Anzahl( X ) Histogramm. Freizeit. S1 = Anzahl ( Groesse) S3 =

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1 3 Beschreibung von Verteilungen von numerischen Merkmalen 93 n 1 ( : = ( i = var( Summe ( X amittel( X s X x x X n i = 1 ( Anzahl( X oder PopStdAbw (X Wir betrachten als Beispiel die Körpergrößen im Muffins-Datensatz. Die mittlere absolute Abweichung, die wir auf zwei verschiedene Weisen ausgerechnet haben, und die Standardabweichung sind von derselben Größenordnung, in Einheiten gesprochen ist die s X = 0,090 m = 9,0 cm ist. Die Varianz MADmean ( X = 0,075 m = 7,5 cm, während ( var ( X = 0,0081m = 81cm. Die Einheit der Varianz passt gar nicht, während die anderen beiden Maße eine anschauliche Bedeutung im Histogramm haben. Man kann zum Beispiel Intervalle um den Mittelwert einzeichnen. Es ist zunächst nicht plausibel, warum man überhaupt erst quadriert und dann die Wurzel zieht, um dann, was Einheiten und Größenordnung angeht, wieder in interpretierbare Regionen zu kommen. Im Wesentlichen sprechen theoretische Gründe für die Varianz, u. a. die Tatsache, dass das arithmetische Mittel die mittlere quadratische Abweichung minimiert Histogramm 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9,0,1 Groesse amittel ( = 1,7539 0, , , , , Summe ( ( Groesse amittel ( Groesse S1 = Anzahl ( Groesse S = PopVar ( Groesse Summe ( Groesse amittel ( Groesse S3 = Anzahl ( Groesse S4 = amittel ( Groesse amittel ( Groesse S5 = PopStdAbw ( Groesse Ferner hat die Varianz (von Zufallsgrößen in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine zentrale Bedeutung und wenn man Wahrscheinlichkeitsmodelle und Daten in Verbindung bringen will, sind diese Streuungsmaße nützlich. Die aus der schulischen Stochastik vielleicht bekannten σ-umgebungen um den Erwartungswert entsprechen die s-umgebungen um den arithmetischen Mittelwert. Definition 3.7 Streuungsmaße als mittlere Abweichung von x X sei eine numerische Variable mit Werten x1, x, xn. Folgende Streuungsmaße sind als Abweichungen vom Median denkbar (i Mittlere absolute Abweichung von x : n 1 MAD X : = x x median ( n i = 1 i (Mean absolute deviation vom Median (ii Mediane absolute Abweichung von x : Elementare Stochastik Rolf Biehler WS 006/007

2 94 ( MedAD ( : median X = median R, wobei R wie in Definition 3.3 das Merkmal ist, welches die Abweichungen vom Me- r x r x R = X median X dian enthält, d. h. ( (, also ( 1, n Man kann diese Maße in Fathom ausrechnen lassen: n 1 MAD X : = x x median ( i n Summe( X Median( X i = 1 ( MedAD ( : median X median R Anzahl( X ( = Median X Median( X ( ( = amittel X Median X Bei der Körpergröße erhalten wir Werte in ähnlicher Größenordnung. In der folgenden Tabelle haben wir den MAD median auf zwei Weisen ausgerechnet. 0, , ,07 Summe ( Groesse Median ( Groesse S1 = Anzahl ( Groesse Summe ( Groesse Median ( Groesse S = Anzahl ( Groesse S3 = Median ( Groesse Median ( Groesse Wir notieren eine kleine Beobachtung: Es ist amittel Groesse Median(Groesse = 0, < 0, = amittel Groesse amittel(groesse Das muss so sein, denn der Median (Groesse minimiert die mittleren absoluten Abweichungen. Wenn man stattdessen das arithmetische Mittel einsetzt, muss ein größerer Wert herauskommen. Wir betrachten an einem Beispiel, wie die verschiedenen Streuungsmaße auf eine Datenveränderung reagieren. ( ( X amittelres absmittelres quadrmitteles MedianRes AbsMedianRes X amittel ( X X amittel ( X ( X amittel ( X X Median ( X X Median ( X = ,375,375 5,6406 -,5,5 5-0,375 0,375 0, ,5 0,5 6 0,65 0,65 0, ,5 0,5 7 1,65 1,65,6406 1,5 1,5 8,65,65 6,8906,5,5 9 3,65 3,65 13,1406 3,5 3,5 4-1,375 1,375 1,8906-1,5 1,5 Wir ändern jetzt den siebten Wert von 9 auf 19; dann weiter von 59 auf 190. Elementare Stochastik Rolf Biehler WS 006/007

3 3 Beschreibung von Verteilungen von numerischen Merkmalen 95 X amittelres absmittelres quadrmitteles MedianRes AbsMedianRes X amittel ( X X amittel ( X ( X amittel ( X X Median ( X X Median ( X = ,65 3,65 13,1406 -,5,5 5-1,65 1,65,6406-0,5 0,5 6-0,65 0,65 0, ,5 0,5 7 0,375 0,375 0, ,5 1,5 8 1,375 1,375 1,8906,5,5 19 1,375 1, ,141 13,5 13,5 4 -,65,65 6,8906-1,5 1,5 Bei den zugehörigen Streuungsmaßen ergibt sich: X 6,34375,496873,15,15 S1 = PopVar ( S = PopStdAbw ( S3 = amittel ( X amittel ( X S4 = amittel ( X Median ( X S5 = Median ( X Median ( X X 6, , ,5315 3,375 S1 = PopVar ( S = PopStdAbw ( S3 = amittel ( X amittel ( X S4 = amittel ( X Median ( X S5 = Median ( X Median ( X x 7 = 9 X 34, , , ,375 S1 = PopVar ( S = PopStdAbw ( S3 = amittel ( X amittel ( X S4 = amittel ( X Median ( X S5 = Median ( X Median ( X x 7 = 19 X 3753,5 61, ,5 4,75 S1 = PopVar ( S = PopStdAbw ( S3 = amittel ( X amittel ( X S4 = amittel ( X Median ( X S5 = Median ( X Median ( X x 7 = 59 x 7 = 190 Man sieht, wie empfindlich die Standardabweichung gegenüber Ausreißern ist, während die anderen Streuungsmaße weniger empfindlich bis völlig unempfindlich gegenüber diesen Änderungen. Sucht man ein Streuungsmaß, das nicht so empfindlich gegenüber Ausreißern reagiert, muss man an eine Alternative zur Standardabweichung denken. Merke: Standardabweichung und Varianz sind nicht robust gegenüber Ausreißern! Elementare Stochastik Rolf Biehler WS 006/007

4 Streuungsmaße als Ausdehnung von mittleren Bereichen der Verteilung Mit dem Median haben wir die Daten im Verhältnis 50:50 zerschnitten. Wir suchen jetzt entsprechende Werte, die so genannten Quantile oder Perzentile, die die Daten im Verhältnis 0:80 30:70 80:0 oder allgemein im Verhältnis p :(1 p aufteilen. Hiermit kann man dann mittlere Bereiche definieren und deren Ausdehnung messen. Der Wert, der für p zwischen 0 und 1 die Daten einer Variable X im Verhältnis p: (1-p aufteilt heißt p-quantil oder p*100% - Perzentil der Variable X, in FATHOM Perzentil(100p, X. Eine genaue Definition erfolgt gleich. Wir schauen uns erstmal verschiedene mittlere Bereiche am Beispiel der Körpergrößen an. Histogramm Histogramm ,5 1,6 1,7 1,8 1,9,0,1 Groesse Perzentil ( 1 ;? = 1,57 Perzentil ( 99 ;? = 1,97 Mittlere 98 % 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9,0,1 Groesse Perzentil ( 5 ;? = 1,6 Perzentil ( 95 ;? = 1,9 Mittlere 90 % Histogramm Histogramm ,5 1,6 1,7 1,8 1,9,0,1 Groesse Perzentil ( 10 ;? = 1,65 Perzentil ( 90 ;? = 1,87 Mittlere 80% 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9,0,1 Groesse Perzentil ( 5 ;? = 1,68 Perzentil ( 75 ;? = 1,83 Mittlere 50 % Elementare Stochastik Rolf Biehler WS 006/007

5 3 Beschreibung von Verteilungen von numerischen Merkmalen 97 Vorüberlegungen zur Definition der Quantile Die Perzentile können wir ähnlich wie beim Median festlegen, indem wir die Daten der Größe nach ordnen. Bei einem Umfang von n Daten berechnen wir zunächst die Zahl np. Ist dies eine eine natürliche Zahl, so bilden die Zahlen x(1, x( np den Anteil p der Datenmenge und die Zahlen x( np+ 1, x( n den Anteil (1-p der Datenmenge. Man kann also wieder den Schnitt zwischen die Punkte x( np und x ( np + 1 legen und erhält die gewünschte Einteilung exakt. Falls np keine natürliche Zahl ist, so liegt sie zwischen zwei natürlichen Zahlen r 1< np< r. In diesem Fall soll x( r als das p-quantil von X, das wir als qp ( X bezeichnen, genommen werden. Da r 1 < p < gilt, ist der Anteil von Daten, die kleiner als q ( p r 1 r X sind, also et- n n n was geringer als p, der Anteil der kleiner gleich qp ( x ist, ist r also ein wenig größer als p. n Bei Bindungen an dieser Stelle erhöht sich der Anteil der Daten, die kleiner gleich q ( p X sind. Wir fassen zusammen: Definition 3.8 p-quantile X sei eine numerische Variable mit Werten x1, x, xn und p eine Zahl zwischen 0 und 1. Wir definieren das p-quantil der Variable X durch ( ( + np ( np+ 1 1 x x, falls np ganz ist, ansonsten: q ( : p X = x(, wobei r die jeweilige ganze Zahl ist, für die r 1 < np < r gilt. r Wir nennen das p-quantil auch das p*100-perzentil. Bem.: Für p=0,5 ergibt sich genau die bereits bekannte Definition des Medians. Der Fall np ganz entspricht dem Fall n gerade. Falls np nicht ganz ist, also n/ nicht ganz ist, so ist n ungerade und das obige r =. Somit stimmen die Definitionen über ein, es ist n + 1 q ( X = median( X. 0,5 Es gilt die folgende Aussage, die wir mit unseren Vorüberlegungen bereits begründet haben: Satz 3.1 Trennungseigenschaft der p-quantile X sei eine numerische Variable mit Werten x1, x, xn und p eine Zahl zwischen 0 und 1. Dann gilt für das p-quantil und die relativen Häufigkeiten: ( p ( ( p ( ( p ( p ( p h X < q X p h X q X p h X = q ( X 0 h X q ( X 1 p h X > q ( X 1 p Bei großen n und wenigen Bindungen kann man wie beim Median auch alle Vergleichszeichen durch ersetzen. Elementare Stochastik Rolf Biehler WS 006/007

6 98 Satz 3.1 enthält insbesondere die Halbierungseigenschaft des Medians (Satz 3.. Auf dieser Basis können wir nun die Streuung der mittleren α% definieren: Definition 3.9 Streuung der mittleren α% X sei eine numerische Variable mit Werten x1, x, xn und α eine Zahl zwischen 0 und 100. Wir definieren das Streuungsmaß der mittleren α% für die Variable X durch 1 α s %( : 1 ( (, wobei 100 α X = q p X qp X p= Zwischen qp ( X und q1 p ( X α 1 liegt dann ein Anteil von α p = = = α%. 100 q liegen jeweils Das war der Grund für die Wahl von p. Oberhalb q1 p und unterhalb p 100 α %. Aus den obigen Histogrammen mit eingezeichneten Quantilen kann man die Streuungsmaße für die verschiedenen α entnehmen. Die Aussage über den Anteil, der zwischen den beiden Grenzen liegt, kann man folgendermaßen präzisieren: Satz 3.13 Abschätzung der Streuung der mittleren Bereiche X sei eine numerische Variable mit Werten x1, x, xn und p eine Zahl zwischen 0 und 0,5. Dann gilt mit ( p ( p( 1 p( ( ( ( p 1 p α = h q X < X < q X 1 p= α% h q X X q X 1 p= α% Bei großem n und wenigen Bindungen auf den Grenzen können die Vergleichszeichen durch ersetzt werden. Beweis: Die gesamten Daten werden im ersten Fall vollständig und disjunkt in die 3 Bereiche (, q p, ( qp, q1 p, q1 p, + eingeteilt. Nach Satz 3.1 (Trennungseigenschaft enthält das linke Intervall mindestens den Anteil p, das ganz rechte mindestens den Anteil 1 (1 p = p, also kann das mittlere höchstens den Anteil 1 p enthalten. Die zweite Aufteilung erfolgt gemäß der Intervalle (, q, p qp, q 1 p,( q1 p, +. In den beiden Randintervallen sind jeweils höchstens der Anteil p untergebracht, also in der Mitte mindestens 1 p. 3.9 Die Quartile und der Boxplot Wir betrachten nun den Spezialfall der mittleren 50%. Für q0,5 und q 0,75 führen wir Spezialbezeichnungen ein. Elementare Stochastik Rolf Biehler WS 006/007

7 3 Beschreibung von Verteilungen von numerischen Merkmalen 99 Definition 3.10 Quartile X sei eine numerische Variable, dann nennen wir q ( 0,5 X auch das erste Quartil, q ( X das dritte Quartil und bezeichnen sie mit 0,75 Q1( X bzw. Q3( X. Das zweite Quartil q ( 0,5 X ist identisch mit dem Median. Definition 3.11 Streuungsmaße mit Quartilen, Interquartilabstand Die Streuung der mittleren 50% s50% wird auch mit Interquartilabstand (Quartilsdifferenz bezeichnet qd( X : = Q3( X Q1( X. Die Differenzen qdoben : = Q3( X x und qdunten = x Q1( X bezeichnen die Streuungen im zweiten und im dritten Viertel. Kommandos in Fathom q ( p X Perzentil (p*100; X Q1( X bzw. Q3( X Q1(X bzw. Q3(X Perzentil(5;X bzw. Perzentil(75;X qd( X qd(x Die Quartile teilen den Datensatz in praktisch 4 gleich große Hälften. Diese Einteilung ist die Grundlage für eine einfache Visualisierung, den Boxplot. Dies wäre ein einfacher Boxplot. Der von John Tukey vorgeschlagene Boxplot, den Fathom auch verwendet, zeichnet i.d.r. die Antennen nicht bis zu den Extremwerten, sondern stellt nach einer bestimmten Faustregel weit entfernt liegende Werte als einzelne Ausreißerpunkte dar. Elementare Stochastik Rolf Biehler WS 006/007

8 100 Definition 3.1 Boxplot nach Tukey X sei eine numerische Variable. Dann definiert man als Zäune (fences: fo : = Q3+ 1,5 ( Q3 Q1 f : = Q 1,5 Q Q u ( Anrainer werden die extremen Datenpunkte genannt, die noch innerhalb der Zäune liegen (einschließlich der Grenzen selber. Die Antennen werden bis zu den Anrainer gezeichnet. Weiter außerhalb liegende Werte werden im Tukey-Boxplot als einzelne Punkte dargestellt, wobei an einzelnen Stellen Bindungen auftreten können, die dann aus der Graphik nicht ersichtlich sind. Wir haben die einzelnen Kennzahlen im Beispiel der Wochenstunden am Computer im Muffins dargestellt, um die Konstruktion eines Boxplots transparent zu machen. Wir sehen, dass der untere Zaum irrelevant ist, da das Minimum (0 Stunden größer als der untere Zaun ist. Elementare Stochastik Rolf Biehler WS 006/007

9 3 Beschreibung von Verteilungen von numerischen Merkmalen 101 Wir haben das Aufeinanderschichten der Punkte im Punktediagramm (Dotplot in der zweiten Graphik aufgehoben und sehen, dass sich hinter den einzelnen Punkten im Boxplot u. U. mehrere Fälle verbergen können. Das Beispiel illustriert ferner, dass die Festlegung dessen, was als Ausreißer gezeichnet wird, etwas willkürlich ist. In diesem Fall liegen der Anrainer und der ersten Ausreißer im Sinne der Faustregel dicht beieinander. Die Verteilung der Daten läuft langsam zu größeren Werten hin aus. Man darf die Faustregel nicht zu strikt nehmen und sollte immer beim Boxplot genau prüfen, wie die Ausreißer zu bewerten sind. Gegenüber dem Histogramm mit denselben eingezeichneten Werten reduziert der Boxplot die Informationen auf wenige Kennzahlen. Der Bereich der mittleren Streuung wird betont, aber Details an den Rändern nicht vernachlässigt. Der Boxplot ist eine graphische Zusammenfassung der Daten, die sich vor allem für den Verteilungsvergleich eignet. Bemerkung zur Ausreißer-Faustregel Wir betrachten die Zeit, die am Computer verbracht wird insgesamt und getrennt nach Geschlecht und berechnen die Quartilsdifferenz und den oberen Zaun. Ausreißer im Sinne der Faustregel beginnen bei den Männern erst ab 5,5 Wochenstunden Computernutzung, bei den Frauen beginnt das Ausreißer-Dasein bereits ab 5 Wochenstunden. Summary Table Geschlecht Row maennlich weiblich Zeit_Comp 5.5 Summ S1 = Q3 ( ( Q3 ( Q1 ( S = Q3 ( Q1 ( Elementare Stochastik Rolf Biehler WS 006/007

10 10 Box Plot Zeit_Comp Q3 ( ( Q3 ( Q1 ( = 16 Box Plot Geschlecht maennlich weiblich Zeit_Comp Q3 ( ( Q3 ( Q1 ( = 16 In die Graphik haben wir den jeweils oberen Zaun eingezeichnet. Für die Gesamtdaten liegt er bei 16 und ist numerisch auch in der gesplitteten Graphik angegeben. Man beachte, dass bei den Männern kein Wert an der Stelle des Zaunes liegt, die Antennen werden ja immer nur bis zu den Anrainern gezeichnet. Die Faustregel misst den Abstand der Datenpunkte zum Zentrum in Vielfachen des Interquartilabstands, also als Vielfaches der Streuung. Ausreißer ist man einerseits relativ zum Zentrum der Daten, andererseits relativ zur Streuung in den Daten. Im obigen Fall scheint es in der Tat sinnvoll die Frage, ob jemand sich weit von der Hauptgruppe der Daten unterscheidet, relativ zur Streuung zu beantworten: Frauen über 5 Wochenstunden machen (vergleichsweise ungewöhnlich lange Gebrauch vom Computer, bei Männern beginnt dies bei 5, 5 Stunden. Die Geschlechtsunterschiede im verhalten sind übrigens bei der Computernutzung am größten. Die Daten sind bekanntlich aus dem Jahre 000, neuere Muffins-Daten aus 003 zeigen, dass sich beide Boxplots deutlich zu höheren Werten verschoben haben, der Vorsprung der Männer ist aber noch größer geworden. Elementare Stochastik Rolf Biehler WS 006/007

11 3 Beschreibung von Verteilungen von numerischen Merkmalen 103 Satz 3.14 Relative Häufigkeiten im Boxplot Für die im Boxplot sichtbaren Intervalle gilt Wenn keine Bindungen in den Grenzpunkten vorliegen und n nicht zu klein ist, dann kann man die Vergleichszeichen durch ersetzen. 3 Beweis: Die Aussagen sind schlicht eine Anwendung von Satz 3.13 für p = 0, Umdeutung der Streuungsmaße im Boxplot Bevor wir uns systematisch mit dem befassen, was man im Boxplot sehen kann, wollen wir uns fragen, warum ausgerechnet der mittlere Streuungsbereich so hervorgehoben wird. Man hätte ja auch die mittleren 70% oder 80% nehmen können. Eine Erklärung dafür ist die folgende, mit der wir den Streuungen im zweiten und im dritten Viertel eine Umdeutung verleihen. Die unterschiedliche Streuung im zweiten und im dritten Viertel bei obigem Boxplot wird auch durch die Unsymmetrie der Box deutlich. Die Daten weichen nach oben stärker vom Median ab, als nach unten. Wir wollen sehen, wie wir die erste Grundidee der Streuungsmessung als Abweichung vom Median hier zur Geltung bringen können. Wie groß ist die mittlere Abweichung der Daten vom Median nach oben, wie stark ist sie im Mittel nach unten. Q3 halbiert die Datenmenge über dem Median und Q1 halbiert die Daten unterhalb des Medians. Wenn man die Variable R aus den Residuen ri( x = xi x betrachtet, so kann man sagen, dass Q3 x die Menge der positiven Residuen halbiert, während x Q1 die Menge der negativen Residuen halbiert. Die 3 Die Graphik enthält einen Fehler: Im unteren Bereich muss das erste Intervall links abgeschlossen und rechts offen sein, statt wie durch die eckige Klammer angedeutet rechts abgeschlossen. Elementare Stochastik Rolf Biehler WS 006/007

12 104 Hälfte der oberen Hälfte der Daten liegt überq 3, also liegt auch die Hälfte der positiven Residuen über Q3 x. Q3 x entspricht dem Median der positiven Residuen. Diese Überlegung beruht auf der Aussage, dass Q3 der Median der oberen Hälfte ist. Dies stimmt immer, wenn wir genau festlegen, was wir unter der oberen Hälfte verstehen wollen. Wir müssen 4 Fälle betrachten, je nachdem, welcher Rest beim Teilen von n durch 4 bleibt, also die Fälle n = 4 k, n = 4k + 1, n = 4k +, n = 4k + 3. Wenn man die Positionen der Quartile ausrechnet, ergibt sich die folgende Tabelle: Fall (1 n = 4k ( n = 4k+1 (3 n = 4k+ (4 n = 4k+3 x Q : = 1 + x [ k] [ k+ 1] x Q : = = [ ] Q 3 : = x [ 3k + 1] Q : x + 1 k 1 = [ ] Q 3 : = x [ 3k + ] Q : x + 1 k 1 = [ ] Q 3 : = x [ 3k + 3] Q : x + 1 k x [ 3k] [ 3k+ 1] Wir veranschaulichen die vier Fälle für k = Fall: n = 16 (n=4k Dot Plot Rangplatz_X Q1 ( = 4.5 median ( = 8.5 Q3 ( = 1.5 Die Graphik ist so zu verstehen, dass die Rangplätze dargestellt werden und Q1 = 4,5 bedeutet, dass das Q1 zwischen dem 4. und 5. Wert der Daten liegt, also Q1 =. Der Medi- x( + x 4 ( 5 x( + x 8 ( 9 an ist, also zwischen dem 8. und 9. Wert. Die obere Hälfte beginnt bei dem 9. Punkt, das heißt der Median dieser oberen 8 Punkte liegt zwischen dem 4. und 5. dieser Punkte, also in der Tat genau bei Q3.. Fall: n = 17 (n=4k+1 Elementare Stochastik Rolf Biehler WS 006/007

13 3 Beschreibung von Verteilungen von numerischen Merkmalen 105 Dot Plot Rangplatz_X Q1 ( = 5 median ( = 9 Q3 ( = 13 Wenn wir jetzt den 9. Punkt, d. h. den Gesamtmedian mit zur oberen Hälfte rechnen, dann liegt der Median dieser oberen 9 Punkte auf dem 5. dieser Punkte, also in der Tat genau bei Q3. Eine analoge Aussage zu Q1 können wir hier wieder machen, wenn wir den Gesamtmedian, den 9. Punkt auch zur unteren Hälfte hinzurechnen. 3. Fall: n = 18 (n = 4k + Dot Plot Rangplatz_X Q1 ( = 5 median ( = 9.5 Q3 ( = 14 Die obere Hälfte beginnt beim 10. Punkt, das heißt der Median dieser 9 Punkte liegt auf dem 5. dieser Punkte, also in der Tat genau bei Q3. 4. Fall: n = 19 (n = 4k +3 Dot Plot Rangplatz_X Q1 ( = 5 median ( = 10 Q3 ( = 15 Nur wenn wir hier die obere Hälfte mit dem 11. Punkt beginnen (also den Gesamtmedian aus der oberen Hälfte herausnehmen, das liegt der Median dieser 9 Punkte liegt auf dem 5. dieser Punkte, also in der Tat genau bei Q3. Analog gilt, dass Q1 der Median der unteren Hälfte ist (wobei auch hier der Gesamtmedian nicht hinzugerechnet werden darf. Elementare Stochastik Rolf Biehler WS 006/007

14 106 Satz 3.15 Quartile als Mediane der Datenhälften X sei eine numerische Variable mit n Werten. Unter der unteren bzw. oberen Datenhälfte verstehen wir folgende Datenpunkte: Fall n=4k n=4k+1 n=4k+ n=4k+3 Untere Datenhälfte x x Obere Datenhälfte (, x, x 1 n n ( n x x (, 1 n 1 x, x n+ 1 ( n x x (, x, x 1 n n ( n + 1 (, n x, x n+ ( n x x Bemerkung Median liegt zwischen den Hälften: x + x n n + 1 Median x n + 1 wird doppelt gezählt Median liegt zwischen den Hälften: x + x n n + 1 Beide Hälften ohne Median x n + 1 Mit dieser Vereinbarung gilt: (a Das erste Quartil Q1 ist der Median der unteren Datenhälfte. (b Das dritte Quartil Q3 ist der Median der oberen Datenhälfte. Wir halten fest bezüglich der Residuen: Satz 3.16 Streuung als Abweichung vom Median im Boxplot X sei eine numerische Variable. Dann gilt qd ( X = Q ( X x = Median x x x aus der oberen "Datenhälfte" oben 3 i i unten 1 i i ( ( ( ( ( ( qd ( X = x Q ( X = Median x x x aus der unteren Datenhälfte Beweis: Die Aussagen sind anschaulich klar. Die Aussage aus Satz.19 bleibt nämlich richtig, wenn man links und rechts den Median subtrahiert. Die Aussagen über Q ( 1 X folgen analog. Interpretation (Umdeutung der Streuungsmaße Die Differenzen der Quartile entsprechen den beiden inneren Abständen in der Box beim Boxplot. Sie geben also an, wie weit die Daten im Mittel nach oben und im Mittel nach unten vom Median abweichen. Dabei wird die Mittenbildung durch den Median vorge- Elementare Stochastik Rolf Biehler WS 006/007