In den meisten optoelektronischen Bauelementen werden kristalline Festkörper verwendet, d.h. die Atome bilden ein streng periodisches Gitter.

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1 II.2: Erinnerung an die Halbleiterphysik II.2.1: Kristalline Festkörper In den meisten optoelektronischen Bauelementen werden kristalline Festkörper verwendet, d.h. die Atome bilden ein streng periodisches Gitter. z.b. Si z.b. GaAs Abb. II.3: Kristallstrukturen

2 II.2: Erinnerung an die Halbleiterphysik: Periodische Potentiale Periodische Anordnung von Atomen Periodisches Potential V(x) Abb. II.3: Schematische Darstellung eines quantenmechanischen Elektrons in einem periodischen Potential eines kristallinen Festkörpers Drastische Effekte, wenn die halbe Wellenlänge der Elektronen (oder ein ganzzahliges Vielfaches) gleich der Periode des Potentials ist Ausbildung von stehenden Wellen

3 II.2: Erinnerung an die Halbleiterphysik: Bandlücken Abb. II.4: E(k)-Relationen ka Stehende Wellen für λ m =a ; 2 mit k = 2π λ 2π λ = k also für m = ; a π k Drastische Abweichung von der Parabelform Ausbildung von Bandlücken

4 II.2: Erinnerung an die Halbleiterphysik: Bloch-Elektronen II.2.2: Bloch-Elektronen Reduziertes Bandschema: nur Wellenvektoren mit IkI<π/a Verschiebung der anderen Teile der modifizierten Parabel in den Bereich um IkI=0 verschoben. Bandstrukturdiagramme für die Blochelektronen in periodischen Festkörpern. Abb. II.5: Bandstruktur von GaAs im Bereich der Bandlücke (Γ,L,X bezeichnen hierbei bestimmte Punkte im k-raum; Γ: k x =k y =k z =0, L,X: Rand der 1. Brillouinzone in unterschiedliche Richtungen)

5 Gegenüberstellung freie Elektronen Bloch-Elektronen Freie Elektronen Abb. II.6: Reduktion auf die erste Brillouin-Zone Bloch-Elektronen Klassifizierung nach dem Wellenvektor: Ψ ( r ) = e jkr k E k ( k) = 2m 0 2 mit Klassifizierung nach reduziertem Wellenvektor k und Bandindex n: Ψ ( ) = jkr nk r e u ( r) nk u ( r) = u ( r + R ) nk ka nk (gitterperiodische Funktion)

6 II.2: Erinnerung an die Halbleiterphysik: Effektive Massen II.2.3: Beschleunigung eines Elektrons: a) im Vakuum: a p k ee = = = tm m t m Änderung des Wellenvektors proportional zum elektrischen Feld c) im Festkörper gilt genauso: ee a = * m mit 1 1 = m* k ee = t E ( k) 2 n 2 2 k Beschleunigung mit effektiver Masse m*

7 II.2: Erinnerung an die Halbleiterphysik: Effektive Massen Effektive Massen können z.b. negativ werden

8 II.2: Erinnerung an die Halbleiterphysik: Effektive Masse in GaAs Beispiel: Effektive Massen in der Bandstruktur von GaAs Abb. II.7: Effektive Massen in GaAs

9 II.2: Erinnerung an die Halbleiterphysik: Bandlücken Abb. II.4: E(k)-Relationen Periodisches Potential führt zu Bandlücken, Darstellung im E(k)-Diagramm Die Bandstruktur in Galliumarsenid, dem wichtigsten Halbleiter der Optoelektronik. Bandlücke bei 1.52 ev 815 nm alle Zustände bis zur Fermi-Energie sind besetzt, oberhalb unbesetzt

10 III.1 Optische Übergänge: Anschaulich Material Elektromagnetische Welle (Licht) rüttelt am Elektron Elektron nimmt Energie auf Anheben in höheren Zustand 2> 1> Absorption Abb. III.2

11 III.1 Optische Übergänge: Analogie zum Schwingkreis Bei genauer Betrachtung tritt auch bei einem optischen Übergang - eine Polarisation (entspricht dem geladenen C) - und ein Polarisationsstrom auf. Ein optischer Übergang verhält sich wie ein Schwingkreis mit Antenne.

12 III.1 Optische Übergänge: Anschaulich Material Elektron fällt von einem Zustand in einen tieferliegenden Oszilliert dabei hin und her Aussendung von Licht 2> 1> spontane Emission Abb. III.3

13 III.1 Optische Übergänge: Anschaulich Elektromagnetische Welle (Licht) rüttelt am Elektron Elektron wird von einem Zustand in einen tieferliegenden gerissen Material 2> stimulierte Emission Oszilliert dabei hin und her 1> Aussendung von mehr Licht Abb. III.4 Verstärkung von Licht

14 III. Optische Eigenschaften von Halbleitern Optische Eigenschaften werden bestimmt durch optische Übergänge zwischen verschiedenen Bändern Optische Übergänge erfolgen unter Impulserhaltung (k-erhaltung) π k 2π 2π = = = 7,85 10 λ 800nm m 800nm 6 1 Photon Abb.III.1 Bandstruktur von GaAs a GaAs k GaAs el π = π = 5,56 10 m 10 a 5,65 10 m GaAs 9 1 Optische Übergänge erfolgen senkrecht

15 III.2 Optische Übergänge: Quantenmechanisch Bisher: Blochelektronen als Eigenzustände zum periodischen Potential des Festkörpers (=stationäre Lösungen der Schrödingergleichung) Wechselwirkung von Licht und Materie: Übergang zwischen verschiedenen Quantenzuständen Lösungen sind nicht mehr stationär explizite Betrachtung der über einen zeitabhängigen Phasenfaktor hinausgehenden Zeitabhängigkeit erforderlich Quantenmechanische Störungsrechnung

16 III.2 Optische Übergänge: Quantenmechanisch Zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion wird allgemein beschrieben durch: Ψ = t j H Ψ Störungsrechnung: Hamiltonoperator wird unterteilt in zeitunabhängigen und zeitabhängigen Anteil: H = H0 + H ' 2 2 H 0 = + V( r) 2m0 wobei V(r) das Gitterpotential ist, hat als Lösungen die Blochzustände: Ψ () r = e jkr u () r nk nk Licht als elektromagnetische Welle wird dann als eine Störung des Systems behandelt.

17 III.2 Optische Übergänge: Quantenmechanisch Hamiltonoperator für Elektron, das elektromagnetischen Welle ausgesetzt wird, lautet: e A H r t = j kr t j + 0 '(, ) exp[ ( ω )] ( ) konj. kompl. m0 2 Impulsoperator elektromagnetisches Vektorpotential Elektron in einem Blochzustand ψ n,k Einschalten der Störung H Blochzustand ist kein Eigenzustand mehr H induziert Übergänge zu anderen Quantenzuständen ψ n,k

18 III.2 Optische Übergänge: Quantenmechanisch Rate für Übergänge aus einem Zustand ψ 1 in einen Zustand ψ 2 : = 2π 2 3 Ψ * 1 2 2() '() Ψ W d r r H r 1() r δ( E ± 2 E1 ω) Fermis Goldene Regel Zeitliche Periodizität Delta-Funktion: Übergänge nur, wenn die Energie passt H (r) enthält keine explizite Zeitabhängigkeit mehr

19 Quantenmechanische Störungsrechnung Übergangsrate wird bestimmt durch das Übergangsmatrixelement: M dr ( rh ) ( r) ( r) 3 * ' = Ψ 2 Ψ 1 Vereinfachte (und auch allgemeinere) Schreibweise für dieses Integral: M ' = 2 H 1 Quantenzustände des Systems + Lichtintensität, Frequenz Vorhersage über die Rate der stimulierten Emission und der Absorption

20 Quantenmechanische Störungsrechnung Übergangsrate zwischen zwei Blochzuständen: 2π ea 2 W = p21 δ ( E2 E1 ±ω) m0 3 * mit: p21 = 2 p 1 = d ru2 ( r)( j ) u1( r) Valenzband Leitungsband -Beschreibt nur die Übergänge zwischen zwei einzelenen Blochzuständen -Beschreibt noch nicht die Rate für alle möglichen Übergänge zwischen zwei Bändern Summation über alle möglichen Paare von Zuständen, bei denen die Energie passt

21 Quantenmechanische Störungsrechnung Vereinfachungen: Übergänge finden nur senkrecht statt Matrixelement p 21 hängt nicht stark vom k-vektor (p cv =const.) Frage: Wieviele Paare von k-vektoren gibt es? Abzählen Gedankenexperiment:Halbleiter in kleine Würfel der Kantenlänge L (wobei L>> Gitterkonstante a) unterteilen Mögliche k-vektoren ergeben sich dann aus den Wellenfunktionen, die in die Würfel hineinpassen (periodisch fortsetzbar).

22 Quantenmechanische Störungsrechnung Die k-vektoren der Blochwellenfunktionen Ψ () r = e jkr u () r können nur diskrete Werte annehmen: nk 2π k, k, k = 0, ± n L x y z nk Dichte der Zustände im k-raum: L 2π 3 Zustände. -Anzahl der Zustände wieder auf das Volumen normieren -Quantenzustand kann von jeweils 2 Elektronen mit unterschiedlicher Spinausrichtung besetzt werden Ausdruck für die Zustandsdichte im k-raum: gk ( ) = 2 (2 π ) 3

23 Zustandsdichte Abb. III.5: Schema zur Berechnung der elektronischen Zustandsdichte

24 Zustandsdichte Übergang von der Summation zur Integration: Kontinuumsübergang: k ( ) 3 dk gk 2 Parabolische Näherung: Ecv, ( k) = Ecv, + k * 2m 0 2 eh, Überführung der Integration über k in Integration über die Energie Zentrale Größe der Halbleiterelektronik/Optoelektronik: Die energieabhängige Zustandsdichte g(e): 3 ( ) E+ de 1 gede ( ) = gkdk ( ) = 2 m E E (2 π ) E * 0 2 ch, cv, cv,

25 Übergangsrate Explizite Berechnung der spektralen Abhängigkeit der Übergangsrate: 2π ea W = p ( E ( k) E ( k) ± ω) tot 2 21 δ c v 4m0 k 3 tot 2 2 2π ea 2 1 2m 2 eff 2 c, v 2 2 4m 0 2π G W = p de E E δ ( E ω) mit: E = E E 0 0 G c v und m eff 1 1 = + me m * * h 1

26 Übergangsrate Das heißt, dass die Energieabhängigkeit der optischen Übergänge in direkten Halbleitern nahe der Bandlücke durch tot =. cv eff ω G W const p m E also einen wurzelförmigen Verlauf beschrieben werden kann.

27 Makroskopische Absorption Abb. III.7: Intensitätsprofil in einem absorbierenden Medium Ix ( ) = 0 Ie α x 2 ωw 2 tot e 2 2meff α = = p ω π ε ω 2 2 I 2 mc n 0 0 r 3 E 0