Einleitung. Statistik. Bsp: Ertrag Weizen. 6.1 Einfache Varianzanalyse
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- Christina Fischer
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1 Einleitung Statistik Institut für angewandte Statistik & EDV Universität für Bodenkultur Wien Der Begriff Varianzanalyse (analysis of variance, ANOVA) taucht an vielen Stellen in der Statistik mit unterschiedlichen Verwendungszwecken auf. Klassische ANOVA beschäftigt sich mit dem Vergleich von Mittelwerten zwischen mehr als 2 Gruppen: Einfache ANOVA: Vergleich der Mittelwerte von Gruppen einer stetigen Zielgröße resultierend aus einer Gruppierungsvariable. Sommersemester Varianzanalyse Zweifache ANOVA: Simultaner Vergleich der Mittelwerte von Gruppen einer stetigen Zielgröße resultierend aus zwei Gruppierungsvariablen. 1 Bsp: Ertrag Weizen 6.1 Einfache Varianzanalyse Vier Weizensorten werden hinsichtlich ihrer ha Erträge verglichen; bei verschiedenen Landwirten ergaben sich nachfolgende Werte, wobei jeder Landwirt bloß eine Sorte anbaut: Sorte Erträge Liefern die Sorten durchschnittlich gleiche Erträge? Ist die Sorte 3 ertragreicher? Statistik 2012: 6.1 Einfache Varianzanalyse 3
2 Einfache ANOVA Einfache ANOVA Hier ist der Einfluß eines Faktors A mit I Stufen auf die abhängige und beobachtbare Größe y von Interesse. Dazu werden pro Stufe J i Versuche durchgeführt; y ij (i = 1,..., I, j = 1,..., J i ) bezeichne den beobachteten Wert von y im j-ten Versuch bei Stufe i. Die Zufallsgröße y ij wird dann üblicherweise als Summe eines für die Stufe i spezifischen Mittelwertes µ i und eines zufälligen Fehlers e ij interpretiert: y ij = µ i + e ij (i = 1,..., I, j = 1,..., J i ). Uns interessieren die Abweichungen α i vom Gesamtmittel µ: y ij = µ + α i + e ij (i = 1,..., I, j = 1,..., J i ) mit I J i α i = 0. Die Fehler e ij werden in der Standardanalyse unabhängig normalverteilt mit konstanter Varianz σ 2 angenommen. Statistik 2012: 6.1 Einfache Varianzanalyse 4 Statistik 2012: 6.1 Einfache Varianzanalyse 5 Bsp: Ertrag Weizen Bsp: Ertrag Weizen Ertrag Ertrag S1 S2 S3 S4 Sorte S1 S2 S3 S4 Sorte Statistik 2012: 6.1 Einfache Varianzanalyse 6 Statistik 2012: 6.1 Einfache Varianzanalyse 7
3 Einfache ANOVA Einfache ANOVA Für die Frage, ob der Faktor A einen Einfluß auf die abhängige Größe hat, testet man die Nullhypothese H A : α 1 = α 2 =... = α I = 0 (Gegenhypothese: mindestens ein Ungleichungszeichen). Zur Herleitung der Teststatistik versucht man, die Gesamtvariation der Beobachtungen aufzuspalten in einen Teil, der die Schwankung der Gruppen (als Gruppe werden alle Beobachtungen zu einer Stufe des Faktors A aufgefaßt) um einen gemeinsamen Mittelwert beschreibt (Variation zwischen den Gruppen), und einen zweiten, der das Streuverhalten innerhalb der Gruppen erfaßt. Mittelwert Stufe i: Globaler Mittelwert: Es gilt: ȳ i. = 1 J i y ij J i j=1 ȳ.. = 1 I J i I y ij J i j=1 I J i (y ij ȳ.. ) 2 I J i = (y ij ȳ i. ) 2 I + J i (ȳ i. ȳ.. ) 2 = SS e +SS A j=1 j=1 }{{}}{{} SS e SS A Wenn die Nullhypothese stimmt, sollte SS A klein im Verhältnis zu SS e sein. Statistik 2012: 6.1 Einfache Varianzanalyse 8 Statistik 2012: 6.1 Einfache Varianzanalyse 9 Einfache ANOVA Einfache ANOVA Unter der Nullhypothese H A gilt für die Verteilung von SS A Als mittlere Quadratsumme (engl. mean squares, MS) wird der Quotient einer SS durch die Anzahl ihrer Freiheitsgrade bezeichnet. Damit erhält man mit I = SS e /( J I I) einen erwartungstreuen Schätzer für σ 2, d.h. der Erwartungswert (engl. expected mean squares, EMS) ist E = σ 2. I SS A = J i (ȳ i. ȳ.. ) 2 σ 2 χ 2 I 1, also eine χ 2 Verteilung mit I 1 Freiheitsgraden (engl. degrees of freedom, df), wobei SS A und SS e unabhängig sind. Daher ist dann die Statistik (vgl. F Verteilung) F = MS A = SS A/(I 1) SS e /( I J i I) F I 1, I J i I F verteilt. Große Werte dieser Statistik sind signifikant, sodaß die Nullhypothese H A dann zum Signifikanzniveau α zu verwerfen ist, falls gilt. F = MS A > F I 1, I J i I;1 α Statistik 2012: 6.1 Einfache Varianzanalyse 10 Statistik 2012: 6.1 Einfache Varianzanalyse 11
4 Einfache ANOVA Bsp: Weizenertrag Die im Zuge einer Varianzanalyse berechneten Zwischen- und Testgrößen werden üblicherweise in Tabellenform angeordnet: Ursprung der Variabilität A Fehler Total I J i (ȳ i. ȳ.. ) 2 I 1 I J i j=1 (y ij ȳ i. ) 2 I J i I SS A I 1 SS e I J i I MS A I J i j=1 (y ij ȳ.. ) 2 I J i 1 p A Ursprung der Variabilität A Fehler Total Offensichtlich liegt wegen > 3.16 = F 3,18;0.95 ein signifikanter Einfluß der Weizensorte auf den Hektarertrag vor, was übrigens auch an dem extrem kleinen p Wert abgelesen werden kann. Statistik 2012: 6.1 Einfache Varianzanalyse 12 Statistik 2012: 6.1 Einfache Varianzanalyse 13 Bsp: Weizenertrag Bsp: Weizenertrag > lm1 <- lm(ertrag~sorte, data=dat) > anova(lm1) Analysis of Variance Table Response: Ertrag Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Sorte *** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * > summary(lm1) Call: lm(formula = Ertrag ~ Sorte, data = dat) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** SorteS ** SorteS * SorteS Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 18 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 3 and 18 DF, p-value: Statistik 2012: 6.1 Einfache Varianzanalyse 14 Statistik 2012: 6.1 Einfache Varianzanalyse 15
5 Bsp: Weizenertrag Bsp: Weizenertrag Normal Q Q Plot > mean(dat$ertrag[dat$sorte== S1 ]) [1] > mean(dat$ertrag[dat$sorte== S2 ]) - mean(dat$ertrag[dat$sorte== S1 ]) [1] > mean(dat$ertrag[dat$sorte== S3 ]) - mean(dat$ertrag[dat$sorte== S1 ]) [1] > mean(dat$ertrag[dat$sorte== S4 ]) - mean(dat$ertrag[dat$sorte== S1 ]) [1] Sample Quantiles Theoretical Quantiles Statistik 2012: 6.1 Einfache Varianzanalyse 16 Statistik 2012: 6.1 Einfache Varianzanalyse 17 Bsp: Weizenertrag > require(car) > levenetest(dat$ertrag, dat$sorte) Levene s Test for Homogeneity of Variance (center = median) Df F value Pr(>F) group Ein Biobauer will die Wirkung von Steinmehl in der Gülle überprüfen. Er untersucht dabei in vierfacher Wiederholung die Wirkung von Gülle mit und ohne Steinmehl auf den Ertrag von drei Winterroggensorten. Der Ertrag ist in dt/ha dargestellt. Gülle mit Steinmehl Gülle ohne Steinmehl Eho Kurz Motto Kustro Statistik 2012: 6.1 Einfache Varianzanalyse 18 Statistik 2012: 6.1 Einfache Varianzanalyse 19
6 ȳ Eho = ȳ Kustro = ȳ Motto = ANOVA Sorte: SS e = SS T SS Sorte = = ȳ mit = ȳ ohne = ȳ = SS T = ( ) ( ) 2 = Sorte Rest Gesamt SS Sorte = 8 ( ( 2.341) 2 ) = SS Steinmehl = 12 ( ( 0.704) 2 ) = F 2;21;0.95 < F 2;20;0.95 = < F Sorte = Statistik 2012: 6.1 Einfache Varianzanalyse 20 Statistik 2012: 6.1 Einfache Varianzanalyse 21 ANOVA Steinmehl: SS e = SS T SS Steinmehl = = Steinmehl Rest Gesamt F 1;22;0.95 > F 1;30;0.95 = > F Steinmehl = 2.05 f 2 FG f Statistik 2012: 6.1 Einfache Varianzanalyse 22 Statistik 2012: 6.1 Zweifache Varianzanalyse 23
7 Zweifache ANOVA ohne Wechselwirkungen 6.2 Zweifache Varianzanalyse Zur Untersuchung des Einflusses zweier Faktoren A und B mit I und J Stufen liegen Beobachtungen y (i = 1,..., I; j = 1,..., J; k = 1,..., K) vor, wobei K = 1 sein kann, also keine wiederholten Beobachtungen pro Faktorkombination vorliegen. Allerdings wird die Beobachtungsanzahl K für alle Faktorkombinationen gleich angenommen (balancierter Versuchsplan). Verallgemeinerungen für unbalancierte Versuchspläne sind in den meisten Statistik- Softwarepaketen implementiert, jedoch ist die Notation der mathematischen Theorie aufwändiger und daher nicht Teil der Grundvorlesung. Statistik 2012: Zweifache ANOVA ohne Wechselwirkungen 25 Zweifache ANOVA ohne Wechselwirkungen Zweifache ANOVA ohne Wechselwirkungen Modell: y = µ + α i + β j + e α i = β j = 0 i j e N(0, σ 2 ) unabhängig (i = 1,..., I; j = 1,..., J; k = 1,..., K). Die in diesem Modell zu testenden Nullhypothesen lauten H A : α 1 =... = α I = 0 H B : β 1 =... = β J = 0. Alternativhypothesen: mindestens ein Ungleichungszeichen. Die Kleinstquadrat Schätzer für µ, α i und β j sind Es gilt: ˆµ = ȳ... ˆα i = ȳ i.. ȳ... ˆβ j = ȳ.j. ȳ... (y ȳ... ) 2 = (ȳ i.. ȳ... ) 2 + (ȳ.j. ȳ... ) 2 + (y ȳ i.. ȳ.j. + ȳ... ) 2 = SS A + SS B + SS e Statistik 2012: Zweifache ANOVA ohne Wechselwirkungen 26 Statistik 2012: Zweifache ANOVA ohne Wechselwirkungen 27
8 Zweifache ANOVA ohne Wechselwirkungen Zweifache ANOVA ohne Wechselwirkungen Zum Testen der Hypothesen H A und H B verwendet man wieder die F Statistiken F A = MS A F I 1,IJK I J+1 (1) F B = MS B F J 1,IJK I J+1, wobei die Verteilungen nur unter den Hypothesen H A bzw. H B gültig sind. Die Hypothese H A ist auf dem Signifikanzniveau α zu verwerfen, wenn F A = MS A > F I 1,IJK I J+1;1 α (2) ausfällt. Analoges gilt für die Hypothese H B. Ursprung der Variabilität A B Fehler Total i JK(ȳ i.. ȳ... ) 2 I 1 j IK(ȳ.j. ȳ... ) 2 J 1 (y ȳ i.. ȳ.j. + ȳ... ) 2 IJK I J+1 SS A I 1 SS B J 1 MS A MS B p A p B SS e IJK I J+1 (y ȳ... ) 2 IJK 1 Statistik 2012: Zweifache ANOVA ohne Wechselwirkungen 28 Statistik 2012: Zweifache ANOVA ohne Wechselwirkungen 29 ȳ Eho,mit = ȳ 11. = ȳ Eho,ohne = ȳ 12. = ȳ Motto,mit = ȳ 21. = ȳ Motto,ohne = ȳ 22. = ȳ Kustro,mit = ȳ 31. = ȳ Kustro,ohne = ȳ 32. = SS e = SS T SS Sorte SS Steinmehl = = ȳ Eho = ȳ 1.. = ȳ mit = ȳ.1. = ȳ Motto = ȳ 2.. = ȳ ohne = ȳ.2. = ȳ Kustro = ȳ 3.. = ȳ Gesamt = ȳ... = SS T = I J j=1 k=1 K (y ȳ...) 2 = ( ) ( ) 2 = SS Sorte = JK I (ȳ i.. ȳ...) 2 = 2 4 ( ( 2.341) 2 ) = SS Steinmehl = IK J (ȳ.j. ȳ...) 2 = 3 4 ( ( 0.704) 2 ) = j=1 Sorte Steinmehl Rest Gesamt F 2;20;0.95 = < F Sorte = F 1;20;0.95 = < F Steinmehl = 4.36 Statistik 2012: Zweifache ANOVA ohne Wechselwirkungen 30 Statistik 2012: Zweifache ANOVA ohne Wechselwirkungen 31
9 Zweifache ANOVA mit Wechselwirkungen Zweifache ANOVA mit Wechselwirkungen Neben dem rein additiven Ansatz zuvor, wo jede Stufe der Faktoren A und B den Mittelwert µ der beobachtbaren Zufallsgröße y um einen bestimmten, konstanten Wert α i oder β j verändert, besteht die Möglichkeit, auch den Einfluß sogenannter Wechselwirkungen (engl. interactions) zu betrachten. Dazu definiert man die Parameter (αβ) ij (i = 1,..., I; j = 1,..., J), die den zusätzlichen, durch die Summe der Einzeleinflüsse nicht beschreibbaren Effekt E(y ) µ α i βj der Behandlung (i, j) auf y ausdrücken. Modell: y = µ + α i + β j + (αβ) ij + e (3) (i = 1,..., I; j = 1,..., J; k = 1,..., K) mit den zusätzlichen Nebenbedingungen I (αβ) ij = 0 j = 1(1)J J (αβ) ij = 0 i = 1(1)I. j=1 Als weitere Nullhypothese bietet sich nun H AB : (αβ) 11 =... = (αβ) IJ = 0 (4) an. Zu beachten ist, daß dieses Modell nur im Fall mehrerer Beobachtungen je Zelle (d.h. K > 1) analysiert werden kann. Statistik 2012: Zweifache ANOVA mit Wechselwirkungen 32 Statistik 2012: Zweifache ANOVA mit Wechselwirkungen 33 Zweifache ANOVA mit Wechselwirkungen Zweifache ANOVA mit Wechselwirkungen Es gilt (y ȳ... ) 2 = (ȳ i.. ȳ... ) 2 +.j. ȳ... ) (ȳ 2 + ij. ȳ i.. ȳ.j. + ȳ... ) (ȳ 2 + (y ȳ ij. ) 2 = SS A + SS B + SS AB + SS e. Zum Testen der Nullhypothesen H A, H B und H AB verwendet man auch hier wieder die F Statistiken mit Verteilung (unter der Null): F A = MS A F I 1,IJ(K 1) F B = MS B F J 1,IJ(K 1) F AB = MS AB F (I 1)(J 1),IJ(K 1), (5) Ursprung der Variabilität A B AB Fehler Total i JK(ȳ i.. ȳ... ) 2 I 1 j IK(ȳ.j. ȳ... ) 2 J 1 ij K(ȳ ij. ȳ i.. ȳ.j. + ȳ... ) 2 (I 1)(J 1) (y ȳ ij. ) 2 IJ(K 1) SS A I 1 SS B J 1 SS AB (I 1)(J 1) SS e IJ(K 1) MS A MS B MS AB p A p B p AB (y ȳ... ) 2 IJK 1 Statistik 2012: Zweifache ANOVA mit Wechselwirkungen 34 Statistik 2012: Zweifache ANOVA mit Wechselwirkungen 35
10 Bsp 5.4: Steinmehl in Gülle Bsp 5.4: Steinmehl in Gülle SS Sorte:Steinmehl = K I J (ȳ ij. ȳ i.. ȳ.j. + ȳ... ) 2 j=1 = 4 ( ) ( ) 2 Sorte <0.001 Steinmehl Sorte:Steinmehl Rest Gesamt = 4 (0.621) ( 0.879) 2 = F 2;18;0.95 < F 2;15;0.95 = < F Sorte = SS e = I J K (y ȳ ij. ) 2 j=1 k=1 = SS T SS Sorte SS Steinmehl SS Sorte:Steinmehl = F 1;18;0.95 < F 1;15;0.95 = < F Steinmehl = 7.37 F 2;18;0.95 < F 2;15;0.95 = < F Sorte:Steinm. = 7.92 = = Statistik 2012: Zweifache ANOVA mit Wechselwirkungen 36 Statistik 2012: Zweifache ANOVA mit Wechselwirkungen 37
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