Vorlesung Logik SoSe 2014

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1 Vorlesung Logik SoSe 2014 Prof.Dr. Jacobo Torán Mo 12 14, H20 Übungen: Simon Straub 1

2 Logik Logik ist ein Versuch zur Formalisierung und Mechanisierung des menschlischen Schließens. In der formalen Logik wird untersucht, wie man Aussagen miteinander verknüpfen kann und auf welche Weise man Schlüsse zieht und Beweise durchführt. Traditionelle Logik Aristoteles, Leibniz... stark an der Philosophie verbunden. Mathematische Logik Boole, Frege, Russel, Hilbert... mathematisch geprägt. 2

3 Logik und Informatik Programmverifikation und Spezifikation Semantik der Programmirsprachen Automatisches Beweisen Logik-Programmierung Komplexe Datenstrukturen Automatische Erzeugung von Algorithmen 3

4 Vorlesungsinhalt Aussagenlogik Syntax und Semantik Hornformeln Endlichkeitssatz Resolution Prädikatenlogik Mathematische Theorien Normalformen Herbrand-Theorie Resolution Logik-Programme 4

5 Heute ist Montag oder Mittwoch Mittwochs findet meine Vorlesung im Raum H121 statt Wir sind im H20 Heute ist Montag 5

6 Sokrates ist ein Mensch alle Menschen sind sterblich, dann ist Sokrates sterblich. 6

7 Drachen mögen Jungfrauen Grüne Drachen mögen keine Menschen Jungfrauen sind Menschen 7

8 Das Schubfachprinzip A ij bezeichnet, dass Dingiin Kastenj ist. n+1dinge,nkasten. (A i1 A i2 A i3... A in ) F n = n+1 n i=1 j=1 A ij A ij A kj füri k G n = n j=1 n i=1 Schubfachprinzip (F n G n ) n+1 k=i+1 ( A ij A kj ) 8

9 Aussagenlogik Aussagen sind atomare sprachliche Gebilde die falsch oder wahr sein können, wie z.b. Heute ist Dienstag Berlin ist die Haupstadt von Frankreich 9

10 Aussagenlogische Formeln (Syntax) Menge von atomaren Formeln oder AussagenA,B,C,... oder A 1,A 2,A 3,... FormelF : WennF = 0 oderf = 1 oderf eine atomare Formel ist, so istf eine Formel. WennF bereits eine Formel ist, dann auch F. WennF undgbereits Formeln sind, dann auch(f G) und (F G). 10

11 Semantik Wahrheitswerte{0, 1} BelegungA : {Atomaren Formeln} {0,1} Wir erweitern den Definitionsbereich einer Belegung A auf beliebige Formeln (die aus den atomaren Formeln, auf denen A definiert ist, aufgebaut sind): 1. A(0) = 0, A(1) = 1. 1, fallsa(f) = 0 2. A( F) = 0, sonst 11

12 3. A((F G)) = 4. A((F G)) = 1, fallsa(f) = 1 unda(g) = 1 0, sonst 1, fallsa(f) = 1 odera(g) = 1 0, sonst 12

13 SeiF eine Formel undaeine Belegung. FallsAfür alle inf vorkommenden atomaren Formeln definiert ist, so heißt A zu F passend. FallsAzuF passend ist unda(f) = 1 gilt, so schreiben wir auch: A = F. A ist ein Modell für F. Eine Formel F heißt erfüllbar, falls F mindestens ein Modell besitzt, andernfalls heißt F unerfüllbar (oder widerspruchsvoll). 13

14 Eine (evtl. unendliche) Menge von Formeln M heißt erfüllbar, falls es eine BelegungAgibt, die für jede Formel inm ein Modell ist. Eine Formel F heißt gültig (oder Tautologie), falls jede zu F passende Belegung ein Modell fürf ist. Diesen Sachverhalt notieren wir durch = F. Satz: F ist eine Tautologie genau dann, wenn F unerfüllbar ist. 14

15 Um den Wahrheitswert einer Formel F festzustellen unter allen möglichen Belegungen der in F vorkommenden atomaren Formeln kann man Wahrheitstafeln zu Hilfe nehmen: A 1 A 2 A n 1 A n F A 1 : A 1 (F) A 2 : A 2 (F) A 2 n: A 2 n(f) 15

16 Def: F G Wenn zwei FormelnF undgunter jeder (zuf undgpassenden) Belegung denselben Wahrheitswert erhalten, so nennen wir F und G (semantisch) äquivalent F G genau dann, wenn = (F G). 16

17 Def: F = G Wenn für jede (zuf undgpassenden) Belegung gilta(f) A(G) (A(F) = 0 odera(g) = 1) dann sagen wir, dassglogische Folgerung vonf ist. F = G genau dann, wenn = (F G). 17

18 Hornformeln Def: Eine FormelF heißt Hornformel, fallsf in KNF vorliegt und jedes Disjunktionsglied in F höchstens ein positives Literal enthält. Die Disjunktionsglieder in einer KNF-Formel nennt man auch Klauseln. Zwei Arten von Hornklauseln: diejenigen in denen genau ein positives Literal auftritt, heißen definite Hornklauseln; diejenigen in denen kein positives, sondern nur negative Literale enthalten sind, heißen Zielklauseln; 18

19 Erfüllbarkeitstest für Hornformeln F = F 1 F 2, F 1 sind die definite Hornklauseln undf 2 die Zielklauseln inf. Wir konstruieren ein ModellM fürf 1 : M := ; WHILE (es gibt eine Klausel der Form(A 1... A n ) B (n 0) inf 1 mita 1,...,A n M undb M ) DO M := M {B} END; Belege alle Atomformeln inm mit 1 und die anderen mit 0; 19

20 Resolution F Formel in KNF. SeienK 1,K 2 undrklauseln. Dann heißtrresolvent vonk 1 undk 2, (R = Res(K 1,K 2 ) falls es ein LiteralLgibt mitl K 1 undl K 2 undrdie Form hat: R = (K 1 {L}) (K 2 {L}). R wird ausk 1,K 2 nachlresolviert. K 1 K 2 R 20

21 Def: SeiF in KNF. Eine Resolutionswiderlegung vonf ist eine Folge von KlauselnK 1,K 2,...,K n mitk n = und der Eigenschaft, dass für jedesidie KlauselK i entweder Bestandteil vonf ist oder ein Resolvent zweier KlauselnK a undk b mita,b < i. Resolutionssatz: Eine Klauselmenge F ist unerfüllbar genau dann, wenn es eine Resolutionswiderlegung der leeren Klausel aus F gibt. 21

22 Resolution als Operator Für eine FormelF in KNF können wir definieren: Außerdem setzen wir: Res(F) = F {Res({K,K }) K,K F} Res 0 (F) = F Res n+1 (F) = Res(Res n (F)) fürn 0 und schließlich sei Res (F) = n 0Res n (F). F ist unerfüllbar Res (F) 22

23 Einschränkung des Resolutionskalküls Positive Resolution oder auch P-Resolution Vorteil: weniger Resolventen als in Resolution aber immer noch vollständig. Definition: Eine Klausel heißt positiv, wenn in ihr keine Negation vorkommt. PosRes(F) = F {Res({K,K }) K oderk positiv,k,k F} PosRes 0 (F) = F PosRes n+1 (F) = PosRes(PosRes n (F)) fürn 0 PosRes (F) = n 0PosRes n (F). Satz: Positive Resolution ist korrekt und vollständig, also F ist unerfüllbar PosRes (F) 23

24 Suchen nach einer erfüllenden Belegung Wir betrachten die folgende Situation: 1. / F = Res(F). (F ist unterres abgeschlossen). 2. Wir wollen zeigen, dass F erfüllbar ist und einen Algorithmus geben, der eine (die kleinste) erfüllende Belegung für F konstruiert. Dieser Algorithmus arbeitet in Rundeni = 1,2,... und konstruiert eine Belegung A, sowie eine Folge von Klauselmengen F 0 = F,F 1,F 2,F 3,... In RundeiwirdA(x i ) festgelegt undf i berechnet. Es soll gelten: 1: InF i kommen die Variablenx 1,x 2,...,x i nicht mehr vor. 2: / F i = Res(F i ). 24

25 Algorithmus in Runde i Zwei Fälle unterscheiden: Fall 1: {x i } F i 1 : A(x i ) = 1;F i := F i 1 xi =1 Fall 2: {x i } / F i 1 : A(x i ) = 0;F i := F i 1 xi =0 Variablenelimination: Für eine KlauselK bedeutetk xi =1 (Substitution vonx i durch 1 ink). K xi =1 =, fallsx i K K \{ x i } sonst. F xi =1 = {K xi =1 K F}. 25

26 Die Substitution vonx i durch 0 ink ist in ähnlicherweise definiert: K xi =0 =, falls x i K K \{x i } sonst. Für jedesigilt: Res(F i ) = F i. F i 1 erfüllbar= F i erfüllbar. Der Algorithmus produziert deswegen eine erfüllende Belegung für F. Der Algorithmus ist auch korrekt wenn man mit einer FormelF anfängt die unter positiven Resolution abgeschlossen ist (F = P osres(f)). Das kann den Suchraum kleiner machen. 26

27 Endlichkeitssatz Eine Menge M von Formeln ist erfüllbar genau dann, wenn jede der endlichen Teilmengen von M erfüllbar ist. (M unerfüllbar es gibt eine endliche unerfüllbare Teilmenge von M ) 27

28 Lemma von König: Falls ein Binärbaum T unendlich viele Knoten hat, dann hatt einen unendlichen Pfad der in der Würzel anfängt. SeiM i die Menge von Formeln inm die nur die ersteniatomare Formeln enthalten. (M i enthält nur endlich viele Formeln die nicht äquivalent zueinander sind). T Binärbaum. Die Knoten auf Tiefe i repräsentieren die Belegungen für die ersteniatomare Formeln inm, diem i erfüllen. 28

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