Höhere Mathematik Vorlesung 8

Transkript

1 Höhere Mathematik Vorlesung 8 Mai 2017

2 ii

3 In der Mathematik versteht man die Dinge nicht. Man gewöhnt sich nur an sie. John von Neumann 8 Funktionentheorie Komplexe Zahlen Jede komplexe Zahl besitzt eine eindeutige Darstellung: z = x + i y, x, y R Komplexe Zahlen kann man auch durch gerichtete Strecken (Vektoren) darstellen, die im Koordinatenursprung beginnen und im entsprechenden Punkt der Zahlebene enden. Die komplexe Zahl z = 2+3i kann man daher nicht nur durch den Punkt A(2, 3) darstellen, sondern auch durch den Vektor OA Man nennt x = Re(z) den Realteil und y = Im(z) den Imaginärteil der komplexen Zahl z. Ist z = x + iy C so nennt man z = x iy die zu z konjugierte komplexe Zahl. Man erhält diese Zahl durch Spiegelung an der x-achse: 1

4 Realteil und Imaginärteil einer komplexen Zahl sind gegeben durch: Re(z) = z + z z z, Im(z) = 2 2i Die Addition zweier komplexen Zahlen z 1, z 2 ist definiert durch: z 1 +z 2 = (x 1 +iy 1 )+(x 2 +iy 2 ) = x 1 +x 2 +i(y 1 +y 2 ) Die Substraktion zweier komplexen Zahlen z 1, z 2 ist definiert durch: z 1 z 2 = (x 1 +iy 1 ) (x 2 +iy 2 ) = x 1 x 2 +i(y 1 y 2 ) 2

5 Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen z 1 und z 2 gilt: z 1 z 2 = (x 1 +iy 1 ) (x 2 +iy 2 ) = x 1 x 2 y 1 y 2 +i(y 1 x 2 +x 1 y 2 ) Eigentlich ist das die Klammerregel der Multiplikation zweier reellen Zahlen mit der neuen Information: i 2 = 1 Die Länge des Vektors, der eine komplexe Zahl darstellt, bezeichnet man als den Betrag dieser komplexen Zahl. Den Betrag der komplezen Zahl z = x + iy bezeichnet man durch z oder durch den Buchstaben r. z = z z = x 2 + y 2 Der Betrag stimmt mit der euklidischen Norm des Vektors z überein: Ist z 0, gilt: 3

6 1 z = z x iy = z 2 x 2 + y 2 Das Inverse der komplexen Zahl gewinnt man demnach, indem man z zunächst an der x-achse spiegelt, und dann am Einheitskreis. Denn 1 z zeigt in die gleiche Richtung z, hat aber die Länge r, wenn z die Länge r hat. Die Division zweier komplexen Zahlen z 1, z 2 ist die Multiplikation mit dem Inverse von z 2 : z 1 = z = (x 1 + iy 1 ) = (x 1 + iy 1 ) x2 iy 2 z 2 z 2 x 2 + iy 2 x y2 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 i(y 1 x 2 + x 1 y 2 ) x y2 2 Der Winkel zwischen der Abszissenachse Ox und dem Vektor OA, der die komplexe Zahl darstellt, heisst Argument der komplexen Zahl z = x + iy. 4

7 Gibt es die Formel: ( y θ = arctg + kπ, k Z x) Denn cos und sin sind 2π-periodisch, ist das Argument nicht eindeutig, sondern θ ± 2π, θ ± 2π,... sind andere Argumente. Mit: arg(z) = θ + 2kπ, k Z bezeichenen wir die Menge aller Argumente. Für r = z = x 2 + y 2 sieht man leicht ein: Polardarstellung: Jede komplexe Zahl lässt sich in der Gestalt: z = r(cos θ + i sin θ) darstellen, wobei r und θ Polarkoordinaten von z sind. Beispiel: Wir suchen die Polarkoordinaten-Darstellung von z = 3 i. Denn x = 3 und y = 1 erhalten wir: ( ( ) y 3 θ = arctg = arctg = x) π kπ Der Punkt A( 3, 1) liegt im dritten Quadrant deshalb: π < θ < 3π 2. Einen solchen Wert bekommen wir für k = 1, somit θ = π π = 7π 6. Der Betrag ist r = z = ( 3) 2 + ( 1) 2 = 2. 5

8 Schliesslich die Polardarstellung lautet: ( z = 2 cos 7π 6 + sin 7π ) 6 Hauptargument: Man bezeichnet den Winkel θ von z, der: π < θ π erfüllt, als Hauptargument von z, in Formeln θ = Arg(z). Deshalb gibt es die Beziehung: arg(z) = Arg(z) + 2kπ, k Z. Beispiel: In dem letzten Beispiel ein Argument war θ = 7π 6. Mit Hilfe der Formel Arg(z) = θ ± 2kπ ( π, π], k N, suchen wir das Hauptargument. Deshalb Arg(z) = 7π 6 2π = 5π 6. Haben wir auch die alternative Polardarstellung: ( ( z = 2 cos 5π ) ( + sin 5π 6 6 ) ) Eine geometrische Deutung der Multiplikation komplexer Zahlen erhält man mit Hilfe der Polarkoordinaten: z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )) 6

9 Eine änliche Situation für Division: z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 θ 2 ) + i sin(θ 1 θ 2 )) Formel von Moivre: (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ), für alle n Z. Die Lösungen der Gleichung w n = z: Für jede natürliche Zahl n hat dei Gleichung w n = z genau n Lösungen, nämlich: n ( ) z = n θ + 2kπ θ + 2kπ z cos + i sin, n n wobei k = 0, 1,..., n 1. Beispiel: Die Gleichung w n = i, w C hat drei Lösungen. Man sieht leicht ein, dass i = 1 und θ = π 2, somit: Für k = 0 : w 1 = 3 ( π π 2 1 cos 3 + i sin = i ) = cos π 6 + i sin π 6 7

10 Für k = 1 : w 2 = 3 1 Für k = 2 : w 3 = 3 1 ( π 2 cos + 2π 3 ( = cos π π 6 ) + i sin ( π 2 cos + 4π π + i sin 3 π 2 + i sin + 2π ) = cos 5π i sin 5π 6 ( π π ) π 3 = cos 3π 2 + i sin 3π 2 = cos ( 2π π 2 = i = cos π 6 + i sin π 6 = i ) = cos 9π 6 + i sin 9π 6 ) ( + i sin 2π π ) = cos π 2 2 i sin π 2 Die n-ten Einheitswurzeln ε n = 1: Es gibt zu jedem n N genau n verschiedene n-te Einheitswurzeln, nämlich: ε 1 = cos 2π n + i sin 2π n ε 2 = cos 4π n + i sin 4π n ε k = cos 2kπ 2kπ + i sin n n ε n = 1 Komplexwertige Funktionen einer Variablen Eine komplexwertige Funktion ist eine Funktion f : D C bei der die Zielmenge die Menge der komplexen Zahlen ist. Die komplexwertigen Funktionen mit D C heissen komplexe Funktionen. Manchmal schreiben wir: f(z) = u(x, y) + iv(x, y), wobei z = x + iy, für eine komplexe Funktion f. Also u, v sind reellwertige Funktionen. 8

11 Lineare Funktionen: Eine komplexe Funktion f heisst linear falls f für feste komplexe Konstanten a, b C, a 0, eine Darstellung der folgenden Form besitzt: f(z) = az + b, z C. Bemerkung: Die Wahl a = 1 führt zu eine Translation oder Parallelverschiebung um b: f(z) = z + b, z C. Die Wahl a R + und b = 0 führt zu einer Streckung (bzw. Stauchung): f(z) = az, z C. d.h. der Betrag von z wird gestreckt (a > 1) oder gestaucht (0 < a < 1) Allgemein spricht man von einer Skalierung mit Skalierungsfaktor a > 0. Die Wahl a C mit a = 1 und b = 0 führt zu einer Rotation um den Ursprung mit dem Winkel θ = Arg(a): f(z) = (cos θ + i sin θ)z, z C. Charakterierung einer linearen Abbildung: Jede lineare Funktion f : C C lässt sich als Komposition: f = f 3 f 2 f 1 von drei Abbildungen schreiben: 1) f 1 (z) == (cos θ + i sin θ)z eine Rotation um den Ursprung 2) f 2 (z) = a z eine Skalierung 3) f 3 (z) = z + b eine Translation um den Vektor b Exponentialfunktion: Die komplexe Exponentialfunktion exp : C C ist definiert durch: exp(z) = e z = e x+iy := e x cos y + ie x sin y Man sieht leicht ein, dass e z = e x und arg(z) = y + 2kπ, k Z. 9

12 Eigenschaften der Exponentialfunktion: i) Die Exponentialfunktion ist eine 2πi-periodische Funktion: ii) e z e w = e z+w, z, w C, iii) ez = ez w ew iv) (e z ) n = e nz, n Z. e z+2πi = e z, z C. Der komplexe Logarithmus: Die mengenwertige Abbildung: Ln(z) = ln z + i arg(z) ist der komplexe Logarithmus Ln : C * C und die Lösung der Gleichung: e w = z. Eigenschaften des komplexen Logarithmus: Für z, w 0 gelten: i) Ln(z) + Ln(w) = Ln(zw) ii) Lnz Ln(w) = Ln ( z w iii) Ln(z n ) = n Ln(z), n Z. ) Die allgemeine Potenzfunktionen: Die komplexen Potenzfuntkionen werden mit Hilfe des Logarithmus definiert: z α α(ln z +i arg(z)) = e wobei α C ist eine beliebige komplexe Konstante. Die komplexen Potenzfunktionen sind auch mengenwertige Funktionen. Der Ausdruck e α(ln z +iarg(z)) heisst Hauptwert der Potenzfunktion f(z) = z α und ist eine Funktion von z. 10

13 Eigenschaften des Hauptwertes der komplexen Potenzfunktionen: Für z C * und α, β C gelten: i) z α z β = z α+β ii) zα z β = z α β ii) (z α ) n = z nα, n Z. Bemerkung: Die Regel z α w α = (zw) α gilt nicht für alle z, w C * und α, β C. Beispielsweise finden wir für den Hauptwert der Potenzfunktion: ( 1) i ( 1) i = e i2π e i2π = e 2π aber: [( 1) ( 1)] i = 1 i = e i 0 = 1 Komplexe hyperbolische und trigonometrische Funktionen: Die folgende komplexe Funktionen sind Fortsetzungen der entsprechenden elementaren reellen Funktionen: sin z = eiz e iz, sinh z = ez e z 2i 2 cos z = eiz + e iz, cosh z = ez + e z 2 2 Diese Funktionen sind stetig und differenzierbar auf C! Elementare Eigenschaften : Für alle z C : i) cos 2 z + sin 2 z = 1 und cosh 2 z sinh 2 z = 1 ii) cosh(iz) = cos z und sinh(iz) = i sin z iii) In C gelten, wie in R, die Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen: sin(z 1 ± z 2 ) = sin z 1 cos z 2 ± sin z 2 cos z 1, cos(z 1 ± z 2 ) = cos z 1 cos z 2 sin z 1 sin z 2. 11

14 Komplex versus reell Der Abstand in der komplexen Ebene ist gegeben durch: d(z, w) = z w = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2, z, w C. Normalerweise betrachten wir als offene Umgebung des Punktes z 0 eine offene Kreisscheibe um z 0 vom Radius δ, d.h. die Menge: D(z 0, δ) = {z C : z z 0 < δ}. Konvergente Folgen: Sei (z n ) n eine Folge komplexer Zahlen und z eine weiter komplexe Zahl. Folgende Aussagen sind äquivalent: z n z, für n Re(z n ) Re(z) und Im(z n ) Im(z), für n In C eine Funktion f : D C hat einen Grenzwert L im Punkt z 0 genau dann, wenn für alle Folgen (z n ) n, die gegen z 0 konvergieren, die Folge f(z n ) gegen L konvergiert. Der Unterschied zwischen dem reellen Fall und dem komplexen Fall ist, dass in C die Folgen nicht nur von einer Richtung konvergieren, sondern von unendlichen Richtungen: 12

15 Beispiel: z Der Grenzwert lim existiert nicht! z 0 2z Betrachten wir eine Folge (z n ) n, die in der Richtung der x-achse gegen 0 konvergiert, zum Beispiel z n = 1 n. Dann: f(z n ) = z n 2z n = 1 n 2 n = Aber für eine Folge (w n ) n, die in der Richtung der y-achse gegen 0 konvergiert, zum Beispiel w n = 1 ni, es gilt: f(w n ) = w n = i n 2w 2i n n = Grenzwert einer komplexen Funktion: Sei f(z) = u(x, y) + iv(x, y), z 0 = x 0 + iy 0 und L = a + ib, dann lim z z 0 f(z) = L genau dann, wenn: lim u(x, y) = a und lim v(x, y) = b. (x,y) (x 0,y 0) (x,y) (x 0,y 0) Wir berechen den Grenzwert Dann: lim z 1+i (z2 + 1). Sei z = x + iy, wie üblich. f(z) = z 2 + i = (x + iy) 2 + i = x 2 y 2 + (2xy + 1)i Um den letzen Satz zu verwenden, betrachten wir u(x, y) = x 2 y 2 und v(x, y) = 2xy + 1. Hier z 0 = 1 + i, deshalb x 0 = 1 und y 0 = 1. Denn: lim (x,y) (1,1) (x2 y 2 ) = 0 und: Beispiel: existiert der Grenzwert und ist L = lim (2xy + 1) = 3 (x,y) (1,1) lim z 1+i (z2 + 1) = 0 + 3i. 13

16 Stetigkeit der komplexen Funktionen: Sei D C eine offene Umgebung von z 0 = x 0 + iy 0. Eine Funktion f : D C : f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) ist stetig im z 0, wenn die reellwertigen Funktionen u, v stetig im (x 0, y 0 ) sind. Die Exponentialfunktion f(z) = e z ist stetig auf C, denn u(x, y) = e x cos y und v(x, y) = e x sin y. Differenzierbarkeit der komplexen Funktionen: Sei D C ein Gebiet. Eine Funktion f : D C heisst komplex differenzierbar in z 0 D, falls der Grenzwert: f (z 0 ) = lim z z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 existiert. Die komplexe Zahl f (z 0 ) nennt man die Ableitung von f in z 0. Eine Funktion heisst in z 0 C holomorph, wenn sie in einer offenen Umgebung D(z 0, δ) C definiert und komplex differenziebar ist. Beispiel: f(z) = x+4iy ist nicht komplex differenzierbar Zunächst presentieren wir den Satz von Looman-Menchoff: Komplex differenzierbar vs. reell differenzierbar: Die Funktion f : D C definiert als f(z) = u(x, y)+i v(x, y), wenn z = x+iy, erfüllt die Bedingungen: i) f ist stetig in einer Umgebung von z 0 D. ii) Die partielle Ableitungen u von z 0. x, u y v und x, v x existieren in einer Umgebung iii) Die Funktionen u, v erfüllen in einer Umgebung von z 0 die Cauchy- Riemann Gleichungen: u x (x 0, y 0 ) = v y, u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ). Dann ist die Funktion f in z 0 komplex differenzierbar ( sogar holomorph). 14

17 Beispiel: Studieren Sie die komplexe Differenzierbarkeit der Funktion f(z) = cos z Ableitungsregeln für holomorphe Funktionen (wie im Reellen): i) Linearität: (αf(z) + βg(z)) = αf(z) + βg(z) ii) Produktregel: (f(z)g(z)) = f (z)g(z) + f(z)g (z) iii) Quotientenregel: ( ) f(z) = f (z)g(z) f(z)g (z) g(z) g 2 (z) iv) Kettenregel: f(g(z)) = f (g(z))g (z) 15

18 Übungsblatt 10 Aufgabe 1. Beweise: sinh z = 0 genau dann, wenn z = nπi und cosh z = 0 genau dann, wenn z = ( n) πi. Aufgabe 2. Schreibe folgende komplexe Zahlen in Polarform z 1 = 3 i, z 2 = 1 i. i) Finden Sie das Hauptargument Arg(z 1 ) und berechnen Sie ( 3 i) 50. ii) Für die komplexen Zahlen z 1 = 1, z 2 = 5i, überprüfen Sie dass: und Arg(z 1 z 2 ) Arg(z 1 ) + Arg(z 2 ) Arg ( z1 z 2 ) Arg(z 1 ) Arg(z 2 ) arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) arg( z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ). Aufgabe 3. Zeigen Sie dass Re z z und Im z z. Zeigen Sie die Identität: z + w 2 = z 2 + w 2 + 2Re(zw), z, w C und die Dreiecksungleichung z + w z + w. Aufgabe 4. Skizzieren Sie die Mengen der Punkte z, in der komplexen Ebene, die die folgenden Bedingungen erfüllen: i) 1 < z 1 i 2 ii) z i = z 1 iii) arg(z) < π 4 iv) Re ((1 + i)z 1) = 0 v) 0 < Re z < 1. Aufgabe 5. Lösen Sie in C die Gleichung: cos z = 2 16

19 Aufgabe 6. i) Lösen Sie in C die Gleichungen: z 6 = 1 + i ii) Berechnen Sie 3 + 3i z 2 + z + 1 = 0 z = 0 Aufgabe 7. Beweisen Sie dass: cos(z + w) = cos z cos w sin z sin w für z, w lc. sin(2z) = 2 sin z cos z sin 2 z + cos 2 z = 1 17

20 18

21 Literaturverzeichnis [1] K. Fritzsche. Grundkurs Funktionentheorie: Eine Einführung in die komplexe Analysis und ihre Anwendungen, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg, [2] D. G. Zill, P. D. Shanahan. A First Course in Complex Analysis with Applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., [3] C. I. Hedrea. Curs de Matematici speciale,

22 20