GRUNDLAGEN MATHEMATIK

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "GRUNDLAGEN MATHEMATIK"

Transkript

1 Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 1. Vektorrechnung und Geometrie Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16

2 G. Matthies Grundlagen Mathematik 2/53 Mengenbegriff Definition (Naiver Mengenbegriff nach Georg Cantor) Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten, wohlunterscheidbaren Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die Objekte der Menge werden Elemente der Menge genannt.

3 G. Matthies Grundlagen Mathematik 3/53 Häufig auftretende Mengen N = Menge der natürlichen Zahlen N 0 = N {0} = Menge der natürlichen Zahlen und 0 Q = Menge der rationalen Zahlen (=Brüche) R = Menge der reellen Zahlen R + = Menge der positiven reellen Zahlen R + 0 = Menge der nichtnegativen reellen Zahlen R = Menge der negativen Zahlen R 0 = Menge der nichtpositiven Zahlen Z = Menge der ganzen Zahlen Zusammenhang N N 0 Z Q R

4 G. Matthies Grundlagen Mathematik 4/53 Intervalle und Halbgeraden Seien a, b R mit a b. Dann setzen wir Intervalle [a, b] := {x R : a x b} (a, b) := {x R : a < x < b} [a, b) := {x R : a x < b} (a, b] := {x R : a < x b} Halbgeraden oder Strahlen (abgeschlossen) (offen) (rechts halboffen) (links halboffen) [a, ) := {x R : a x} (abgeschlossene Halbgerade) (, b] := {x R : x b} (abgeschlossene Halbgerade) (a, ) := {x R : a < x} (offene Halbgerade) (, b) := {x R : x < b} (offene Halbgerade) andere Schreibweise: (a, b) =]a, b[

5 G. Matthies Grundlagen Mathematik 5/53 Kartesisches Koordinatensystem z p z P p y y p x x

6 G. Matthies Grundlagen Mathematik 6/53 Punkte und Vektoren I Zu je zwei verschiedenen Punkten P und Q des Raumes gibt es genau eine Parallelverschiebung des Raumes, die P auf Q abbildet. Diese Parallelverschiebung wird mit dem Pfeil PQ #» bezeichnet. Der Pfeil PQ #» mit legt mittels P = (p x, p y, p z ), Q = (q x, q y, q z ) v x q x p x v = v y := q y p y v z q z p z einen Vektor v fest. Der Vektorpfeil wird später auch weggelassen. Der Pfeil stellt eine Realisierung des Vektors dar. Zwei gleich lange und gleich gerichtetete Pfeile stellen den gleichen Vektor dar.

7 G. Matthies Grundlagen Mathematik 7/53 Punkte und Vektoren II Ein spezieller Vektor ist der Nullvektor 0. Er enstpricht der Nichtverschiebung des Raumes. Der zu v gleich lange, aber entgegengesetzte Vektor wird mit v bezeichnet. Es macht die durch v bewirkte Verschiebung wieder rückgängig. Definition Die Menge aller Vektoren des dreidimensionalen Raumes bezeichnen wir mit R 3. Die Menge aller Vektoren der Ebene bezeichnen wir mit R 2. Die Vektoren der Ebene R 2 können als Vektoren des Raum R 3 aufgefasst werden, indem die dritte Komponente auf 0 gesetzt wird.

8 G. Matthies Grundlagen Mathematik 8/53 Ortsvektoren und geometrische Grundbegriffe Definition Die Pfeile OP #» mit dem Koordinatenursprung O heißen Ortspfeile oder Ortsvektoren. Der durch OP #» dargestellte Vektor r hat als Komponenten die Koordinaten von P. Definition P = (p x, p y, p z ) r = #» OP = p x p y p z Zwei Vektoren u und v heißen kollinear, wenn sie, jeweils im Koordinatenursprung O angetragen, auf einer Gerade liegen. Drei Vektoren u, v, w heißen komplanar, wenn sie, jeweils im Koordinatenursprung O angetragen, in einer Ebene liegen.

9 G. Matthies Grundlagen Mathematik 9/53 Summe, Differenz und Skalarmultiplikation Definition Seien u = u x u y u z, v = v x v y v z Dann definieren wir durch u x + v x u + v := u y + v y, u z + v z zwei Vektoren des R 3 und λ R. u x v x u v := u y v y u z v z die Summe und die Differenz. Das skalare Vielfache ist durch λ λu x u := λu y λu z erklärt. Insbesondere gilt: ( 1) u = u.

10 G. Matthies Grundlagen Mathematik 10/53 Geometrische Interpretation u + v v v u u u 1 v 2 u v 2 u u

11 G. Matthies Grundlagen Mathematik 11/53 Rechenregeln für die Vektoraddition Für alle u, v, w R 3 und alle λ, µ R gelten 1. ( u + v ) + w = u + ( v + w ) (Assoziativgesetz) 2. u + v = v + u (Kommutativgesetz) 3. Zu jedem Paar u, v R 3 gibt es genau einen Vektor z R 3 mit u + z = v. Dies ist z = v u. 4. (λµ) u = λ(µ u ) (skalares Assoziativgesetz) 5. λ( u + v ) = λ u + λ v (Distributivgesetz) 6. (λ + µ) u = λ u + µ u (Distributivgesetz)

12 G. Matthies Grundlagen Mathematik 12/53 Länge oder Betrag eines Vektors z v z v v y y v x x v := v 2 x + v 2 y + v 2 z

13 G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/53 Rechenregeln für Beträge von Vektoren Für alle u, v R 3 und alle λ R gelten: 1. λ u = λ u 2. u = 0 0 u = u + v u + v (Dreiecksungleichung) u + v v u

14 G. Matthies Grundlagen Mathematik 14/53 Koordinateneinheitsvektoren Koordinateneinheitsvektoren im dreidimensionalen Raum R 3 e x = e 1 = 1 i = 0, e y = e 2 = 0 j = 1, e z = e 3 = 0 k = Darstellung von Vektoren u x u = u y u z u = ux ex + u y ey + u z ez u = ux e1 + u y e2 + u z e3 u = ux i + uy j + uz k

15 G. Matthies Grundlagen Mathematik 15/53 Winkel zwischen Vektoren Definition Trägt man in einem Punkt P zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren u und v an, so nennt man den kleineren der beiden positiv gemessenen Winkel, die die Pfeile u und v im Scheitel P bilden, den Winkel zwischen u und v. Kurz schreiben wir ( u, v ). v ( u, v ) [0, π] u Definition Zwei Vektoren u und v heißen orthogonal oder senkrecht, wenn ( u, v ) = π/2 gilt. Aus praktischen Überlegungen legen wir zusätzlich fest, dass der Nullvektor orthogonal zu jedem beliebigen Vektor u R 3 ist.

16 Skalarprodukt Definition Seien u, v R 3 Vektoren. Dann nennen wir u v := u v cos ( ( u, v ) ) Skalarprodukt (oder inneres Produkt) der Vektoren u und v. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl (ein Skalar). Folgerung Für u, v R 3 \ { 0 } gelten u v > 0, falls ϕ [0, π/2), u v = 0, falls ϕ = π/2, u v < 0, falls ϕ (π/2, π], wobei ϕ = ( u, v ) ist. G. Matthies Grundlagen Mathematik 16/53

17 G. Matthies Grundlagen Mathematik 17/53 Rechenregeln für Skalarprodukte I Folgerung Die Vektoren u und v stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn u v = 0 gilt. Für u, v, w R 3 und λ R gelten: 1. u v = v u 2. ( u + v ) w = u w + v w 3. λ( u v ) = (λ u ) v = u (λ v ) 4. u u = u 2

18 G. Matthies Grundlagen Mathematik 18/53 Rechenregeln für Skalarprodukte II Bemerkung Im Allgemeinen gilt für Vektoren u, v, w R 3 ( u v ) w u ( v w ). Es gilt ( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d für alle a, b, c, d R 3 Bemerkung In einigen Büchern wird statt u v nur u v geschrieben, was aber ungenau ist und zu Missverständnissen führen kann.

19 G. Matthies Grundlagen Mathematik 19/53 Geometrische Interpretation I ϕ v u p u v = u v cos(ϕ) = u p p v π ϕ u u v = u v cos(ϕ) = u v cos(π ϕ) = u p Der Vektor p ist die orthogonale Projektion des Vektors v auf den Vektor u. Unter Beachtung der Orientierung (Vorzeichen!) lässt sich das Skalarprodukt u v aus dem Produkt der Beträge von u und p berechnen.

20 G. Matthies Grundlagen Mathematik 20/53 Geometrische Interpretation II Bemerkung Es gibt keine Umkehrung des Skalarprodukts, d. h., es ist nicht möglich, aus der Kenntnis des Vektors u und des Skalarproduktes u v auf einen eindeutigen Vektor v zu schließen. w v u p u v = u p = u w

21 G. Matthies Grundlagen Mathematik 21/53 Berechung des Skalarprodukts Geometrische Überlegungen liefern für die Koordinateneinheitsvektoren und e x e x = e y e y = e z e z = 1 e x e y = e y e z = e z e x = 0. Damit ergibt sich für u x u = u y =u x ex +u y ey +u z ez, v = u z das Skalarprodukt v x u v = ux v x + u y v y + u z v z, v y =v x ex +v y ey +v z ez v z was der Summe der Produkte der Komponenten entspricht.

22 G. Matthies Grundlagen Mathematik 22/53 Winkelberechnung Durch Umstellen der Definitionsformel für das Skalarprodukt erhalten wir cos ( u, u v v ) = u v, falls u 0 und v 0 gilt. Bemerkung Ist mindestens einer der beiden Vektoren u und v gleich dem Nullvektor 0, dann kann kein Winkel definiert werden.

23 G. Matthies Grundlagen Mathematik 23/53 Richtungskosinus Einen Vektor e R 3 mit e = 1 nennen wir Einheitsvektor. v z α z γ β v v y e x v cos(α) = v e y v cos(β) = v e z v cos(γ) = v y = v x v = v y v = v z v v x x Ist v ein Einheitsvektor, dann gilt cos(α) = v x, cos(β) = v y, cos(γ) = v z.

24 G. Matthies Grundlagen Mathematik 24/53 Einheitsvektoren Definition Einen Vektor e R 3 mit e = 1 nennen wir Einheitsvektor. Sei a R 3 \ { 0 } ein beliebiger vom Nullvektor verschiedener Vektor. Dann ist e a := 1 a a der in Richtung a weisende Einheitsvektor. Jeder Vektor a R 3 \ { 0 } lässt sich durch seine Länge a und seine Richtung e a gemäß a = a e a darstellen. Dem Nullvektor 0 kann keine Richtung zugeordnet werden.

25 G. Matthies Grundlagen Mathematik 25/53 Rechtssystem Definition Das Tripel ( a, b, p ) von Vektoren a, b, p R 3 wird Rechtssystem genannt, wenn sich die Vektoren a, b und p in dieser Reihenfolge dem Daumen, dem Zeigefinger und dem Mittelfinger der rechten Hand zu ordnen lassen, also der Rechte-Hand-Regel genügen. Bemerkung Die Vektoren ( e x, e y, e z ) bilden ein Rechtssystem. Die Vektoren ( e x, e z, e y ) bilden kein Rechtssystem.

26 G. Matthies Grundlagen Mathematik 26/53 Vektorprodukt Definition Seien a, b R 3 zwei vom Nullvektor 0 verschiedene, nicht kollineare Vektoren. Dann ist das Vektorprodukt (oder Kreuzprodukt oder äußeres Produkt) a b der Vektor des R 3, der 1. zu a und b orthogonal ist, 2. einen Betrag besitzt, der dem Flächeninhalt des von a und b aufgespanntem Parallelogramms enspricht, 3. das Tripel ( a, b, a b ) zum Rechtssystem macht. Ist a = 0 oder b = 0 oder sind a und b Vielfache voneinander, dann wird a b = 0 gesetzt.

27 G. Matthies Grundlagen Mathematik 27/53 Geometrische Interpretation F b h ϕ a Es gilt: F = a b = a b sin(ϕ)

28 G. Matthies Grundlagen Mathematik 28/53 Rechenregeln für Vektorprodukte I Für alle u, v, w R 3 und alle λ R gelten: 1. u v = v u (Antikommutativität) 2. u ( v + w ) = u v + u w (Distributivität) 3. λ( u v ) = (λ u ) v = u (λ v ) 4. u u = 0, u 0 = 0, 0 u = 0 5. u v 2 = u 2 v 2 ( u v ) 2

29 G. Matthies Grundlagen Mathematik 29/53 Rechenregeln für Vektorprodukte II Folgerung Für Vektoren a, b, c, d R 3 gelten ( a + b ) c = a c + b c ( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d Bemerkung Im Allgemeinen gilt u ( v w ) ( u v ) w.

30 G. Matthies Grundlagen Mathematik 30/53 Berechnung des Vektorprodukts Geometrische Überlegungen liefern für die Koordinateneinheitsvektoren e x e y = e z, e y e x = e z, e y e z = e x, e z e y = e x, e z e x = e y, e x e z = e y Unter Ausnutzung der Rechenregeln erhalten wir für u x v x u = u y, v = v y u z v z die Darstellung u y v z u z v y u v = u z v x u x v z. u x v y u y v x

31 G. Matthies Grundlagen Mathematik 31/53 Regel von Sarrus u y v z u z v y u v = u z v x u x v z u x v y u y v x = (u y v z u z v y ) e x + (u z v x u x v z ) e y + (u x v y u y v x ) e z e x ey ez ex ey u x u y u z u x u y v x v y v z v x v y Produkte entlang der roten Linien mit positvem Vorzeichen und Produkte entlang der blauen Linien mit negativem Vorzeichen versehen und aufaddieren.

32 G. Matthies Grundlagen Mathematik 32/53 Spatprodukt Definition Für je drei Vektoren a, b, c R 3 ist durch [ a, b, c ] := ( a b ) c das Spatprodukt definiert. a b h c b a F

33 G. Matthies Grundlagen Mathematik 33/53 Eigenschaften des Spatprodukts Für die Koordinateneinheitsvektoren e x, e y und e z stellt der Spat einen Würfel mit Kantenlänge 1 dar. Es gilt [ e x, e y, e z ] = ( e x e y ) e z = e z e z = 1. Da ( u v ) zu u und v orthogonal ist, gilt [ u, v, u ] = ( u v ) u = 0, [ u, v, v ] = ( u v ) v = 0. Für beliebige Vektoren u, v, w R 3 gelten [ u, v, w ]=[ v, w, u ]=[ w, u, v ] (zyklisches Vertauschen) und [ u, v, w ] = [ u, w, v ]. V Spat = [ u, v, w ], V Tetraeder = 1 [ u, v, w ] 6

34 G. Matthies Grundlagen Mathematik 34/53 Geraden im Raum I Gegeben seien ein Punkt P 0 = (a x, a y, a z ) mit zugehörigem Ortsvektor r 0 = OP #» 0 und ein Vektor s x s = s y. s z Wir betrachten die Gerade durch P 0 in Richtung s. Wenn P ein beliebiger Punkt auf der Gerade ist, dann gilt für den zugehörigen Ortsvektor r = OP, #» dass es einen reellen Parameter λ derart gibt, dass r = r0 + λ s gilt. Wir nennen r 0 den Aufpunkt und s die Richtung der Geraden. Diese Geradendarstellung wird als Punkt-Richtungsform bezeichnet.

35 G. Matthies Grundlagen Mathematik 35/53 Geraden im Raum II Gegeben seien zwei verschieden Punkte P 0 und P 1 einer Geraden. Dann lässt sich die Richtung durch P #» 0 P 1 festlegen. Für einen beliebigen Punkt P mit zugehörigem Ortsvektor r gilt dann r = r0 + λ #» P 0 P 1 mit dem reellen Parameter λ. Dies ist die Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung.

36 G. Matthies Grundlagen Mathematik 36/53 Geradengleichung P g P 0 s r 0 r O g : r = r 0 + λ s = #» OP 0 + λ #» P 0 P 1, λ R Eine Veränderung des Aufpunktes bewirkt eine Parallelverschiebung der Geraden. Ändert sich die Richtung, so wird die Gerade gedreht, wobei P 0 bzw. r 0 fest bleibt.

37 G. Matthies Grundlagen Mathematik 37/53 Lot auf eine Gerade I P 1 P g P 0 s r 1 r 0 r O

38 Lot auf eine Gerade II Gegeben: Punkt P 1, Gerade g Gesucht: Fußpunkt P des Lots von P 1 auf g Lösung: P 1 hat Ortsvektor r 1 = OP #» 1, P den Ortsvektor r r = r 0 + λ s, λ R mit Richtungsvektor s und r 0 = OP #» 0 für kürzesten Abstand: P # P» 1 senkrecht zu s = 0 = ( #» P P 1 ) s = ( r 1 r ) s da P in g: es gibt Parameter λ mit r = #» OP = r 0 + λ s Einsetzen: 0 = ( r 1 ( r 0 +λ s )) s = ( r 1 r 0 ) s λ s s Umstellen und s s = s 2 nutzen: λ = ( r 1 r 0 ) s s 2 r durch Einsetzen von λ bestimmen G. Matthies Grundlagen Mathematik 38/53

39 G. Matthies Grundlagen Mathematik 39/53 Abstand zu einer Geraden I P 1 r 1 r 0 d g P 0 s r r1 0 O

40 Abstand zu einer Geraden II Darstellung der Fläche F des Parallelogramms Betrag des Vektorprodukts F = P #» 0 P 1 s Produkt aus der Höhe d und der Länge der Grundseite s F = d s Gleichsetzen liefert d s = P #» 0 P 1 s, was zu führt P #» 0 P 1 s d = s = ( r 1 r 0 ) s s G. Matthies Grundlagen Mathematik 40/53

41 G. Matthies Grundlagen Mathematik 41/53 Lage von Geraden zueinander Gegeben: Gerade g 1 : r = r 1 + λ s 1, λ R, Gerade g 2 : r = r 2 + µ s 2, µ R Gesucht: gegenseitige Lage der beiden Geraden Lösung: s 1 und s 2 sind kollinear * r 1 g 2 = g 1 und g 2 sind identisch * r 1 g 2 = g 1 und g 2 sind parallel, aber nicht identisch s 1 und s 2 sind nicht kollinear * Die Geraden g 1 und g 2 schneiden sich = Es gibt Parameter λ, µ R mit r 1 + λ s 1 = r 2 + µ s 2 * Die Geraden g 1 und g 2 sind zueinander windschief

42 G. Matthies Grundlagen Mathematik 42/53 Abstand zweier Geraden Gegeben: Gerade g 1 : r = r 1 + λ s 1, λ R, Gerade g 2 : r = r 2 + µ s 2, µ R Gesucht: Abstand der beiden Geraden Lösung: s 1 und s 2 sind kollinear * r 1 g 2 = Abstand ist 0 * r 1 g 2 = Abstand gleich Abstand eines beliebigen Punktes von g 2 zu g 1

43 G. Matthies Grundlagen Mathematik 42/53 Abstand zweier Geraden Gegeben: Gerade g 1 : r = r 1 + λ s 1, λ R, Gerade g 2 : r = r 2 + µ s 2, µ R Gesucht: Abstand der beiden Geraden Lösung: s 1 und s 2 sind nicht kollinear * Der kürzeste Abstand liegt dann vor, wenn wir u g 1 und v g 2 derart gefunden haben, dass die Verbindungsstrecke u v senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren s 1 und s 2 steht. * Da c := s 1 s 2 0 nach der Definition des Vektorprodukts senkrecht auf s 1 und s 2 steht, muss u v ein Vielfaches von c sein. * Es muss also u v = ( r1 + λ s 1 ) ( r 2 + µ s 2 ) = ν c gelten (LGS für λ, µ und ν).

44 G. Matthies Grundlagen Mathematik 43/53 Abstand zweier windschiefer Geraden I s 1 g 1 r 1 r 2 d s 1 r 1 r 2 s 2 g 2 O

45 G. Matthies Grundlagen Mathematik 44/53 Abstand zweier windschiefer Geraden II Darstellung des Spatvolumenns V Spatprodukt V = [ s 1, s 2, r 1 r 2 ] Produkt aus der Höhe d und dem Inhalt F der Grundfläche V = F d = s 1 s 2 d Gleichsetzen und Umstellen liefert [ s 1, s 2, r 1 r 2 ] d = s 1 s 2 Mit dieser Methode kann der Abstand direkt bestimmt werden. Allerdings erfordert das Bestimmen der Punkte, die den kürzesten Abstand vermitteln, weitere Rechnungen.

46 G. Matthies Grundlagen Mathematik 45/53 Ebenen im Raum Gegeben: Punkt P 0 mit Ortsvektor r 0 = OP #» 0, zwei nicht kollineare Vektoren a, b R 3 Gesucht: Ortsvektor r eines beliebigen Punktes P der Ebene durch P 0, die von a und b aufgespannt wird Lösung: E : r = r 0 + λ a + µ b, λ, µ R Gegeben: Punkte P 1, P 2, P 3, die nicht auf einer Geraden liegen Gesucht: Ebene E durch diese drei Punkte Lösung: E : r = r 1 + λ a + µ b, λ, µ R mit a = P #» #» 1 P 2, b = P 1 P 3, r 1 = OP #» 1

47 G. Matthies Grundlagen Mathematik 46/53 Normalenvektor Definition Jeder Vektor n 0, der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren a und b der Ebene E steht, heißt Normalenvektor der Ebene E. Ein Normalenvektor n mit n = 1 heißt Einheitsnormalenvektor oder Normaleneinheitsvektor. Bemerkung Nach den Eigenschaften des Vektorprodukts ist a b ein Normalenvektor jeder Ebene E, die durch a und b aufgespannt wird. Es lässt sich zeigen, dass jeder Normalenvektor von E ein Vielfaches von a b ist.

48 G. Matthies Grundlagen Mathematik 47/53 Hessesche Normalform I ϱ n r ϕ E

49 G. Matthies Grundlagen Mathematik 48/53 Hessesche Normalform II Gegeben: Ebene E : r = r 0 + λ s 1 + µ s 2, λ, µ R mit Normaleneinheitsvektor n Nach der Definition des Normalenvektors gilt r n = ( r0 + λ s 1 + µ s 2 ) n = r 0 n + λ s 1 n = r 0 n }{{} = 0 +µ s 2 n }{{} = 0 Der Normaleneinheitsvektor n sei so gewählt, dass es vom Ursprung zur Ebene zeigt. Dann gilt für r E: ϱ = r n = r n cos(ϕ) = r cos(ϕ) 0

50 G. Matthies Grundlagen Mathematik 49/53 Hessesche Normalform III Hessesche Normalform der Ebene E: n r = ϱ bzw. nx x + n y y + n z z = ϱ mit n x n = n y, n z x r = y z

51 G. Matthies Grundlagen Mathematik 50/53 Allgemeine Koordinatenform einer Ebene Gegeben seien a, b, c, d R mit a b 0 c Dann heißt ax + by + cz = d, allgemeine Koordinatendarstellung einer Ebene. Der Vektor a b c ist Normalenvektor von E, hat aber nicht notwendig mit Länge 1.

52 Lot auf eine Ebene Ebene E : r = r 0 + λ a + µ b, λ, µ R, c := a b P 1 r 1 r r 1 r P E O Löse LGS r 1 ( r 0 + λ a + µ b ) = ν c für λ, µ, ν R Abstand: d = ν c G. Matthies Grundlagen Mathematik 51/53

53 G. Matthies Grundlagen Mathematik 52/53 Abstand zu einer Ebene Ebene in Hessescher Normalform n r = ϱ, ϱ = n r 0 P 1 = (p x, p y, p z ) d n r 1 r 0 r 1 E r 0 O d = n ( r1 r 0 ) = n r1 ϱ = n x p x + n y p y + n z p z ϱ

54 G. Matthies Grundlagen Mathematik 53/53 Schnittgerade zweier Ebenen Gegeben: zwei Ebenen in Hessescher Normalform E 1 : n 1 r = ϱ 1, E 2 : n 2 r = ϱ 2 Sind die Normaleneinheitsvektoren n 1 und n 2 nicht kollinear, dann schneiden sich die beiden Ebenen E 1 und E 2 in einer Geraden g. Der Richtungsvektor s von g muss in E 1 und E 2 liegen. Damit muss er senkrecht auf beiden Vektoren n 1 und n 2 stehen. Somit lässt sich s = n 1 n 2 wählen. Zur Bestimmung eines Aufpunktes wird eine beliebige Lösung (x, y, z) des linearen Gleichungssystems n 1x x + n 1y y + n 1z z = ϱ 1, n 2x x + n 2y y + n 2z z = ϱ 2, ermittelt.

Kurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof. Dr. Ulrich Reif

Kurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof. Dr. Ulrich Reif 14 Oktober 2008 1 Kurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof Dr Ulrich Reif Inhalt: 1 Vektorrechnung 2 Lineare Gleichungssysteme 3 Matrizenrechnung 4 Lineare Abbildungen 5 Eigenwerte

Mehr

Grundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015

Grundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015 Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 205 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag 2 Skalarprodukt Vektorprodukt

Mehr

3 Vektoren. 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum. Höhere Mathematik 60

3 Vektoren. 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum. Höhere Mathematik 60 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum 3 Vektoren 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum In der Ebene (mathematisch ist dies die Menge R 2 ) ist ein kartesisches Koordinatensystem festgelegt

Mehr

1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil

1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil 1 Vorlesungen: 4.10.005 und 31.10.005 Vektor Rechnung: 1.Teil Einige in der Physik auftretende Messgrößen sind durch eine einzige Zahl bestimmt: Temperatur T K Dichte kg/m 3 Leistung P Watt = J/s = kg

Mehr

Vektoren. Kapitel 13 Vektoren. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1

Vektoren. Kapitel 13 Vektoren. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1 Vektoren Kapitel 13 Vektoren Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1 Vektoren 131 Denition: Vektoren im Zahlenraum Ein Vektor (im Zahlenraum) mit n Komponenten ist ein n-tupel reeller Zahlen,

Mehr

Vektorprodukt. Satz: Für a, b, c V 3 und λ IR gilt: = a b + a c (Linearität) (Linearität) b = λ

Vektorprodukt. Satz: Für a, b, c V 3 und λ IR gilt: = a b + a c (Linearität) (Linearität) b = λ Vektorprodukt Satz: Für a, b, c V 3 und λ IR gilt: 1 a b = b a (Anti-Kommutativität) ( ) 2 a b + c ( 3 a λ ) b = λ = a b + a c (Linearität) ( a ) b (Linearität) Satz: Die Koordinatendarstellung des Vektorprodukts

Mehr

Geometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt:

Geometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt: Geometrie 1. Vektoren Die Menge aller zueinander parallelen, gleich langen und gleich gerichteten Pfeile werden als Vektor bezeichnet. Jeder einzelne Pfeil heißt Repräsentant des Vektors. Bei Ortsvektoren:

Mehr

Vektoren, Vektorräume

Vektoren, Vektorräume Vektoren, Vektorräume Roman Wienands Sommersemester 2010 Mathematisches Institut der Universität zu Köln Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010

Mehr

Denition 6.1 Eine Gerade ist die Menge aller Losungen (x; y) einer linearen Gleichung. y = A B x + C B : Ax + By = C mit 6= 0

Denition 6.1 Eine Gerade ist die Menge aller Losungen (x; y) einer linearen Gleichung. y = A B x + C B : Ax + By = C mit 6= 0 6 Der Vektorraum R n In den folgenden Wochen wenden wir uns der Linearen Algebra zu, die man als eine abstrakte Form des Rechnens mit Vektoren auassen kann. Ein zentrales Thema werden lineare Raume (=

Mehr

Arbeitsblatt 1 Einführung in die Vektorrechnung

Arbeitsblatt 1 Einführung in die Vektorrechnung Arbeitsblatt Einführung in die Vektorrechnung Allgemein Vektoren sind physikalische Größen und durch ihre Richtung und ihren Betrag festgelegt. Geometrisch wird ein Vektor durch einen Pfeil dargestellt,

Mehr

d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1

d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1 2008/2009 Das Wichtigste in Kürze Klasse 3 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Definiton (Lineare Gleichungssysteme: Lineare Gleichungssysteme löst man entweder mit dem Gauß-Algorithmus oder nach

Mehr

Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung

Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung Kapitel 1 Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung 11 Koordinatensysteme Eine Gerade, eine Ebene oder den Anschauungsraum beschreibt man durch Koordinatensysteme 111 Was sind Koordinatensysteme?

Mehr

Geometrie. 1 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene

Geometrie. 1 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 207. Vektoren, Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes 3. Anwendungen in der Geometrie, Lagebeziehungen

Mehr

Geometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte

Geometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 206. Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes, Anwendungen in der Geometrie,

Mehr

Grundwissen Abitur Geometrie 15. Juli 2012

Grundwissen Abitur Geometrie 15. Juli 2012 Grundwissen Abitur Geometrie 5. Juli 202. Erkläre die Begriffe (a) parallelgleiche Pfeile (b) Vektor (c) Repräsentant eines Vektors (d) Gegenvektor eines Vektors (e) Welcher geometrische Zusammenhang besteht

Mehr

Definition von R n. Parallelverschiebungen in R n. Definition 8.1 Unter dem Raum R n (n N) versteht man das kartesische Produkt R R... R (n-mal), d.h.

Definition von R n. Parallelverschiebungen in R n. Definition 8.1 Unter dem Raum R n (n N) versteht man das kartesische Produkt R R... R (n-mal), d.h. 8 Elemente der linearen Algebra 81 Der euklidische Raum R n Definition von R n Definition 81 Unter dem Raum R n (n N) versteht man das kartesische Produkt R R R (n-mal), dh R n = {(x 1, x 2,, x n ) : x

Mehr

Kapitel I: Vektorrechnung 2: Vektoren im Raum

Kapitel I: Vektorrechnung 2: Vektoren im Raum WS 1/14 - Prof Dr Manfred Leitz 2 Vektoren im Raum A Grundbegriffe B Rechnen mit Vektoren C Der euklidische Betrag D Das euklidische Skalarprodukt E Vektorprodukt und Spatprodukt F Geraden und Ebenen im

Mehr

entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =

entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x = Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.

Mehr

Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra

Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 1 /27 Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra 8. Das Skalarprodukt, metrische

Mehr

Lineare Algebra in der Oberstufe

Lineare Algebra in der Oberstufe Lineare Algebra in der Oberstufe Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 16. April 2016 Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April 2016 1 / 32 Übersicht Ziel dieses Kapitels

Mehr

Grundlagen der Vektorrechnung

Grundlagen der Vektorrechnung Grundlagen der Vektorrechnung Ein Vektor a ist eine geordnete Liste von n Zahlen Die Anzahl n dieser Zahlen wird als Dimension des Vektors bezeichnet Schreibweise: a a a R n Normale Reelle Zahlen nennt

Mehr

Zusammenfassung der Analytischen Geometrie

Zusammenfassung der Analytischen Geometrie Zusammenfassung der Analytischen Geometrie 1. Rechnen mit Vektoren (Addition, Subtraktion, S-Multiplikation, Linearkombinationen) 1. Gegeben sind die Punkte A(2-6 ) und B(-1 14-4), 4 4 sowie die Vektoren

Mehr

Vorkurs: Mathematik für Informatiker

Vorkurs: Mathematik für Informatiker Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 4 Wintersemester 2017/18 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil

Mehr

00. Einiges zum Vektorraum R n

00. Einiges zum Vektorraum R n 00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen

Mehr

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter

Mehr

Mathematik Analytische Geometrie

Mathematik Analytische Geometrie Mathematik Analytische Geometrie Grundlagen:. Das -Dimensionale kartesische Koordinatensystem: x x x. Vektoren und Ortsvektoren: a x = x x ist ein Vektor, der eine Verschiebung um x -Einheiten in x-richtung,

Mehr

Lineare Algebra in der Oberstufe

Lineare Algebra in der Oberstufe Lineare Algebra in der Oberstufe Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 11. April 2016 Stefan Ruzika 1: Schulstoff 11. April 2016 1 / 21 Übersicht Ziel dieses Kapitels

Mehr

(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2

(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2 Vektoren Mit der Vektorrechnung werden oft geometrische Probleme gelöst. Wenn irgendwelche Aufgabenstellungen geometrisch darstellbar sind, z.b. Flugbahnen oder Abstandsberechnungen, dann können sie mit

Mehr

Vektorprodukte und analytische Geometrie

Vektorprodukte und analytische Geometrie KAPITEL 4 Vektorprodukte und analytische Geometrie 4. Vektorprodukte.................................... 8 4. Skalarprodukt für Vektoren im R n.......................... 8 4. Anwendung des Skalarprodukts..........................

Mehr

Teil II. Geometrie 19

Teil II. Geometrie 19 Teil II. Geometrie 9 5. Dreidimensionales Koordinatensystem Im dreidimensionalen Koordinatensystem gibt es acht Oktanten, oben I bis VI und unten VI bis VIII. Die Koordinatenachsen,x 2 und stehen jeweils

Mehr

Kapitel VI. Euklidische Geometrie

Kapitel VI. Euklidische Geometrie Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und

Mehr

Vektorrechnung. 10. August Inhaltsverzeichnis. 1 Vektoren 2. 2 Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3. 3 Geometrie der Vektoren 5

Vektorrechnung. 10. August Inhaltsverzeichnis. 1 Vektoren 2. 2 Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3. 3 Geometrie der Vektoren 5 Vektorrechnung 0. August 07 Inhaltsverzeichnis Vektoren Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3 3 Geometrie der Vektoren 5 4 Das Kreuzprodukt 9 Vektoren Die reellen Zahlen R können wir uns als eine

Mehr

Einführung Vektoralgebra VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen. October 6, 2007

Einführung Vektoralgebra VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen. October 6, 2007 Hochschule Esslingen October 6, 2007 Overview Einführung 1 Einführung 2 Was sind Vektoren? Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen: Strecken mit gleichem Betrag, gleicher Richtung und Orientierung.

Mehr

1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat.

1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. 1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. übliche Beispiele: Ort r = r( x; y; z; t ) Kraft F Geschwindigkeit

Mehr

Lernunterlagen Vektoren in R 2

Lernunterlagen Vektoren in R 2 Die Menge aller reellen Zahlen wird mit R bezeichnet, die Menge aller Paare a 1 a 2 reeller Zahlen wird mit R 2 bezeichnet. Definition der Menge R 2 : R 2 { a 1 a 2 a 1, a 2 R} Ein Zahlenpaar a 1 a 2 bezeichnet

Mehr

Lehrskript Mathematik Q12 Analytische Geometrie

Lehrskript Mathematik Q12 Analytische Geometrie Lehrskript Mathematik Q1 Analytische Geometrie Repetitorium der analytischen Geometrie Eine Zusammenfassung der analytischen Geometrie an bayerischen Gymnasien von Markus Baur, StR Werdenfels-Gymnasium

Mehr

Übungsblatt 1: Lösungswege und Lösungen

Übungsblatt 1: Lösungswege und Lösungen Übungsblatt : Lösungswege und Lösungen 5..6 ) Hier geht es weniger um mathematisch-strenge Beweise als darum, mit abstrakten Vektoren ohne Komponenten) zu hantieren und damit die Behauptungen plausibel

Mehr

2.2 Kollineare und koplanare Vektoren

2.2 Kollineare und koplanare Vektoren . Kollineare und koplanare Vektoren Wie wir schon gelernt haben, können wir einen Vektor durch Multiplikation mit einem Skalar verlängern oder verkürzen. In Abbildung 9 haben u und v die gleiche Richtung,

Mehr

Formelsammlung Analytische Geometrie

Formelsammlung Analytische Geometrie Formelsammlung Analytische Geometrie http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. August 6 Inhaltsverzeichnis 6 Analytische Geometrie 6. Vektorrechung in der Ebene......................................... 6..

Mehr

Ebenen in Normalenform

Ebenen in Normalenform Ebenen in Normalenform Normalenvektoren und Einheitsvektoren Definition Normalenvektor Ein Normalenvektor einer Ebene ist ein Vektor, der senkrecht auf einer Ebene steht (siehe Seite 12). Berechnung eines

Mehr

13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01

13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01 . Klasse TOP 0 Grundwissen Geradengleichungen 0 Punkt-Richtungs-Form Geraden sind gegeben durch einen Aufpunkt A (mit Ortsvektor a) auf der Geraden und einen Richtungsvektor u: x = a + λ u, λ IR. (Interpretation:

Mehr

1 Einführung in die Vektorrechnung

1 Einführung in die Vektorrechnung 3 1 Einführung in die Vektorrechnung Neben der Integral- und Differentialrechnung ist die Vektorrechnung eine der wichtigsten mathematischen Disziplinen für die Ausbildung in einem Ingenieurfach, da in

Mehr

Mathematische Grundlagen für die Vorlesung. Differentialgeometrie

Mathematische Grundlagen für die Vorlesung. Differentialgeometrie Mathematische Grundlagen für die Vorlesung Differentialgeometrie Dr. Gabriele Link 13.10.2010 In diesem Text sammeln wir die nötigen mathematischen Grundlagen, die wir in der Vorlesung Differentialgeometrie

Mehr

Brückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag

Brückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag Brückenkurs Mathematik Mittwoch 5.10. - Freitag 14.10.2016 Vorlesung 4 Dreiecke, Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Montag 10.10.2016 0 Brückenkurs

Mehr

Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen

Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch. Januar Inhaltsverzeichnis Punkte:Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt. Aufgaben....................................................

Mehr

Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen

Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen Sommersemester 2012 Bernhard Burgeth Universität des Saarlandes c 2010 2012, Bernhard Burgeth 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 2 1 Vektoren in der Ebene und

Mehr

Zusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren

Zusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Zusammenfassung Mathe III Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Definition: (1) anschaulich: Ein Vektor ist eine direkt gerichtete Verbindung zweier

Mehr

Theorie 1 1 / 2 Grundbegriffe

Theorie 1 1 / 2 Grundbegriffe Theorie 1 1 / 2 Grundbegriffe Was ist ein Vektor? Wie lassen sich Vektoren darstellen? Theorie 1 2 / 2 Grundbegriffe Antwort : Ein Vektor ist die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten

Mehr

1 Grundlagen der analytischen Geometrie

1 Grundlagen der analytischen Geometrie M. Pester 3 Grundlagen der analtischen Geometrie. Punkte, Vektoren, Geraden, Ebenen Einsat rechnerischer Methoden für die Behandlung geometrischer Beiehungen. Punkten werden Zahlentupel (Koordinaten) ugeordnet.

Mehr

Analytische Geometrie Spatprodukt

Analytische Geometrie Spatprodukt Analytische Geometrie Spatprodukt David Schmid, Reto Da Forno Kantonsschule Schüpfheim Januar 2005 Analytische Geometrie: Das Spatprodukt 1 Das Spatprodukt Hinweis: Die Vektoren werden aus darstellungstechnischen

Mehr

Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64

Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64 1/64 VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen März 2011 2/64 Overview Vektoralgebra 1 Vektoralgebra 2 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:

Mehr

a b b 1 b 2 bzgl. einer ONB (Orthonormalbasis) heißt der a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b b 3 a 1 b 2 a 2 b 1

a b b 1 b 2 bzgl. einer ONB (Orthonormalbasis) heißt der a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 VIII. Vektor- und Spatprodukt ================================================================== 8.1 Das Vektorprodukt -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Skalarprodukt. Anwendung auf die Berechnung von einfachen Abständen und Winkeln sowie Normalenvektor. Ganz einfache Erklärung der Grundlagen:

Skalarprodukt. Anwendung auf die Berechnung von einfachen Abständen und Winkeln sowie Normalenvektor. Ganz einfache Erklärung der Grundlagen: Vektorgeometrie ganz einfach Teil 5 Skalarprodukt Anwendung auf die Berechnung von einfachen Abständen und Winkeln sowie Normalenvektor Ganz einfache Erklärung der Grundlagen: Die wichtigsten Aufgabenstellungen

Mehr

Analytische Geometrie

Analytische Geometrie Kapitel 2 Analytische Geometrie 21 Vektoren Die Elemente des kartesischen Produktes R n, d h die n Tupel oder Zeilenvektoren (a 1,, a n ) mit a k R für k n, interpretiert man als Punkte eines n dimensionalen

Mehr

3. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

3. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen . Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Gegeben sind zwei Teilmengen von R : E := {x R : x x = }, und F ist eine Ebene durch die Punkte A = ( ), B = ( ) und C = ( ). (a) Stellen Sie diese Mengen

Mehr

Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt

Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt Inhalt...1 Trigonometrie Grundlagen... Vektoren...3 Skalarprodukt...4 Geraden...5 Abstandsberechnungen...6 Ebenen...7 Lineare Gleichungssysteme (LGS)...8 Gauß'sches

Mehr

Die Nummerierung des Buches wurde für die leichtere Orientierung beibehalten. 1. VEKTOREN UND IHRE GEOMETRISCHE BEDEUTUNG

Die Nummerierung des Buches wurde für die leichtere Orientierung beibehalten. 1. VEKTOREN UND IHRE GEOMETRISCHE BEDEUTUNG 1 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken aus Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften I von Hans Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie das Buch auch

Mehr

Mathematik für Chemische Technologie 2

Mathematik für Chemische Technologie 2 Mathematik für Chemische Technologie 2 Themenüberblick: Funktionen mehrerer unabhängigen Veränderlichen Vektoralgebra Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Fehlerrechnung Schwerpunkt des Sommersemesters

Mehr

Analytische Geometrie II

Analytische Geometrie II Analytische Geometrie II Rainer Hauser März 212 1 Einleitung 1.1 Geradengleichungen in Parameterform Jede Gerade g in der Ebene oder im Raum lässt sich durch einen festen Punkt auf g, dessen Ortsvektor

Mehr

Geometrie 3. Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten. 28. Oktober Mathe-Squad GbR. Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten 1

Geometrie 3. Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten. 28. Oktober Mathe-Squad GbR. Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten 1 Geometrie 3 Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten Mathe-Squad GbR 28. Oktober 2016 Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten 1 Lage zweier Geraden Geraden g : #» X = #» A + λ #» u mit λ R h

Mehr

Vektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung Wann welche Formel?

Vektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung Wann welche Formel? Vektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung Wann welche Formel? Von Florian Modler Dieser Artikel soll helfen, auseinander zu halten, wann man welche Formel in der analytische Geometrie

Mehr

Vektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren

Vektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren Kapitel 3 Vektoren 31 Skalare, Vektoren, Tensoren Viele physikalische Größen lassen sich bei bekannter Maßeinheit durch Angabe ihres Betrages als reelle Zahl vollständig angeben Solche Größen nennt man

Mehr

Einführung in das Skalarprodukt

Einführung in das Skalarprodukt Die Homepage von Joachim Mohr Start Mathematik Einführung in das Skalarprodukt in Aufgaben Alle Lektionen und Texte der Delphi-Ecke sind in der gepackten Zip-Datei Delphi-Ecke (ohne Urlaubsbilder) (Stand:

Mehr

Geometrie / Lineare Algebra. Rechenregeln. Geometrische Deutung. Vektoren

Geometrie / Lineare Algebra. Rechenregeln. Geometrische Deutung. Vektoren Vektoren Geometrie / Lineare Algebra Vektoren und Rechenregeln Länge, Winkel, Abstand Darstellung von Geraden und Ebenen Umformungen Abstandsbestimmungen Lage, Schnitte, Schnittwinkel Spiegelungen E-Mail:

Mehr

Vektorprodukt. Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin & &

Vektorprodukt. Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin & & Vektorprodukt Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin 18.02.2004 & 17.02.2005 & 11.07.2005 zu den Vorlesungen Lineare Algebra und analytische Geometrie I (L) im WS 2003/2004, Mathematik

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010

Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Lektion 6 4. Mai 2010 Definition 69. Der Vektor f 3 x 2 (x 1, x 2, x 3 ) f 2 x 3 (x 1, x 2, x 3 ) f 1 x 3 (x 1, x 2, x 3 ) f 3 x 1 (x 1, x 2, x 3 ) f 2 x

Mehr

Basistext Geraden und Ebenen

Basistext Geraden und Ebenen Basistext Geraden und Ebenen Parameterdarstellung Geraden Eine Gerade ist durch zwei Punkte P und Q, die auf der Geraden liegen, eindeutig festgelegt. Man benötigt zur Darstellung den Vektor. Dieser wird

Mehr

Vektorrechnung. 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik:

Vektorrechnung. 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik: Vektorrechnung 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik: - skalare Größen: Länge [m], Zeit [sec], Masse [kg], Energie [N m], elektr. Spannung [V ],... gekennzeichnet durch: Maßzahl ( R) [Maßeinheit]

Mehr

Analytische Geometrie I

Analytische Geometrie I Analytische Geometrie I Rainer Hauser Januar 202 Einleitung. Geometrie und Algebra Geometrie und Algebra sind historisch zwei unabhängige Teilgebiete der Mathematik und werden bis heute von Laien weitgehend

Mehr

Vorkurs Mathematik Teil III. Lineare Algebra

Vorkurs Mathematik Teil III. Lineare Algebra Vorkurs Mathematik Teil III. Lineare Algebra Inhalt 0. Inhalt 1. Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Verfahren. Vektorrechnung 3. Lagebestimmungen von Punkt, Geraden und Ebenen 4. Skalarprodukt, Längen

Mehr

Vektorrechnung Raumgeometrie

Vektorrechnung Raumgeometrie Vektorrechnung Raumgeometrie Sofja Kowalewskaja (*1850, 1891) Hypatia of Alexandria (ca. *360, 415) Maria Gaetana Agnesi (*1718, 1799) Emmy Noether (*1882 1935) Émilie du Châtelet (*1706, 1749) Cathleen

Mehr

8 SKALARPRODUKT VON VEKTOREN BERECHNEN GEOMETRISCHER GRÖSSEN

8 SKALARPRODUKT VON VEKTOREN BERECHNEN GEOMETRISCHER GRÖSSEN 8 SKALARPRODUKT VON VEKTOREN BERECHNEN GEOMETRISCHER GRÖSSEN 7 7. a) s = ; s = 5, 5, 5 Über den Satz des Pythagoras ist die Länge der Vektoren bestimmbar. Die Länge von = ist = + +. s 6,9 m und s 6,97

Mehr

2.3. Vektorprodukt und Spatprodukt

2.3. Vektorprodukt und Spatprodukt .3. Vektorprodukt und Spatprodukt Das Vektorprodukt In sehr vielen mathematischen und physikalisch-technischen Problemstellungen geht es darum, zu einer gegebenen Fläche deren Inhalt und auf ihr senkrecht

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler II

Mathematik für Naturwissenschaftler II Mathematik für Naturwissenschaftler II Dr Peter J Bauer Institut für Mathematik Universität Frankfurt am Main Sommersemester 27 Lineare Algebra Der mehrdimensionale Raum Vektoren Im Teil I dieser Vorlesung

Mehr

Zusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen

Zusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen Zusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen Michael Goerz 8. April 006 Inhalt Vektoren, Geraden und Ebenen. Länge eines Vektors.......................... Skalarprodukt..............................

Mehr

Geometrie Q11 und Q12

Geometrie Q11 und Q12 Skripten für die Oberstufe Geometrie Q und Q. E: x + 3x 4 = 0 A 3 H. Drothler 0 www.drothler.net Geometrie Oberstufe Seite Inhalt 0. Das räumliche Koordinatensystem... 0. Vektoren...3 03. Vektorketten...4

Mehr

Übungsblatt Analytische Geometrie - Geraden und Ebenen - 6C /07

Übungsblatt Analytische Geometrie - Geraden und Ebenen - 6C /07 Übungsblatt Analytische Geometrie - Geraden und Ebenen - 6C - 6/7. Gegenseitige Lage von Geraden Gesucht ist die gegenseitige Lage der Geraden g durch die beiden Punkte A( ) und B( 5 9 ) und der Geraden

Mehr

Ebenengleichungen und Umformungen

Ebenengleichungen und Umformungen Ebenengleichungen und Umformungen. Januar 7 Ebenendarstellungen. Parameterdarstellung Die Parameterdarstellung einer Ebene ist gegeben durch einen Stützvektor r, der einen Punkt auf der Ebene angibt und

Mehr

Übungsblatt

Übungsblatt Übungsblatt 6..7 ) Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Sätze durch Verwendung abstrakter Vektoren (ohne Bezug auf konkrete Komponenten), deren Addition bzw. Subtraktion und Multiplikation mit Skalaren:

Mehr

Analytische Geometrie - Schnittwinkel. u 1, u 2 Richtungsvektoren der Geraden

Analytische Geometrie - Schnittwinkel. u 1, u 2 Richtungsvektoren der Geraden Analytische Geometrie - Schnittwinkel. Möglichkeiten und Formeln Gerade / Gerade: cos( ) = u u 2 u u 2 Gerade / Ebene: sin( ) = n u n u Ebene / Ebene: cos( ) = n n 2 n n 2 u, u 2 Richtungsvektoren der

Mehr

Lösungen der Übungsaufgaben III

Lösungen der Übungsaufgaben III Mathematik für die ersten Semester (. Auflage): Lösungen der Übungsaufgaben III C. Zerbe, E. Ossner, W. Mückenheim 6. Man konstruiere die Winkelhalbierende eines beliebigen Winkels analog zur Konstruktion

Mehr

Übungsaufgaben Vektoren

Übungsaufgaben Vektoren Kallenrode, www.sotere.uos.de Übungsaufgaben Vektoren 1. Gegeben sind die Einheitsvektoren in Zylinderkoordinaten e ϱ = cos ϕ sin ϕ, e ϕ = sin ϕ cos ϕ und e z = 0 0 0 0 1 und Kugelkoordinaten: sin ϑ cos

Mehr

Mathematische Formeln für das Studium an Fachhochschulen

Mathematische Formeln für das Studium an Fachhochschulen Mathematische Formeln für das Studium an Fachhochschulen von Richard Mohr. Auflage Hanser München 0 Verlag C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 446 455 4 Zu Inhaltsverzeichnis schnell und portofrei

Mehr

Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 2016 A. Kersch

Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 2016 A. Kersch Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 206 A. Kersch Vektoren. Vektorrechnung Definition Ein Vektor ist eine gerichtete Größe welche einen Betrag ( Zahl und eine Richtung ( in 2D, 2 in 3D hat. Alternativ

Mehr

4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS /..-7.. Aufgabe G (Geraden im R ) Bestimmen

Mehr

Definition: Euklidischer Raum mit Skalarprodukt. Die kanonische Basis von Einheitsvektoren sind paarweise orthogonal zueinander:

Definition: Euklidischer Raum mit Skalarprodukt. Die kanonische Basis von Einheitsvektoren sind paarweise orthogonal zueinander: Definition: Euklidischer Raum mit Skalarprodukt Einsteinsche Summenkonvention (ES): über doppelt vorkommende Indizes wird summiert. Die kanonische Basis von Einheitsvektoren sind paarweise orthogonal zueinander:

Mehr

Von einem Vektor spricht man, wenn mehrere reelle (manchmal auch komplexe) Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge zusammengefasst werden.

Von einem Vektor spricht man, wenn mehrere reelle (manchmal auch komplexe) Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge zusammengefasst werden. 2. Vektorrechnung 2.1 Begriffe Von einem Vektor spricht man, wenn mehrere reelle (manchmal auch komplexe) Zahlen in einer estimmten Reihenfolge zusammengefasst werden. Schreit man die Zahlen untereinander,

Mehr

Studiengänge) Beispiele

Studiengänge) Beispiele Grundkurs Höhere Mathematik I (für naturwissenschaftliche Studiengänge) Beispiele Prof. Dr. Udo Hebisch Diese Beispielsammlung ergänzt das Vorlesungsskript und wird ständig erweitert. DETERMINANTEN Determinanten

Mehr

Lösungen der 1. Lektion

Lösungen der 1. Lektion Lektionen der Vektorrechnung in Aufgaben Lösungen Schickt mir bei Entdeckung eines Fehlers oder Unklarheiten bitte eine e-mail! Lösungen der 1. Lektion Es ist hier unerheblich, wie Vektoren definiert werden.

Mehr

HTW MST Mathematik 1. Vektorrechnung. Zu Aufgabe 1. Zu Aufgabe Lösungen zu Übungsblatt 5. Lösung: Lösung: = 39

HTW MST Mathematik 1. Vektorrechnung. Zu Aufgabe 1. Zu Aufgabe Lösungen zu Übungsblatt 5. Lösung: Lösung: = 39 Vektorrechnung Zu Aufgabe 1 Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die Vektoren 1 a =, b =, 3 1 c = 6 1 aufgespannt wird! Zu Aufgabe Berechnen Sie das Volumen des durch folgende 3 Vektoren

Mehr

& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors

& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors Einführu hnung Was ist ein Vektor? In Bereichen der Naturwissenschaften treten Größen auf, die nicht nur durch eine Zahlenangabe dargestellt werden können, wie Kraft oder Geschwindigkeit. Zur vollständigen

Mehr

Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans

Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans josef.coenen@web.de Abitour Analytische Geometrie Leistungskurs Aufgaben 1. Welche Lagebeziehungen zwischen

Mehr

~ v 2. Abbildung 3: Zweiter Schritt des Gram-Schmidt-Verfahrens. k 1. i=1. v k = w k

~ v 2. Abbildung 3: Zweiter Schritt des Gram-Schmidt-Verfahrens. k 1. i=1. v k = w k v 1 v 1 v 2 v 2 W 2 -v (v, v ) 1 1 2 Abbildung 3: Zweiter Schritt des Gram-Schmidt-Verfahrens. k. Schritt: Subtraktion der Komponenten von ṽ k in Richtung von v 1,v 2,...,v k 1 und Normierung von w k auf

Mehr

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren Vektoren In nderen Bereichen der Nturwissenschften treten Größen uf, die nicht nur durch eine Zhlenngbe drgestellt werden können, wie Krft, die Geschwindigkeit. Zur vollständigen Beschreibung z.b. der

Mehr

Mathematik. Lernbaustein 6

Mathematik. Lernbaustein 6 BBS Gerolstein Mathematik Mathematik für die Berufsoberschule II Lernbaustein 6 Modellieren von Realsituationen mit Hilfe der Vektorrechnung www.p-merkelbach.de/bos/mathe/matheskript-bos- Lernbaustein

Mehr

Mit Skalarprodukt und Vektorprodukt lässt sich ein weiteres, kombiniertes Produkt, das Spatprodukt

Mit Skalarprodukt und Vektorprodukt lässt sich ein weiteres, kombiniertes Produkt, das Spatprodukt Mit Skalarprodukt und Vektorprodukt lässt sich ein weiteres, kombiniertes Produkt, das Spatprodukt a ( b c) bilden. Aus der geometrischen Interpretation von Skalarprodukt und Vektorprodukt ist sofort ersichtlich,

Mehr

INGENIEURMATHEMATIK. 11. Differentialgeometrie. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies

INGENIEURMATHEMATIK. 11. Differentialgeometrie. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik INGENIEURMATHEMATIK 11. Differentialgeometrie Prof. Dr. Gunar Matthies Sommersemester 2016 G. Matthies Ingenieurmathematik

Mehr

Analytische Geometrie mit dem Voyage 1

Analytische Geometrie mit dem Voyage 1 Analytische Geometrie mit dem Voyage. Vektoren Vektoren lassen sich definieren in eckigen Klammern. Setzt man ein Semikolon zwischen die einzelnen Komponenten, so ergibt sich ein Spaltenvektor. Ein Spaltenvektor

Mehr

Geometrische Objekte im 3-dimensionalen affinen Raum oder,... wie nützlich ist ein zugehöriger Vektorraum der Verschiebungen

Geometrische Objekte im 3-dimensionalen affinen Raum oder,... wie nützlich ist ein zugehöriger Vektorraum der Verschiebungen Geometrische Objekte im -dimensionalen affinen Raum Bekanntlich versteht man unter geometrischen Objekten Punktmengen, auf die man die üblichen Mengenoperationen wie z.b.: Schnittmenge bilden: - aussagenlogisch:

Mehr

Das Wichtigste auf einen Blick

Das Wichtigste auf einen Blick Das Wichtigste auf einen Blick Zusammenfassung Geometrie.Parameterform einer Geraden Eine Gerade ist wie auch in der Analysis durch zwei Punkte A, B im Raum eindeutig bestimmt einer der beiden Punkte,

Mehr