Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen

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1 Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen Virtueller Vortrag von Andreas Kautsch und Andreas Litschauer im Rahmen der VO Festkörperphysik Grundlagen

2 Outline elektrische Leitfähigkeit Gründe für den elektrischen Widerstand Umklapp-Streuung Bewegung in Magnetfeldern Hall Effekt Thermische Leitfähigkeit von Metallen Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 2

3 2. Newtonsches Gesetz für ein freies Elektron F m dv dt dk dt 1 e( E v B) c F... Kraft auf das Elektron E... elektrisches Feld B... magnetisches Feld c... Konstante im CGS-System Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 3

4 Fermi-Kugel im elektrischen Feld eet das elektrische Feld E bewirkt im k-raum eine Verschiebung der gesamten Fermi-Kugel: k Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 4

5 Bewegung der Elektronen ohne äußeres Magnetfeld Driftgeschwindigkeit der Elektronen: ee v m elektrische Stromdichte in einem konstanten E-Feld: j nqv ne 2 E m wegen (Ohmsches Gesetz): j ergibt sich die elektrische Leitfähigkeit zu: E 2 ne m Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 5

6 elektrische Leitfähigkeit am Beispiel Kupfer Leitfähigkeit von reinen Kupferkristallen bei 4 K fast 10 5 mal größer als bei Raumtemperatur (283,15 K) daraus folgt für die mittlere freie Weglänge: l(4 K) 0,3 cm wohingegen l(283,15 K) 3*10-6 cm maximal beobachtete mittlere freie Weglänge bei Temperaturen von flüssigem Helium: 10 cm Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 6

7 Experimente zum elektrischer Widerstand von Metallen bei der Temperatur von fl. He (4 K) Stöße der Leitungselektronen mit Verunreinigungen bzw. mechanischen Gitterfehler - Korngrenzen und Versetzungen - Fremdatome - Leerstellen - Zwischengitteratome - Konzentrationsschwankungen - Isotopenschwankungen bei höheren Temperaturen (Zimmertemperatur) Stöße der Leitungselektronen mit Gitterphononen - im Bild rechts sind die Phononen durch unterschiedliche Abstände der Netzebenen symbolisiert Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 7

8 Relaxationszeit bei Abschaltung von E geht Impulsverteilung wieder in Grundzustand zurück nach: τ L... Stoßzeit mit Phononen τ i... Stoßzeit mit Gitterfehlern L i daraus resultiert der Widerstand im Metall ρ L... spezifischer Widerstand durch thermische Phononen ρ i... spezifischer Widerstand durch Streuung der Elektronenwellen an statischen Defekten L i Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 8

9 Matthiessensche Regel Matthiessensche Regel: ρ(t) = ρ Phononen (T) + ρ Defekte wenn die Temperatur bzw. die Konzentration der Defekte klein ist, können die spezifischen Widerstände unabhängig von diesen sein ρ i (0) ist der auf 0 K extrapolierte spezifische Widerstand; ρ L verschwindet mit T0 Gitterwiderstand ρ L (T) = ρ - ρ i (0) ist derselbe für verschiede Proben aus dem gleichen Metall Widerstandsverhältnis= ρ(293,15)/ ρ(0)maß für Reinheit Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 9

10 Debyetemperatur Die Kollisionsrate von Elektronen mit Phononen ist proportional zur Konzentration d. thermischen Phononen Über der Debyetemperatur Θ ist die Phonoenkonzentration proportional zur Temperatur ρ ~ T für T > Θ Beispiele für Debyetemperaturen in K: Cs 38 Al 428 Pb 105 Fe 467 NaCl 321 C 2230 Cu 343 Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 10

11 Umklapp-Streuung (Stöße an Phononen) bei niedrigen Temperaturen: Änderung des Elektronenimpulses viel größer als bei normaler Elektron-Phonon Streuprozess bei dieser Temperatur Erklärung: reziproker Gittervektor beteiligt Normalprozess (Kleinwinkelstreuung) Umklapp-Prozess (starke Streuzentren) k = k + q k = k + q + G k: Elektronenimpuls vor Stoß; k : Elektronenimpuls nach Stoß q: Phononenimpuls; G: reziproker Gittervektor Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 11

12 Ergebnis von Bloch analytisches Ergebnis für die normale Streuung bei sehr tiefen Temperaturen: L T 5 6 konnte noch nicht nachgewiesen werden, weil zu viele konkurrierende Effekte wie: - Störstellenstreuung - Elektron-Elektron-Streuung - Umklapp-Streuung Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 12

13 Bewegung in Magnetfeldern Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 13

14 Lorentzkraft auf ein Elektron in einem homogenen Magnetfeld B Im CGS-System: Im SI-System: Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 14

15 Hall-Effekt Das Hall-Feld: elektrisches Feld in Richtung j x B Strom j senkrecht zu Magnetfeld B Größe der Spannung: wobei als Hall-Konstante bezeichnet wird und d die Dicke der Probe parallel zu B ist Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 15

16 Hall-Konstante j ne 2 E m Mit und erhalten wir für die Hallkonstante E y E x 1 R H ne eb m Dieser Ausdruck ist negativ für freie Elektronen, denn e ist laut Definition positiv Ladungsträgerkonzentration klein => Betrag der Hall-Konstante groß Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 16

17 Standardgeometrie für den Hall-Effekt Ein stabförmiger Körper mit rechteckigem Querschnitt wird in ein Magnetfeld B gebracht Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 17

18 Ein elektrisches Feld E an die Elektroden angelegt, verursacht eine Stromdichte j in Stabrichtung Ablenkung in y-richtung von Magnetfeld erzeugt Schnitt senkrecht zur z-achse, Driftgeschwindigkeit der Elektronen setzt gerade ein Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 18

19 Elektronen auf der einen, positiver Ionen-Überschuss auf der anderen Seite bis das Hallfeld (transversale elektrische Feld) die Lorentz-Kraft durch das Magnetfeld gerade aufhebt Schnitt senkrecht zur z-achse, Driftgeschwindigkeit im stationären Zustand Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 19

20 Tabelle: Vergleich zw. beobachteten Werten und direkt aus der Konzentration der Ladungsträger berechneten Werten der Hall-Konstante Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 20

21 Thermische Leitfähigkeit von Metallen Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 21

22 Wärmeleitzahl K Vermögen des Stoffes, thermische Energie zu transportieren: Wärmeleitzahl v... Teilchengeschwindigkeit C... spezifischen Wärme pro Volumeneinheit l... mittlere freie Weglänge Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 22

23 Wärmeleitfähigkeit von Cu In unten stehendem Graph ist die Wärmeleitfähigkeit von Kupfer nach Berman und MacDonald zu sehen Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 23

24 Verhältnis aus thermischer und elektrischer Leitfähigkeit Wiedemann-Franzsche Gesetz: Das Wiedemann-Franzsche Gesetz zeugt von der Tatsache, dass in Metallen die Ladungsträger auch Träger von Wärmeenergie sind Für alle Metalle bei nicht zu tiefen Temperaturen ist das Verhältnis aus thermischer Leitfähigkeit K und elektrischer Leitfähigkeit σ direkt proportional zur Temperatur K 3 2 k e B 2 T Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 24

25 Zusammenfassung das elektrische Feld bewirkt im k-raum eine Verschiebung der gesamten Fermi-Kugel Ohmsches Gesetz: j E elektrische Leitfähigkeit: 2 ne m bei der Temperatur von fl. He (4 K) Stöße der Leitungselektronen mit Verunreinigungen bzw. mechanische Gitterfehler bei höheren Temperaturen (Zimmertemperatur) Stöße der Leitungselektronen mit Gitterphononen Matthiessensche Regel: ρ(t) = ρ Phononen (T) + ρ Defekte Umklapp-Streuung bei niedrigen Temperaturen: Änderung des Elektronenimpulses viel größer als bei normaler Elektron-Phonon Streuprozess bei dieser Temperatur Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 25

26 Zusammenfassung Lorentzkraft auf ein Elektron in einem homogenen Magnetfeld B Hall Konstante: F R 1 e( E v B) c Ey 1 j B ne H x z Wärmeleitzahl: 1 K Cvl 3 Wiedemann-Franzsche Gesetz: in Metallen Ladungsträger auch Träger von Wärmeenergie Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 26

27 Wir bedanken uns fürs Zuhören! Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen 27