Prof. Dr. Thilo Meyer-Brandis. Finanzmathematik 1 WS 2012/13

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1 Prof. Dr. Thilo Meyer-Brandis Finanzmathematik 1 WS 2012/13

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3 Dieses Skript gibt den Inhalt der Vorlesung Finanzmathematik I: Eine Einführung in diskreter Zeit wieder und basiert auf dem Buch Stochastic Finance von Hans Föllmer und Alexander Schied erschienen im De Gruyter Verlag.

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5 Inhaltsverzeichnis Teil I Arbitragetheorie in diskreter Zeit 1 Arbitragetheorie in einer Periode Grundlagen und das Fundamental Theorem of Asset Pricing Eventualforderungen (Contingent Claims) Vollständigkeit von Marktmodellen Arbitragetheorie im Mehrperiodemodell Grundlagen Mehrperiodemodelle Arbitrage und Fundamental Theorem of Asset Pricing Europäische contingent Claims Vollständige Märkte Das Binomialmodell (Cox-Ross-Rubinstein-Modell) Amerikanische Contingent Claims Grundlagen Bewertung und Hedging in vollständigen Märkten Arbitragefreie Preise und Replizierbarkeit in generellen Märkten Teil II Risikomaße 4 Grundlagen Risikomaße Konvexe Risikomaße Risikomaße und Akzeptanzmengen Robuste Darstellung von konvexen Risikomaßen Endlich additive Mengenfunktionen Robuste Darstellung Konvexe Risikomaße auf L

6 VIII Inhaltsverzeichnis 4.4 Portfoliooptimierung und Bewertung mittels Risikomaßen (CAPM) Appendix A A.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie A.1.1 Der Wahrscheinlichkeitsraum A.1.2 Unabhängigkeit A.1.3 Der Satz von Radon-Nikodym, Dichten A.1.4 Die bedingte Erwartung A.2 Martingale A.3 Konvergenz von zufälligen Folgen Appendix B B.1 Geometrische Charakterisierung von arbitragefreien Marktmodellen B.1.1 Grundlagen B.1.2 Anwendung Appendix C C.1 Grundlagen der Funktionalanalysis C.1.1 Normierte Vektorräume, Banachräume, Hilberträume C.1.2 Beispiele normierter Vektorräume, Banachräume, Hilberträume C.1.3 Trennung in endlichdimensionalen Vektorräumen C.1.4 Trennungssätze von Hahn-Banach

7 Teil I Arbitragetheorie in diskreter Zeit

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9 1 Arbitragetheorie in einer Periode 1.1 Grundlagen und das Fundamental Theorem of Asset Pricing Marktmodell und Arbitrage. Für ein Marktmodell in einer Periode (Einperiodenmodell) sind gegeben: (i) d + 1 Wertpapiere (Assets), d N, (ii) zwei Zeitpunkte: t = 0 (heute) und t = 1 (Zukunft). Zum Zeitpunkt t = 0 sind die Preise (z.b. in EUR) der Wertpapiere bekannt: π i 0 für i = 0,..., d. Zum Zeitpunkt t = 1 sind die Kursentwicklungen bzw. Preise hingegen unsicher. Die zukünftigen Kurse modellieren wir als Zufallsvariablen auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P): S i : Ω [0, ), i = 0, 1,..., d. S i (ω) ist dann der Preis des i-ten Assets zum Zeitpunkt t = 1 bei gegebenem Szenario ω Ω. Das 0-te Wertpapier spielt eine besondere Rolle und modelliert ein Bankkonto (Bond). Wir setzen π 0 = 1 und S 0 = S 0 (ω) = 1 + r, wobei r > 1, r R, den Zinssatz modelliert. 1 Euro Startkapital auf meinem Bankkonto zum Zeitpunkt t = 0 entwickelt sich also mit dem deterministischen Zinssatz r zu (1 + r) Euros zum Zeitpunkt t = 1 (für das Bankkonto ist somit die Wertentwicklung zum Zeitpunkt t = 1 schon zum Zeitpunkt t = 0 bekannt). S 0 wird auch als riskfree Asset und S 1,..., S d als risky Assets bezeichnet.

10 4 1 Arbitragetheorie in einer Periode Notation 1.1 Wir notieren π := ( π 1,..., π d) R d +, π := ( π 0, π 1,..., π d) (= (π 0, π)) R d+1 +, S := ( S 1,..., S d), S := ( S 0, S 1,..., S d) (= (S 0, S)). Definition 1.2 Ein Portfolio oder auch Strategie ist ein Vektor ξ = ( ξ 0, ξ ) = ( ξ 0, ξ 1,..., ξ d) R d+1, wobei ξ i die Anzahl des i-ten Assets im Portfolio ist (insbesondere entspricht ξ 0 dem Geld auf der Bank). Der Anfangswert (Preis) eines Portfolios zur Zeit t = 0 wird gegeben durch V 0 = ξ π = d ξ i π i i=0 und der Endwert desselben Portfolios zur Zeit t = 1 durch V 1 = ξ S = d ξ i S i. Bemerkung 1.3 In der Definition unseres Marktmodells sind folgende Annahmen impliziert: i=0 (a) ξ i < 0 möglich, das heißt short selling ist erlaubt. (b) Keine Transaktionskosten. (c) Kein Unterschied zwischen Kauf-/Verkaufspreis (kein Bid/Ask-Spread). (d) Liquidität: alle Assets sind in beliebig großer Zahl verfügbar/verkäuflich, zudem beliebig stückelbar. Definition 1.4 Die diskontierten Preise definieren wir durch X i := Si 1 + r, i = 0,..., d und die diskontierten Wertveränderungen durch Weiter definieren wir: Y i := X i π i = Si 1 + r πi, i = 1,..., d.

11 1.1 Grundlagen und das Fundamental Theorem of Asset Pricing 5 X := (X 0, X) := (1, X 1,..., X d ) und Bemerkung 1.5 Y := ( Y 1,..., Y d). (a) Wir betrachten diskontierte Preise, um Preise in t = 1 mit Preisen in t = 0 vergleichen zu können: 1 Euro heute ist mehr wert als 1 Euro zum Zeitpunkt t = 1 (unter der Annahme positiver Zinsen r > 0). Deshalb betrachten wir Preise nicht in der Einheit Währung sondern in der Einheit Bond (1 Bond heute ist 1 Bond in t = 1). Für die diskontierten Preise verwenden wir daher den Bond als Numéraire. (b) Alternativ könnte jedes andere strikt positive Wertpapier (bzw. Portfolio) als Numéraire verwendet werden (das heißt, alle Preise werden in Einheiten dieses Numéraire ausgedrückt). Definition 1.6 Ein Portfolio ξ R d+1 heißt Arbitragemöglichkeit oder einfach Arbitrage, falls V 0 = ξ π 0, V 1 = ξ S 0, P f.s., und P ( ξ ) S > 0 > 0. Ein Marktmodell ( π, S) nennen wir arbitragefrei, falls es keine Arbitrage zulässt. Bemerkung 1.7 (i) Unter einer Arbitragemöglichkeit versteht man also die Möglichkeit, einen risikofreien Gewinn zu erzielen. Wir gehen davon aus, dass in effizienten Märkten Arbitragemöglichkeiten nicht realisierbar sind. Diese Arbitragefreiheit wird im Folgenden unsere Schlüsselannahme zur Bewertung von Finanzprodunkten sein. (ii) Ist ein Marktmodell arbitragefrei, so gilt S i = 0 P f.s. falls π i = 0, weshalb wir im Folgenden o. B. d. A. (kurz für ohne Beschränkung der Allgemeinheit) π i > 0 voraussetzen können. (iii) In der Definition von Arbitrage spielt P nur bei der Festlegung der Nullmengen eine Rolle. Daher gilt: ist Q ein zu P äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß, so ist ξ eine Arbitragemöglichkeit bezüglich P genau dann, wenn ξ eine Arbitragemöglichkeit bezüglich Q ist. Lemma 1.8 Es sind äquivalent: (a) Es existiert eine Arbitragemöglichkeit. (b) Es existiert ξ R d+1, so dass ξ π 0, ξ X 0 P f.s. und P ( ξ X > 0 ) > 0, wobei X := ( X 0,..., X d).

12 6 1 Arbitragetheorie in einer Periode (c) Es existiert ξ R d mit das heißt ξ Y 0 P f.s. und P (ξ Y > 0) > 0, ξ S (1 + r) ξ π P f.s. und P (ξ S > (1 + r) π) > 0. Beweis: Übung. Fundamental Theorem of Asset Pricing. Nun kommen wir zum Hauptsatz des Kapitels. Zunächst führen wir folgende Definition ein: Definition 1.9 Ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf (Ω, F) heißt risikoneutrales Maß oder Martingalmaß, falls [ ] S π i i = E P, für alle i = 0,..., d. 1 + r Wir notieren mit P := {P P P, P ist Martingalmaß} die Menge der äquivalenten Martingalmaße. Theorem 1.10 (FTAP - Fundamental Theorem of Asset Pricing) Ein Markt ist arbitragefrei genau dann, wenn P. In diesem Fall existiert sogar ein P P mit beschränkter Radon-Nikodym- Dichte dp dp. Beweis: Angenommen es gelte P. Sei P P und ξ R d+1 eine Strategie, so dass ξ X 0 P f.s. und P ( ξ X > 0 ) > 0. Dann gilt 0 < E P [ ξ X] = ξ EP ξ kann also keine Arbitragemöglichkeit sein. Nun die andere Richtung der Äquivalenz. [ X] Def. 1.9 = ξ π, (i) Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir E P [ Y ] < annehmen, das heißt E P [ Y i ] < für alle i = 1,..., d, denn falls E [ Y ] = ist, betrachte P gegeben durch d P dp = 1 1+ Y c, 1 wobei c := E P[ 1. Dann gilt 1+ Y ]

13 1.1 Grundlagen und das Fundamental Theorem of Asset Pricing 7 [ ] d P E P = 1, dp d P dp > 0 und d P dp < c. Damit erhalten wir [ ] d P E P [ Y ] = E P dp Y [ ] 1 = E P 1 + Y Y c c <. Mit Bemerkung 1.7 folgt nun: Der Markt ist arbitragefrei unter P genau dann, wenn er unter P arbitragefrei ist. Weiterhin, angenommen es gibt ein P P mit beschränkter Dichte dp. d P Dann ist auch dp dp = dp d P d P dp beschränkt. (ii) Sei also E P [ Y ] <. Wir definieren: und Q := { Q Q Wahrscheinlichkeitsmaß, Q P, C := {E Q [Y ] Q Q}, 1 } dq dp beschränkt wobei E Q [Y ] gerade der Vektor E Q [Y ] := ( E Q [ Y 1 ],..., E Q [ Y d ]) ist. Es gibt ein äquivalentes Martingalmaß P P Q genau dann, wenn 0 C. Angenommen 0 / C. Es gilt offensichtlich, dass P Q und somit C. Weiter ist C konvex, denn sei 0 < α < 1 und E Q1 [Y ], E Q2 [Y ] C, dann gilt αe Q1 [Y ] + (1 α) E Q2 [Y ] = E Qα [Y ] C, mit Q α = αq 1 + (1 α) Q 2 Q. Aus dem Trennungssatz in endlicher Dimension (siehe Satz C.15) folgt nun die Existenz eines ξ R d mit Aus (1.2) folgt ξ E Q [Y ] 0 für alle Q Q, (1.1) ξ E Q 0 [Y ] > 0 für mindestens ein Q 0 Q. (1.2) 1 [ E ] dq [ Q Y i = E dq dp P Y i] beschränkt [ c E dp P Y i ] [ <, wobei c R. Da Y integrierbar unter P ist folgt nun, dass E ] Q Y i wohldefiniert ist.

14 8 1 Arbitragetheorie in einer Periode Da P Q 0, folgt nun Q 0 (ξ Y > 0) > 0. P (ξ Y > 0) > 0. Bleibt also nur noch zu zeigen, dass ξ Y 0 P f.s.. Dazu definieren wir ϕ n := ( 1 1 ) 1 A + 1 n n 1 A C, wobei n = 2, 3, 4,... und A := {ξ Y < 0} und A C = Ω \ A die zu A komplementäre Menge ist. Weiter definieren wir Wahrscheinlichkeitsmaße Q n P durch dq n dp = ϕ n, für n = 2, 3, 4,.... E P [ϕ n ] Dann gilt 0 < dqn dp 1 und damit Qn Q. Aus (1.1) folgt nun ξ E Q n [Y ] = E Q n [ξ Y ] = E P [ξ Y ϕ n ] E P [ϕ n ] 0 und damit [ ] lim E P [ξ Y ϕ n ] = E P ξ Y lim ϕ n n n = E P [ξ Y 1 A ] 0, wobei in der ersten Gleichung der Satz der dominierten Konvergenz angewandt wurde. Also P (A) = 0 und somit ξ Y 0 P f.s.. Mit Lemma 1.8 folgt nun, dass ξ eine Arbitragemöglichkeit ist. Dies ist aber ein Widerspruch zur Annahme, dass das Marktmodell arbitragefrei ist. Das heißt 0 C.

15 1.1 Grundlagen und das Fundamental Theorem of Asset Pricing 9 Korollar 1.11 Sei lediglich S = (S 0,..., S d ) gegeben. (a) Die Menge aller möglichen abritragefreien Preise ist gegeben durch: Π := { E Q [ X] Q Q }, wobei Q := {Q Wahrscheinlichkeitsmaß Q P, dq dp beschränkt}. (b) Die Menge Π ist konvex und nicht-leer. Beweis: (a) Folgt direkt aus dem Theorem 1.10 (FTAP). (b) Q ist konvex und nicht-leer und somit auch Π, weil die Abbildung Q Q E Q [ X] Π affin ist. Beispiel 1.12 Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Ω = {ω 1,..., ω n }, F = P(Ω) (Potenzmenge) und P(ω i ) =: p i > 0. Wir betrachten einen Markt bestehend aus einem Bond und aus einem risky Asset Dabei sei: S 1 (ω 1 ) =: s 1,..., S 1 (ω n ) =: s n. Wann ist dieses Modell arbitragefrei? Ein Wahrscheinlichkeitsmaß P P ist hier gegeben durch einen Vektor ( p 1,..., p n ) mit p i > 0, i = 1,..., n, und n i=1 p i = 1 (es gilt dann P(ω i ) = p i, i = 1,..., n). Laut Korollar 1.11 ist der Markt arbitragefrei genau dann, wenn { n π 1 (1 + r) s i p i p i > 0, i=1 } n p i = 1. Also existiert ein äquivalentes Martingalmaß P genau dann, wenn p i := P (ω i ) folgende Bedingungen erfüllt: i=1

16 10 1 Arbitragetheorie in einer Periode (i) p i > 0, p p n = 1, (ii) π 1 (1 + r) = s 1 p s n p n. Falls eine Lösung von (i) und (ii) existiert, dann ist sie für n = 2 eindeutig und für n > 2 gibt es unendlich viele Lösungen. Replizierbare Auszahlungsprofile und das Gesetz eines eindeutigen Preises Definition 1.13 Der lineare Vektorraum von Zufallsvariablen V := { ξ S ξ R d+1 } wird die Menge der replizierbaren Auszahlungsprofile (attainable payoffs) genannt (Payoffs die durch ein Portfolio generiert werden können). Im Allgemeinen existiert für V V kein eindeutiges generierendes Portfolio. Es gilt jedoch die folgende Proposition: Proposition 1.14 (Law of one price) Sei das Marktmodell arbitragefrei und V V mit V = ξ S = η S P f.s. für ξ η R d+1. Dann gilt ξ π = η π und π(v ) := ξ π ist der eindeutige arbitragefreie Preis von V. Beweis: Wähle P P 2. Dann gilt: ξ π = ξ E P [ X] = E P [ ξ X] = E P [ η X] = η E P [ X] = η π Alle anderen Preise würden offensichtlich eine Arbitragemöglichkeit ergeben. Renditen Definition 1.15 Der Markt sei arbitragefrei und V V mit π(v ) 0. Dann definieren wir die Rendite (Return) von V durch: Insbesondere gilt, falls: R(V ) := V π(v ). π(v ) 2 Da der Markt arbitragefrei ist, gilt laut Theorem 1.10 (FTAP) P.

17 1.1 Grundlagen und das Fundamental Theorem of Asset Pricing 11 (i) V = S 0, so folgt R(V ) = R(S 0 ) = S0 π(s 0 ) π(s 0 ) = r = r. 1 (ii) V = n k=1 α kv k, 0 V k V, so folgt wobei β k = α kπ(v k ) π(v ). R(V ) = V π(v ) π(v ) n k=1 = α kv k n k=1 α kπ(v k ) n k=1 α kπ(v k ) = = (iii) V = ξ S, so folgt aus (ii) n k=1 α k π(v k ) π(v k ) n β k R(V k ), k=1 R(V ) = d i=0 Vk π(v k ) α k π(v k ) ξ i π i ξ π R(Si ). Proposition 1.16 Sei der Markt arbitragefrei und sei V V mit π(v ) 0. Dann gilt: (a) Für P P ist E P [R(V )] = r (unter einem äquivalenten Martingalmaß P besitzt jedes Portfolio den risikofreien Zinssatz r als erwartete Rendite!). (b) Für Q P, P P mit E P [ S ] < ist ( ) dp E Q [R(V )] = r cov Q dq, R(V ), Beweis: wobei wir mit cov Q die Kovarianz bezüglich Q notieren.

18 12 1 Arbitragetheorie in einer Periode (a) Da E P [V ] = π(v )(1 + r), gilt: E P [R(V )] = E P [V ] π(v ) = r. π(v ) (b) Sei ϕ = dp dq. Dann gilt: cov Q (ϕ, R(V )) = E Q [ϕ R(V )] E Q [ϕ ] E Q [R(V )] } {{ } =1 = E P [R(V )] E Q [R(V )]. Mit (a) folgt nun die Behauptung. Bemerkung 1.17 (Redundante Marktmodelle) Das Marktmodell sei arbitragefrei und ξ R d+1, so dass ξ S = 0 P f.s.. Falls ξ 0, existiert i {0,..., d}, so dass ξ i 0 und S i = 1 ξ i ξ k S k, k=0 k i π i = 1 ξ i ξ k π k. k=0 k i Das Wertpapier S i ist somit redundant (kann durch die übrigen Wertpapiere dargestellt werden) und kann weggelassen werden. O. B. d. A. nehmen wir deshalb im Folgenden an: Wenn ξ S = 0 P f.s., dann gilt ξ = 0. (1.3) Falls (1.3) gilt, heißt das Marktmodell nicht-redundant. Bemerkung 1.18 (Numéraire) Die Definition von Arbitrage ist unabhängig von der Wahl des Numéraires. Daher können wir analoge Ergebnisse des Theorems 1.10 (FTAP) für einen beliebigen Numéraire herleiten. Nehmen wir zum Beispiel an π 1 > 0, S 1 > 0 P f.s., können wir das erste Wertpapier als Numéraire, das heißt als Preiseinheit, verwenden. Definition. P P ist ein äquivalentes Martingalmaß bezüglich dem Numéraire S 1, falls: π i [ ] S i π 1 = E P S 1, i = 0,..., d. Sei P := { P äquivalentes Martingalmaß bzgl. Numéraire S 1 }. Dann gilt:

19 (a) P = { P } d P dp = S1 E P [S 1 ], P P. (b) P P =, falls S 1 P f.s. nicht-konstant. 1.2 Eventualforderungen (Contingent Claims) 13 Beweis: Übung. 1.2 Eventualforderungen (Contingent Claims) Definition 1.19 Ein Contingent Claim (oder Claim) ist eine Zufallsvariable C auf (Ω, F, P), so dass 0 C < P f.s.. Ein Derivat ist ein Contingent Claim C welcher σ(s 0,..., S d )-messbar ist, d.h. C = f(s 0,..., S d ), für eine messbare Funktion f : R d+1 R +. Bemerkung 1.20 (a) Ein Contingent Claim ist ein Finanzprodukt, bei dem der Verkäufer des Claims sich zur Zahlung von C = C(ω) (Payoff) an den Käufer zum Zeitpunkt t = 1 verpflichtet. (b) An Finanzmärkten existieren auch Claims/Derivate mit möglichen negativen Payoffs (Kombination von long/short-positionen in Derivate mit nicht negativen Payoffs). Beispiel 1.21 (Ein paar Derivate) (a) FORWARD Ein Vertrag in dem zum Zeitpunkt t = 0 ein fester Preis K (forward price) für ein bestimmtes Wertpapier S i zum Zeitpunkt t = 1 vereinbart wird. Payoff: C(ω) = S i (ω) K. (b) CALL OPTION Ein Vertrag, der dem Käufer der Call Option die Möglichkeit (Option), aber nicht die Verpflichtung gibt, ein Wertpapier S i zu einem festen Preis K (strike price) zum Zeitpunkt t = 1 zu kaufen. Payoff: C(ω) = ( S i (ω) K) + := max{s i K, 0}. } {{ } Basiswert

20 14 1 Arbitragetheorie in einer Periode (c) PUT OPTION Ein Vertrag, der dem Käufer der Put Option die Möglichkeit aber nicht die Verpflichtung gibt, ein Wertpapier S i zu einem festen Preis K (strike price) zum Zeitpunkt t = 1 zu verkaufen. Zum Zeitpunkt t = 1 gilt: S i K = (S i K) + (K S i ) +. Unter der Arbitragefreiheit muss dann auch die Gleichheit für die Preise zum Zeitpunkt t = 0 gelten: π i K = π(call) π(p ut). 1 + r Daraus folgt die sogenannte Put-Call-Parität: π(call) = π(p ut) + π i K 1 + r. (d) BASKET-OPTION Optionen/Derivate auf ein Portfolio von Wertpapieren mit V (ω) = ξ S(ω) als Basiswert. Zum Beispiel: Call: (V K) + Put: (K V ) +.

21 1.2 Eventualforderungen (Contingent Claims) 15 (e) STRADDLE Eine Absicherung dagegen, dass sich ein Portfoliowert V = ξ S von seinem Anfangswert π(v ) weg bewegt, egal in welche Richtung: C = (V π(v )) + + (π(v ) V ) + (= Call + P ut ) = V π(v ). Definition 1.22 (arbitragefreie Preise eines Claims) π C 0 ist ein arbitragefreier Preis für einen Claim C, falls der erweiterte Markt (π 0,..., π d, π d+1 = π C ), (S 0,..., S d, S d+1 = C) (1.4) arbitragefrei ist. Wir notieren die Menge aller arbitragefreien Preise von C mit Π(C). Proposition 1.23 Sei C ein Claim in einem arbitragefreien Markt ( π, S). Dann ist die Menge Π(C) aller arbitragefreien Preise für C gegeben durch: { [ ] } C Π(C) = E P P P äquivalentes Martingalmaß mit E P [C] < 1 + r Π(C) ist ein nicht-leeres Intervall. Beweis: Sei π C Π(C). Laut Theorem 1.10 (FTAP) existiert ein äquivalentes Martingalmaß P für unseren erweiterten Markt (1.4), d.h. [ ] S P i P und E P = π i für alle i = 0,..., d r Insbesondere ist dann wegen

22 16 1 Arbitragetheorie in einer Periode E P [ ] C = π C 1 + r P P und E P [ C ] = E P [C] = (1 + r)π C <. [ ] Sei nun π C := E P für ein P P. Dann ist P auch ein äquivalentes C 1+r Martingalmaß für den erweiterten Markt (1.4). Laut Theorem 1.10 (FTAP) ist dann π C Π(C). Wir zeigen nun, dass Π(C) ein nicht-leeres Interval ist. (i) Zunächst zeigen wir, dass Π(C) konvex ist: für P 1, P 2 P mit E P 1,P [C] < und λ [0, 1] gilt: 2 [ ] [ ] [ ] C C C λe P 1 + (1 λ)e P 1 + r 2 = E P Π(C), 1 + r 1 + r wobei P := λp 1 + (1 λ)p 2 P und E P [C] <. (ii) Nun zeigen wir, dass Π(C) nicht-leer ist. Sei P P definiert durch Dann gilt: d P dp = C 1 [ E P 1 1+C [ ] E P[C] 1 = E P 1 + C C 1 [ E P ]. 1 1+C ] <. Laut Theorem 1.10 (FTAP) existiert ein äquivalentes Martingalmaß P P mit dp dp beschränkt, d.h. k, für eine Konstante k > 0, so d P d P dass ] E P [C] = E P [C dp K dp E P[C] <. [ ] Somit gilt π C = E P Π(C). C 1+r Definition 1.24 Die untere bzw. obere Arbitragegrenze eines Claims C ist definiert als π inf (C) := inf Π(C) [0, ) bzw. π sup (C) := sup Π(C) [0, ]. Theorem 1.25 (Dualitätsrelationen für Arbitragegrenzen) In einem arbitragefreien Marktmodell sind die Arbitragegrenzen eines Claims C gegeben durch

23 1.2 Eventualforderungen (Contingent Claims) 17 (a) (b) π inf (C) = inf P P E P = max π sup (C) = sup [ C ] 1 + r { m [0, ) ξ R d mit m + ξ Y E P P P = min [ C ] 1 + r { m [0, ) ξ R d mit m + ξ Y C } 1 + r P f.s.. C } 1 + r P f.s.. Beweis: Wir beweisen nur (b), der Fall (a) wird analog bewiesen. Zunächst zeigen wir, dass π sup (C) inf M, wobei { M := m [0, ] ξ R d mit m + ξ Y C } 1 + r P f.s.. Sei m M und P P. Dann folgt und damit E P inf M sup E P P P [ ] P C P E P [m + ξ Y ] = m 1 + r [ ] C 1 + r Nun zeigen wir inf M π sup (C). 1. Der Fall π sup (C) = ist trivial. sup E P P P E P [C]< [ ] C = π sup (C). 1 + r 2. Sei π sup (C) < und m > π sup (C). Aus Proposition 1.23 folgt die Existenz einer Arbitragemöglichkeit im erweiterten Markt mit π d+1 = m und S d+1 = C. Also existiert ein ( ξ, ξ d+1 ) R d+1, so dass ( ) C ξ Y + ξ d r m 0 P f.s. und ( ( ) C P ξ Y + ξ d r m ) > 0 > 0 P f.s..

24 18 1 Arbitragetheorie in einer Periode Da das ursprüngliche Marktmodell (π, S) arbitragefrei ist, ist ξ d+1 0. Desweiteren gilt für P P mit E P [C] < [ ( )] ( [ ] ) C C E P ξ Y + ξ d r m = ξ d+1 E P m r Da m > π sup (C) gilt aber E P [ ] C m < r Und damit ξ d+1 < 0. Daraus folgt für η := ξ ξ d+1 also m M. Es folgt nun m + η Y C 1 + r P f.s., inf M π sup (C). Zuletzt zeigen wir, dass { inf M = min m [0, ) ξ R d mit m + ξ Y C } 1 + r P f.s.. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei inf M < und das Marktmodell nicht redundant (Bemerkung 1.17). Sei (m n ) n N M mit lim m n = inf M = π sup (C) n und wähle für alle n N ein ξ n R d, so dass m n + ξ n Y C 1 + r P f.s.. 1. Fall: (ξ n ) n N beschränkt (d.h. es existiert k > 0, so dass ξ n < k für alle n N). k Dann existiert eine konvergente Teilfolge ξ nk ξ R d, so dass das heißt π sup (C) + ξ Y = lim (m n k + ξ nk Y ) C k 1 + r P f.s., π sup (C) M.

25 1.2 Eventualforderungen (Contingent Claims) Fall: (ξ n ) n N nicht beschränkt. Es existiert also eine Teilfolge ξ nk, so dass lim k ξ n k =. Definiere η k := ξ n k ξ nk, k N. Offensichtlich gilt η k = 1 für alle k N. Die Folge (η k ) k N ist also beschränkt. l Es existiert also eine konvergente Teilfolge η kl η mit η = 1. Dann gilt ( ) mnkl lim l ξ nkl + η C 1 k l Y = η Y lim l 1 + r ξ nkl = 0, P f.s. Da das Martkmodell arbitragefrei ist, folgt η Y = 0 P f.s. Außerdem ist das Marktmodell nicht redundant, was η = 0 impliziert. Dies steht im Widerspruch zu η = 1. Demnach ist nur der erste Fall möglich. Definition 1.26 Sei C ein Claim. Ein Portfolio ξ R d+1 heißt Sub- bzw. Superhedge von C, falls ξ S C bzw. ξ S C P f.s.. Wir nennen ξ π Sub- bzw. Superhedgingpreis von C. Gilt sogar ξ S = C P f.s., dann heißt der Claim C replizierbar (oder attainable), d.h. C V aus Definition Wir nennen ξ Hedge, oder replizierendes Portfolio von C. Bemerkung 1.27 (a) Sei ξ ein Superhedge von C. Für den Claimpreis π C = ξ π (Superhedgingpreis) kann sich der Verkäufer des Claims mittels Kauf des Superhedgeportfolios gegen jegliche Claimforderung zum Zeitpunkt t = 1 absichern. (b) Analog bietet für einen Subhedge ξ der Claimpreis π C = ξ π (Subhedgingpreis) dem Käufer die Möglichkeit den Claimpreis durch Verkauf des Subhedgeportfolios zu decken. (c) Ist C replizierbar durch ein Portfolio ξ, so ist der Preis ξ π des replizierenden Portfolio sowohl (maximaler) Subhedgingpreis wie auch (minimaler) Superhedgingpreis. Interpretation von (a) und (b) in Theorem 1.25 zu (b): Ist ξ ein Superhedge von C, so erfüllen m := ξ π und η = ξ

26 20 1 Arbitragetheorie in einer Periode denn es gilt m + η Y C 1 + r P f.s., genau dann, wenn ξ S 1 + r C 1 + r ξ π }{{} =m + ξ S 1 + r ξ π } {{ } =η Y Sei umgekehrt m [0, ) und η R d, so dass C 1 + r. m + η Y C 1 + r P f.s.. Dann ist ξ = (m η π, η) ein Superhedge von C mit ξ π = m. π sup (C) in (b) ist also der minimale Superhedingpreis. zu (a): Analog ist π inf (C) in (a) der maximale Subhedgingpreis. Korollar 1.28 Das Marktmodell sei arbitragefrei, weiterhin sei C ein Claim. (a) C ist replizierbar genau dann, wenn ein eindeutiger arbitragefreier Preis π C existiert, d.h. Π(C) = 1. (b) Ist C nicht replizierbar, so gilt und Beweis: (a) Ist C replizierbar, so gilt π inf (C) π inf (C) < π sup (C) Π(C) = (π inf (C), π sup (C)). T hm P rop = π sup (C) Π(C), d.h. Π(C) = 1. Die Umkehrung folgt aus (b). (b) Aus Proposition 1.23 folgt, dass Π(C) ein nicht-leeres Intervall ist. Wir zeigen nun π inf (C), π sup (C) / Π(C).

27 1.2 Eventualforderungen (Contingent Claims) 21 Aus Theorem 1.25 folgt die Existenz eines ξ R d, so dass π inf (C) + ξ Y C 1 + r P f.s.. (1.5) Wir betrachten nun den erweiterten Markt ( (π, π inf (C)), (S, C) ) und das Portfolio (ξ π π inf (C), ξ, 1) R d+2. Für t = 0 gilt dann Und für t = 1 erhalten wir ξ π π inf (C) ξ π + π inf (C) = 0. (ξ π π inf (C))(1 + r) ξ S + C (1.5) 0 P f.s. und P((ξ π π inf (C))(1 + r) ξ S + C > 0) > 0 P f.s., da C nicht replizierbar ist. Es existiert also eine Arbitragemöglichkeit im erweiterten Markt. Damit gilt π inf (C) / Π(C). Für π sup (C) / Π(C) folgt der Bewewis analog. Bemerkung 1.29 Aus Korollar 1.28 folgt: (i) Ist C replizierbar durch ein Portfolio ξ, so ist der maximale Subhedgingpreis π inf (C) und der minimale Superhedgingpreis π sup (C) gegeben durch den eindeutigen arbitragefreien Claimpreis ξ π. (ii) Ist C nicht replizierbar, sind Sub- bzw. Superhedgingpreise nicht arbitragefrei! Beispiel 1.30 (Universal arbitrage bounds for put and call options) Wir betrachten im Folgenden ein arbitragefreies Marktmodell, sowie Put und Call Optionen auf dem i-ten Wertpapier mit Strike K. C Call := (S i K) +, C P ut := (K S i ) +. Offensichtlich gilt C Call S i, so dass [ ] C Call E P π i für alle P P, i = 0,..., d. (1.6) 1 + r

28 22 1 Arbitragetheorie in einer Periode Andererseits erhalten wir aus der Jensenschen Ungleichung, dass E P [ ] C Call 1 + r = ( [ S i E P 1 + r ( π i K 1 + r ] ) + K 1 + r ) +, (1.7) für i = 0,..., d. Aus (1.6) und (1.7) erhalten wir die folgenden Arbitragegrenzen für eine Call Option: ( π i K ) + π inf(c Call ) π sup(c Call ) π i, 1 + r für i = 0,..., d. Für C P ut ergibt sich analog ( ) + K 1 + r πi π inf(c P ut ) π sup(c P ut ) K 1 + r für i = 0,..., d. Für r 0 gilt weiterhin (π i K) + π inf (C Call ) für i = 0,..., d. Dabei wird (π i K) + intrinsic value gennant, und es folgt, dass für einen arbitragefreien Preis π Call der Time Value π Call (π i K) + einer Call Option positiv ist. Für Put Optionen ist der intrinsic value (K π i ) + nur für r 0 eine untere Schranke. Man sagt im Fall intrinsic value > 0: π i = K: sonst: Option is in the money Option is at the money Option ist out of the money 1.3 Vollständigkeit von Marktmodellen Definition 1.31 Ein Marktmodell heißt vollständig ( complete), falls jeder Claim replizierbar ist. Theorem 1.32 (Second FTAP) Ein Marktmodell ist arbitragefrei und vollständig genau dann, wenn d.h. es existiert genau ein P P. P = 1,

29 1.3 Vollständigkeit von Marktmodellen 23 Beweis: Angenommen das Marktmodell ist arbitragefrei und vollständig. Aus der Vollständigkeit des Marktmodells folgt, dass für alle A F die Indikatorfunktion 1 A ein replizierbarer Claim ist. Korollar 1.28 (a) impliziert nun, dass P (A) = E P [1 A ] unabhängig von der Wahl von P P ist, da das Marktmodell arbitragefrei ist. Damit ist P = 1. Angenommen P = {P }. C sei ein Claim und Π(C) = { [ ] } C E P P P, E P [C] < 1 + r die nicht-leere Menge der arbitragefreien Preise (Prop.1.23). Da P = 1 folgt Π(C) = 1. Mit Korollar 1.28 (a) folgt nun, dass C replizierbar ist. Proposition 1.33 Ist das Marktmodell vollständig, so gilt L 0 (Ω, F, P) = span(s 0,..., S d ) := { ξ S ξ R d+1} = V. Insbesondere ist F = σ(s 0,..., S d ) modulo P-Nullmengen. Weiterhin existiert eine Partition von Ω in höchstens (d + 1) Atome in (Ω, F, P). Ist das Modell zusätzlich arbitragefrei, also P = {P }, gilt weiterhin Bemerkung 1.34 L 0 (Ω, F, P) = L 1 (Ω, F, P ). (a) Zur Erinnerung: Ein Atom aus (Ω, F, P) ist ein A F, so dass P(A) > 0 und für alle B F mit B A gilt P(B) = 0 oder P(B) = P(A). (b) Proposition 1.33 besagt also, dass vollständige Einperiodenmodelle endliche Wahrscheinlichkeitsräume implizieren. Vollständige Modelle in diskreter Zeit sind also sehr limitiert! Beweis: Offensichtlich gilt L 0 (Ω, F, P) ( falls P P ) L 1 (Ω, F, P ) V. Sei das Modell vollständig und Z L 0 (Ω, F, P). Dann sind die Claims Z := min{0, Z} und Z + := max{0, Z} replizierbar und somit in V. Da Z = Z + Z, ist Z auch in V und damit dim L 0 (Ω, F, P) d + 1. Falls das Marktmodell nicht-redundant ist, gilt insbesondere dim L 0 (Ω, F, P) = d + 1. Ist das Modell zusätzlich arbitragefrei, also P = {P }, ist L 0 (Ω, F, P) = L 1 (Ω, σ(s 0,..., S d ), P) = V. Wir benötigen das folgende Hilfslemma: Für p [0, ] gilt

30 24 1 Arbitragetheorie in einer Periode dim L p (Ω, F, P) = sup { n N Partition A 1,..., A n von Ω mit A i F und P(A i ) > 0 }. Beweis des Hilfslemmas: Sei A 1,..., A n eine Partition mit P(A i ) > 0. Dann sind 1 A 1,..., 1 A n linear unabhängig in L p (Ω, F, P) und somit ist dim L p (Ω, F, P) n. Sei n 0 := sup { n N Partition A 1,..., A n von Ω mit A i F und P(A i ) > 0 } und o.b.d.a. n 0 <. Sei A 1,..., A n0 eine entsprechende Partition. Dann ist A i ein Atom, i = 1,..., n 0, nach der Definition von n 0, und somit ist Z L p (Ω, F, P) P-f.s. konstant auf A i, i = 1,..., n 0. Dann hat Z die Form n 0 Z = z i 1 A i i=1 mit z i := Z(ω), ω A i. Also bilden 1 A 1,..., 1 A n 0 eine Basis von L p (Ω, F, P) und es gilt dim L p (Ω, F, P) = n 0. Somit sind das Hilfslemma und damit auch die Proposition gezeigt.

31 2 Arbitragetheorie im Mehrperiodemodell Im Folgenden wollen wir die dynamische Erweiterung des Einperiodenmodells für Finanzmärkte auf mehrere Zeitschritte t = 0,..., T betrachten. Dieses erweiterte Modell erlaubt dann dynamische Portfolioumschichtungen zu Zeitpunkten t = 0, 1,..., T. 2.1 Grundlagen Mehrperiodemodelle Im Folgenden sei wie zuvor (Ω, F, P) der zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum.

32 26 2 Arbitragetheorie im Mehrperiodemodell Definition 2.1 Sei (E, E) ein messbarer Raum. Ein stochastischer Prozess X = (X t ) t {0,1,...,T } mit Werten in (E, E) ist eine Familie von Zufallsvariablen X t, t = 0, 1,..., T, mit Werten in (E, E), also messbare Abbildungen X t : (Ω, F) (E, E). Definition 2.2 Eine Familie (F t ) t {0,1,...,T } von σ-algebren F t F, auf (Ω, F) heißt Filtration, falls das heißt: F 0 F 1... F T F. Bemerkung 2.3 F s F t für alle s < t, (i) Im Folgenden gelte stets F 0 := {, Ω} und F T = F. (ii) Den filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum notieren wir im Folgenden mit ( ) Ω, (F t ) t {0,1,...,T }, F, P. (iii) Für alle t = 0, 1,..., T modelliert F t die bis zum Zeitpunkt t beobachtbaren Ereignisse bzw. die verfügbaren Informationen am Markt zum Zeitpunkt t. Definition 2.4 Sei (X t ) t=0,...,t ein stochastischer Prozess auf ( ) Ω, (F t ) t {0,1,...,T }, F, P. Der Prozess heißt (a) adaptiert, falls für alle t = 0,..., T die Zufallsvariable X t (ω) F t -messbar ist. (b) vorhersehbar oder previsibel (predictable), falls für alle t = 1,..., T die Zufallsvariable X t (ω) F t 1 -messbar ist. 1 Kommen wir nun zu der Spezifikation unseres Marktmodells in mehreren Perioden (Mehrperiodenmodell). Wie zuvor sind d + 1 Wertpapiere (Assets) gegeben, die notiert sind durch S i = ( St i ), i = 0,..., d, t=0,...,t wobei nun S i 0 ein positiver adaptierter Prozess ist für alle i = 0,..., d. Wir notieren weiterhin: S := ( S 0, S ) := ( ) St 0, St 1,..., St d 2 t=0,...,t 1 In dieser Definition ist (b) stärker als (a). Das heißt, jeder previsibler Prozess ist adaptiert, jedoch ist ein adaptierter Prozess nicht zwingend previsibel. 2 S ist ein R d+1 -wertiger stochastischer Prozess und S ist ein R d -wertiger stochastischer Prozess.

33 2.1 Grundlagen Mehrperiodemodelle 27 Definition 2.5 Eine Strategie oder Portfolio ξ = ( ξt ) t=1,...,t ist ein ( R d+1, B ( R d+1)) -wertiger, previsibler Prozess. Wir notieren ξ := ( ξ 0, ξ ) := ( ξt 0, ξt 1,..., ξt d ) t=1,...,t. Bemerkung 2.6 Der Wert ξ i t einer Strategie ξ entspricht der Anzahl des i-ten Wertpapieres S i im Portfolio während der t-ten Handelsperiode von t 1 bis t. ξ t wird also auf Grund der zur Zeit t 1 verfügbaren Information bestimmt und ist damit F t 1 -messbar, also previsibel. Der einer Strategie ξ zugeordnete Portfoliowert zur Zeit t 1 ist also der sich bis zur Zeit t zum Wert ξ t S t 1 = ξ t S t = d ξts i t 1, i i=0 d ξts i t i entwickelt. Zum Zeitpunkt t kann dann die Neustrukturierung des Portfolios von ξ t nach ξ t+1 erfolgen. i=0 Definition 2.7 Eine Strategie ξ = ( ξt )t=1,...,t heißt selbstfinanzierend, falls ξ t S t = ξ t+1 S t, für alle t = 1,..., T 1. Bemerkung 2.8 Für eine selbstfinanzierende Strategie ξ gilt ξ t+1 S t+1 ξ t S t = ξ t+1 ( St+1 S t ). (2.1) Das heißt, die Wertveränderung des Portfolios resultiert lediglich aus der Wertveränderung (Marktfluktuation) der Wertpapierpreise und nicht aus

34 28 2 Arbitragetheorie im Mehrperiodemodell zusätzlichen Zu- oder Abflüssen von Kapital. Durch Summierung in (2.1) erhalten wir für alle t = 1,..., T ξ t S t = ξ 1 S 0 + t ξ k ( Sk S ) k 1. k=1 ξ 1 S 0 ist also das nötige Startkapital zum Kauf des Portfolios ξ, welches sich dann bis zum Zeitpunkt t entsprechend der Wertveränderung der Wertpapiere entwickelt. Annahme 2.9 Im Folgenden nehmen wir an, dass S 0 t > 0 P f.s. für alle t = 0,..., T und verwenden S 0 als Numéraire. Bemerkung 2.10 Typischerweise modelliert S 0 ein (lokal) risikofreies Wertpapier (Bond, Bankkonto): S und S 0 t = wobei (r k ) k=1,...,t ein previsibler Prozess ist. Verzinsung von x Euro auf dem Bankkonto: t (1 + r k ), k=1 Der Zinssatz r t ist im Mehrperiodenmodell i.a. zwar stochastisch, aber schon zu Anfang t 1 der Periode [t 1, t] bekannt (previsibel), in diesem Sinne also lokal risikofrei. Definition 2.11 Die diskontierten Preisprozesse notieren wir mit Xt i := Si t St 0, t = 0,..., T, i = 0,..., d und den diskontierten Portfoliowertprozess zu einer Strategie ξ mit V ξ 0 := ξ 1 X 0 und V ξ t := ξ t X t für alle t = 1,..., T, ( wobei X = Xt )t=0,...,t := ( ) Xt 0, Xt 1,..., Xt d t=0,...,t. Wie üblich notieren wir X = (X t ) t=1,...,t := (Xt 1,..., Xt d ) t=0,...,t, also

35 2.2 Arbitrage und Fundamental Theorem of Asset Pricing 29 X = (X 0, X). Der diskontierte Gewinnprozess (Wertveränderungsprozess, gains-process) zu einer Strategie ξ ist definiert als G 0 := 0 und G t := t ξ k (X k X k 1 ) für alle t = 1,..., T, k=1 wobei (X k X k 1 ) = ( X 1 k X1 k 1,..., Xd k Xd k 1) =: Yk. Proposition 2.12 Sei ξ eine Strategie. Dann sind äquivalent: (a) ξ ist selbsfinanzierend. (b) ξ t X t = ξ t+1 X t für alle t = 1,..., T 1. (c) V t = V 0 + G t = ξ 1 X 0 + t k=1 ξ k (X k X k 1 ) für alle t = 1,..., T. Beweis: Übung. Bemerkung 2.13 (i) Ist ξ selbstfinanzierend, dann gilt für die Investition in den Numéraire ξ 0 t+1 ξ 0 t Prop = (ξ t+1 ξ t ) X t für t = 1,..., T 1. Da ξ 0 1 = V 0 ξ 1 X 0, ist jede selbstfinanzierende Strategie ξ eindeutig gegeben durch das Startkapital V 0 und die Strategie ξ in den Wertpapieren S 1,..., S d. Umgekehrt existiert zu jedem Startkapital V 0 und jeder Strategie ξ eine eindeutige selbsfinanzierende Strategie ξ. (ii) Analog zu Einperiodenmodellen heißt ein Mehrperiodenmodell nichtredundant, falls: ξ t (X t X t 1 ) = 0 P-f.s. ξ t = 0 P-f.s. für alle t {1,..., T } und ξ t L 0 (Ω, F t 1, P, R d ). 2.2 Arbitrage und Fundamental Theorem of Asset Pricing Definition 2.14 Eine Arbitragemöglichkeit ist eine selbstfinanzierende Strategie ξ mit V ξ 0 0 P f.s., V ξ T 0 P f.s. und P [ V ξ T > 0 ] > 0.

36 30 2 Arbitragetheorie im Mehrperiodemodell Proposition 2.15 Ein Modell besitzt eine Arbitragemöglichkeit genau dann, wenn es t {1,..., T } und η L 0 ( Ω, F t 1, P; R d)3 gibt, so dass η (X t X t 1 ) 0 P f.s. und P (η (X t X t 1 ) > 0) > 0. Ein Mehrperiodenmodell ist also arbitragefrei genau dann, wenn die jeweiligen Einperiodenmodelle (mit stochastischen Anfangsbedingungen) arbitragefrei sind. Beweis: Sei ( ξ 0, ξ ) eine Arbitrage und { ( ) } t := min k V ξ k 0 P f.s. und P V ξ k > 0 > 0. Dann gilt t T und entweder V ξ t 1 = 0 P f.s. oder P [ V ξ t 1 < 0 ] > 0. Betrachten wir zunächst den Fall V ξ t 1 = 0 P f.s.. Mit η := ξ t gilt dann η (X t X t 1 ) = V ξ t V ξ t 1 = V ξ t 0 P f.s. und P (η (X t X t 1 ) > 0) > 0. ( ) Betrachten wir nun den Fall P V ξ t 1 < 0 > 0. Sei η := ξ t 1 { V ξ. Dann t 1 <0} ist η F t 1 -messbar und ( ) η (X t X t 1 ) = V ξ t V ξ t 1 1 { V ξ. t 1 <0} Weiter gilt ( ) V ξ t V ξ t 1 1 { V ξ V ξ t 1 <0} t 1 1{ V ξ 0 t 1 <0} P f.s. und ( ( ) ) P V ξ t V ξ t 1 1 { V ξ > 0 > 0. t 1 <0} Beweisen wir nun die Rückrichtung. Für gegebene η und t definieren wir { η, falls t = s ξ s := 0, sonst 3 Das heißt mit Werten in R d.

37 2.2 Arbitrage und Fundamental Theorem of Asset Pricing 31 und betrachten die eindeutige selbstfinanzierende Strategie ξ = ( ξ 0, ξ ) mit V 0 = 0 (Bemerkung 2.13 (i)). Dann ist V ξ T = V ξ T 0 + ξ k (X k X k 1 ) = η (X t X t 1 ) 0 k=1 P f.s. und ( ) P V ξ T > 0 > 0. ξ ist also eine Arbitragestrategie. Im Folgenden werden wir uns Martingalmaßen im Mehrperiodenmodell zuwenden: Definition 2.16 Ein stochastischer Prozess M = (M t ) ( ) t=0,...,t auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum Ω, (F t ) t=0,...,t, F, Q heißt Martingal, falls (a) M adaptiert an (F t ) t=0,...,t, (b) M t L 1 (Ω, F, P) für alle t = 0,..., T, (c) E Q [M t F s ] = M s für 0 s t T. Es ist leicht zu zeigen (Turmeigenschaft der bedingten Erwartung), dass (c) äquivalent ist zu (c ) E[M t+1 F t ] = M t für alle t = 0,..., T 1. Martingalmaße entsprechen der mathematischen Formulierung eines faire game : zu jedem Zeitpunkt ist die bedingte Erwartung des zukünftigen Gewinns gleich Null. Beispiel 2.17 (Fairer Münzwurf). (X i ) i=1,...,t sei eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen mit P (X i = 1) = P (X i = 1) = 1 2. Die Filtration (F n ) n=1,...,t sei gegeben durch F n := σ (X 1,..., X n ). Definiere M t := t i=1 X i. Dann ist (M t ) t=1,...,t ein Martingal, denn M t ist F t -messbar für alle t = 1,..., T, also adaptiert.

38 32 2 Arbitragetheorie im Mehrperiodemodell E [ M t ] t i=1 E [ X i ] = t < für alle t = 1,..., T. E [M t F t 1 ] = E [M t 1 + X t F t 1 ] = M t 1 + E [X t ] E[Xt]=0 = M t 1. Definition 2.18 Ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q auf (Ω, F) heißt Martingalmaß (oder risikoneutrales Maß), falls die diskontierten Preisprozesse X i, i = 1,..., d, Q-Martingale bzgl. (F t ) t=0,...,t sind. Wie zuvor notiert P die Menge der zu P äqivalenten Martingalmaße. Theorem 2.19 Folgende Aussagen sind äquivalent: (a) Q ist ein Martingalmaß. (b) Für alle selbstfinanzierende Strategien ξ = ( ξ 0, ξ ) mit ξ beschränkt ist V = (V t ) t=0,...,t ein Q-Martingal. (c) Für alle selbstfinanzierende Strategien ξ [ ] mit E Q V T < ist V ein Q-Martingal, wobei V := max { V, 0}. (d) Für alle selbstfinanzierende Strategien ξ mit V T 0 Q f.s. ist E Q [V T ] = V 0. 4 Beweis: (a) (b): Sei Q ein Martingalmaß und ξ selbstfinanzierend mit ξ i < c für eine Konstante c > 0, für alle i = 1,..., d. Dann gilt: V t = ξ t X t ist F t -messbar, t = 0,..., T und V t V 0 + c t X k + X k 1. 5 k=1 Da X k L 1 (Q) für alle k = 1,..., T, ist auch V t L 1 (Q) für alle t. Für 0 t T 1 ist V t ist also ein Q-Martingal. (b) (c): Sei E Q [V t+1 F t ] = E Q [V t + ξ t+1 (X t+1 X t ) F t ] = V t + ξ t+1 E Q [X t+1 X t F t ] Q P = V t. ξ (a) t := ξ t 1 { ξt a} für a > 0 und t = 1,..., T. 4 E Q [V T ] wohldefiniert, da nach Voraussetzung V T 0 Q f.s.. 5 Da V t = V 0 + t k=1 ξ k (X k X k 1 ), mittels Dreiecksungleichung und wegen ξ i < c.

39 2.2 Arbitrage und Fundamental Theorem of Asset Pricing 33 Nach (b) gilt dann E Q [ ξ (a) t (X t X t 1 ) F t 1 ] = 0, für alle t = 1,..., T. Wir führen den Beweis per Rückwärtsinduktion und betrachten zunächst den Zeitpunkt T. Da nach Annahme E Q [V T ] <, ist E Q[V T F T 1 ] wohldefiniert und es gilt: E Q [V T F T 1 ] 1 { ξt a} = E Q [ VT 1 { ξt a} F T 1 ] EQ [ ξ (a) T (X T X T 1 ) F T 1 ] Für a erhalten wir = E Q [ V T 1 { ξt a} ξ (a) T (X T X T 1 ) F T 1 ] = E Q [ VT 1 1 { ξt a} F T 1 ] = V T 1 1 { ξt a}. E Q [V T F T 1 ] = V T 1 Q-f.s.. Nehmen wir nun an, es gelte E Q [Vt ] < und E Q [V t F t 1 ] = V t 1 für t {1,..., T }. Dann gilt mit der Jensenschen Ungleichung [ ] [ E Q V t 1 = EQ E Q [V t F t 1 ] ] [ ] E Q V t <, also ist E Q [V t 1 F t 2 ] wohldefiniert und analog wie oben mit t 1 anstatt T folgt E Q [V t 1 F t 2 ] = V t 2 Q-f.s.. Durch Rückwärtsinduktion erhalten wir somit für alle t = 1,..., T [ ] E Q V t < und E Q [V t F t 1 ] = V t. (2.2) Da F 0 = {, Ω}, ist V 0, der Startwert des Portfolios, konstant und es gilt E Q [V t ] = E Q [V t F 0 ] (2.2) = V 0, und somit V t L 1 (Q) für alle t = 0,..., T. Folglich ist V ein Q-Martingal. (c) (d): Für alle Q-Martingale M gilt M 0 = E Q [M F 0 ], für alle t = 1,..., T

40 34 2 Arbitragetheorie im Mehrperiodemodell und wegen F 0 = {, Ω}, ist M 0 = E Q [M T F 0 ] = E Q [M T ]. Da V T 0 Q-f.s., ist nach Voraussetzung in (c) V ein Q-Martingal, also E[V T ] = V 0. (d) (a): Seien i {0,..., d} und t {1,..., T } gegeben. Wir zeigen zunächst X i t L 1 (Q). Wir definieren ξ i s := 1 {s t}, ξ j s := 0, für alle j i und alle 1 s T. Nach Bemerkung 2.13 existiert ein eindeutiger previsibler Prozess ξ 0, so dass (ξ 0, ξ) selbstfinanzierendes Portfolio mit Startkapital V 0 = X i 0 ist. Es gilt: V T = V 0 + T ξ s (X s X s 1 ) = Xt i 0. s=1 Also wegen (d) gilt und E Q [X i t] = E Q [V T ] = V 0 = X i 0 (2.3) X i t L 1 (Q), für alle i = 1,..., d und alle t = 0,..., T. Als nächstes zeigen wir die Martingaleigenschaft von X i unter Q: E Q [X i t1 A ] = E Q [X i t 11 A ] für alle A F t 1 und t {1,..., T }. Definiere nun ξ durch: { ξ j s := 0, falls j j ξ i s := 1 {s<t} + 1 {s=t} 1 A c, sonst Laut Bemerkung 2.13 existiert ein eindeutiger previsibler Prozess ξ 0, so dass (ξ 0, ξ) selbstfinanzierend mit Startkapital V 0 = X i 0 ist. Dann gilt Somit folgt wegen (d) Andererseits folgt aus (2.3) V T = V 0 + T ξ s (X s X s 1 ) s=1 = X i t 11 A + X i t1 A c 0. X i 0 = V 0 = E Q [V T ] = E Q [X i t1 A ] + E Q [X i t 11 A c]. (2.4)

41 2.2 Arbitrage und Fundamental Theorem of Asset Pricing 35 Aus (2.4) und (2.5) folgt dann X i 0 = E Q [X i t]. (2.5) E Q [X i t1 A ] = E Q [X i t 11 A ]. Theorem 2.20 (FTAP Mehrperiodenmodell) Das Marktmodell ist arbitragefrei genau dann, wenn P =. In diesem Fall existiert ein äquivalentes Martingalmaß P P mit beschränkter Dichte dp dp. Beweis: Sei P P und ξ eine Arbitragemöglichkeit, d.h. für die Strategie ξ gilt: (i) V 0 0, (ii) V T 0, (iii) P (V T > 0) > 0, da P P. Daraus folgt 0 V 0 Thm = (d) E P [V T ] > 0, was offensichtlich ein Widerspruch ist. Also muss der Markt arbitragefrei sein. Um die andere Richtung zu zeigen, betrachten wir, laut Proposition 2.15 zunächst die Situation in den einperiodigen Submodellen. Die Fortsetzung des Beweises folgt später. FTAP im Einperiodenmodell mit stochastischen Anfangsbedingungen Wir betrachten einperiodige Submodelle auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, (F t ) t=0,1, F, P). (i) Wir nehmen an, dass in dieser Untersektion F 0 eine generelle σ-algebra und im Allgemeinen nicht die triviale σ-algebra {, Ω} ist (stochastische Anfangsbedingungen). (ii) Ansonsten gelten die Annahmen und Definitionen wie im generellen Mehrperiodemodellen. Dann folgt aus Proposition 2.15, dass eine Arbitragemöglichkeit genau dann existiert, wenn es eine Strategie ξ = (ξ 0, ξ) L 0 (Ω, F 0, P; R d+1 ) gibt, so dass ξ Y := ξ (X 1 X 0 ) 0 P f.s. und P(ξ Y > 0) > 0.

42 36 2 Arbitragetheorie im Mehrperiodemodell Notation 2.21 Wir definieren folgende Mengen: K := {ξ Y ξ L 0 (Ω, F 0, P; R d )}, L p + := L p +(Ω, F 0, P) = {Z L p Z 0 P f.s.}, wobei p [0, + ], L p := L p (Ω, F 0, P) = {Z L p Z 0 P f.s.}, wobei p [0, + ], K L 0 + := {Z L 0 Z = ξ Y U für ξ Y K, U L 0 +}. Mit dieser Notation gilt: Der Markt ist arbitragefrei K L 0 + } {{ } alle positive Gewinnprofile = {0}. Theorem 2.22 (Fundamental Theorem of Asset Pricing) Es sind äguivalent: (a) K L 0 + = {0}. (b) (K L 0 +) L 0 + = {0}. (c) Es gilbt P P mit beschränkter Dichte dp dp. (d) P. Problem im Beweis: C := {E Q [Y F 0 ] Q P, E Q [ Y ] < } L 0 (Ω, F 0, P; R d ), d.h. ein Trennungsargument in R d ist im Allgemeinen nicht möglich, es sei denn F 0 = {, Ω}. Für den Beweis von Theorem 2.22 benötigen wir zunächst einige Ergebnisse. Theorem 2.23 (Essentielles Supremum) Sei Φ eine Menge von Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P). Dann existiert eine numerische Zufallsvariable X : Ω R {+ } mit folgenden Eigenschaften: (a) Für alle Y Φ gilt Y X P f.s.. (b) Für alle Z mit Y Z P f.s. für alle Y Φ gilt: Z X P f.s.. Weiterhin gibt es eine abzählbare Teilmenge Ψ Φ, so dass X = sup Y Ψ Y P f.s.. Wir nennen X das essentielle Supremum von Φ und schreiben:

43 2.2 Arbitrage und Fundamental Theorem of Asset Pricing 37 Mit ess sup Φ := ess sup Y := X. Y Φ ess inf Φ := ess inf Y Φ Y := ess sup( Y ) Y Φ bezeichnen wir das essentielle Infimum von Φ. Für eine Zufallsvariable X definieren wir: ess sup X : = inf{c R {+ } P(X c) = 1} = sup{c R {+ } P(X > c) = 0} und ess inf X := ess sup( X). Theorem 2.24 (Halmos-Savage) Sei Q eine Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen, die alle bezüglich P absolut stetig sind. Falls Q P 6, so gibt es eine abzählbare Teilmenge Q Q mit Q P, für alle Q Q. Beweis: Sei { } I(ω) := ess sup 1 { dq >0}(ω) Q Q 1 dp und A := {I < 1} = {I = 0}. Angenommen P(A) > 0, dann gibt es Q Q mit Q(A) > 0 (da Q P). Außerdem gilt ({ } ) d Q P dp > 0 A > 0. Also P({I = 1} A) > 0, was offensichtlich ein Widerspruch ist. Deshalb muss wegen P(A) = 0 gelten P(I = 1) = 1. Weiterhin existiert nach Theorem 2.23 eine abzählbare Teilmenge Q Q mit I = sup 1 { dq Q Q dp >0} P f.s.. Dann gilt Q P, denn aus Q(B) = 0, für ein B F, für alle Q Q folgt: I 1 B = 0 P f.s., also P(B) = 0. 6 Q Q, Q(A) = 0 P(A) = 0, A F.

44 38 2 Arbitragetheorie im Mehrperiodemodell Theorem 2.25 (Kreps-Yan) Sei C L 1 ein abgeschlossener, konvexer Kegel 7 mit L C und C L 1 + = {0}. Dann existiert ein Z L mit Z > 0 P f.s. und E[W Z] 0, für alle W C. Beweis: (i) Sei F L 1 + mit P(F > 0) > 0. Wir zeigen, es gibt Z L mit Z 1 P f.s. und E[F Z] > 0. Sei dazu B := {F }. Dann ist B konvex und kompakt. Außerdem gilt wegen F C: C B =. Laut dem Trennungssatz in Banachräumen (siehe Theorem C.21) existiert ein lineares stetiges Funktional l : L 1 R mit sup l(y ) < l(f ). (2.6) Y C Da 0 C, folgt 0 sup l(y ) < l(f ). Außerdem ist l von der Form Y C l(x) = E[ZX] für alle X L 1 und für ein geeignetes Z L (siehe Lemma C.11). Wir können o.b.d.a. annehmen, dass Ansonsten betrachten wir Z := Z := ess sup Z 1. Z Z. (ii) Wir zeigen, dass Z aus (i) folgende Eigenschaften hat: 1) E[ZY ] 0, für alle Y C, 2) Z 0 P f.s.. Zu 1): Angenommen es gibt ein Y C, so dass E[ZY ] > 0. Dann gilt für t > 0: 0 < te[zy ] = E[ }{{} ty Z] C 7 C ist ein Kegel x C, t 0 ist t x C.

45 2.2 Arbitrage und Fundamental Theorem of Asset Pricing 39 = l(ty ) = tl(y ) (2.6) E[F Z] = l(f ). (2.7) Da t beliebig war, folgt aus (2.7) l(f ) =, was ein Widerpruch ist. Deswegen gilt E[ZY ] 0 für alle Y C. Zu 2): Da L C, ist für alle A F, 1 A C. Aus 1) folgt: l( 1 A ) = E[1 A Z] 0, für alle A F. Mit A := {Z < 0} folgt P(Z < 0) = 0. (iii) Die in (i) zu jedem F L 1 +\{0} gefundenen Z F definieren nach (ii) ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q F, so dass Q F P mit Radon-Nikodym Dichte dq F dp = ZF E[Z F ]. Wir betrachten Q := {Q F F L 1 +\{0}}. Dann ist Q P, denn für alle A F mit P(A) > 0 gilt 1 A L 1 + und damit Q 1 A Q und Q 1 A (A) > 0. Laut Theorem 2.24 existiert eine abzählbare Teilmenge Q P. Sei nun Q := {Q F1, Q F2,...}, Z i := Z Fi, i N, und Q Q mit Z := i N Z i 2 i 1 P f.s.. Dann ist Z L 8 und P(Z > 0) = 1, denn für A := {Z = 0} F gilt 1 A Z = 0, und damit 1 A Z i = 0 P f.s. für alle i N. Das bedeutet aber Q Fi (A) = 0 für alle i N und damit Außerdem gilt für alle W C P(A) = 0. E[Z W ] dominierte 1 = Konvergenz 2 i E[Z iw ] (ii),1) 0. i N 8 weil 0 Z i 1, P f.s.

46 40 2 Arbitragetheorie im Mehrperiodemodell Beweis: (von Theorem 2.22) (c) (d): Klar. (d) (a): Wie in Theorem (a) (b): Sei K L 0 + = {0}. Für Z = ξ Y U (K L 0 +) L 0 + gilt: also 0 ξ Y U P f.s. ξ Y U 0 P f.s.. Damit ist ξ Y K L 0 +, also ξ Y = 0 laut Annahme, und damit U = 0, und schließlich Z = 0 P f.s.. (b) (a): offensichtlich, da K K L 0 +. (b) (c): (i) Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir E P [ X t ] < für t = 0, 1 an. Ansonsten gehen wir über zum Maß P P definiert durch d P dp = X 0 + X E[ 1+ X ]. 0 + X 1 Der Markt ist arbitragefrei unter P genau dann, wenn er arbitragefrei unter P ist. (ii) Angenommen C = (K L 0 +) L 1 ist abgeschlossen in (L 1, 1 ). C ist offensichtlich ein konvexer Kegel mit L C und C L 1 + = {0} (nach }{{} L 0 + (b)). Nach Theorem 2.25 (Kreps-Yan) gibt es Z L mit Z > 0 P f.s. und E[ZW ] 0, für alle W C. Wir definieren P P durch dp dp = Z E[Z] L (also beschränkte Radon-Nykodym Dichte) und zeigen, dass P P. Für alle ξ L (Ω, F 0, P; R d ) und für alle t R ist tξ Y C. Dann gilt aber: te[ξ Y Z] = E[tξ Y Z] 0, } {{ } C

47 2.2 Arbitrage und Fundamental Theorem of Asset Pricing 41 für alle t R, also Außerdem gilt E[ξ Y Z] = 0. E[ξ Y Z] = E[ξE[Y Z F 0 ]] = 0. Da ξ L (Ω, F 0, P; R d ) beliebig war, folgt E[Y Z F 0 ] = 0 P f.s.. Also gilt: E P [Y i F 0 ] = E P[Y i Z F 0 ] E P [Z F 0 ] für alle i = 1,..., d. Somit ist P P. = 0 P f.s., (iii) Es bleibt noch zu zeigen, dass C in (L 1, 1 ) abgeschlossen ist. Siehe dazu Korollar 2.29 später. Lemma 2.26 Sei (ξ n ) n N L 0 (Ω, F, P; R d ) eine Folge mit lim inf n ξ n < P f.s.. Dann existiert ein ξ L 0 (Ω, F, P; R d ) und eine Folge strikt monoton wachsender F 0 -messbarer Zufallsvariablen σ m : Ω N, m N, so dass gilt ξ σm(ω)(ω) ξ(ω) P f.s.. Beweis: Sei Λ(ω) := lim inf n ξ n(ω). Wir definieren σ 0 1(ω) : = 1 und rekursiv { { } σk+1(ω) 0 : = min n N n > σk 0(ω), ξ n(ω) Λ(ω) 1 k+1, falls Λ(ω) < k + 1, sonst. Weiter definieren wir rekursiv für i = 1,..., d und σ i 1(ω) : = 1 ξ i := lim inf n ξi σm i 1

48 42 2 Arbitragetheorie im Mehrperiodemodell σ i k+1(ω) : = { { min k + 1 σ i 1 n (ω) σ i 1 (ω) > σk i (ω), ξi σ i 1 n für k = 1, 2,.... Dann sind σ i k, i = 0,..., d und k N, F 0-messbar (Übung) und σ i k < σ i k+1, n } (ω) ξ i (ω) 1 k+1, falls ξ i (ω) <, sonst, für alle i = 0,..., d, k N. Die Folge σ m := σm d ergibt dann die gewünschte Folge von Zufallsindizes. Lemma 2.27 Falls K L 0 + = {0} 1, dann ist K L 0 + abgeschlossen in L 0. Beweis: Sei W n (K L 0 n +), so dass W n W L 0 in Wahrscheinlichkeit. Dann existiert eine Teilfolge, die wir o.b.d.a. wieder mit (W n ) n N bezeichnen, so dass W n W L 0 P f.s.. n Seien ξ n L 0 (Ω, F 0, P; R d ), U n L 0 +, so dass W n = ξ n Y U n. Wir zeigen Sei dazu A := lim inf ξ n < n { } ω Ω lim inf ξ n = n P f.s.. und setze Dann ist η n := ξ n ξ n 1 { ξ n >0}, n N. lim inf n η n 1. Aus Lemma 2.26 folgt die Existenz einer Folge von F 0 -messbaren Zuvallsvariablen σ 1 < σ 2 <... und einem η L 0 (Ω, F 0, P; R d ), so dass Wir erhalten η σn η P f.s.. n 0 1 A U σn ξ σn 1 { ξ σn >0} = 1 A (η σn Y n 0 auf A P f.s. { }} { W σn ξ σn 1 { ξ n >0} ) n 1 A η }{{} F 0-messbar Y P f.s.. 1 d.h. das Marktmodell ist arbitragefrei.

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