Skript IV - R. Gross [2] The Feynman Lectures on Physics - Feynman/Leighton/Sands [3] Experimentalphysik 3 - Wolfgang Demtröder 9