ABITURPRÜFUNG 2004 LEISTUNGSFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN)

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1 ABITURPRÜFUNG 2004 LEISTUNGSFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN) Arbeitszeit: Hilfsmittel: 270 Minuten Computeralgebrasystem Tafelwerk Der Prüfungsteilnehmer wählt von den Aufgaben A1 und A2 eine und von den Aufgaben B1 und B2 eine zur Bearbeitung aus und bearbeitet die Pflichtaufgabe C. Damit der Lösungsweg nachvollziehbar ist, sind wesentliche Zwischenergebnisse aufzuschreiben. Neben jeder Teilaufgabe steht die für diese Teilaufgabe maximal erreichbare Anzahl von Bewertungseinheiten (BE). Bei der Lösung der Aufgaben sind alle Ansätze in mathematisch korrekter Form zu notieren. Auf die Syntax des Computeralgebrasystems kann dabei verzichtet werden. Wesentliche Zwischenschritte müssen aus Gründen der Nachvollziehbarkeit und wegen der Anerkennung möglicher Folgefehler aufgeschrieben werden. ÖFFNUNG AM 10. MAI 2004

2 2 Aufgabe A1 Für jede reelle Zahl t 0 ist eine Funktion f t durch die Gleichung y = ft (x) = t x + sin(2x) mit x R gegeben. Die Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen f 0, f1 und f 3 im Intervall 0 x 5. f 3 f 1 f 0 (Skizze nicht maßstäblich)

3 3 a) Berechnen Sie - falls sie existieren - die Koordinaten des jeweils ersten lokalen Maximumpunktes im I. Quadranten für die Graphen f 0, f1 und f 3! Diskutieren Sie anhand der drei Graphen der Funktionen f0, f1 und f 3 im vorgegebenen Intervall 0 x 5, wie sich die Anzahl der Nullstellen, lokalen Extrempunkte bzw. der Wendepunkte ändert! Das Flächenstück, das von den Graphen der Funktionen f 1 und f 3 sowie den Geraden mit den Gleichungen x = 0 und x = π 4 vollständig eingeschlossen wird, rotiert um die x-achse. Berechen Sie das Volumen dieses Rotationskörpers! 10 BE b) Die Parallelen zu den Koordinatenachsen durch den Punkt P( π ;ft ( π)) des Graphen von f t mit t > 1 schneiden diese in den Punkten Q und S. Für welche Parameterwerte t teilt der Graph von f t die Fläche des Rechtecks OSPQ im Verhältnis 1:1? Hinweise: O bezeichnet den Koordinatenursprung und alle Funktionswerte von f t im Intervall 0 x < π sind kleiner als f t ( π ). Gegeben ist jetzt die Funktion f 1 mit f 1 (x) = x + sin(2x) mit x R. c) Ermitteln Sie alle Punkte V des Graphen der Funktion f 1, die von den beiden Koordinatenachsen gleich weit entfernt sind! Zeigen Sie, dass diese Punkte V Wendepunkte des Graphen von f 1 sind! 3 BE

4 4 d) Die lokalen Maximumpunkte π 1 π H k ( + k π; k π) und die lokalen Minimumpunkte T k ( π + k π; 3 + π + k π) des Graphen der Funktion f 1 mit k Z liegen jeweils auf einer Geraden. Bestimmen Sie die Gleichungen dieser beiden Ortskurven sowie deren Abstand d! 5 BE e) Untersuchen Sie, für welche Anstiege m mit m 1 die Gerade y = mx genau einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen der Funktion f 1 hat! Begründen Sie Ihre Antwort! f) Untersuchen Sie den Graphen der Funktion f t mit y = ft (x) = t x + sin(2x) für t 0 und x R auf Symmetrie sowie auf lokale Extrempunkte in Abhängigkeit vom Parameter t! Auf den Nachweis der lokalen Extrempunkte wird verzichtet. Zeigen Sie, dass der Graph von f 2 keine lokalen Extrempunkte besitzt!

5 5 Aufgabe A2 Für jede reelle Zahl t mit t > 0 ist eine Funktion f t gegeben durch 2x 2e y = ft (x) = (x R). 2x t + e a) Untersuchen Sie den Graphen von f t auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, auf lokale Extrem- sowie auf Wendepunkte! Geben Sie gegebenenfalls deren Koordinaten an! Ermitteln Sie die Asymptoten des Graphen von f t! Zeichnen Sie die Graphen von f 1 und f 2 in ein und dasselbe Koordinatensystem! Stellen Sie die Gleichung der Wendetangente an den Graphen von f t auf und interpretieren Sie das Ergebnis! 1 b) Der Graph von f 1 wird parallel zu den Koordinatenachsen so verschoben, dass sein Wendepunkt im Koordinatenursprung O(0; 0) liegt. Geben Sie eine Gleichung dieser Funktion v an! Untersuchen Sie den Graphen von v auf Symmetrie! 3 BE c) Die Koordinatenachsen, der Graph von f 2 und die Gerade ln 2 x = begrenzen eine Fläche A 1 vollständig. 2 Die x-achse, der Graph von f 2, die Gerade ln 2 x = und die 2 ln 2 Gerade x = u mit u > begrenzen eine Fläche A 2 2 vollständig. Es soll A 1 = A2 gelten. Berechnen Sie für diesen Fall u! Interpretieren Sie den Wert des bestimmten Integrals π [( f2(x)) (f1(x)) ] dx geometrisch! 6 BE

6 6 d) Für jede reelle Zahl n ist eine Funktion g n gegeben durch 9 y = gn (x) = x + n. 8 Zwei Graphen dieser Schar schneiden den Graphen von f 2 orthogonal. Bestimmen Sie die Gleichungen dieser Funktionen! Untersuchen Sie, ob es eine Gerade g n gibt, die Tangente an den Graphen von f 2 ist! 5 BE e) Für jedes Tripel (,b,c) a reeller Zahlen mit a,b,c > 0 und t R, t 0 ist eine Funktion h a,b, c gegeben durch ct a e ha,b,c (t) =. Eine solche Funktion beschreibt z. B. die ct b + e Anzahl der Hefezellen in einer Volumeneinheit in Abhängigkeit von der Zeit t. Die Abbildung zeigt einen solchen Graphen. Der Punkt Q(0;50) liegt auf dem Graphen. Der Punkt P(10; 400) ist der Punkt, in dem die Zuwachsrate der Hefezellen (Anstieg des Graphen) am größten ist. Bestimmen Sie aus der Darstellung die Werte für die Parameter a, b und c!

7 7 Aufgabe B1 Eine gerade dreiseitige Pyramide ABCS mit der gleichseitigen Grundfläche ABC soll in einen würfelförmigen Karton verpackt werden (siehe Skizze 1). Die Eckpunkte der Pyramidengrundfläche haben folgende Koordinaten: A (5;2;0), B (2;5;0 ) und C(5;5;3 ) Die Innenmaße des Kartons betragen a = 5 LE. z S R P Q C O N y B x L A (Skizze 1 nicht maßstäblich) M

8 8 a) Berechnen Sie die Länge der Seitenkante AS! Zeigen Sie, dass die Raumdiagonale des Würfels, die den Punkt S enthält, senkrecht zur Pyramidengrundfläche ABC verläuft! Ermitteln Sie die Höhe h der Pyramide! (Kontrollergebnis: h = 4 3 LE) Vor dem Verpacken stand die Pyramide mit ihrer Grundfläche ABC auf der x-y-ebene. Um welchen Winkel α ist die Pyramide beim Verpacken aus dieser Lage zu neigen? b) Berechnen Sie das Volumen und den Oberflächeninhalt der Pyramide! 6 BE c) Jede Raumdiagonale des Würfels, die den Punkt S nicht enthält, schneidet eine Seitenkante der Pyramide. Berechnen Sie einen dieser Schnittwinkel! d) Ein ebener Schnitt durch den Mittelpunkt des Würfels und parallel zur Grundfläche der Pyramide teilt die Pyramide in zwei Teilkörper, eine gerade Pyramide und einen geraden Pyramidenstumpf (siehe Skizze 2). Geben Sie eine parameterfreie Gleichung der Schnittebene an! Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes A, der Eckpunkt der kleinen Pyramide ist und auf der Seitenkante AS der großen Pyramide liegt.

9 9 e) Ist es möglich, gemeinsam mit der Pyramide noch einen Quader mit den Kantenlängen 5 LE, 1 LE und 2 LE in den Karton (siehe Skizze 2) zu verpacken? Begründen Sie Ihre Antwort! z S R P Q C O N y B x L A M (Skizze 2 nicht maßstäblich)

10 10 Aufgabe B2 Der Biologe Dr. Falsch untersucht Fehlbildungen bei Blättern einiger einheimischer Baumarten. Dabei hat er bereits interessante Beobachtungen angestellt. Eine Form von Fehlbildungen tritt bei der Baumart X mit einer Wahrscheinlichkeit von 3 %, der Baumart Y von 4 % und der Baumart Z von 0,5 % auf. a) Ein Korb enthält sechzig Blätter der Baumart X, dreißig der Baumart Y und zehn der Baumart Z. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A := Ein zufällig entnommenes Blatt besitzt diese Fehlbildung. B := Ein zufällig entnommenes Blatt ist von der Baumart X und besitzt die Fehlbildung nicht. C := Zwei mit einem Griff zufällig entnommene Blätter gehören zu unterschiedlichen Baumarten. Ein zufällig entnommenes Blatt besitzt diese Fehlbildung nicht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es von der Baumart Z? Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von fünf mit einem Griff zufällig entnommenen Blättern genau zwei von der Baumart Y? Eine weitere Form von Fehlbildungen tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 3 % auf. Sie ist nur mikroskopisch erkennbar. Tritt diese Form der Fehlbildung auf, so wird sie beim Betrachten eines Blattteiles unter dem Mikroskop mit einer Wahrscheinlichkeit von 55 % erkannt. b) Wie oft muss man mindestens Teile eines Blattes mit dieser Fehlbildung mikroskopisch untersuchen, um diese Fehlbildung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % zu erkennen (also mindestens einmal zu beobachten)? 8 BE

11 11 c) Bei einem speziellen Baum beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 700 Blätter diese Fehlbildung besitzen, 10,75 %. Wie viele Blätter hat der Baum? d) Herr Dr. Durchblick teilt mit, er habe ein Verfahren entwickelt, mit dem man auch ohne Mikroskop diese Fehlbildung mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 % erkennen kann. Stellen Sie einen Prüfplan auf, mit dem Herrn Dr. Durchblicks Aussage getestet werden kann! Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass man irrtümlich annimmt, mit dieser Methode könne man diese Fehlbildung nur mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als 70 % erkennen, unter fünf Prozent bleiben. e) In einem Gefäß befindet sich eine unbekannte Anzahl von Blättern, unter ihnen genau drei mit dieser Form der Fehlbildung. Die Wahrscheinlichkeit, beim Entnehmen zweier Blätter mit einem Griff genau ein Blatt mit dieser Fehlbildung zu erhalten, beträgt 22 %. Wie viele Blätter sind in diesem Gefäß?

12 12 Aufgabe C a) Ermitteln Sie alle reellen Zahlen x, für die die Funktion f mit der Gleichung f (x) = 2 x ln(x) definiert ist! b) Für eine Zahlenfolge ( a n ) gelte: a 2000 = u ( u 0) und a 2002 = v. Ermitteln Sie das Folgenglied a 2004, wenn 1. ( a n ) eine arithmetische Zahlenfolge bzw. 2. ( a n ) eine geometrische Zahlenfolge ist! c) Es sei f(x) = sin x und g(x) = x. 17 Geben Sie die Anzahl aller gemeinsamen Punkte der Graphen dieser Funktionen an und beschreiben Sie Ihr Vorgehen! d) Erfahrungsgemäß sind 70% aller Abiturienten Nichtraucher. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich in einem Kurs mit 25 Abiturienten mindestens 15 Nichtraucher? Wie viele Raucher sind unter 870 Abiturienten zu erwarten? 1 e) Gegeben sind die Vektoren r r a = 5, bt = t und c r = r Bestimmen Sie t ( t R) so, dass die Vektoren a, b r t linear abhängig sind! und c r

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