Voronoi-Diagramme. Dr. Martin Nöllenburg Vorlesung Algorithmische Geometrie INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK

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1 Vorlesung Algorithmische Geometrie INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg

2 Das Postamt-Problem b(p, q) = {x R 2 : xp = xq } p q h(p, q) h(q, p) = {x : xp < xq } = {x : xq < xp }

3 Das Postamt-Problem Aufgabe: 1) Definiere Voronoi-Zellen, Kanten und Knoten! 2) Sind Voronoi-Zellen konvex?

4 Das Voronoi-Diagramm Sei P eine Menge von Punkten in der Ebene und p, p, p P. Voronoi-Diagramm Voronoi-Zelle V({p}) = V(p) = p = q p h(p, q) Vor(P ) { x R 2 : xp < xq q P \ {p} } Voronoi-Kante V({p, p }) = {x : xp = rel-int ( = xp and xp V(p) V(p ) ) < xq q p, p }, d.h. ohne Endpunkte Voronoi-Knoten V({p, p, p }) = V(p) V(p ) V(p ) p p Unterteilung geometr. Graph

5 Eigenschaften Satz 1: Sei P R 2 eine Menge von n Punkten. Sind alle Punkte kollinear, besteht Vor(P ) aus n 1 parallelen Geraden. Sonst ist Vor(P ) zusammenhängend und die Kanten sind Strecken oder Halbgeraden. Finde eine Menge P, so dass Vor(P ) eine Zelle linearer Komplexität hat. Kann das für (fast) jede Zelle passieren? Satz 2: Sei P R 2 Menge von n Punkten. Vor(P ) besteht aus höchstens 2n 5 Knoten und 3n 6 Kanten.

6 Charakterisierung Definition: Sei q ein Punkt. Definiere C P (q) als den bzgl. P größten im Inneren leeren Kreis mit Mittelpunkt q. C P (q) q Satz 3: Ein Punkt q ist ein Voronoi-Knoten C P (q) P 3, der Bisektor b(p i, p j ) definiert eine Voronoi-Kante q b(p i, p j ) mit C P (q) P = {p i, p j }.

7 Berechnung von Vor(P ) Für jedes p P ist V(p) = p p h(p, p ) der Schnitt von n 1 Halbebenen. Wie könnte man Vor(P ) mit schon bekannten Algorithmen berechnen? foreach p P do berechne V(p) = O(n 2 log n) p p h(p, p ) O(n log n) [VL 4] Ist O(n 2 log n) Laufzeit für ein Objekt linearer Größe nötig? Idee 2: Sweep-Verfahren Problem: Vor(P ) oberhalb l hängt von Punkten unterhalb l ab! l

8 In Richtung Sweep-Verfahren Offensichtlich ist der Schnitt von Vor(P ) und Sweep Line l zum aktuellen Zeitpunkt noch nicht bekannt. Betrachte stattdessen den Teil oberhalb l, der schon fest ist! Wie sieht der aus? fest p nicht fest f l p(x) l Lösen der Gleichung pq = ql liefert f l p(x) = 1 2(p y l y ) (x p x) 2 + p y + l y 2

9 Die Beach-Line β l Definition: Die Beach-Line β l ist die untere Kontur der Parabeln f l p für die bereits besuchten Punkte. Was hat das mit Vor(P ) zu tun? Beob.: Ziel: Beach-Line ist x-monoton Schnittpunkte der Beach-Line liegen auf Voronoi- Kanten sogar: Schnittpunkte laufen entlang Vor(P ) speichere (implizit) aktuelle Kontur β l statt Vor(P ) l

10 Punkt-Events trifft l auf einen Punkt, kommt neue Parabel zu β l hinzu die beiden Schnittpunkte erzeugen neue Teilkante Lemma 1: Neue Bögen auf β entstehen nur durch Punkt-Events. Korollar: β besteht aus maximal 2n 1 Parabelbögen

11 Kreis-Events p i p j p k p i p j p k p i p j p k q Def.: verschwindet ein Bogen so laufen fp l i, fp l j, fp l k gemeinsamen Punkt q Kreis C P (q) geht durch p i, p j, p k und berührt l q ist Voronoi-Knoten durch einen Der unterste Punkt des Kreises durch drei Punkte mit konsekutiven Bögen auf β definiert ein Kreis-Event. Lemma 2: Bögen von β werden nur durch Kreis-Events entfernt. Lemma 3: Für jeden Voronoi-Knoten gibt es ein Kreis-Event.

12 Datenstrukturen doppelt-verkettete Kantenliste (DCEL) D für Vor(P ) Achtung: am Schluss bounding box wg. Halbgeraden einfügen balancierter binärer Suchbaum T für implizite Beach-Line Blätter entsprechen Parabelbögen von links nach rechts innerer Knoten p i, p j entspricht Schnittpunkt von f pi und f pj Pointer von inneren Knoten auf zugeh. Kanten in D p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 4, p 5 p 2, p 3 p 5, p 4 p 1, p 2 p 3, p 4 p 5 p 4 p 1 p 2 p 3 p 4 Priority Queue Q für die Punkt- und Kreis-Events Pointer von Kreis-Events auf zugeh. Blätter in T und umgekehrt

13 Fortune s Sweep Algorithmus VoronoiDiagram(P R 2 ) Q new PriorityQueue(P ) T new BalancedBinarySearchTree() D new DCEL() // DS für Vor(P ) while not Q.empty() do p Q.ExtractMax() if p Punkt-Event then HandlePointEvent(p) else α Bogen von β, der entfernt werden soll HandleCircleEvent(α) // Punkt-Events sortiert nach y // sweep status (β) behandle innere Restknoten von T (Halbgeraden von Vor(P )) return D

14 Punkt-Events behandeln HandlePointEvent(Punkt p) O(log n) Suche in T den Bogen α vertikal über p. Hat α pointer auf Kreis-Event in Q, lösche es aus Q. Teile α in α 0 und α 2. Sei α 1 neuer Bogen für p. Füge Kanten q, p und p, q in D ein. Prüfe p l, q, p und q, p, p r auf Kreis-Events. Nachbarn auf β In T : Schnittpunkte p l q q q, p α α 2 q p, q α 0 α 1 Laufzeit? α 0 p q p α 1 α 2

15 Kreis-Events behandeln HandleCircleEvent(Bogen α) T.delete(α); Schnittpunkte in T updaten Entferne alle Kreis-Events zu α aus Q. Füge Knoten V({p, p, p }) und Kanten p, p, p, p in D ein. Füge potenzielle Kreis-Events p l, p, p und p, p, p r in Q ein. α left α p p p Nachbarn auf β α right Laufzeit? O(log n)

16 Fortune s Sweep Algorithmus Satz 4: Für eine Menge P von n Punkten berechnet Fortune s Sweep Algorithmus das Voronoi-Diagramm Vor(P ) in O(n log n) Zeit und O(n) Platz. Beweisskizze: jedes Event benötigt O(log n) Zeit n Punkt-Events 2n 5 Kreis-Events (= #Knoten von Vor(P )) Fehlalarme erzeugen & löschen bereits inklusive Bemerkung: degenerierte Eingaben diesmal unproblematisch: Kreis-Events vor Punkt-Events, sonst Reihenfolge beliebig Kreis-Events für k 4 Punkte: Länge-0 Kanten und Knotenduplikate im Postprocessing entfernen zweideutiges Punktevent: beliebigen Bogen wählen

17 Diskussion Gibt es weitere Varianten von n? Ja! Beispielsweise kann der Algorithmus bei gleicher Laufzeit und Platzbedarf auch für von Strecken modifiziert werden. Auch andere Metriken wie L p oder additiv/ multiplikativ gewichtete sind möglich. Was passiert in höheren Dimensionen? Voronoi-Diagramm für Polygone definieren die sog. Mittelachse, die z.b. in der Bildverarbeitung wichtig ist. Auch farthest-point sind möglich. Die Komplexität von Vor(P ) steigt auf Θ(n d/2 ) und die Laufzeit auf O(n log n + n d/2 ).