Wirbel in Hoch- und Tiefdruckgebieten auf der Nord- bzw. Südhalbkugel

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1 Skipt 3 Wo, 8/9 0 4 (i) Coiolis-Kaft: F C = m ω & ' Die Coiolis-Kaft wikt nu auf MP/Köpe, die sich bezüglich des otieenden BS/NIS bewegen, also nu dann, wenn & ' 0 und wenn ω und & ' nicht die gleiche Wikungslinie besitzen. Wibel in Hoch- und Tiefduckgebieten auf de Nod- bzw. Südhalbkugel Nodhalbkugel Abweichung nach "echts" von & ' (Steuebod) Südhalbkugel Abweichung nach "links" von & ' (Backbod) Foucault sches Pendel ( Pojekt) Dehung de Schwingungsebene eines Fadenpendels, die an den Polen maximal, am Äquato Null ist. (ii) Tägheitskaft infolge Winkelbeschleunigung: F = mω ' ω & nu wiksam, falls ω zeitabhängig

2 = mω ( ω ' ) Richtung von Dehachse weg F Z (iii) Zentifugalkaft: Z Betag F = mω 'sin( (', ω) ) Unte Vewendung von a (b c) = b(a c) c(a b) fü das doppelte Vektopodukt (vgl. MMP) folgt übe m[ ω ( ω ' ) ' ( ω ω) ] F Z = und Ausklammen von ω F Z (mω = (mω = (mω ' ω ω ) ' ' + ω ω ω ω ω ) ' ' = ω ω ' ω ) ' ω = ω ω vgl. (mω ω ' ω ) ' = sin ( (', ω) ) Stehen Dehachse und Geschwindigkeit im NIS senkecht aufeinande ( ω ' ) egibt sich de vetaute Ausduck fü den Betag de Zentifugalkaft F v' = m ω ' m. ' Z = Edabplattung Abhängigkeit de Edbeschleunigung vom Beitengad

3 Bewegungen auf de otieenden Ede Wi betachten ein katesisches Koodinatensystem (KS) Σ' mit Uspung in einem Punkt auf de Edobefläche unte de geogafischen Beite α. Die z'-achse zeigt adial vom Edmittelpunkt weg, y'- und x'-achse sind nach Noden bzw. Osten geichtet. Auf Gund de Edotation ist Σ' ein Nichtinetialsystem (NIS). Den Uspung des KS Σ legen wi in den Edmittelpunkt. Σ soll nicht an de Edotation teilnehmen und wid (unte Venachlässigung de Bewegung de Ede um die Sonne usw.) als IS angesehen. 0 bezeichnet den Otsvekto des Koodinatenuspungs von Σ' in Σ. Geometisch ekennen wi sofot: ω = ω cosϕ + ω sinϕ e, wobei y ' z π 5 7,7 0 s ω =, und = sinα y + cosα z. 4h De Winkel α gibt die geogafische Beite an. Wie lauten die Bewegungsgleichungen eines MP im NIS? Vom Nodpol aus gesehen (Daufsicht, echts) ekennen wi, dass de Uspung von Σ' sich auf einem Keis mit dem konstanten Radius R cos α bewegt. Aus dem allgemeinen Ausduck fü die Beschleunigung in ebenen Polakoodinaten (vgl. Kap..3) a(t) = ( & ϕ& ) e + ( ϕ && + & ϕ & ) e ϕ (Winkel ϕ nicht mit geogafische α Beite vewechseln!) folgt mit = R cos α = const und ϕ & = ω = const, also ϕ && = ω& = 0 fü die Beschleunigung von Σ' bzgl. Σ (also fü die Beschleunigung & & 0 des Koodinatenuspungs von Σ' elativ zu einem im Edmittelpunkt uhenden Σ) & 0 = ϕ& = R ω cosα ( sinα cosα y z ) 3

4 Annahme: Ab jetzt sollen Bewegungen nahe de Edobefläche beschieben weden; de Abstand von de Edobefläche ' (ohne Vekto) sei also klein. Zusätzlich wollen wi Teme de Odnung O(ω ) venachlässigen. Unte diesen Näheungen ist die Zentifugalkaft F Z = m ω ( ω ' ) venachlässigba und wi ehalten fü die Bewegungsgleichung m&& ' = mg m && Edbeschleunigung auf Köpe nahe Edobefläche infolge von Gavitation und Edotation m ω & ' Coiolis Kaft Aus de echten Seite egibt sich die Fallbeschleunigung in de Nähe de Edobefläche, die wegen de Coiolis-Kaft von de Lotechten abweicht. Fü die in Σ' gemessene "wahe" Edbeschleunigung ges folgt g es 0 = g + & 0 = R ω cosα sinα. g R ω cos α De von & & 0 stammende Anteil in ges ist fü die Edabplattung veantwotlich: Die heutige Gestalt de Ede zeigt in estate Fom den otieenden Planeten, dessen (ehemals flüssige) Obefläche sich senkecht zu ges eingestellt und so die abgeplattete Edkugel (abgeplattete Rotationsellipsoid Geoid) entstehen lassen hat. De polae Edadius ist etwa,5 km geinge als de Edadius am Äquato. Die Nomale zu ealen Edobefläche zeigt in Richtung - ges und die Edbeschleunigung untescheidet sich je nach geogaphische Beite von de Fallbeschleunigung g n( α ) = (9,83 0,05 cos α) ms mit o g (45 ) 9,80665 n ms (in Meeeshöhe). Am Äquato ist de zu cos α popotionale Koektutem maximal, die Abweichung betägt etwa 5 o / oo. Deshalb geht eine Pendeluh am Äquato täglich 3 ½ Minuten gegenübe eine identischen Uh an den Polen nach. 4

5 Nun oientieen wi NIS Σ' so, dass die z'-achse auf de ealen Edobefläche steht. Dann hat m g m & 0 nu eine Komponente m ges in Richtung von ez'. Die Coiolis-Kaft kann in gute Näheung aus F c = m ω ' & m x 0 x' & y ωcosα y' & z ωsinα z' & = m z' & ωcosα y' & ωsin x' & ωsin α x' & ωcosα α übenommen weden, da g und ges nu einen kleinen Winkel miteinande bilden (die Edabplattung ist geing und de Winkel zwischen de Richtung zum Emittelpunkt und de Nomalen zu Edobefläche klein). Zu Bestimmung de Bahnkuve eines Köpe/MP nahe de Edobefläche sind dann folgende genähete Bewegungsgleichungen zu lösen (mit zusätzliche eingepägte Kaft F'): m&& x' = F' m&& y' = F' m&& z' = F' x y z m ω (z' & cos α y'sin & α) m ω x'sin & α m g es + m ω x' & cos α (vgl. dittes Übungsblatt).4.4 Gundgesetz de Dehbewegung in de Newton schen Mechanik Wi definieen den Dehimpuls L und das Dehmoment M gemäß Def.: L = p = m & und M = F. Unte Vewendung de NBG also dp dp d d d F = folgt F = = ( p) p = ( p) dt dt dt 3 dt dt & m & = 0 dl M = Gundgesetz de Dehbewegung in de Newton schen Mechanik dt Die zeitliche Ändeung des Dehimpulses ist gleich dem esultieenden wikenden Dehmoment. Wi kommen daauf im Kapitel übe die Dynamik stae Köpe, de Keisel usw. zuück. 5

6 .4.5 III. Newton sches Axiom (actio et eactio, Reaktions- ode Wechselwikungspinzip, Gesetz von Wikung und Gegenwikung) Die von zwei Köpen aufeinande ausgeübten Wikungen ( Käfte und /ode Momente) sind stets betagsmäßig gleich goß und entgegengesetzt geichtet. Gewicht und Auflageduck eine Kugel F = F Vegleiche die tägen Massen zweie Köpe duch Messung de Beschleunigungen, die ihnen duch betagsmäßig gleichgoße, entgegengesetzt geichtete Käfte veliehen weden. Mögliche Realisieung: Gespannte Fede (alle andeen Einflüsse seien venachlässigba) Wid die gespannte Fede duchtennt, liefet die Messung de Beschleunigungen unabhängig von de Göße de Kaft F = F = F das Egebnis a m =. a m Eneut ekennen wi, dass die täge Masse Eigenschaft eines Köpes unabhängig von de wikenden Kaft ist. 6

7 .4.6 Supepositionspinzip de Käfte Wiken auf einen Massepunkt mehee Käfte Fi, bewegt e sich so, als wike auf ihn allein die vektoielle Summe F = F i. i Analog gilt M = M i. i Käftepaallelogamm.4.7 Newton sches Gavitationsgesetz Eine (Punkt)Masse m am Ot übt auf die (Punkt)Masse m am Ot die Kaft mm FG = γ ( ) 3 aus. Hie bezeichnet γ = 6, N m kg - die univeselle Gavitationskonstante. Die Gavitationskaft ist anziehend und wikt in Richtung de Vebindungslinie beide Massen. Ih Betag hängt nu vom Abstand de Punktmassen ab. Außedem päsentiet sich die gavitative Wechselwikung als univesell, langeichweitig, nicht abschimba und, im Vegleich zu elektostatischen Wechselwikung, schwach. Fü zwei uhende Elektonen egibt sich beispielsweise unabhängig vom Abstand gavitative Anziehung elektostatische Abstoßung 4, (nachpüfen). Dennoch dominiet im astonomischen Maßstab die Gavitation, da die kosmischen Objekte in de Regel elektisch neutal sind. 7

8 Messung des Gewichts eines Pobeköpes nahe de Edobefläche mit eine Fedewaage De Betag de auf den aufgehängten Pobeköpe wikenden Schwekaft kann aus de Velängeung de z de Fede abgelesen weden. Die Richtung de Schwekaft ist von de Lage des Pobeköpes abhängig, sie zeigt (näheungsweise! s. oben) zum Edmittelpunkt. Folglich ist die Schwekaft nicht Eigenschaft des Pobeköpes allein, sonden eine gemeinsame Eigenschaft des Systems Pobeköpe/Ede. Um die Schwee eines Pobeköpes als (ichtungsunabhängige) Eigenschaft seine selbst zu chaakteisieen, wid de Begiff de schween Masse ms eingefüht: ms ~ FSchwekaft bzw. ms ~ G. Neue Idee: Könnte man nicht neben de Newton schen BWG auch das Newton sche Gavitationsgesetz als Messvoschift zu Bestimmung de Masse eines Köpes vewenden? Das Gewicht G eines (Pobeköpes mit de schween Masse ms nahe de Edobefläche ist ms M γ M G = γ = ms g also g = fü << R. 3 Daaus egibt sich mit de Edmasse M 5, kg und dem Edadius R 6380 km fü den Betag de Edbeschleunigung g 9,8 m s - (Koektuen infolge geogaphische Beite venachlässigt). Zunächst sind die Vesuchsbedingungen zu Bestimmung de tägen Masse mt auf de Basis de NBG und de schween Masse ms ausgehend vom Gavitationsgesetz seh unteschiedlich. Um mt und ms miteinande vegleichen zu können, betachten wi nun die Beschleunigung a eines Köpes infolge seines eigenen Gewichts G. Gemäß de NBG ist 8

9 mt a = ms g (z-achse in g-richtung). Beeits Galilei hatte bei seinen Fallvesuchen am schiefen Tum von Pisa beobachtet, dass alle Köpe im Gavitationsfeld de Ede gleich schnell fallen. Newton folgete daaus, dass die Köpe beim feien Fall die gleiche Beschleunigung efahen, also ms a = g = const fü alle Köpe ist das Vehältnis aus schwee und täge Masse gleich! m T Weden mt und ms in kg gemessen folgt ms = mt =: m Äquivalenz von täge und schwee Masse, Äquivalenzpinzip Die Gleichheit von täge und schwee Masse zählt zu den am besten expeimentell gesicheten physikalischen Tatsachen: (i) Pendelvesuche von Newton bestätigten die Äquivalenz von täge und schwee Masse mit eine Genauigkeit von 0-3, (ii) Dehwaage, Cavendish 798, (iii) Genauigkeit des Eötvös-Expeiments (989 in Budapest) langes Tosionspendel): 0 -. Planetenbewegung Newton leitete aus den Keple schen Gesetzen de Planetenbewegung das Gavitationsgesetz ab (vgl. MMP): NBG: Bahnkuve (t) wikende Kaft F Planetenbahnen Gavitationskaft FG zwingt die Planeten auf gemäß.+. Keple sches Gesetz) elliptischen Bahnen um die Sonne 9

10 Gavitationsfeld (Bitte Kapitel Felde, speziell Vektofelde, im MMP-Skipt SS4 wiedeholen.) Wi betachten zwei MP mit den Massen m und M und legen den Uspung des KS in M. Gavitationskaft: mm () = γ FG Das Kaftfeld FG ist wibelfei, da ot FG () = 0. (zu Übung noch einmal übepüfen). Damit ist das Gavitationsfeld konsevativ. Die in ihm an eine Masse m veichtete Abeit (sie ehöht die potenzielle Enegie U() de Masse m im F G () ) kann als Wegintegal entlang eines beliebigen Weges zwischen einem Bezugspunkt 0 zum Beobachtungspunkt beechnet weden (MMP, Kapitel Kuvenintegale) U() U( ) = 0 C d F G () = 3 paametisiee C duch Radialstahl ( λ) = λ e + γ m M Wid de Bezugspunkt 0 ins Unendliche gelegt, folgt dλ λ e e = = γ m M U() mm = γ. Die Göße U() ist die potenzielle Enegie de Masse m im Gavitationsfeld F G (), das sogenannte Keple-Potenzial. Wi veeinbaen die folgende Teminologie: mm Gavitationskaft: FG () = γ = mg() mit de Feldstäke γ M () =. g 0

11 Da unabhängig von de Masse des Pobeköpes, ist die Feldstäke g() besse als die Gavitationskaft F G () ode die potenzielle Enegie U() zu Bescheibung des von de Masse M im Punkt ezeugten Gavitationsfeldes geeignet. Fü die zum Kaftfeld F G () gehöende potenzielle Enegie des Pobeteilchens können wi U() = γ mm = mφ() scheiben, wobei wi das skalaen Potenzial φ () γ M φ () =, Gavitationspotenzial einfühen. Man übezeugt sich leicht von ot φ () = φ() = 0 und findet, wie es sein muss, dφ γ mm () = gad φ() = φ() = e =. d g N an den Oten i befindliche Punktmassen mi ezeugen am Ot ein Gavitationsfeld, dessen Gavitationspotenzial sich nach dem Supepositionspinzip in de Fom φ( ) = N i i= i γ m dastellen lässt. Analog Entspechend ehalten wi im Fall eine kontinuielichen Masseveteilung mit de Massendichte ρ(') im Beobachtungspunkt das Gavitationspotenzial φ() = N i= γ 6 ρ(i ) Vi mi 4748 i im Genzfall Vi 0 3 ρ(' ) φ() = γ d '. ' und fü die Feldtstäke 3 ρ(') ' () = γ d '. ' ' g