und zwar in entgegengesetzter Richtung. Wir schliessen daraus: Die Bewegung muss immer relativ zu einem bestimmten Koordinatensystem

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1 Kapitel 4 4. Relativbewegung Im esten Kapitel (Mechanik) haben wi gelent, dass sowohl Ruhe wie Bewegung elative Begiffe sind. Wenn ein Zug z.b. duch eine Station fäht, befindet e sich elativ zu Station in Bewegung. Ein Passagie des Zuges kann abe genau so gut sagen, dass sich die Station elativ zum Zug in Bewegung befindet, und zwa in entgegengesetzte Richtung. Wi schliessen daaus: Die Bewegung muss imme elativ zu einem bestimmten Koodinatensystem (ode Bezugssystem) definiet weden. Wi sagen, dass ein Bezugssystem vom Beobachte gewählt wid. Siehe Abb.. Physik 773 De Beobachte befindet sich im Uspung seines Bezugssystems. Seine Beobachtungen und seine Expeimente weden elativ zu seinem Bezugssystem duchgefüht. y e y Uspung O e z Beobachte e x x z Figu. Definition des Beobachtes und seines Bezugssystems. Im Beispiel des Zuges, de duch die Station fäht, haben wi zwei Beobachte mit zwei veschiedenen Bezugssystemen betachtet. Ein Beobachte, de sich mit dem Zug bewegt, und ein zweite, de sich in Ruhe in de Station befindet. Da veschiedene Beobachte veschiedene Bezugssysteme vewenden, ist es wichtig zu wissen, wie Beobachtungen, die von veschiedenen Beobachten gemacht weden, miteinande in Beziehung stehen. 774 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

2 Relativbewegung 4.. Tansfomation von einem Bezugssystem ins andee Wi betachten zwei Beobachte O und O, die sich elativ zueinande bewegen. Beide Beobachte O und O kennen die Gesetze de Mechanik und beobachten dasselbe Eeignis, z.b. die Bewegung eines Köpes entlang seine Bahn. Siehe Abb.. y' y O' x' R(t) O x z' '(t') z (t) Figu. Definition von zwei Beobachten, die die Bewegung eines Köpes messen. Physik 775 Beobachte O und O messen die Bahnkuve des Köpes als Funktion de Zeit. Sie benutzen ähnliche Uhen, um die Zeiteinheit zu definieen. Beide Beobachte weden die Bahn elativ zu ihem eigenen Koodinatensystem definieen. Die Otsvektoen als Funktion de Zeit weden bezeichnet als O: = ( t) O : = ( t ) Zeit. Beide Beobachte benutzen ähnliche Uhen. Wi nehmen an, dass beide Uhen synchonisiet wuden, und deshalb vewenden beide Beobachte die gleiche Zeit. t t = Das scheint eine venünftige Annahme zu sein (abe sie gilt nu, wenn die Zeit unabhängig von de Bewegung des Beobachtes ist. Siehe späte.). Wi leiten die Gleichungen de Tansfomation fü den Otsvekto und die Zeit von einem Bezugssystem ins andee he Ï Ô t () = Rt () + ( t ) Ï Ô ( t ) =- R( t) + () t Ì Ì ÓÔ t = t ÓÔ t = t Übegang von O' nach O Übegang von O nach O' Fü die Tansfomation de Geschwindigkeit von O nach O gilt d () t d vt dt dt Rt t dr d dr () = = ( () + ()) = + = + v dt dt dt wobei d d v = = dt dt 776 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

3 Relativbewegung die Geschwindigkeit des Köpes gemessen elativ zum Beobachte O ist. Es folgt, dass die Tansfomation de Geschwindigkeit gleich dr vt { () = + v dt { () t elativ zu O elativ zu O ist. Aus eine ähnlichen Heleitung folgt die Tansfomation de Beschleunigung dr at { () = + a dt { () t elativ zu O elativ zu O Im Allgemeinen folgt aus den Tanfomationsgleichungen: Veschiedene Beobachte, die sich elativ zueinande bewegen, messen veschiedene Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. Demonstationsexpeiment: Relativbewegung mit Wagen und Affe Ein Affe und ein Ballon weden auf eine Schiene gesetzt (Siehe Abb. 3). De Affe ist an de Schiene befestigt, so dass e sich mit ih bewegt. De Ballon kann sich fast eibungsfei auf de Schiene bewegen. Die Schiene ist auf einem Wagen montiet. Wi betachten die Bewegung des Ballons bezüglich dem Affen, wenn wi den Wagen beschleunigen ode bemsen. Bezüglich den Studenten (z.b. Beobachte O) bleibt die Lage des Ballons unveändet und die Schiene gleitet unte dem Ballon. Wi sagen: die Gavitation und die von de Schiene ausgeübte Nomalkaft wiken in die vetikale Richtung. Keine hoizontale Kaft wikt Physik 777 auf den Ballon. Als Folge bleibt e an seinem uspünglichen Ot. De Affe ist an de Schiene befestigt und wid beschleunigt, wenn de Wagen angetieben wid. Bezüglich dem Affen wid die Situation andes eklät. Bezüglich eines Bezugssystems, das mit dem Affen vebunden ist, wid de Ballon in de hoizontalen Achse beschleunigt. Wi haben hie illustiet, dass veschiedene Beobachte veschiedene Beschleunigungen messen. Welche Kaft wikt auf den Ballon, fagt de Affe? Dieses Poblem weden wi im nächsten Abschnitt diskutieen. Figu 3. De Affe wid an de Schiene befestigt. De Ballon kann sich fei entlang de Schiene bewegen. 778 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

4 Inetialsysteme 4. Inetialsysteme Das este Newtonsches Gesetz (Tägheitspinzip) sagt, dass ein Köpe in Ruhe bleibt ode sich mit konstante Geschwindigkeit bewegt, wenn keine esultieende Kaft auf ihn wikt. D.h., dass die Beschleunigung des Köpes gleich null ist, wenn die esultieende Kaft, die auf den Köpe wikt, veschwindet. Wi haben gelent, dass im Allgemeinen zwei Beobachte nicht dieselbe Beschleunigung beobachten, d.h. dr at { () = + a dt { () t fi at { () π a { () t wenn dr π dt elativ zu O elativ zu O elativ zu O elativ zu O 0 Wi bemeken: Wenn die zwei Beobachte eine unteschiedliche Beschleunigung messen, kann das zweite Newtonsche Gesetz nicht fü beide Beobachte gelten (wenn sie beide dieselbe Kaft messen)! Im Fall, dass die auf den Köpe wikende esultieende Kaft veschwindet, muss die gemessene Beschleunigung gleich null sein. Abe wenn dr π dt 0 kann die Beschleunigung nicht gleichzeitig fü beide Beobachte veschwinden. Wi haben bewiesen, dass die Newtonschen Gesetze nicht in allen Bezugssystemen gelten. Physik 779 Ein Bezugssystem, in dem die Newtonschen Gesetze gelten, heisst Inetialsystem. Damit die Beschleunigung in O und O gleich ist, muss die elative Beschleunigung de Beobachte veschwinden. Wi schliessen daaus: Veschiedene Inetialsysteme bewegen sich elativ zueinande mit konstante Geschwindigkeit. 4.. Das Foucault-Pendel Ein beühmtes Expeiment, das die Bewegung eines Pendels bezüglich eines Nicht-Inetial-Systems betachtet, ist das Foucault-Pendel- Expeiment. J.L. Foucault hat dieses Expeiment 85 estmals mit einem Pendel de Masse 8kg und de Fadenlänge 70m im Pantheon von Pais vogefüht. Demonstationsexpeiment: Das Foucault Pendel Eine Masse wid aufgehängt und schwingt wegen de Gavitationskaft in eine vetikalen Ebene (die Schwingungsebene). Eine kleine Nadel ist unte de schwingenden Masse befestigt (Siehe Abb. 4). Ein geschwäztes Glasstück kann angehoben weden, so dass die Nadel eine Katzspu ezeugt und damit die Position de Schwingungsebene makiet. Das Glasstück wid angehoben und wiede gesenkt, nach 60 Sekunden wid de Vogang wiedeholt. Die zweite Katzspu ist gegenübe de esten leicht gedeht. De Effekt ist klein, abe beobachtba. Wi beobachten, dass die Rotation eine Abweichung de Masse nach echts entspicht. Wi bemeken, dass auf de südlichen Halbkugel die Rotation entgegengesetzt geichtet wäe (Siehe Kap. 4.4.). 780 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

5 Inetialsysteme Figu 4. Das Foucault-Pendel. Man beobachtet die Dehung de Schwingungsebene wähend eines Zeitintevalls von 60 Sekunden. Die Schwingungsebene des Pendels deht sich langsam (Siehe Abb. 5). Was ist fü die Dehung de Schwingungsebene veantwotlich? Die Ebene de Pendelbewegung deht sich als Folge de Edumdehung Histoisch hat Foucault mit seinem Expeiment eine diekte Püfung de Edumdehung eeicht. Physik 78 Wi betachten einige Schwingungspeioden des Pendels. Bezüglich eines Beobachtes auf de Ede ist das Pendel tansvesal beschleunigt (zusätzlich zu de nach unten geichteten Gavitation). Was fü eine Kaft ist fü die Dehung de Schwingungsebene des Pendels veantwotlich? Figu 5. Rotation de Schwingungsebene eines Pendels infolge de Coiolisbeschleunigung (auf de nödlichen Halbkugel). Auf de südlichen Halbkugel ist die Rotation entgegengesetzt geichtet. 78 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

6 Bewegung bezüglich Nicht-Inetial-Bezugssystemen und Scheinkäfte 4.3 Bewegung bezüglich Nicht- Inetial-Bezugssystemen und Scheinkäfte 4.3. Newtonsche Gesetze Welches Egebnis bekommen wi, wenn wi die Beschleunigung eines Köpes elativ zu einem Bezugssystem messen, das elativ zu einem Inetialsystem beschleunigt wid? D.h. dr π dt 0 In diesem Fall stimmt im beschleunigten Bezugssystem die esultieende Kaft, die auf den Köpe wikt, nicht mit dem Podukt de Masse und de gemessenen Beschleunigung übeein Inetialsystem O : F = ma O : F π ma weil a a wenn dr { π { π dt elativ zu O elativ zu O 0 In bestimmten Fällen können keine Käfte auf den Köpe wiken, abe de Köpe kann doch elativ zum Nicht-Inetialsystem beschleunigt weden. Wenn wi das zweite Newtonsche Gesetz in einem beschleunigten Bezugssystem anwenden wollen, müssen wi fiktive Käfte (ode Scheinkäfte) einfühen. Diese fiktiven Käfte dienen als Hilfsmittel, damit die Beziehung F = ma Physik 783 auch fü Beschleunigungen gilt, die elativ zum Nicht-Inetialsystem gemessen weden. Man kann z.b. den folgenden Fall betachten, bei dem ein Auto entlang eine Kuve fäht (Siehe Abb. 6):. Bezüglich eines Inetialsystems muss eine Zentipetalkaft, die nach dem Keiszentum zeigt, auf das Auto so wiken, dass das Auto nach links deht.. Bezüglich eines Systems, das mit dem Auto fixiet ist (d.h. Nichtinetial), muss eine nach echts geichtete Kaft so wiken, dass Gegenstände im Auto eine Beschleunigung spüen. Diese Scheinkaft wid als Zentifugalkaft bezeichnet. Zentipetal Zentifugal Figu 6. Die Zentipetal- und die Zentifugal-Kaft. Wi bemeken, dass Scheinkäfte als fiktive Käfte eingefüht wuden: Totzdem escheinen die Scheinkäfte als eal, wenn wi die Bewegung bezüglich des Nicht-Inetialsystems anschauen! 784 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

7 Bewegung bezüglich Nicht-Inetial-Bezugssystemen und Scheinkäfte Wi illustieen den letzten Punkt mit dem folgenden Demonstationsexpeiment: Demonstationsexpeiment: Gas wächst gegen die esultieende Kaft - Vektoaddition von Edgavitation und Zentifugalkaft Das Gas wächst in einem otieenden System. Es wächst so, als ob die Gavitation und die Zentifugalkaft tatsächlich auf das Gas wiken (Siehe Abb. 7). Fü eine Ameise, die im System lebt (und nicht weiss, dass das System sich deht), escheint die Zentifugalkaft als eal. Figu 7. Gas wächst im otieenden System. Fü eine Ameise, die im System lebt (und nicht weiss, dass das System sich deht), escheint die Zentifugalkaft als eal. Physik Schein- ode eale Käfte? Zusammenfassend haben wi gesehen, dass ein bestimmtes Poblem bezüglich veschiedenen Bezugssystemen analysiet weden kann. Bezüglich inetialen und nicht-inetialen Bezugssystemen weden veschiedene Käfte escheinen. Die Käfte, die nu bezüglich nichtinetialen Bezugssystemen wiken, weden als Scheinkäfte bezeichnet. Im Kap. 8 haben wi die Kinematik von Stossvogängen bezüglich veschiedenen System beschieben (z.b. bezüglich des Schwepunktssystems ode bezüglich eines Systems, in dem ein Teilchen uht, usw). In ähnliche Weise kann die Bewegung bezüglich veschiedenen Bezugssystemen (ode von veschiedenen Beobachten) analysiet weden. Beide Methoden bescheiben totzdem dieselbe Realität. Von diesem Standpunkt können Käfte als Hilfsmittel vestanden weden, die die Analyse de Bewegung von Köpen emöglichen. Sie hängen vom Bezugssystem ab. Jede Beobachte wid dahe die Käfte definieen, die bezüglich ihm zu wiken scheinen. 4.4 Rotieendes Bezugssystem Um die Zentifugalkaft zu illustieen, betachten wi eine um eine feste Dehachse otieende Scheibe, auf de eine Kugel sitzt. Die Kugel, die elativ zu Scheibe uht, ist übe eine Fede mit dem Mittelpunkt de Scheibe vebunden. Siehe Abb Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

8 Rotieendes Bezugssystem Jede Punkt auf de Scheibe bewegt sich auf eine Keisbahn und wid deshalb beschleunigt. Das Bezugssystem, das mit de Scheibe vebunden ist, ist dahe kein Inetialsystem. A) B) C) w w q (t) Masse F Fede Fs Masse F Fede Scheibe Scheibe Scheibe Inetialsystem Rotieendes Bezugssystem Figu 8. Rotieende Scheibe A) Die Definition des Dehwinkels und de Winkelgeschwindigkeit B) Dehung de Masse elativ zum Inetialsystem C) Ruhezustand de Masse elativ zum otieenden Bezugssystem. Die Dehung de Scheibe um die Dehachse kann mit Hilfe des Dehwinkels q beschieben weden. Siehe Kap..6 und Abb. 8A. Die Winkelgeschwindigkeit ist gleich de zeitlichen Ableitung de Winkelfunktion dq () t w () t dt Wenn die Kugel sich bei einem Radius befindet, ist seine Geschwindigkeit gleich vt ds dt d dt () = = ( q ) q = = w d dt wobei s die Bogenlänge ist. Physik Die Zentifugalkaft Fü einen Beobachte im Inetialsystem (Siehe Abb. 8B) deht sich die Kugel mit eine Geschwindigkeit v im Keis und wid deshalb zum Keiszentum beschleunigt. De Betag, de zum Keiszentum geichteten Kaft ist gleich ( ) F m v m w = = = mw Die zum Keiszentum geichtete Kaft wid von de Fede ausgeübt. D.h., die Fede wid auseinandegezogen, wenn sich die Scheibe deht. Fü einen Beobachte auf de Scheibe ist die Kugel in Ruhe und wid nicht beschleunigt. Aus de Velängeung de Fede muss e schliessen, dass die Fede eine nach dem Keiszentum geichtete Kaft bewikt. (Siehe Abb. 8C) Weil die gesamte Kaft veschwinden muss, schliesst e daaus, dass die Fedekaft von eine fiktiven, nach aussen geichteten Kaft, de Zentifugalkaft, kompensiet wid. De Betag de Zentifugalkaft ist gleich F m v Zentifugal = mw Demonstationsexpeiment: Konisches Pendel. Zentifugalkaft hebt alle Kugeln auf gleiche Höhe. Kugeln mit veschiedenen Massen m i weden an Seilen mit veschiedenen Längen l i aufgehängt. Die Achse otiet und es wid beobachtet, dass alle Massen in de gleichen Hoizonalebene otieen. Siehe Abb Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

9 i i i Rotieendes Bezugssystem Figu 9. Konisches Pendel: Obwohl die Seile veschiedene Längen besitzen, otieen alle Massen in de gleichen Hoizontalebene. Wi beobachten die Kugeln bezüglich eines otieenden (nicht-inetialen) Koodinatensystems. In diesem System sind die Kugeln in Ruhe. D.h., die esultieende Kaft muss veschwinden. Die Gewichtskaft, die Spannung des Seils und die Zentifugalkaft müssen einande kompensieen (Siehe Abb. 0). FZ + S + mg i =0 Es gilt tana = F Z m w w = = = h mg mg g Physik 789 und es folgt g h = w unabhängig von l i und m i. Alle Massen otieen in de gleichen Ebene. w h a l i S m i F Z a m i g Figu 0. Konisches Pendel: dei Käfte wiken auf die Kugel. 790 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

10 Rotieendes Bezugssystem 4.4. Die Coioliskaft Eine zweite Scheinkaft (die sogenannte Coioliskaft) hängt von de Geschwindigkeit des Köpes ab. Sie wikt senkecht zu Geschwindigkeitsichtung des Köpes (elativ zum otieenden Bezugssystem) und füht zu eine seitlichen Ablenkung. Eine Coioliskaft spüt z.b. eine Masse, die sich auf de Scheibe nach innen ode nach aussen bewegt. Demonstationsexpeiment: Coioliskaft. Spu de ollenden Kugel auf Bett mit Dehstuhl. Ein Bett ist an einem Dehstuhl befestigt. Zu eine bestimmten Zeit wid eine Stahlkugel im otieeden System losgelassen. Seine Bahn wid mit Hilfe eines Kohlepapies analysiet. Wi beobachten, dass die Kugel eine gekümmte Bahn bezüglich des Bettbezugssystems bescheibt. Wie kann die Bahn eklät weden? Wi betachten eine otieende Scheibe und den Fall, in dem eine Masse nach aussen gewofen wid. In einem Inetialsystem bewegt sich die Masse geadlinig. Im otieenden Bezugssystem wid die Bahnkuve infolge de Coioliskaft gekümmt. Siehe Abb.. Physik 79 Figu. Dehendes Bett. A) B) w Masse Masse F Coiolis Scheibe Scheibe Inetialsystem Rotieendes Bezugssystem Figu. A) In einem Inetialsystem bewegt sich die Masse geadlinig. B) Im otieenden Bezugssystem wid die Masse nach echts abgelenkt. Die Scheinkaft heisst Coioliskaft. 79 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

11 Rotieendes Bezugssystem Wi suchen einen quantitativen Ausduck fü den Betag de Coioliskaft. Wi unteteilen dafü die gekümmte Bewegung de Masse in kleine diffeentielle Stecken dr. Die Ablenkung ds ist gleich (Siehe Abb. 3) ds = ( d q)( dr ) = ( wdt )( dr ) Die Stecke dr ist gleich dr=vdt, wobei v die adiale Geschwindigkeit ist. Es gilt ds = ( wdt )( vdt ) = wv ( dt ) dr dq ds dq=w(dt) Figu 3. Beechnung de Coioliskaft. Fü eine gleichfömig beschleunigte Bewegung mit Beschleunigung a Coiolis gilt ds = a Coiolis ( dt ) Physik 793 Daaus folgt, dass de Betag de Coiolisbeschleunigung acoiolis = w v ist, wobei w die Winkelgeschwindigkeit de Dehung und v die adiale Geschwindigkeit de Masse im otieenden System ist. Demonstationsexpeiment: Coioliskaft. Schuss vom Dehstuhl. Wi betachten eine Pistole, die im Rotationszentum eines otieenden Systems deimal abgefeuet wid. Die Pistole wid zuest abgefeuet, wenn das System sich nicht deht. Wi definieen den Teffpunkt als Teffe (Siehe Abb. 4). Nun wid die Pistole einmal abgefeuet, wenn das System sich nach links deht, und einmal, wenn das System sich nach echts deht. Wi bemeken, dass in den zwei letzten Fällen die Richung de Abweichung entgegengesetzt ist: Ï w = 0 : Ô Ì w > 0 : Ó Ô w < 0 : Teffe Rechtsabweichung Linksabweichung Die gesamte Abweichung kann fü kleine Abweichungen leicht bestimmt weden. Wi nehmen an, dass die Geschwindigkeit des Geschosses konstant ist, d.h. dass die Geschwindigkeit senkecht zu Bewegungsichtung (d.h. die, die fü die Abweichung veantwotlich ist) elativ zu adialen Geschwindigkeit venachlässigt weden kann. Wenn s<<r, wobei s die Abweichung und R de Abstand de Pistole ist, ist die Abweichung gleich s a t vw ª Coiolis = ( ) Ê Ë R v ˆ = w R v 794 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

12 Rotieendes Bezugssystem wobei v die Geschwindigkeit de abgeschossenen Kugel ist. Im letzten Ausduck wude die Beziehung R R = tv t = v vewendet, um die Zeit zu bestimmen. Figu 4. Abweichung des Geschosses im otieenden System. Physik Die Ede als ein Nicht- Inetialbezugssystem Die Ede deht sich um ihe Achse. Die Peiode de Dehung ist gleich Stentag = 866, 0 4 Sekunden Infolge de Rotationsbewegung de Ede bewegen sich alle Punkte auf de Edobefläche in gleichfömige Keisbewegung mit eine Winkelgeschwindigkeit p - w = = 7, ad / s T Obwohl die Winkelgeschwindigkeit klein ist, ist sie bemekba duch die messbaen Zentifugal- und Coioliskäfte. Siehe Abb 5. De Winkel l wid als geogaphische Beite bezeichnet. Wenn sich die Ede um die NS-Achse deht, bescheibt ein Punkt einen Keis mit dem Radius R, mit R = cos l wobei de Betag des Otsvektos ist (d.h. de Radius de Ede). Die Geschwindigkeit des Punktes auf de Edobefläche ist tangential zum Keis und paallel zu Äquatoebene. Ih Betag ist v = wr = wcos l d.h. v ª 460 cos l m/ s ª 650 cos l Kilomete po Stunde 796 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

13 Die Ede als ein Nicht-Inetialbezugssystem De maximale Wet von v wid am Äquato eeicht und ist gleich null an den Polen. w N R v O l w S Figu 5. Geschwindigkeit eines Punktes auf de Edobefläche. Eine Zentifugalkaft und eine Coioliskaft teten aufgund de Eddehung in allen Bezugssystemen auf, die mit de Ede vebunden sind. Ein Bezugssystem, das bestimmte Koodinaten elativ zu Edobefläche besitzt, ist kein Intetialsystem! Physik 797 Edbeschleunigung. Wi betachten einen Köpe, de sich in Ruhe elativ zu Edobefläche befindet. Wi wissen, dass de Köpe wegen de Gavitationskaft nach unten beschleunigt wid. Unte de Annahme, dass die Ede homogen und kugelfömig ist, wid die Gavitationskaft adial in Richtung zum Edmittelpunkt zeigen. Infolge de Zentifugalkaft weicht die Richtung de esultieenden Beschleunigung (die effektive Edbeschleunigung) leicht von de adialen Richtung ab. De Betag de Zentifugalbeschleunigung ist gleich a v R w cos l cos l Z = = ( ) = w cos l Siehe Abb. 6. E ist seh klein im Vehältnis zu Gavitationsbeschleunigung gª9,8m/s : a = ª - Z w cos l 334, 0 cos l m/ s Fü paktische Anwendungen können wi jedoch annehmen, dass die Lotichtung mit de adialen Richtung zusammenfällt. Die Gösse de effektiven Edbeschleunigung g ist etwas geinge als die Gavitationsbeschleunigung g 0. Sie kann ungefäh als g ª g0 - az cos l = g0 - w cos l ausgedückt weden. Einige Wete fü die effektive Edbeschleunigung sind in Tabelle gezeigt. 798 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

14 Die Ede als ein Nicht-Inetialbezugssystem w N R a Z cosl a Z O l Äquatoialebene Figu 6. Zentifugalbeschleunigung infolge de Rotation de Ede. Tabelle. Wete fü die effektive Edbeschleunigung. Ot Beitengad g (m/s ) Nodpol ,83 Anchoage (Alaska) 6 0 9,88 Pais ,8094 Panama ,78 Äquato 0 0 9,7799 Physik 799 Coioliseffekt. Wenn sich ein Köpe in eine hoizontalen Ebene auf de Edobefläche bewegt, füht die Coiolisbeschleunigung auf de nödlichen Hemisphäe zu eine leichten Rechtsabweichung de Bahn und zu eine Linksabweichung auf de südlichen Hemisphäe. De Coioliseffekt ist an den Polen maximal und am Äquato null. Coioliskäfte sind vo allem fü das Veständnis des Wettes von gosse Bedeutung. Wenn sich in de Atmosphäe ein Tiefduckzentum entwickelt, wid de Wind adial zum Zentum fliessen. Die Coiolisbeschleunigung lenkt in de nödlichen Hemisphäe nach echts ab, was zu eine Bewegung de Wolken gegen den Uhzeigesinn füht. Siehe Abb. 7. Als zweites Beispiel fü den Coioliseffekt betachten wi die Schwingung eines Pendels (d.h. das Foucault-Pendel). Wenn die Schwingungsamplitude geing ist, können wi annehmen, dass die Bewegung de Pendelmasse eine hoizontale Bahn bescheibt. Wegen de Coiolisbeschleunigung otiet die Schwingungsebene des Pendels auf de nödlichen Hemisphäe im Uhzeigesinn, und auf de südlichen gegen den Uhzeigesinn. Siehe Abb Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

15 Die Ede als ein Nicht-Inetialbezugssystem Figu 7. Wibel des Windes um ein Tiefduckgebiet deht auf de nödlichen Halbkugel gegen den Uhzeigesinn. Physik Die Galileische Tansfomation Wi betachten zwei Beobachte O und O, die sich elativ zueinande mit konstante Geschwindigkeit V bewegen. Weil die zwei Beobachte sich elativ zueinande mit konstante Geschwindigkeit bewegen, gilt (siehe Abb. ): Rt () = Vt Diese Tansfomation wid als die Galileische Tansfomation bezeichnet: ( t ) = ( t) -Vt Die Beziehung zwischen de Geschwindigkeit und de Beschleunigung, die beide Beobachte messen, kann leicht gefunden weden v ( t ) = d ( t ) t ( ) - Vt t () = = - V = v() t -V dt dt dt d.h., die Galileische Tansfomation fü die Geschwindigkeit ist v = v -V Diese Gleichung füht auf die gewöhnliche Vektoaddition de Geschwindigkeiten. Diese Begiff ist uns aus dem Alltag vetaut. Fü die Beschleunigung gilt dv ( t ) vt ( ) - V vt () V() t a ( t ) = = = - = at () dt dt dt dt Beide Beobachte messen dieselbe Beschleunigung. Wi sagen, dass die Beschleunigung eine Invaiante de Galileischen Tansfomation ist. 80 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

16 Die Galileische Tansfomation Das folgende Gesetz folgt daaus: Alle Bezugssysteme, die übe die Galileische Tansfomation eines Inetialsystems gefunden weden, sind ebenfalls Inetialsysteme. Beispiel: Wi stellen uns z.b. eine Peson vo, die sich auf einem Eisenbahnwaggon bewegt v PW = Geschwindigkeit de Peson elativ zum Waggon v WE = Geschwindigkeit des Waggons elativ zu Edobefläche Die Geschwindigkeit de Peson elativ zu Edobefläche ist die Vektosumme diese beiden Geschwindigkeiten vpe = vpw + vwe v PE v PW v WE v v PW WE Figu 8. Vektoaddition de Geschwindigkeit Komponentendastellung Da de Geschwindigkeitsvekto V konstant ist, können wi die Koodinatensysteme so wählen, dass sich de Beobachte O in positive Richtung de x-achse des Bezugssystems O bewegt. Wi betachten zusätzlich den Fall, in dem die Uspünge de Bezugssysteme O und O zu den Zeiten t=t =0 zusammenfallen und die Physik 803 Koodinatenachsen imme paallel bleiben, da keine elative Rotation stattfindet. Siehe Abb. 9. y Vt y' O O' x,x' z z' Figu 9. Die Beobachte O und O mit eine Relativgeschwindigkeit V. In diesem Fall wid die Geschwindigkeit geschieben als V = Vex =( V, 00, ) Die Otsvektoen können als Funktion ihe Komponenten ausgedückt weden x y z und x y z = = (,, ) (,, ) De Übegang von einem Bezugssystem ins andee wid mit Hilfe de Galileischen Tansfomation geschieben. 804 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

17 Das Eeignis Fü den Übegang von O nach O gilt das folgende Gleichungssystem Ï x = x -Vt Ô y = y Ì Galileische Tansfomation z = z Ô Ó t = t Es kann auch als eine Matizengleichung ausgedückt weden Ê t ˆ Ê 0 0 0ˆ Ê t ˆ Á x Á ÁÁ = - V 0 0 Á x ÁÁ ÁÁ Matixdastellung y y Á Á Á Ë z Ë Ë z 4.7 Das Eeignis Wi definieen ein Eeignis als etwas, das an einem bestimmten Punkt des Raums und zu eine bestimmten Zeit stattfindet. D.h., ein Eeignis findet in einen Punkt mit bestimmten Raumkoodinaten x,y,z und zu eine bestimmten Zeit t statt. De Zusammenstoss zwischen zwei Köpen ist z.b. ein Eeignis. Ein andees Eeignis besteht dain, dass eine Lampe einen Lichtblitz emittiet. Ein dittes Eeignis ist de Aufpall eines Steines, duch den die Windschutzscheibe eines Autos beschädigt wid. Jedes Eeignis ist eine eale Gegebenheit. Man sagt, dass ein Eeignis an eine bestimmten Stelle in de Raumzeit stattfindet. Physik 805 Ein deidimensionale Otsvekto stellt einen Punkt im Raum da, = ( x, y, z) Ein Eeignis wid mit einem viedimensionalen 4-Vekto in de Raumzeit dagestellt (,,, ) txyz ein bestimmte Punkt in de Raumzeit Wi sagen: Ein Eeignis entspicht einem Punkt in de viedimensionalen Raumzeit. Wi bemeken, dass die este Komponente (d.h. die Zeit) und die andeen dei Komponenten (d.h. die Raumkoodinaten) des 4-Vektos veschieden sind. Wi können die Zeit auch mit de Einheit de Länge messen. Wi lassen z.b. einen Lichtstahl zwischen zwei paallelen Spiegeln, die 0,5 Mete voneinande entfent sind, hin und he laufen. Eine solche Anodnung können wi als eine Uh vewenden, die jedesmal tickt, wenn de Stahl zu einem bestimmten Spiegel zuückkeht. Damit alle Komponenten des 4-Vektos dieselbe Einheit besitzen, definieen wi die este Komponente (d.h. die Zeitkomponent) als das Podukt de Zeil t (in Sekunden) mal de Lichtgeschwindigkeit c (in Mete/Sekunde) und ehalten ct (in Mete). Wi benutzen die Lichtgeschwindigkeit, weil sie die einzige fundamentale Konstante in de Natu ist, die die nötige Einheit zu Umwandlung eine Zeit in eine Länge hat. 806 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

18 Das Eeignis De Raumzeit 4-Vekto wid dann geschieben als x m m = 0 3 = ( x, x, x, x ) = ( ct, x, y, z ) ( 03,,, ) wobei de Index µ übe die 4 Komponenten des Vektos läuft. Mit diese Definition besitzen die vie Komponenten des 4-Vekto dieselbe Einheit, d.h. die Einheit eine Länge (z.b. Mete). Die Galileische Tansfomation kann dann als die Tansfomation de 4-Vektoen m m x = M G x ausgedükt weden, wobei m m x 44 = ( ct, 44 x, y, 3 z) x 444 = ( ct, x 444, y, 3 z ) Raumzeitkoodinaten fü O Raumzeitkoodinaten fü O Beide entspechen demselben Eeignis (Wi haben angenommen, dass die Konstante c dieselbe ist fü beide Beobachte.) MG ist eine Matix, die die Galileische Tansfomation dastellt. Beide, x µ und x µ, entspechen demselben Eeignis, abe von veschiedenen Beobachten O und O beobachtet. Im Allgemeinen haben wi mit diese Fom angenommen, dass veschiedene Beobachte dasselbe Eeignis mit veschiedenen Raumkoodinaten und Zeiten bescheiben. Physik 807 Im Fall de Galileischen Tansfomation gilt Ê ct ˆ Ê 0 0 0ˆ Ê ct ˆ Á x Á V c x ÁÁ = y - / 0 0 Á ÁÁ ÁÁ y Á Á Á Ë z Ë Ë z und Ê ct ˆ Ê 0 0 0ˆ Ê ct ˆ Á x Á x ÁÁ = y - b 0 0 Á ÁÁ ÁÁ y Á Á Á Ë z Ë Ë z { b { x m M G ( ) x m Wi haben den Geschwindigkeitspaamete b (Siehe Kap. 4..) vewendet b V / c wobei V die Geschwindigkeit des Beobachtes O elativ zu O, und c die Lichtgeschwindigkeit ist. Die invesen Galileischen Tansfomationen von O nach O lauten Ï x = x + Vt = x + b ct Ô y = y Ì Galileische Tansfomation Ô z = z Ó Ô t = t 808 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

19 Bestimmung de Ausbeitungsgeschwindigkeit eine Welle und Ê ct ˆ Ê 0 0 0ˆ Ê ct ˆ Á x Á b 0 0 Á x ÁÁ = ÁÁ ÁÁ y y Á Á Á Ë z Ë Ë z { { m m x x 4.8 Bestimmung de Ausbeitungsgeschwindigkeit eine Welle Wi betachten die Ausbeitungsgeschwindigkeit eine longitudinalen Fedewelle, die sich von links nach echts ausbeitet.siehe Abb. 0. Um die Ausbeitungsgeschwindigkeit zu bestimmen, messen wi die Zeit, die die Welle benötigt, um einen Stab zu passieen. Beobachte in Ruhe. Wi beginnen mit dem Fall, in dem de Beobachte elativ zu Fede in Ruhe ist. Wi definieen zwei Eeignisse, x µ und x µ : m Ï x = ( ct, x, y, z) = Wellenbeg tifft den Stab an Ì m Ó x = ( ct, x, y, z) = Wellenbeg velässt den Stab (in diesem Fall sind nu die Zeit und die x-koodinate wichtig) Physik 809 x x µ =(ct,x ) x µ =(ct,x ) Figu 0. Messung de Ausbeitungsgeschwindigkeit eine longitudinalen Fedewelle, die sich von links nach echts ausbeitet. Die Zeit, die die Welle benötigt, um den Stab zu passieen, wid gemessen. Beide Beobachte sind elativ zu Fede in Ruhe. Die gemessene Ausbeitungsgeschwindigkeit v A wid bestimmt mit Hilfe de Raumzeitkoodinaten de zwei Eeignisse x µ =(ct,x,y,z ) und x µ =(ct,x,y,z ) als v A = x x c x x - - = t - t ct - ct Bewegte Beobachte. Wi betachten nun den Fall, in dem de Beobachte O sich elativ zu Fede mit konstante Geschwindigkeit V (d.h. mit einem Geschwindigkeitspaamete b=v/c) bewegt. Siehe Abb.. 80 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

20 Bestimmung de Ausbeitungsgeschwindigkeit eine Welle Die Ausbeitungsgeschwindigkeit de Welle, gemessen bezüglich O, kann mit Hilfe eine Galileischen Tansfomation de Raumzeitkoodinaten bezüglich O beechnet weden. Wi benutzen die Koodinaten de zwei Eeignisse bezüglich O und µ O. x und x µ entspechen demselben Eeignis, abe bezüglich den zwei Bezugssystemen de zwei Beobachte O und O. Eine ähnliche Beziehung gilt zwischen x µ und x µ. x x µ =(ct,x ) x µ =(ct,x ) x' µ =(ct',x' ) x' µ =(ct',x' ) v Beobachte O' Beobachte O Figu. Messung de Ausbeitungsgeschwindigkeit eine longitudinalen Fedewelle, die sich von links nach echts ausbeitet. In diesem Fall bewegt sich de Beobachte elativ zu Fede nach echts. Physik 8 Die Ausbeitungsgeschwindigkeit v A bezuglich O ist gleich x x v A = - t - t x - bct - x + bct = t - t x - x - b ct -ct = t - t x - x b ct t = - t - t t - t = v -V A ( ) ( - ) wobei wi die gemessene Gösse v A bezüglich O als Funktion de Gössen, die bezüglich O gemessen sind, ausgedückt haben. D.h., wenn de Beobachte O sich in dieselbe Richtung wie die Welle bewegt, schliesst e, dass sich die Welle mit de geingeen Geschwindigkeit v A =v A V ausbeitet. x x µ =(ct,x ) x µ =(ct,x ) x' µ =(ct',x' ) x' µ =(ct',x' ) v Beobachte O' Beobachte O Figu. Messung de Ausbeitungsgeschiwndigkeit eine longitudinalen Fedewelle, die sich von links nach echts ausbeitet. In diesem Fall bewegt sich de Beobachte nach links elativ zu Fede. 8 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

21 Bestimmung de Lichtgeschwindigkeit Mit eine ähnlichen Heleitung kann man beweisen, dass wenn sich de Beobachte O de Welle entgegengesetzt bewegt, die Welle sich fü ihn mit de gösseen Geschwindigkeit v A =v A +V ausbeitet. Daaus folgt, dass die beobachtete Ausbeitungsgeschwindigkeit de Welle von de Geschwindigkeit de Beobachte elativ zum Medium, duch welches sich die Welle ausbeitet, abhängt. Sie ist gleich v A V wenn sich de Beobachte in dieselbe Richtung wie die Welle bewegt und v A +V wenn e sich de Welle entgegengesetzt bewegt. 4.9 Bestimmung de Lichtgeschwindigkeit Die Lichtgeschwindigkeit kann mit Hilfe eines Lasepulses gemessen weden. Wie fühe messen wi die Zeit, die de Lasepuls benötigt, um einen Stab zu passieen. Siehe Abb. 3. lase pulse lase Figu 3. Messung de Lichtgeschwindigkeit. Die Zeit, die de Lasepuls benötigt, um den Stab zu passieen, wid gemessen. Physik 83 Wi definieen die zwei Eeignisse m Ï x = ( ct, x, y, z) = Licht passiet den esten Empfänge Ì m Ó x = ( ct, x, y, z) = Licht passiet den zweiten Empfänge In diesem Fall wid die Lichtgeschwindigkeit c gemessen als x - x c = t - t Wi bemeken nun, dass die Ausbeitung des Lichtes veschieden von de Ausbeitung mechanische Wellen ist: Alle mechanischen Wellen benötigen ein Medium, um sich ausbeiten zu können, und die Geschwindigkeit de Wellen wid duch die Eigenschaften des Mediums bestimmt. Seit dem 9. Jahhundet wusste man, dass das Licht sich wie Lichtwellen (elektomagnetische Wellen) vehält, duch die Beobachtung von Phänomenen wie optische Intefeenz, Beugung und Polaisationseffekten. Lichtwellen können sich abe duch den leeen Raum (d.h. Vakuum) ausbeiten. Sie bauchen kein Medium, duch welches sie sich ausbeiten müssen. Nach de Maxwellschen Theoie des Elektomagnetismus (Siehe Kap. 5) ist die Ausbeitungsgeschwindigkeit von elektomagnetischen Wellen gleich = ª c Mete / Sekunde e m 0 0. James C. Maxwell (83-879) 84 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

22 Bestimmung de Lichtgeschwindigkeit wobei e 0 und µ 0 die Dielektizitäts- und Pemeabilitätskonstante im Vakuum sind. Die Maxwellschen Gleichungen liefen abe keine Aussage, in welchem Bezugssystem die Lichtgeschwindigkeit diesen Wet annimmt! Eine Messung de Lichtgeschwindigkeit in einem Bezugssystem, das sich bewegt, müsste ein gössees ode kleinees Egebnis liefen, je nach Richtung de Bewegung elativ zum Lichtstahl. Siehe Abb. 4 und 5. lase pulse lase Figu 4. Messung de Lichtgeschwindigkeit. Die Zeit, die de Lasepuls benötigt, um de Stab zu passieen, wid gemessen. De Beobachte, de den Stab hält, bewegt sich in Richtung des Beobachtes, de den Lase hält. Physik 85 lase pulse lase Figu 5. Messung de Lichtgeschwindigkeit. Die Zeit, die de Lasepuls benötigt, um de Stab zu passieen, wid gemessen. De Beobachte, de den Stab hält, entfent sich vom Beobachte, de den Lase hält. Wenn wi die Galileische Tansfomation benutzen, weden wi schliessen, dass die gemessene Lichtgeschwindigkeit wie folgt sein müsste, gemessene Lichtgeschwindigkeit Galileische Tansfomation Ï c - V in deselben Richtung ÌÓ c + V in entgegengesetzte Richtung = 4.9. Das Michelson-Moley Expeiment Im Jah 88 begann Michelson, die Lichtgeschwindigkeit mit Hilfe von Laufzeitmessungen des Lichts zu messen. 86 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

23 Bestimmung de Lichtgeschwindigkeit In eine Seien von Expeimenten vesuchten Michelson und Moley die Abhängigkeit de Lichtgeschwindigkeit vom Bewegungszustand des Bezugssystems aufzudecken. Sie benutzten die Ede als bewegtes Bezugssystem: die Ede bewegt sich mit eine Geschwindigkeit von ungefäh Meten po Sekunde um die Sonne. Sie veglichen die Zeiten, die Licht benötigt, um dieselbe Stecke paallel und senkecht zu Bewegungsichtung de Ede zuückzulegen. Siehe Abb. 6 und 7. Figu 6. Das Michelson-Moley Intefeomete. Physik 87 Wi betachten die Lichtstahlen, die sich paallel zu Richtung de Ede bewegen. Die Lichtstahlen wuden zwischen nahezu paallelen Spiegeln hin und he eflektiet. Wenn sich Lichtquelle und Spiegel mit eine Geschwindigkeit V in gleiche Richtung bewegen, dann sollte sich das Licht mit de Geschwindigkeit c V auf den Spiegel zubewegen und mit de Geschwindigkeit c+v von ihm wegbewegen. Siehe Abb. 8. Figu 7. Michelson-Expeiment-Demonstationsexpeiment. 88 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

24 Bestimmung de Lichtgeschwindigkeit Die gesamte Laufzeit des Lichts ist dahe L L Lc ( + V) + Lc ( -V ) Lc t = + = = c - V c + V c - V c - V / c ( ) Fü Vª3 0 4 m/s viel kleine als cª3 0 8 m/s gilt L c t = -V c L c - ( ) ª + ( V c ) / / wobei V c - - / ª ( 0 ) = De Effekt ist seh klein und dahe auf diektem Weg seh schwe nachzuweisen. L Geschwindigkeit V c V Lichtstahl Spiegel c+v Figu 8. Eine Lichtquelle und ein Spiegel, die sich mit konstante Geschwindigkeit V bewegen. Um diese kleine Diffeenz zu bestimmen, vewendeten Michelson und Moley ein Intefeomete. Wie in Abb. 6 gezeigt, fällt das Licht auf einen Stahlteile. Ein Teil des Lichts geht in die Richtung paallel zu Edbewegung und ein andee Teil wid um 90 eflektiet. Die beiden Teile weden eflektiet und weden schliesslich wiede zusammenteffen. Physik 89 Wegen des Pinzips de Supeposition (siehe Kap. 6.7) de elektomagnetischen Wellen, wid die esultieende Welle die Summe de einlaufenden Wellen sein. Wenn beide Stecken (d.h. paallel und senkecht) zu eine Laufzeitdiffeenz fühen, weden wi es duch Intefeenzphänomene (siehe Kap 6.7.) zwischen den beiden Lichtstahlen bemeken. Wi haben schon ewähnt (Siehe Kap..7.3), dass fü das menschliche Auge de elektomagnetische Wellenlängenbeeich von ungefäh 0,4µm bis 0,7µm beobachtba (de sichtbae Spektalbeeich) ist. Die ote Fabe hat z.b. eine Wellenlänge ungefäh gleich - 6 lot ª 065, mm = 065, 0 m - 9 = 650 nm = m Es folgt daaus, dass mit eine Laufzeitdiffeenz-Messung, duchgefüht mit einem Intefeomete und sichtbaem Licht, äumliche Phasenunteschiede im Beeich von µm gemessen weden können. Die Anwesenheit eine solchen Laufzeitdiffeenz wollten Michelson und Moley mit de Ändeung des Intefeenzmustes beweisen, wenn das Expeiment um 90 gedeht wid. Bei seinem esten Vesuch im Jah 88 hat Michelson keinen Effekt beobachtet. E wiedeholte seine Messungen nach einem halben Jah, da sich die Ede auf ihe Bahn um die Sonne in die entgegengesetzte Richtung bewegt, abe mit demselben Egebnis. Dieses Expeiment wude unte veschiedenen Bedingungen wiedeholt, abe das Egebnis ist imme dasselbe: keine Ändeung des Intefeenzmustes wid beobachtet. 80 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

25 Bestimmung de Lichtgeschwindigkeit 4.9. Das Postulat de konstanten Lichtgeschwindigkeit Das Null-Resultat des Michelson-Moley-Expeiments kann mit Hilfe des Postulats de Lichtgeschwindigkeit eklät weden. Es sagt: Jede Beobachte misst in allen Richtungen fü die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum denselben Wet c. D.h., die Lichtgeschwindigkeit ist isotop (gleich in alle Richtungen) und unabhängig von de Bewegung des Beobachtes. Dieses Postulat scheint vielleicht im Widespuch zu unsee Anschauung. Wi betachten z.b. zwei Beobachte O und O und eine Lichtquelle S. O befindet sich elativ zu S in Ruhe, und O bewegt sich mit de Geschwindigkeit V auf S zu. Siehe Abb. 9. O misst eine Lichtgeschwindigkeit c. O misst auch eine Lichtgeschwindigkeit c (nicht c+v). Lichtquelle S O V O Figu 9. Eine uhende Lichtquelle S, ein uhende Beobachte O, und ein sich mit de Geschwindigkeit V in Richtung de Quelle bewegende Beobachte O. Physik 8 Wi bemeken, dass die Lichtgeschwindigkeit c eine fundamentale Gösse de Natu ist. Sie wikt als eine Genzgeschwindigkeit, die de höchsten möglichen Geschwindigkeit entspicht (Siehe Kap. 4..). Eine venünftige Annahme ist, dass diese fundamentale Gösse c dieselbe fü alle Beobachte sein muss, unabhängig von ihem Bewegungszustand. 4.0 Die Loentz-Tansfomation Das Postulat de Lichtgeschwindigkeit ist im Widespuch zu Vektoaddition de Geschwindigkeit, die eine Folgeung de Galileischen Tansfomation ist. Es folgt: Die Galileische Tansfomation entspicht eine Näheung, die nu gilt, wenn die Geschwindigkeiten viel kleine als die Lichtgeschwindigkeit sind. Wi suchen eine neue Tansfomation. Wi nehmen an, dass die Galileische Tansfomationsgleichung fü x bis auf einen Fakto K gilt = ( + b ) x K x ct wobei K von V und c (d.h. vom Geschwindigkeitspaamete b) abhängen kann, abe nicht von den Koodinaten. Die invese Tansfomation ist dann ( ) x = K x - b ct Wi betachten einen Lichtpuls, de im Uspung vom Beobachte O zu Zeit t=0 emittiet wid und sich in die x-richtung ausbeitet. Wi nehmen gewöhnlich an, dass die Uspünge von O und O fü t=t =0 8 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

26 Die Loentz-Tansfomation zusammenfallen. Es folgt, dass de Lichtpuls auch in O zum Zeitpunkt t =0 statet. Nach dem Postulat de Lichtgeschwindigkeit muss die Gleichung fü die x-komponente des Lichtpulses in O und O gleich lauten: bezüglich O : x = ct bezüglich O : x = ct Wi ehalten ( ) = + ( ) = - Ï ct = K ct + bct K ( b) ct ÌÓ ct = K ct - bct K ( b) ct d.h. = K( - b) K( + b) fi K = - b Deshalb muss die Konstante K gleich dem Loentz-Fakto sein (Siehe Kap. 4..3), d.h. K=g, wobei, g - b Wi einneen daan, dass g imme gösse als ist und g ª fü b<< ode V<<c. Die Tansfomationsgleichung fü die Zeit ist ( ) = - ( ) = + ( ) - x K x bct K K x bct bct = Kx + K ct - Kct b b Physik 83 und deshalb ( ) - x = K x + bct Kbct - + ( ) - = b b K x + ct x fi ct = K Ê = KÁ x ( - ) + ct Ë b K K Ê Á x ( Ë K ) K b ˆ b ct ˆ Mit de Definition von K = g = ( b ) finden wi ( - ) = ( -( - b )) = b b K b und schliesslich ehalten wi fü die Zeittansfomation = g ( b + ) ct x ct Die sogenannten Loentz-Tansfomationen fü den Raum und die Zeit folgen daaus ( ) Ï x = g x - bct Ô y = y Ì Loentz - Tansfomation Ô z = z Ô Ó ct = g ( ct - bx ) ode in Matixdastellung: 84 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

27 Die Loentz-Tansfomation Ê ct ˆ Ê g - gb 0 0ˆ Ê ct ˆ Á x Á - gb g 0 0 Á x ÁÁ = ÁÁ ÁÁ y y Á Á Á Ë z Ë Ë z { { x m M Loentz ( b ) x m Mit diese Dastellung ist eine Symmetie zwischen Raum und Zeit bemekba. Die invese Tansfomation können wi duch den folgenden Austauch b - b; x x ; y y ; z z ; t t finden. Die Loentz-Tansfomation efüllt das Postulat de Lichtgeschwindigkeit. Sie stellt eine Beziehung he zwischen den Raum- und Zeitkoodinaten eines Eeignisses in einem Bezugssystem O und den Koodinaten desselben Eeignisses in einem andeen Bezugssystem O, das sich mit de Geschwindigkeit bc elativ zu O bewegt. Bemekung. Fü Geschwindigkeiten viel kleine als die Lichtgeschwindigkeit veeinfachen sich die Loentz-Tansfomationen zu den Galileischen Tansfomationen. Physik 85 Es gilt im Fall V<<c (d.h. b<< und gª) Ï Ô x = g x - bct x ÔÔ y = y Ì Ô z = z ÔÔ ct = g ct - bx ct Ó ( ) ª - ª - ( ) ª - ª V ct x Vt c V c x ct und wi ehalten die Galileischen Tansfomationen wiede. 4. Die spezielle stheoie De Name stheoie wid gewählt, um die Unabhängigkeit de Natugesetze vom Bewegungszustand des Beobachtes auszudücken. 4.. Pinzip de Das Pinzip de ist uns nicht femd. Es sagt: Man kann eine geadlinige Bewegung mit konstante Geschwindigkeit nicht fühlen. Wi stellen uns z.b. vo, dass wi in einem Flugzeug sind. Das Flugzeug bewegt sich mit eine Geschwindigkeit von ungefäh 000 Kilomete po Stunde. Wi sitzen im Flugzeug und schauen einen Film. Wenn die Fenste des Flugzeugs geschlossen sind, können wi nicht sagen, wie schnell sich das Flugzeug bewegt; wi können die Geschwindigkeit nicht fühlen. Falls wi unse Getänk veschütten, wid es auf unsee Beine fallen, wie wenn wi auf de Edobefläche sitzen wüden. 86 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

28 Die spezielle stheoie Aus den veschiedenen Dingen, die im Flugzeug geschehen, ode aus allen Expeimenten, die wi im Flugzeug machen können, ist es unmöglich ganz siche zu schliessen, ob das Flugzeug sich wiklich mit konstante Geschwindigkeit bewegt ode nicht. In einigen Fällen kann es logische sein anzunehmen, dass das Flugzeug sich in Ruhe befindet, und die Ede als bewegtes System zu betachten. Siehe Abb. 30. In welchem Fall können wi siche schliessen, dass wi uns bewegen? Wenn wi schaf anfahen ode bemsen, ode wenn wi um eine schafe Kuve fahen, fühlen wi die Beschleunigung. Die Ändeung de Richtung ode des Betages de Geschwindigkeit können wi fühlen! Flugzeug Ede Figu 30. Bewegung des Flugzeugs ode de Ede. Physik 87 Ede Züich Genf Genf Züich Flugzeug Abe wenn es keine Beschleunigung gibt und wi uns geadlinig mit konstante Geschwindigkeit bewegen, können wi nie sagen, ob wi uns wiklich bewegen ode nicht. Das Pinzip de kann ausgedückt weden als: Alle elativ zu einem Inetialsystem gleichfömig bewegten Bezugssysteme sind ebenfalls Inetialsysteme und im Rahmen de Mechanik gleichwetig. D.h., es ist nicht möglich, duch die Übepüfung de physikalischen Gesetze ein fei bewegtes Bezugssystem vom andeen zu untescheiden. Es folgt daaus, dass es in de Natu keine absolute Geschwindigkeit gibt. Bewegung ist wiklich ein elative Begiff! 4.. Die Einsteinschen Postulate Im Jah 905 veöffentlichte Einstein (im Alte von 6 Jahen) seine Abeit Übe die Elektodynamik bewegte Köpe, in de die spezielle stheoie enthalten ist. Die Theoie basiet auf zwei Postulaten:. Das Pinzip de gilt: Es gibt kein physikalisch bevozugtes Inetialsystem. Die Natugesetze müssen in allen Inetialsystemen dieselbe Fom annehmen.. Die Maxwellsche Theoie des Elektomagnetismus gilt (in allen Inetialsystemen): Die Ausbeitungsgeschwindigkeit des Lichts (allgemein de 88 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

29 Die spezielle stheoie elektomagnetischen Wellen) im Vakuum besitzt fü jeden beliebigen Inetialbeobachte denselben Wet c, = ª c Mete / Sekunde e m 0 0 wobei e 0 und µ 0 die Dielektizitäts- und Pemeabilitätskonstante im Vakuum sind. Es folgt, dass zwei veschiedene Beobachte, die sich elativ mit konstante Geschwindigkeit V bewegen, ihe Beobachtungen des gleichen Eeignisses übe die Loentz-Tansfomation koelieen müssen. Diese Postulate sagen Effekte unmittelba voaus, die zunächst sondeba, soga unheimlich scheinen. Sondeba ode nicht, weden sie duch logische Agumente hegeleitet und duch Expeimente bestätigt! 4..3 Invaianz des Raumzeit-Intevalls Aus de Loentz-Tansfomation folgen wichtige Effekte fü Zeitintevalle und äumliche Entfenungen. Wi betachten zwei Eeignisse mit Raumzeitkoodinaten x µ µ =(ct,x,y,z ) und x =(ct,x,y,z ) elativ zum Beobachte O. Wi definieen die äumliche Entfenung (den Abstand) zwischen den zwei Eeignissen als D = ( x - x ) + ( y - y ) + ( z -z ) = ( Dx) + ( Dy) + ( Dz) Physik 89 Das Zeitintevall (die zeitliche Entfenung) Dt zwischen den zwei Eeignissen wid definiet als Dt = t -t Fü einen andeen Beobachte O escheinen die zwei Eeignisse im Allgemeinen mit veschiedenen Raumzeitkoodinaten m = m x ct x y z und x = ct x y z (,,, ) (,,, ) Wi bestimmen die äumliche und zeitliche Entfenung bezüglich O. Fü die x-koodinate gilt = - = - ( ) - - D x x x g x bct g x bct ( ) - ( - ) ( ) = g x - x gb ct ct = g Dx - bcdt ( ) und mit eine ähnlichen Heleitung fü das Zeitintevall, finden wi die folgenden Gleichungen fü die Tansfomation de Entfenungen Dx, Dy, Dz und Dt. ( ) Ï Dx = g Dx - bcdt Ô Dy = Dy Ì Ô Dz = Dz Ô Ó cdt = g cdt - bdx ( ) Es folgt daaus, dass äumliche und zeitliche Entfenungen in veschiedenen Bezugssystemen unteschiedlich sind: Dtπ Dt ; Dx π Dx fi Dπ D D.h., von veschiedenen Beobachten gemessene Zeitintevalle ode äumliche Abstände zwischen zwei Eeignissen sind nicht imme gleich. 830 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

30 Die spezielle stheoie Gibt es eine Entfenung, die dieselbe fü alle Beobachte ist? Das Raumzeit-Intevall Ds wid definiet als ( Ds) ( cdt) - ( D) = ( cd t) - ( Dx) - ( Dy) - ( Dz) Zeitliche Räumliche = Ê Ë Á ˆ - Ê Entfenung Ë Á ˆ Entfenung (das negative Vozeichen fü den Raum ist seh wichtig!) Wi beweisen nun, dass das Raumzeit-Intevall eine Invaiante de Loentz-Tansfomation ist. D.h., jede beliebige Beobachte misst im Allgemeinen eine veschiedene äumliche und zeitliche Entfenung, abe dasselbe Raumzeit- Intevall zwischen zwei Eeignissen: ( ) = ( ) - ( ) - ( ) - ( ) Ds cdt Dx Dy Dz = ( ( - )) - - g cdt bdx g Dx bcdt Dy Dz = g ( cdt ) - bcdt Dx + ( bdx ) ( ( )) - ( ) - ( ) ( ) - (( ) - + ( ) ) - ( ) - ( ) ( cdt cdt Dx Dx ) - ( Dy) - ( Dz) ( )(( cdt ) - ( Dx) ) - ( Dy) - ( Dz) g Dx bcdtdx b cdt Dy Dz = g ( ) - ( b ) - ( ) + ( b ) = g - b = ( cdt ) - ( Dx) = ( D s ) - ( Dy) - ( Dz) Physik 83 Man kann sagen, dass de Raum und die Zeit fü veschiedene Beobachte unteschiedlich sind, abe die Raumzeit fü alle gleich ist Eigenzeit und Zeitdilatation Wi betachten nun die Bewegung eine Masse, die an eine Fede angebunden ist. Wi wissen (Siehe Kap und folgende), dass fü eine nicht zu gosse Anfangsauslenkung die Masse eine hamonische Schwingung ausfüht. Wi nehmen an, dass das Masse-Fede-System sich in eine Rakete befindet und dass die Masse in de y-richtung schwingen wid. Siehe Abb. 3. Die Rakete eist ohne Antieb duch den Weltaum (d.h. sie wid nicht beschleunigt) und sie spüt keine äussee Kaft, insbesondee keine Gavitationskaft. Es folgt, dass die Rakete ein Inetialsystem ist. y O x Dx=Dy=0 Dt=Peiode T Figu 3. Das Raketenbezugssystem bewegt sich ohne Antieb und fei duch den Weltaum (es wikt keine Gavitationskaft). Ein Beobachte O misst die Schwingungspeiode T de Masse, die an de Fede angebunden ist. 83 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

31 Die spezielle stheoie Ein Beobachte O befindet sich in de Rakete. E lenkt die Masse in die y-richtung aus, und beobachtet die Schwingung de Masse. Relativ zu einem zweiten Beobachte O bewegt sich die Rakete mit eine Geschwindigkeit bc in die x -Richtung, d.h. senkecht zu Richtung de Schwingung. Siehe Abb. 3. Wi definieen zwei Eeignisse.. Eeignis: die Masse wid losgelassen. Eeignis: die Masse hat eine volle Schwingung duchgefüht. y' Geschwindigkeit V Geschwindigkeit V O' x' bc(dt') Dx'=bc(Dt') Dy'=0 Dt'=gemessene Peiode T' Figu 3. Relativ zum Beobachte O bewegt sich die Rakete mit eine Geschwindigkeit bc in die x -Richtung. Ein Beobachte O misst die Schwingungspeiode T de Masse, die an de Fede angebunden ist. Wi betachten die Schwingung bezüglich O. Nach eine Schwingung befindet sich die Masse wiede in ihe Anfangsposition. Bezüglich O ist die äumliche Entfenung zwischen den zwei Eeignissen gleich null. Die zeitliche Entfenung entspicht de Peiode T de Schwingung. Physik 833 Die zeitliche Entfenung zwischen Eeignissen, die bezüglich einem Bezugssystem am selben Ot stattfinden, heisst Eigenzeitintevall Dt. Fü den Beobachte O, de sich elativ zum Masse-Fede-System in Ruhe befindet, ist das Eigenzeitintevall Dt gleich de Peiode de Schwingung. Das Raumzeit-Intevall zwischen den zwei Eeignissen ist fü O gleich zeitliche äumliche ( D s ) = Ê Ë Á ˆ Entfenung - Ê Ë Á ˆ Entfenung = ( c ( Peiode T )) - ( 0 ) ( ) c D t Eigenzeit Bezüglich dem Beobachte O bewegt sich die Rakete. De Beobachte O bestimmt das Raumzeit-Intevall zwischen den zwei Eeignissen als ( D ) = Ê Ë Á zeitliche ˆ - Ê Ë Á äumliche ˆ s Entfenung Entfenung = ( ) - ( ) - ( ) - ( ) cd t Dx Dy Dz Nach eine Schwingung keht die Masse bezüglich O nicht in die Anfangsposition zuück. Sie ist in die x -Richtung um Dx veschoben Dx = ( b c) Dt Wähend de Schwingung mit de gemessenen Peiode Dt, hat sich das Masse-Fede-System mit de Geschwindigkeit bc in die x -Richtung bewegt. 834 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

32 Die spezielle stheoie Das Raumzeit-Intevall ist dann gleich ( D ) = Ê Ë Á zeitliche ˆ - Ê Ë Á äumliche ˆ s Entfenung Entfenung = ( ) - cd t Dx Dy Dz = cdt b cdt = ( - b )( cd t ) ( ) - ( ) - ( ) ( ) - ( ) Da das Raumzeit-Intevall eine Invaiante ist, muss es denselben Wet fü alle Beobachte besitzen. D.h. ( ) = - ( ) ( ) = ( ) = ( ) Ds b cdt Ds cdt 3 = g und es folgt bezüglich O Ê gemessene Zeit ˆ } } Dt = g Á Dt ÁÁ bezüglich O gemessene Zeit Ë Das Zeitintevall, gemessen in einem bewegten Bezugssystem, ist imme um den Fakto g gösse als das Eigenzeitintevall. Man spicht von Zeitdilatation. D.h., Vogänge scheinen länge zu dauen, wenn sie in einem System ablaufen, das sich elativ zum Beobachte bewegt, als wenn sich das System in Ruhe befindet. Weden unteschiedliche Geschwindigkeiten von allen Uhen wiklich beobachtet? Die Antwot ist ja!. Wäe es möglich, dass kompliziete Uhen (d.h. kompliziete als die einfache Bewegung eine Physik 835 schwingenden Masse) nicht langsame gehen? Die Antwot ist nein. Wäe das mit eine bestimmten Uh gemessene Zeitintevall veschieden vom Wet, den die Zeitdilatation voaussagt, dann könnte man diese Uh benutzen, um zu entscheiden, ob man sich wiklich bewegt ode nicht. Dies ist abe im Widespuch zum spinzip. Es folgt: Wenn eine At von Uh duch Geschwindigkeitseffekte langsame geht, dann müssen alle Uhen und, im Allgemeinen, alle Vogänge, die von de Zeit abhängen, um genau denselben Fakto g langsame gehen, um das spinzip nicht zu veletzen. Das Flugzeugexpeiment : Am. Novembe 975 flog ein Patouillenflugzeug 5 Stunden lang in eine Höhe von 5000 bis Fuss. Im Flugzeug befanden sich seh genaue Atomuhen. Die Uhen wuden mit genau gleichen Uhen auf de Ede veglichen. Bei eine mittleen Fluggeschwindigkeit von 40 Meten po Sekunde lagen die duch die Luft tanspotieten Uhen nach dem 5-Stunden-Flug im Duchschnitt 5,6 Nanosekunden zuück. Die Theoie sagt fü diese Geschwindigkeit eine Diffeenz von 5,7 Nanosekunden vohe. De Zeitdilatationseffekt wa bei diesem Expeiment klein, weil die Geschwindigkeit des Flugzeuges klein wa elativ zu Lichtgeschwindigkeit. Abe die Atomuhen sind so genau, dass das Nachgehen de Uhen eindeutig ist, und es stimmt mit de Theoie übeein.. C.O. Alley, Quantum Optics, Expeimental Gavity, and Measuement Theoy, ed. P. Meyste und M.O. Scully (Plenum, New Yok, 983). 836 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

33 Die spezielle stheoie 4..5 De ganze Weltaum gehöt uns Das Lichtjah wid definiet als die Entfenung, die das Licht in einem Jah zuücklegt: Lichtjah = c ( Jah ) ª 95, 0 5 Mete Etwa 99 Lichtjahe von de Ede entfent liegt de Sten Kanopus. Wi nehmen an, dass wi den Sten besuchen wollen, um ihn zu photogaphieen und mit den Aufnahmen nach Hause zuückzukehen. Ist das möglich? Wi denken: Wi haben nu wenig meh als 00 Jahe zu leben. Wi können höchstens die halbe Zeit fü den Hinflug und die halbe Zeit fü den Rückflug aufbingen. Selbst wenn wi mit Lichtgeschwindigkeit fliegen wüden, wüden wi 99 Jahe bauchen, nu um dothin zu gelangen... Dieses Denken ist nicht ichtig, weil wi die Zeitdilatation vewenden müssen. Wenn die Rakete zum Kanopus sich z.b. mit eine Geschwindigkeit V=0,994c bewegt, ist de Loentz-Fakto gleich g = (, ) ª 9 D.h., alle Uhen in de Rakete (und auch unse Lebenslauf) gehen 9 Mal langsame als auf de Ede. Was fü jemand auf de Ede als 99 Jahe lang escheint, dauet fü jemand in de Rakete nu 99/9= Jahe. Physik 837 Wenn die Rakete sich mit eine Geschwindigkeit V=0,994c bewegt, dauet fü jemand in de Rakete die Reise zum Sten Kanopus x 99 Lichtjah t = / g = / g = 99, 6 / g ª Jahe V 0, 994 c Mit eine solchen Geschwindigkeit dauet die Reise zum Kanopus und zuück Jahe. Es ist dann ganz gut möglich, Kanopus zu besuchen und mit den Aufnahmen nach Hause zuückzukehen. Fü die Leute, die auf de Ede bleiben, hat die Reise natülich 99,6 ª00 Edjahe gedauet... Wenn wi in deselben Flugzeit weite weg eisen wollen, müssen wi eine schnellee Rakete benutzen! Weil de Loentz-Fakto g nach unendlich geht wenn V nach c geht, können wi im Pinzip so weit entfente Ziele beeisen, wie wi wollen. De ganze Weltaum gehöt uns Längenkontaktion Wi betachten noch einmal die Reise zum Sten Kanopus. Wi haben gefunden, dass fü die Leute in de Rakete die Reise ungefäh Jahe dauet. In diese Zeit hat die Rakete die folgende Distanz zuückgelegt x = Vt = (, c)( Jahe ) ª Lichtjahe Wie konnte die Rakete Kanopus eeichen, wenn sie nu eine Distanz von Lichtjahen zuückgelegt hat? Kanopus ist fü die Leute in de Rakete viel wenige weit entfent. Wie die Zeitdilatation ist das Phänomen de Längenkontaktion eal. Die äumliche Entfenung zwischen zwei Punkten (ode die Länge eines Gegenstandes) escheint geinge, wenn sich de 838 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

34 Die spezielle stheoie Beobachte elativ zu diesen Punkten bewegt als wenn e elativ zu ihnen uht. Die Länge eines Gegenstandes, gemessen in seinem Ruhesystem, heisst Eigenlänge Dl (ode Ruhelänge). Wie können wi z.b. die Länge eines sich bewegenden Stabes messen? Eine Möglichkeit ist, zu selben Zeit die Positionen de beiden Enden zu makieen. D.h., de gemessene Abstand zwischen den beiden Enden des Stabes ist gleich de äumlichen Entfenung zwischen Eeignissen, die zu deselben Zeit gemessen weden (Siehe die Definition des Zeitintevalls Kap. 4..4). Zum Beweis betachen wi einen Stab, de sich im Bezugssystem O in Ruhe befindet. Ein zweite Beobachte O bewegt sich elativ zum Stab mit eine Geschwindigkeit V. Es gilt = x = ( x + c t ) Dl D g D b D Fü O ist die Länge des Stabes gleich dem, zu deselben Zeit gemessenen Abstand, d.h. bezüglich O gemessene Länge = 0 } Dt fi Dl = g Dx Dx ( ) fi = bezüglich O gemessene Länge } D l g 4..7 Die Geschwindigkeitstansfomation Wi haben gesehen, dass aus de Galileischen Tansfomation die gewöhnliche Vektoaddition de Geschwindigkeit folgt. Physik 839 Mit Hilfe de Loentz-Tansfomation können wi beechnen, wie sich Geschwindigkeiten beim Übegang von einem Beobachte zu einem andeen tansfomieen. Wi betachten einen Köpe, de sich mit eine Geschwindigkeit u = Ê Ë ux, uy, uz ˆ im Bezugssystem O bewegt, das sich elativ zum Bezugssystem O mit eine Geschwindigkeit V in x-richtung bewegt. Die Geschwindigkeit des Köpes bezüglich O ist dx dy u u x, u y, u z,, dt dt dz dt = ( ) = Ê Ë Á ˆ Die Loentz-Tansfomation gilt auch fü diffeentielle Intevalle (Siehe Kap. 4..3): ( ) Ï dx = g dx + bcdt Ô dy = dy Ì Ô dz = dz Ô Ó cdt = g cdt + bdx ( ) De Geschwindigkeitsvekto bezüglich O kann damit beechnet weden. Fü die x-komponente gilt u x dx dt = = = c c dx cdt ( ) ( ) = g dx + bcdt g cdt + bdx c Ê Á Ë Ê Á Ë dx dt + c + b b c dx dt ˆ = ˆ u x + V b + c u x 840 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

35 Die spezielle stheoie Fü die y-komponente gilt u y dy c dy dy = = = c dt cdt g cdt + bdx ( ) = dy dt u y c = Ê dx ˆ Ê b g Á c + b g Á + dt c u x Ë Ë ˆ und eine ähnliche Gleichung fü die z-komponente. Diese Gleichungen untescheiden sich vom gewöhnlichen Egebnis de Vektoaddition, weil die Nenne nicht gleich sind. Fü den Genzfall V<<c und u x <<c gehen diese Gleichungen in die Galileische Vektoaddition übe Gleichzeitigkeit Wi weden nun beweisen, dass de Ausduck zu selben Zeit gewöhnlich nu fü ein Bezugssystem Gültigkeit hat. Abb. 33 zeigt eine Anodnung, die auf einem Tisch liegt. Ein Lasepuls wid emittiet. De Lasepuls fällt auf einen Stahlteile. Ein Teil des Lichts geht nach von, wo e schliesslich einen Empfänge eeicht, de an eine güne Lampe angeschlossen ist. Ein andee Teil geht nach hinten, wo e einen andeen Empfänge eeicht, de an eine ote Lampe angeschlossen ist. Wenn de Lasepuls einen Empfänge tifft, schaltet die angeschlossene Lampe ein. Wi nehmen an, dass de Lase und de Stahlteile sich in de Mitte des Tischs befinden. Physik 84 Da de Lasepuls sich in beide Richtungen des Tischs mit deselben Geschwindigkeit c ausbeitet, weden die güne und die ote Lampe gleichzeitig eingeschaltet. l l ote Lampe O y Lase x c c güne Lampe O' y' Geschwindigkeit V x' Stahlteile Figu 33. Eine Anodnung, um die Gleichzeitigkeit von Eeignissen zu püfen. Da de Lasepuls sich in beide Richtungen mit de Geschwindigkeit c ausbeitet, weden die güne und ote Lampe gleichzeitig eingeschaltet. Wi stellen uns nun die Fage, was geschehen wüde, wenn de Tisch sich bewegt. Wi definieen zwei Eeignisse im Bezugssystem O des Tischs:. Eeignis: das Licht eeicht die güne Lampe. Eeignis: das Licht eeicht die ote Lampe Die Raumzeit-Koodinaten diese Eeignisse bezüglich O sind gleich m Ï x = ( ct, + l, 00, ) Ì m Ó x = ( ct, -l, 00, ) wobei l de Abstand zwischen den Lampen und dem Stahlteile ist. Wi haben das Egebnis benutzt, dass das Licht die beiden Lampen 84 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

36 Die spezielle stheoie gleichzeitig eeicht, und deshalb die Zeiten t und t de beiden Eeignisse einande gleich sind: t =t =t. Die Raumzeit-Koodinaten bezüglich einem Beobachte O, de sich mit eine Geschwindigkeit bc elativ zum Tisch bewegt, wid mit Hilfe de Loentz-Tansfomation gefunden. Es gilt = - ( ) = - Ï Ô ct g ct bx g ( ct bl ) Ì ct Ó Ô = g ( ct - bx ) = g ct + bl ( ) De von O gemessene Zeitunteschied Dt ist dann gleich D t = Ê - Ë ˆ = ( ( + ) - ( - )) = c ct ct l ct l ct l gb g b g b c c D.h., de Zeitunteschied hängt von de Geschwindigkeit ab und veschwindet nicht, wenn bπ0. Bezüglich des bewegten Beobachtes schalten die beiden Lampen nicht gleichzeitig ein! Die Gleichzeitigkeit von Eeignissen ist elativ. Dieses Egebnis wid oft als Einsteinsches Zugspaadoxon bezeichnet. Wi bemeken zusätzlich, dass das Vozeichen des Zeitunteschieds vom Vozeichen des Geschwindigkeitspaametes b abhängt. Physik 843 Wi untescheiden zwei Fälle Ï b > 0 fi D t > 0 fi t > t Ô Ô fi est schaltet die güne Lampe ein Ì Ô b < 0 fi D t < 0 fi t < t Ô Ó fi est schaltet die ote Lampe ein d.h., die zeitliche Odnung des Einschaltens de Lampen hängt von de Richtung de Bewegung ab. Nicht nu ist die Gleichzeitigkeit von Eeignissen vom Beobachte abhängig, abe auch ihe zeitliche Odnung. Dass ein Eeignis fühe ode späte als ein andees Eeignis geschieht, ist ein elative Begiff! 3 Wie wid de sich bewegende Beobachte ekläen, dass die beiden Lampen nicht gleichzeitig einschalten? Wi stellen uns vo, dass de bewegte Beobachte O den Tisch sieht, wie Abb. 34 zeigt. De Tisch, de Lase und die Lampen bewegen sich mit eine Geschwindigkeit bc in die negative x-richtung (d.h. nach links in de Abbildung). Wegen de Loentz-Kontaktion escheint de Tisch veküzt mit eine halben Länge l = l g 3. Die Gleichzeitigkeit de Eeignisse wid von de stheoie gebochen. Man kann beweisen, dass die Kausalität von Eeignissen nicht veletzt wid, solange keine Infomation sich schnelle als die Lichtgeschwindigkeit ausbeiten kann. 844 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

37 Die spezielle stheoie l' l' y y' Geschwindigkeit V Lase ote O Lampe x c c güne Lampe O' x' Stahlteile V c c V Figu 34. De Tisch, wie e vom Beobachte O gesehen wid. De Beobachte sieht, dass die ote Lampe sich vom Lichtstahl entfent, und dass die güne Lampe sich dem Lichtstahl nähet. Wi scheiben die Gleichungen, die die Bewegung de Lampen und des Lichtstahls bescheibt. Wi nehmen an, dass de Lasepuls zu Zeit t =0 emittiet wid, und dass zu Zeit t =0 de Beobachte O sich an de Position des Stahlteiles befindet. Fü den Beobachte O entfent sich die ote Lampe vom Lichtstahl mit eine Geschwindigkeit bc, und die güne Lampe nähet sich dem Lichtstahl mit eine Geschwindigkeit bc. Ï l xgün ( t ) = l - Vt = - ct Ô b g Ì Ô l xot ( t ) =- l - Vt =- - b ct Ó Ô g Physik 845 Wegen des Postulats de Lichtgeschwindigkeit, beitet sich de Lasepuls in beide Richtungen des Tischs mit deselben Geschwindigkeit c aus. Ï Ô xlicht _ ( t ) = ct Ì xlicht _ ( t ) =- ct Ó Ô Die Lichtstahlen und die Lampen teffen sich zu den Zeiten t esp. t Ï l xgün ( t ) = - ct = ct Ô b fi + b ct g Ì Ô l xot ( t ) =- - bct =- ct fi - b ct Ó Ô g ( ) = ( ) = l g l g Es folgt D = Ê - Ê Ë ˆ = Á Ë t c ct ct l l b b c g b + b c g - b bg l = c ˆ = Ê Á Ë ˆ = b l c g g d.h., wi haben das Egebnis wiede gefunden, das mit Hilfe de Loentz-Tansfomation hegeleitet wude. 846 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

38 De elativistiche Enegie-Impuls Vekto 4. De elativistiche Enegie- Impuls Vekto Im Kap und 4..4 haben wi die elativistische Masse und den elativistischen Impuls eines Teilchens definiet als Ï m = g m0 Ì Ó p = mv = gm0v = gm0bc wobei m 0 die Ruhemasse des Teilchens und b v / c, v / c, v / c b, b, b ( x y z ) = ( x y z) de nomiete Geschwindigkeitsvekto ist. Die Enegie des Teilchens ist wegen de Masse-Enegie-Äquivalenz gleich E = mc = g m c 0 Weil Enegie, Masse und Impuls von de Geschwindigkeit des Teilchens abhängen, weden veschiedene Beobachte im Allgemeinen unteschiedliche Enegien (d.h. Massen) und Impulse desselben Teilchens messen. Wi definieen das Teilchen-Ruhebezuggsystem (ode Ruhesystem) als das System, in dem sich das Teilchen in Ruhe befindet. D.h., elativ zum Ruhebezugssystem gilt Ï E = m0 c b = 0 fi g = fi Ì Ó p = g m0 v = 0 Physik 847 Ähnlich wie fü den Raumzeit 4-Vekto, definieen wi den Enegie- Impuls 4-Vekto als m p ( m = 0,,, 3) 0 3 = ( p, p, p, p ) = ( Epcpcpc, x, y, z ) = ( Epc, ) wobei de Index µ übe die 4 Komponenten des Vektos läuft. Wi bemeken, dass mit eine solchen Definition alle Komponenten des Enegie-Impuls 4-Vektos dieselbe Einheit besitzen. Bezüglich des Ruhebezugssystems ist de Enegie-Impuls 4-Vekto eines Teilchens gleich m p ( m0 c,,,) 000 wobei m 0 die Ruhemasse des Teilchens ist. Wi bemeken: Veschiedene Beobachte koelieen ihe Messungen des Enegie-Impuls 4-Vektos duch eine Loentz-Tansfomation. Wi betachten ein Bezugssystem O, das sich elativ zu O mit eine Geschwindigkeit V=bc in de x-richtung bewegt, d.h. b b b b b = ( ) = ( ) x y z,,,, Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

39 z z De elativistiche Enegie-Impuls Vekto Die Tansfomation des Enegie-Impuls 4-Vektos von O nach O ist Ê E ˆ Ê g - gb 0 0ˆ Ê E ˆ Á cp Á ÁÁ - Á x gb g 0 0 cp = ÁÁ ÁÁ x cp y cp y Á Ë Á Á cp Ë Ë cp m M p Loentz ( b ) m p In diesem Fall beobachtet man eine Symmetie zwischen Enegie und Impuls (Siehe Kap. 4.0). Als Beispiel betachten wi ein Teilchen, das sich elativ zu O in Ruhe befindet. Relativ zu O ist de Enegie-Impuls 4-Vekto gleich ( ) = ( - ) = Ï E = g E - bcpx g mc 0 0 gmc 0 Ô ÔÔ cp x = g ( cp x - be ) = g ( 0 - bm 0 c ) =- gm 0 bc Ì Ô cp y = cp y ÔÔ Ó cp z = cp z d.h. Ê ˆ m p = ( gm - ) = Á 0 c, gm0 bc, 00, gm c (-gm v 0, 0 x ) c, 00, Ë E pc x und deshalb bewegt sich das Teilchen elativ zum System O, das sich elativ zum Teilchen in de positiven x-richtung bewegt, mit eine Geschwindigkeit bc in de negativen x -Richtung. Physik 849 Wi betachten nun ein Teilchen, das sich mit eine Geschwindigkeit bc elativ zum Beobachte O in de positiven x-richtung bewegt. Ein zweite Beobachte O bewegt sich in deselben x-richtung und mit deselben Geschwindigkeit wie das Teilchen. Es gilt m p gm c, gm bc, 00, = ( 0 0 ) und ( ) = ( - ( )) = ( - ) = Ï Ô E = g E - bcpx g gm0 c b gm0 bc g m0 c b mc 0 Ì Ó Ô cp x = g ( cp x - be ) = g ( gm 0 bc - bgm 0 c ) = 0 D.h., das Teilchen befindet sich elativ zum Beobachte O in Ruhe. Ruhemasse. Als wi die Raumzeit-Koodinaten eines Eeignisses studiet haben, haben wi bemekt, dass veschiedene Beobachte dasselbe Eeignis mit unteschiedlichen Koodinaten ausdücken. Auch waen die äumliche und zeitliche Entfenungen zwischen Eeignissen veschieden fü veschiedene Beobachte, abe das Raumzeit-Intevall wude so definiet, dass es eine Invaiante de Loentz-Tansfomation ist (d.h. es besitzt denselben Wet fü alle Beobachte). Im Fall des Enegie-Impuls 4-Vektos können wi in ähnliche Weise eine Gösse definieen als Ê Enegie ˆ Impulse Á - Ê Ë Koodinate Ë Á ˆ Koodinaten = ( E) - ( pxc) - ( pyc) - ( pc z ) = ( E) - ( pc) (Das negative Vozeichen ist wichtig!). 850 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

40 i i De elativistiche Enegie-Impuls Vekto Man kann beweisen, dass, wie im Fall des Raumzeit-Intevalls, diese Gösse eine Invaiante de Loentz-Tansfomation ist. Es folgt ( E) - ( pc) = ( m c ) g 0 - ( gm0 vc) 4Ê v ˆ = g mc Á - 0 Ë c = mc 4 0 = ( mc 0 ) und deshalb messen alle Beobachte denselben Wet fü die Ruhemasse des Teilchens. D.h., E (pc) ist eine Invaiante de Loentz- Tansfomation und entspicht (dem Quadat) de Ruhemasse-Enegie des Teilchens. Es gilt: ( E) - ( pc ) = ( m c ) E = ( m c ) + ( pc ) 0 0 Enegie-Impulsehaltung. Das Konzept des Enegie-Impuls 4-Vektos ist wichtig, weil aus dem Pinzip de Ehaltung de Enegie und des Impulses ein ähnliches Pinzip de Ehaltung des Enegie-Impuls 4-Vektos folgt. In Vogängen, in denen viele Teilchen teilnehmen, wid de Gesamt- Enegie-Impuls 4-Vekto definiet als m P = m p + m p + = m...  p i Wenn das System isoliet ist, wid de Gesamt-Enegie-Impuls 4- Vekto ehalten. Diese Gösse ist deshalb seh nützlich und kann ela- Physik 85 tiv zu veschiedenen Bezugssystemen mit Hilfe de Loentz-Tansfomation beechnet weden. Um elativistische Stossvogänge zu bescheiben, haben wi die elativistischen Impulse und Enegien benutzt (Siehe z.b. Kap. 8.6). Man kann auch die Enegie-Impuls 4-Vektoen des Teilchens vewenden. Wenn wi z.b. den Stoss zweie Teilchen betachten m m Vo dem Stoss: p = ( E, pc ); p = ( E, pc) m m Nach dem Stoss: p = ( E, pc ); p = ( E, p c) Die elativistische Enegie-Impulsehaltung wid geschieben als m m m m p + p = p + p vo nach Wi bemeken, dass in elativistischen Stössen die Enegie eines Teilchens seine Gesamtenegie entspicht, wobei die Gesamtenegie gleich E = g m0 c ist. Wegen de Masse-Enegie-Äquivalenz, entspicht die Masse eines Teilchens eine Fom von Enegie, und die Masse kann deshalb wie andee Fomen von Enegien wähend eines Stosses umgewandelt weden (Siehe Kap. 8.6). D.h., im Allgemeinen kann sich die Zahl de Teilchen wähend eines Stosses änden  m m m p + p = p 4 34 i= N vo 3, nach 85 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

41 Die Rot- und Blauveschiebung des Lichts wobei N die Endzahl von Teilchen ist. 4.3 Die Rot- und Blauveschiebung des Lichts Mechanische Wellen zeigen den Dopple 4 -Effekt. Wi können z.b. den akustischen Dopple-Effekt ewähnen. Wenn wi uns eine Schallquelle nähen, höen wi einen höheen Ton (d.h. eine höhee Fequenz), als wenn wi uns nicht bewegen. Entfenen wi uns umgekeht von de Quelle, so nehmen wi den Ton tiefe wah. Gleiches gilt, wenn nicht de Beobachte, sonden die Schallquelle sich nähet ode entfent. Die Siene eines Löschfahzeuges klingt imme höhe, wenn es sich nähet, und tiefe, wenn es sich wiede entfent. Demonstationsexpeiment: Doppleeffekt Wi höen den Ton eine Schallquelle an. Die Quelle ist an einem Stab befestigt. De Stab kann nun kuz ausgelenkt weden, so dass die Quelle schwingt (Siehe Abb. 35). De Ton ändet sich peiodisch seh mekba: e wid höhe, tiefe und wiede höhe, usw., wenn die Quelle sich uns nähet ode von uns entfent. Demonstationsexpeiment: Doppleeffekt in fliessendem Wasse In diesem Expeiment (Siehe Abb. 36) wid die Ausbeitung von Wassewellen beobachtet. Die Wasseobefläche wid auf die Wand pojiziet und damit weden die Wellenbege als unteschiedlich 4. Ch. J. Dopple ( ). Physik 853 dunkle und helle Beeiche diekt beobachtet. Die Wassewellen weden mit Hilfe eine Nadel ezeugt, die im Wasse peiodisch auf und ab bewegt wid. Das Wasse kann nachhe in elative Bewegung vesetzt weden, wenn man einen Wassehahn aufdeht. Wi beobachten den Dopple-Effekt: die Distanz zwischen Wellenbegen wid geändet. Siehe Abb. 37. Schallquelle Figu 35. Schallquelle an einem Stab. 854 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

42 Die Rot- und Blauveschiebung des Lichts Figu 36. Doppleeffekt in fliessendem Wasse. Physik 855 Quelle befindet sich in Ruhe elativ zum Medium bewegte Quelle Figu 37. Dopple-Effekt mechanische Wellen. Die Quelle bewegt sich elativ zum Medium in Richtung des Pfeils. Die Keise entspechen den Wellenfonten Rot- und Blauveschiebung des Lichts Wi zeigen nun, dass Licht (d.h. elektomagnetische Stahlung) einen ähnlichen Effekt zeigt, obwohl Licht sich duch kein Medium ausbeitet. De Doppleeffekt des Lichts wid als Rot- ode Blauveschiebung bezeichnet und kann mit Hilfe de stheoie eklät weden. Wi betachten eine Lichtquelle (im Bezugssystem O ), die sich mit eine konstanten Geschwindigkeit bc in Richtung eines Beobachtes O bewegt. Bezüglich O ist die Wellenlänge l des emittieten Lichts gleich c c = n l fi l = n 856 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

43 Die Rot- und Blauveschiebung des Lichts wobei n die Fequenz des Lichts ist. Das Zeitintevall Dt zwischen zwei aufeinandefolgenden Wellenbegen ist gleich D t = n Fü den Beobachte O ist wegen de Zeitdilatation dieses Zeitintevall Dt gleich Dt = g Dt Die vom Beobachte O gemessene Wellenlänge l ist gleich ( ) l = cdt - bcdt = - b cdt weil sich die Quelle um eine Stecke bcdt auf den Beobachte zubewegt, wähend ein Wellenbeg in einem Zeitintevall Dt eine Entfenung cdt zuücklegt. Siehe Abb. 38. Es folgt ( ) = - l = - b cdt b c gdt Ê c = ( - b) g Á Ë n ( ) = - b gl = ˆ ( ) ( ) - b b l - b b l l = fi = - + l - + b b Physik 857 Ruhende Quelle l Wellenbege c bc c Bewegte Quelle l bc Bewegte Quelle l c Figu 38. Licht wid von eine Quelle emittiet. Die Wellenlänge escheint länge o küze, wenn die Quelle sich bewegt. Wenn sich die Quelle in Richtung des Beobachtes bewegt, wid die vom Beobachte gemessene Wellenlänge kleine als sie im Quellensystem escheint. D.h., das Vehältnis de Fequenzen des Lichts ist gleich n n l l = = + - b b Weil Wellenlängen im Beeich von 0,7µm de oten Fabe und 0,4µm de blauen Fabe enspechen, spicht man von Blauveschiebung des Lichts, wenn l < l. 858 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

44 Die Rot- und Blauveschiebung des Lichts Im Fall eine sich vom Beobachte wegbewegenden Quelle finden wi mit b Æ -b n n l l = = - + b b und man spicht von Rotveschiebung des Lichts Rotveschiebung von Galaxien Die Rotveschiebung kann benutzt weden, um die adiale Geschwindigkeit von entfenten Galaxien elativ zu Ede zu bestimmen. Man misst die Emissionslinien von Atomen (Siehe Kap..7.), die mit chaakteistischen Wellenlängen emittiet und absobiet weden. Eine Linie de Balme-Seie des Wassestoffatoms hat z.b. eine Wellenlänge von (Siehe Kap..7.3) lbalmelinie = 656 nm Im Licht eine entfenten Galaxie wid z.b. die Wellenlänge diese Linie mit dem folgenden Wet gemessen l = 460 nm D.h., man beobachtet eine Rotveschiebung de Linie. Mit de Veschiebung beechnen wi die Geschwindigkeit + - b b = Ê Ë 460 ˆ ª, und wi finden + b = 495 4, 95 ( - b) fi b =, ª 0,, 664 Physik 859 Mit de Methode de Rotveschiebung in den Lichtspekten von Galaxien kann man die (adiale) Geschwindigkeit de Galaxien elativ zu Ede bestimmen. Im Jah 99 hat E.P. Hubble mit eine solchen Methode eine Beziehung zwischen de Geschwindigkeit eine Galaxie und ihe Entfenung von de Ede gefunden. Zum Beispiel, NGC v=0 km/s d=,6 Mpc NGC4473 v=300 km/s d=8,8 Mpc NGC379 v=5500 km/s d=68,8 Mpc Galaxie im Usa Majo Haufen v=5000 km/s d=87,5 Mpc Galaxie im Gemini Haufen v=3000 km/s d=87,5 Mpc wobei 6 pc = Pa sec ª 3, 0 m ª 3, Lichtjahe und Mpc = 0 6 pc. Das Hubble-Gesetz sagt eine lineae Beziehung voaus v = H wobei v die Geschwindigkeit elativ zu Ede, die Entfenung von de Ede, und H die Hubble-Konstante ist. In Abb. 39 sind neue Messungen de Beziehung zwischen de Entfenung und de Geschwindigkeit von entfenten Objekten zusammengefasst. Diese Messungen, bis zu Entfenungen von 400 Mpc (d.h. ª, GLj =,x0 9 Lichtjahe), wuden mit Hilfe des NASA/ESA Hubble Space Telescopes duchgefüht. 860 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

45 Die Rot- und Blauveschiebung des Lichts De genaue Wet de Hubble-Konstante ist schwieig zu beechnen weil die genauen Entfenungen de weit entfenten Objekte im Univesum schwieig zu bestimmen sind. Ein mittlee Wet von neuen Messungen gibt H = 7 ± 8 ( km/ s)/ Mpc ª, 4 ( cm / s )/ Lj Das Hubble-Gesetz sagt: Die Galaxien entfenen sich alle von uns. Da es keinen Gund gibt zu Annahme, dass unsee Lage auf de Ede bevozugt ist, müssen wi annehmen, dass ein Beobachte in eine beliebigen Galaxie die gleiche Feststellung machen wüde. Es folgt: Alle Galaxien entfenen sich voneinande. Man spicht von de Expansion des Univesums. Unte diese Annahme hat das Univesum mit dem Big-Bang (Uknall) begonnen und sich seitdem ausgedehnt. Mit de Hubble- Konstante kann das Alte des Univesums bestimmt weden: v H H T = = = wobei die Entfenung ist. Wi finden T ª ª 43, 0 7 km / s / Mpc ª Jahe 7 Sekunden d.h., ungefäh 5 Milliaden Jahe. Zum Vegleich, das Alte de Ede ist ungefäh 5 Milliaden Jahe. Physik 86 Figu 39. Neue Messung de Hubble-Konstante mit dem Hubble Space Telescope (HST). (Feedman et al., asto-ph/00376, Dez 000) 86 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

46 Eine Übesicht de allgemeinen stheoie 4.4 Eine Übesicht de allgemeinen stheoie Die Veallgemeineung de speziellen stheoie auf Nicht- Inetialsysteme heisst allgemeine stheoie. Sie wude von Einstein im Jah 96 veöffentlicht. Die spezielle stheoie spicht von Inetialsystemen. Sie sagt, dass es kein physikalisch bevozugtes Inetialsystem gibt, und dass die Natugesetze in allen Inetialsystemen dieselbe Fom annehmen müssen. Die spezielle stheoie hängt stak vom Begiff des Inetialsystems ab. Eine genaue Definition eines Inetialsystems fehlt totzdem in de speziellen stheoie. Man sagt 5, dass dies eine de Günde ist, de Einstein zu Entwicklung de allgemeinen stheoie gefüht hat Das Gavitationsfeld Im Kap. 3.3 haben wi die Existenz de allgemeinen Gavitationskaft gelent. Wenn wi die Ede und, in einem bestimmten Abstand von ih, einen beliebigen Köpe betachten, so übt die Ede eine Kaft auf diesen Köpe aus. Die Gavitationskaft, die die Ede auf eine Masse m ausübt, ist gleich (siehe Kap ) F G Gm E m = - 5. W. Rindle, Essential Relativity, Spinge-Velag (979). Physik 863 wobei G die univeselle Gavitationskonstante, m E die Masse de Ede und de Otsvekto de Masse ist. De Uspung des Koodinatensystems ist de Edmittelpunkt. Wi definieen das Gavitationsfeld de Ede als F G Gm E ge ( ) = = - m Das Feld entspicht de Kaft, die eine Masse m in diesem Feld efäht, dividiet duch die Masse (d.h. de Beschleunigung de Masse m). Wi sagen, dass wegen de Anwesenheit de Ede ein Gavitationsfeld im ganzen Weltaum ezeugt wid. Im Allgemeinen ezeugt ein beliebige Köpe, de eine Masse besitzt, ein Gavitationsfeld im ganzen Weltaum um ihn. Die Gavitations-Wechselwikung zwischen de Ede und einem beliebigen Köpe wid so eklät: die Ede ezeugt ein Gavitationsfeld g E in jedem Punkt des Weltaums. De Betag dieses Feldes hängt vom Abstand zum Edmittelpunkt ab. Ein beliebige Köpe de Masse m spüt den lokalen Wet des Feldes und spüt damit eine Kaft gleich FG = mge( ) In eine ähnlichen Weise können wi das Gavitationspotential definieen als Epot ( ) Gm E f G ( ) =- m 864 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

47 I I I z Eine Übesicht de allgemeinen stheoie wobei E pot die potentielle Enegie de Gavitationskaft ist (Siehe Kap. 4.3). Wi einnen uns daan, dass die Kaft mit Hilfe des Gadienten gefunden weden kann (Siehe Kap. 4.) Ê pot F E Ex e pot Ey e E pot - pot = - Á x + y + e Ë z ˆ Es folgt, dass das Gavitationsfeld gleich dem Gadient des Gavitationspotentials ist g - f G 4.4. Das Äquivalenzpinzip Die Gundlage de speziellen stheoie bilden zwei Postulate. Im Fall de allgemeinen stheoie ist die Gundlage das sogenannte Äquivalenzpinzip: Ein homogenes Gavitationsfeld ist zu einem gleichfömig beschleunigten Bezugssystem völlig äquivalent. Ein Köpe de schween Masse m g efäht in einem homogenen Gavitationsfeld eine Kaft FG = mgg Die Beschleunigung ist gleich de Kaft dividiet duch die täge Masse m I : F m g F = m a fi a = = m m g Physik 865 Wegen de Äquivalenz von schwee und täge Masse, die in de Newtonschen Mechanik betachtet wid (siehe Kap. 3..), spüen alle Köpe die gleiche Beschleunigung, unabhängig von ihe Masse m m a g I g fi = D.h., vom Standpunkt de Mechanik aus gibt es keinen Unteschied zwischen de Wikung eines homogenen Gavitationsfeldes, das alle Köpe gleich beschleunigt, und de eine hypothetischen Beschleunigung, die auch alle Köpe gleich beschleunigt, falls das Gavitationsfeld und die Beschleunigung denselben Betag besitzen. In de allgemeinen stheoie nahm Einstein an, dass dieses Pinzip (das sogenannte Äquivalenzpinzip) nicht nu in de Mechanik, sonden in de gesamten Physik gelten muss. Es folgt (Siehe Abb. 40): Nach dem Äquivalenzpinzip können sich die Beobachtungen in eine gleichfömig beschleunigten Rakete nicht untescheiden von denen in einem homogenen Gavitationsfeld, falls die Beschleunigung und das Gavitationsfeld denselben Betag besitzen. 866 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

48 Eine Übesicht de allgemeinen stheoie a = g Ede Beschleunigte Rakete Homogenes Gavitationsfeld Figu 40. Nach dem Äquivalenzpinzip können sich die Beobachtungen in eine gleichfömig beschleunigten Rakete nicht untescheiden von denen in einem homogenen Gavitationsfeld, falls die Beschleunigung und das Gavitationsfeld denselben Betag besitzen Die Gavitationsotveschiebung Wi betachten eine Rakete, in de sich zwei gleiche Uhen befinden. Die este Uh A hängt an de Decke de Rakete, und die zweite Uh B liegt auf dem Boden de Rakete. Wenn die Rakete sich in Ruhe befindet, beobachten wi, dass beide Uhen in jedem Zeitintevall Dt einen Lichtpuls mit deselben Lichtfequenz n emittieen. Die Rakete wid nun gleichfömig beschleunigt. Wi sitzen auf dem Boden und vegleichen die Lichtpulse von A und B. Siehe Abb. 4. Physik 867 Figu 4. Gavitations-Zeitdilatation. Wegen de Beschleunigung de Rakete escheint im Punkt B die Quelle A als ob sie sich elativ zu B bewegen wüde. Wi nehmen an, dass zu Zeit t ein Lichtpuls von A emittiet wid. Die Rakete bewegt sich mit eine Geschwindigkeit bc=v. Wähend des Zeitintevalls Dt wude die Rakete gleichfömig beschleunigt und bewegt sich jetzt mit de gösseen Geschwindigkeit v + adt = b c + adt Weil die Rakete wähend des Zeitintevalls Dt beschleunigt wude, escheint die Quelle A des Lichtpulses in Bewegung in Richtung des Punkts B, mit eine elativen Geschwindigkeit bc a t bc a t a L al + D D Db c c ( ) - = ª fi ª 868 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

49 Eine Übesicht de allgemeinen stheoie wobei L de Abstand de Uhen ist. Die scheinbae Geschwindigkeit des Empfänges B elativ zu Quelle A ist konstant gleich Db (fü eine gleichfömige Beschleunigung a). Damit misst de Beobachte in B eine Blauveschiebung des Lichtes (Siehe Kap. 4.3) n n l l = = + - D D b b + D b + a L = ª c ª + a L - D b - Ê Ë Á ˆ a L c c Weil de Beobachte weiss, dass die Uhen dieselben sind, schliesst e aus de Beobachtung de Blauveschiebung, dass die Zeit in A schnelle als in B geht! Nach dem Äquivalenzpinzip können sich die Beobachtungen in eine gleichfömig beschleunigten Rakete nicht untescheiden von denen in einem homogenen Gavitationsfeld, falls die Beschleunigung und das Gavitationsfeld denselben Betag besitzen. Es folgt daaus eine Abhängigkeit de Zeit vom Gavitationsfeld, die sogenannte Gavitations-Zeitdilatation: t gl n n = D t gl D ª + fi D t = D t c Ê Á + Ë c ˆ d.h., das in B beobachtete Zeitintevall Dt ist kleine als das Eigenzeitintevall Dt de Uh A. Es folgt, dass die Uh A schnelle als die Uh B geht. Physik 869 Expeimentelle Beweis: Eine Atomuh am National Bueau of Standads in Boulde, Coloado, die sich 5400 Fuss übe Meeeshöhe befindet, gewinnt eine Zeitdiffeenz von ungefäh 5 µs po Jah (= 5x0 6 Sekunde po Jah) elativ zu eine gleichen Atomuh, die sich am Royal Geenwich Obsevatoy in Gossbitannien in eine Höhe von nu 80 Fuss befindet. Die intinsische Genauigkeit de Uhen ist µs po Jah. L ª 530 Fuss ª 600 Mete gl c fi ª ( ) 600 m (, 9 8 m/ s ) ª 7 0 8, 3 0 m/ s ( ) - 3 und deshalb gl - 6 ( Jah ) ª 5 0 Sekunde po Jah c Die Ablenkung von Licht Wi betachten einen Lichtstahl, de in eine beschleunigte Rakete eintitt. Siehe Abb. 4. Die veschiedenen Positionen de Rakete sind nach gleichen Zeitintevallen gezeigt. Da die Rakete beschleunigt wid, vegösset sich die zuückgelegte Distanz nach jedem Zeitintevall. Die Ablenkung wid zu Vedeutlichung stak übetieben. 870 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

50 Eine Übesicht de allgemeinen stheoie a a a a Lichtstahl t t t 3 t 4 g Lichtstahl Figu 4. Lichtablenkung. Das Zeitintevall zwischen aufeinandefolgenden Zeiten t, t, t 3 und t 4 ist konstant. Die Ablenkung wid zu Vedeutlichung stak übetieben. Fü einen Beobachte, de sich in de Rakete befindet, bescheibt de Lichtstahl eine Paabel. Wegen des Äquivalenzpinzips gibt es keine Möglichkeit zwischen de beschleunigten Rakete und einem Bezugssystem, das sich in einem homogenen Gavitationsfeld befindet, zu untescheiden. Physik 87 Wi schliessen daaus, dass das Licht in einem Gavitationsfeld (d.h. in de Nähe eine Masse) abgelenkt wid. Wegen de hohen Lichtgeschwindigkeit ist diese Effekt seh schwe zu messen. Einstein ewähnte die Möglichkeit, die Ablenkung des Lichts von einem weit entfenten Sten zu beobachten, wenn das Licht sich nahe an de Sonne vobeibewegt. Weil die Sonne so hell ist, wude de Effekt efolgeich zuest im Jah 99, wähend eine Sonnenfinstenis, beobachtet. Mit Hilfe de allgemeinen stheoie kann man beweisen, dass de von eine Punktmasse M bewikte Ablenkwinkel a gleich () = 4 G M c a x x ist, wobei x die Entfenung zwischen de Masse und dem Lichtstahl ist. Siehe Abb. 43. a Lichtquelle x Ede M Figu 43. Gavitationslinse. Das Licht eine weit entfenten Lichtquelle wid von eine Masse M abgelenkt. 87 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

51 Eine Übesicht de allgemeinen stheoie Mit G = 6,67 0 m 3 /kg/s und c =9 0 8 m /s ehalten wi ( ) ( ) G M 4667, 0 m / kg/ s M a() x = ª 8 c x 9 0 m / s x ª Mkg ( ) x ( m ) Gavitationslinse. De Effekt wid besse beobachtet, wenn die Masse seh goss ist. Typische Galaxien besitzen 0 Stene und weden das Licht von weit entfenten Objekten ablenken. Damit können sogenannte Gavitationslinseneffekte beobachtet weden. Siehe Abb. 44. Figu 44. Gavitationslinsen -Galeie vom Hubble Space Telescope. Physik Schwaze Löche Oppenheime und Snyde haben zuest die Existenz von sogenannten Schwazen Löchen im Jah 939 voausgesagt. Wi betachten die (klassische) Gesamtenegie eines Köpes, de sich bei einem Radius mit de Geschwindigkeit v in de Nähe eine Masse M befindet E E E mv G Mm tot = kin + pot = - wobei de Uspung de Koodinaten in de Mitte de Masse M angenommen wid. Die Fluchtgeschwindigkeit wid definiet als die minimale benötigte Geschwindigkeit, um de Masse M zu entfliehen. Die Fluchtgeschwindigkeit ist gleich de Geschwindigkeit, die benötigt wid, um das Unendliche ( Æ ) mit de Geschwindigkeit null zu eeichen. Es folgt mv G Mm F - = 0 fi v F = GM Die Fluchtgeschwindigkeit nimmt mit de Masse zu und mit dem Radius ab. Fü einen kleine wedenden Radius wid die Fluchtgeschwindigkeit zunehmen. Was passiet, wenn diese Fluchtgeschwindigkeit den Wet de Lichtgeschwindigkeit eeicht? De Genzadius heisst de Schwazschild-Radius und ist gleich 6 : GM GM c = fi R S = R c S 874 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

52 Eine Übesicht de allgemeinen stheoie Fü einen Köpe mit de Masse de Sonne ist de Schwazschild- Radius ungefäh 3 km. Wenn die ganze Masse de Sonne innehalb einem Radius von 3 km konzentiet wäe, wüde das Gavitationsfeld so goss weden, dass nichts, nicht einmal Licht, ausgesendet weden könnte. Kein Objekt kann die Obefläche eines Schwazen Loches velassen. Heutzutage gibt es keine sicheen Beweise fü die Existenz von Schwazen Löchen, wohl abe eine ganze Anzahl von Kandidaten. Astophysike haben Hinweise fü ihe Existenz im Zentum von veschiedenen Galaxien gefunden. Astophysike sind heutzutage de Meinung, dass die Galaxie M87 schlüssige Evidenz fü die Existenz von Schwazen Löchen bingt. Die Entfenung de M87 (im Vigo Haufen) von de Ede betägt 50x0 6 Lichtjahe. Von eine Analyse de Bewegung de wamen Gase in de Galaxie kann man schliessen, dass sich ein Schwazes Loch in de Mitte de M87 Galaxie befindet. Die Masse des Objekts, das sich in de Mitte de Galaxie befindet, ist ungefäh 3 Milliaden Sonnenmassen. Sie ist abe in einem Beeich konzentiet, de nicht gösse ist als unse Sonnensystem. 6. Stenggenommen kann die Newtonsche Mechanik in diesem Fall nicht benutzt weden, abe sie liefet dasselbe Egebnis, wie die allgemeine elativistische Rechnung. Physik 875 Figu 45. Gas in de M87 Galaxie. Die heissen Gase, mit eine Tempeatu von ungefäh 0000 K, dehen sich mit seh hohen Geschwindigkeiten um das Objekt. Mit Hilfe de Blau- und Rotveschiebung des Lichts, das vom Gas emittiet wid, kann man die Geschwindigkeit des Gases beechnen. Mit de Auflösung des Hubble Space Telescopes konnte man beweisen, dass ein Teil des Gases sich in Richtung de Ede bewegt (d.h. Blauveschiebung), und dass ein andee Teil sich von de Ede entfent (d.h. Rotveschiebung). 876 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)

53 Eine Übesicht de allgemeinen stheoie Aus de Messung de Veschiebung folgt, dass sich das Gas seh schnell um das Objekt deht, mit eine Geschwindigkeit von ungefäh 500 km po Sekunde. Siehe Abb. 46. Figu 46. Rot- und Blauveschiebung de Lichtspekten von de M87 Galaxie. Physik Physik I&II, WS 0/03-SS03, Pof. A. Rubbia (ETH/Züich)